7.1.1條件概率1.結(jié)合古典概型,了解條件概率的概念..2.掌握求條件概率的兩種方法.3.能利用條件概率公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.4.通過條件概率的形成過程,體會(huì)由特殊到一般的思維方法.1.概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量.(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.具有以上兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型,簡(jiǎn)稱古典概型.2.古典概型：3.古典概型概率計(jì)算公式：相互獨(dú)立事件互斥事件對(duì)立事件判斷方法一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響.兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，即A∩B=.兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，但必有其中一個(gè)發(fā)生，即

，.概率公式若事件A與B相互獨(dú)立，若事件A與B互斥，則

若事件A與B互為對(duì)立事件，則互斥、對(duì)立、獨(dú)立事件思考：

如果事件A與B不相互獨(dú)立

，如何求P(AB)呢？事件A發(fā)生會(huì)影響事件B發(fā)生的概率分析：

隨機(jī)選擇一人做代表

，則樣本空間?包含45個(gè)等可能的樣本點(diǎn).用B表示事件“

選到男生”

，

由上表可知

，

n(?)=45

，

n(B)=25問題1：

某個(gè)班級(jí)有45名學(xué)生

，

其中男生、

女生的人數(shù)及團(tuán)員的人數(shù)如下表所示，在班級(jí)里隨機(jī)選擇一人做代表：根據(jù)古典概型知識(shí)可知

，

選到男生的概率為：（1）

選到男生的概率是多大？團(tuán)員非團(tuán)員合計(jì)男生16925女生14620合計(jì)301545

分析：

用A表示事件“選到團(tuán)員”

，

“在選到團(tuán)員的條件下

，

選到男生”的概率就是

“在事件A發(fā)生的條件下

，

事件B發(fā)生”的概率

，

記為P(B|A).此時(shí)相當(dāng)于以A為樣本

空間來考慮事件B發(fā)生的概率

，

而在新的樣本空間中事件B就是積事件AB

，包含的樣本點(diǎn)數(shù)n(AB)=16

，根據(jù)古典概型知識(shí)可知，條件概率

團(tuán)員非團(tuán)員合計(jì)男生16925女生14620合計(jì)301545（2）如果已知選到的是團(tuán)員

，那么選到的是男生的概率是多大？分析：

用b表示男孩

，

g表示女孩

，則樣本空間Ω

={bb,bg,gb,gg}

，且所有樣

本點(diǎn)是等可能的.用A表示事件“選擇的家庭中有女孩”

，

B表示事件“選擇的家庭中兩個(gè)孩子都是女孩”

，則A

={bg,gb,gg}

，

B

={gg}問題2：

假設(shè)生男孩與生女孩是等可能的

，現(xiàn)考慮有兩個(gè)小孩的家庭

，

隨機(jī)選擇一個(gè)家庭

，那么：（1）該家庭中兩個(gè)小孩都是女孩的概率是多大？（2）如果已經(jīng)知道這個(gè)家庭有女孩

，那么兩個(gè)小孩都是女孩的概率有多大？（1）根據(jù)古典概型知識(shí)可知

，該家庭中兩個(gè)小孩都是女孩的概率為：

問題2：

假設(shè)生男孩與生女孩是等可能的

，現(xiàn)考慮有兩個(gè)小孩的家庭

，

隨機(jī)選擇一個(gè)家庭

，那么：（2）如果已經(jīng)知道這個(gè)家庭有女孩

，那么兩個(gè)小孩都是女孩的概率有多大？條件概率（2）

”在選擇的家庭有女孩的條件下

，

兩個(gè)小孩都是女孩”的概率就是“在事件A發(fā)生的條件下

，

事件B發(fā)生”的概率

，

記為P(B|A).此時(shí)

，A成為樣本空間

,事件B就是積事件AB.根據(jù)古典概型知識(shí)可知：

在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率還可以通過

來計(jì)算.

在上面兩個(gè)問題中，在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率都是

這個(gè)結(jié)論對(duì)于一般的古典概型仍然成立.事實(shí)上，如圖所示，若已知事件A發(fā)生，則A成為樣本空間.此時(shí)，事件B發(fā)生的概率是AB包含的樣本點(diǎn)數(shù)與A包含的樣本點(diǎn)數(shù)的比值，ABABΩ為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱條件概率.一般地，設(shè)A

，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0

，我們稱概率的乘法公式條件概率由這個(gè)定義可知，對(duì)任意兩個(gè)事件A

，B

，若P(A)>0

，則有知識(shí)歸納

P(AB)=P(A)P(B|A)當(dāng)P(A)

>0時(shí)

，

當(dāng)且僅當(dāng)事件A與B相互獨(dú)立時(shí)

，有P(B|A)

=P(B)若事件A與B相互獨(dú)立

，

即P(AB)

=P(A)P(B)

，且P(A)

>0

，則反之

，若P(B|A)

=P(B)

，且P(A)

>0

，則即事件A與B相互獨(dú)立.

例1.在5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中隨機(jī)抽出1道題，抽出的題不再放回.求:(1)第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題的概率；(2)在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率.分析:如果把“第1次抽到代數(shù)題”和“第2次抽到幾何題