第十一講正反比例的概念與應(yīng)用

----------------------------------------------------------------------------------本講我們來學(xué)習(xí)兩種特殊的數(shù)量關(guān)系：正比例關(guān)系和反比例關(guān)系．看到題目你一定很好奇什么才是正比例關(guān)系？什么才是反比例關(guān)系呢？我們先來看一個(gè)具體的例子．某汽車行駛的時(shí)間和路程如下表：時(shí)間/h123456路程/km80160240320400480同學(xué)們可以考慮這樣幾個(gè)問題：表中有哪兩個(gè)量？它們是不是有關(guān)聯(lián)的？寫出幾組這兩種量的比，并比較比值的大?。f一說這個(gè)比值表示什么？從表中我們可以看出，路程和時(shí)間都是變化的量，并且時(shí)間越大，路程也越大，它們的比值是一定的．像這樣，兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨之變化，如果兩種量相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做成正比例關(guān)系，或者簡寫為成正比．我們再來看另外一個(gè)例子：王老師買來一些巧克力，準(zhǔn)備分給同學(xué)們．學(xué)生數(shù)/人20304060120每人分得的巧克力數(shù)/塊64321從表中我們可以看出，學(xué)生數(shù)和每個(gè)人分得的巧克力數(shù)都是變化的量，并且學(xué)生數(shù)越多，每人分得的巧克力數(shù)就越少，它們的乘積是一定的．像這樣，兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨之變化，如果兩種量相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的乘積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做成反比例關(guān)系，或者簡寫為成反比．在實(shí)際應(yīng)用過程中，我們常常用到這樣一些結(jié)論．如果兩個(gè)量成正比，例如：，當(dāng)單價(jià)一定的時(shí)候，總價(jià)比等于數(shù)量比，即．如果兩個(gè)量成反比，例如：，當(dāng)路程一定的時(shí)候，速度比等于時(shí)間比反過來，即．

------------------------------------------------------------------------------------例題1．（1）阿呆和阿瓜，一起去超市買可樂，可樂的價(jià)錢相同．阿呆買了12瓶，阿瓜買了15瓶，問阿呆和阿瓜所花的錢數(shù)比為____________．（2）灰太狼和紅太狼從狼堡去羊村，紅太郎用了18分鐘，灰太狼只用了12分鐘，問紅太狼和灰太郎的速度比為____________．（3）小高、墨莫和卡莉婭三人一起去爬靈山，從山腳出發(fā)，約好在山頂見面．小高從山腳爬到山頂用了40分鐘，墨莫和卡莉婭分別用了1小時(shí)20分鐘和120分鐘，問小高、墨莫和卡莉婭的速度比為____________．分析：題目中的各個(gè)量之間是成正比例還是反比例關(guān)系？練習(xí)1．（1）喜羊羊和沸羊羊進(jìn)行百米賽跑，喜羊羊跑完全程用了10.5秒，沸羊羊用了12秒，問喜羊羊和沸羊羊的速度比為____________．（2）甲、乙、丙三人各自獨(dú)立做同一件工程，效率比為2:3:4，那么完成的時(shí)間比為____________．-------------------------------------------------------------------齒輪在機(jī)械裝置中是很常見的一種零件，如圖是鐘表中的一些齒輪圖．如果兩個(gè)齒輪A、B相互咬合，那么齒輪A的齒數(shù)乘以齒輪A轉(zhuǎn)過的圈數(shù)等于齒輪B的齒數(shù)乘以齒輪B轉(zhuǎn)過的圈數(shù)．即兩個(gè)相互咬合的齒輪它們的齒數(shù)比與圈數(shù)比成反比．鐘表中的齒輪鐘表中的齒輪1鐘表中的齒輪2--------------------------------------------------------------------例題2．ACB如圖，有A、B、C三個(gè)齒輪，其中A和B相互咬合，B和C相互咬合．如果A齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)7圈時(shí)，B齒輪恰好轉(zhuǎn)動(dòng)5圈；B齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)7圈時(shí)，C齒輪恰好轉(zhuǎn)動(dòng)10圈．請(qǐng)問：這三個(gè)齒輪的齒數(shù)之比是多少？（注：圖片只是示意圖，并不代表實(shí)際齒數(shù)）

分析：觀察圖形，當(dāng)兩個(gè)齒輪相互咬合的時(shí)候，它們的齒數(shù)和轉(zhuǎn)動(dòng)圈數(shù)有什么關(guān)系？

ACB

練習(xí)2．有A、B、C三個(gè)齒輪，其中A和B相互咬合，B和C相互咬合．這三個(gè)齒輪的齒數(shù)之比3:4:5．當(dāng)A、C兩個(gè)齒輪一共轉(zhuǎn)動(dòng)64圈時(shí)，B齒輪一共轉(zhuǎn)動(dòng)了多少圈？--------------------------------------------------------------------利用正反比，我們常?？梢越鉀Q一些生活中的問題，下面我們來看看這樣的題目．--------------------------------------------------------------------例題3．一天，卡莉婭拿著媽媽給她的錢去超市買蘋果，平時(shí)每斤蘋果5元錢，當(dāng)她到超市的時(shí)候發(fā)現(xiàn)，由于打折促銷，蘋果變?yōu)槊拷?元錢，于是卡莉婭多買了3斤蘋果．問媽媽給了卡莉婭多少錢？分析：卡莉婭帶的錢是固定的，那么蘋果的價(jià)格和重量之間有什么關(guān)系？練習(xí)3．一個(gè)旅游團(tuán)租車出游，平均每人應(yīng)付車費(fèi)40元．后來又增加了8人，這樣每人應(yīng)付的車費(fèi)是35元．總租車費(fèi)是多少元？----------------------------------------------------------------------------------在行程問題中，速度×?xí)r間＝路程．當(dāng)路程一定時(shí)，時(shí)間和速度成反比．與之類似的，在工程問題中，效率×?xí)r間＝工作量．當(dāng)工作量一定時(shí)，時(shí)間和效率成反比．正反比在行程、工程問題中有著廣泛的應(yīng)用．----------------------------------------------------------------------------------例題4．小高從家去高思學(xué)校，可以騎車也可以步行，騎車比步行每分鐘快150米，騎車所用的時(shí)間比步行時(shí)間少，那么小高每分鐘步行多少米？分析：當(dāng)行駛路程固定的時(shí)候，如何把速度的變化與時(shí)間的變化聯(lián)系起來呢？練習(xí)4．完成一件工程，甲的工作效率比乙的工作效率高，單獨(dú)做，甲比乙少用4天完成整件工程，問乙單獨(dú)完成這件工程用多少天？例題5．墨莫最近在看文學(xué)名著《戰(zhàn)爭與和平》，計(jì)劃20天看完．實(shí)際上，在看了500頁之后，由于情節(jié)精彩，每天比原來多看了，結(jié)果提前3天看完全書．問這本書共有多少頁？分析：書的頁數(shù)是固定的，那么每天看的頁數(shù)和看書的天數(shù)之間有什么關(guān)系？

例題6．某工程，可由若干臺(tái)機(jī)器在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成．如果增加2臺(tái)機(jī)器，則只需用規(guī)定時(shí)間的就可做完；如果減少2臺(tái)機(jī)器，那么就要推遲1小時(shí)做完．則由一臺(tái)機(jī)器去完成這工程需要多長時(shí)間？分析：工作總量是固定的，那么如何把工作效率的變化與工作時(shí)間的變化聯(lián)系起來呢？

諺語的智慧——節(jié)選自《怎樣解題》喬治·波利亞解題是人類的一項(xiàng)基本活動(dòng)．有些人在達(dá)到目標(biāo)和解答題目方面比較成功，另一些則沒有那么成功．這些差異被注意到了，并進(jìn)行了探討和評(píng)論，某些諺語看來保留了這種評(píng)論的精華．我們解題時(shí)必須做的第一件事是理解題目：知敵方能應(yīng)敵．我們必須清楚地看到我們所要達(dá)到的目的：想清目標(biāo)再動(dòng)手．這是老生常談了，不幸的是，并非每個(gè)人都聽從這樣一條好的建議，人們常常在還沒有真正理解他們所應(yīng)該努力的目標(biāo)之前，就開始推測、談?wù)?，甚至魯莽行事．愚者只看腳下，智者緊盯目標(biāo)．然而光理解題目是不夠的，我們還必須渴望求出它的解答．如果沒有強(qiáng)烈的解題愿望，我們就不可能解出一道難題，只有具備這樣的愿望，才有可能解出它．有志者事竟成．設(shè)計(jì)一個(gè)方案，構(gòu)思一條適當(dāng)行動(dòng)的思路，是解題中的主要成就．一個(gè)好的思路是一個(gè)好運(yùn)、一個(gè)靈感、一份神賜的禮物，我們必須受之無愧：勤勉是幸運(yùn)之母．堅(jiān)持就是勝利．一口吃不成胖子．出師不利，再三嘗試．然而反復(fù)嘗試是不夠的，我們必須試著用不同的方法，變化我們的嘗試．千方百計(jì)．條條大路通羅馬．我們應(yīng)該在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候，即在我們的方案成熟的時(shí)候，才開始執(zhí)行它，而不要提前．我們不能輕率行事．三思而后行．試驗(yàn)在先，相信在后．巧施援手，確保安全．另一方面，我們也不應(yīng)猶豫太久．不入虎穴，焉得虎子．做最可能的事，抱最大的希望．全力以赴，天助人愿．回顧已經(jīng)完成的解答是工作中的一個(gè)重要且有啟發(fā)性的階段．不愛再思索的人，必定不善思索．多思出上策．重新檢驗(yàn)解答后，我們可能會(huì)對(duì)結(jié)果更加堅(jiān)信．但必須向初學(xué)者指出，這種額外的驗(yàn)證是有價(jià)值的，兩個(gè)證明要比一個(gè)好．拋兩個(gè)錨停泊更安全．不要相信一切，只懷疑值得懷疑的．當(dāng)你找到第一個(gè)蘑菇或作出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)后，再四處看看；它們總是成群生長．諺語，體現(xiàn)了人們的智慧與高尚．

小灰灰和喜羊羊同時(shí)從羊村出發(fā)去狼村，小灰灰的速度為16米/秒，喜羊羊的速度為12米/秒，問小灰灰和喜羊羊所用的時(shí)間比是多少？小小、紅紅、豆豆三人各自獨(dú)立做同一件工作，分別用時(shí)10分鐘、20分鐘、30分鐘，那么他們的效率比是多少？有A、B、C三個(gè)齒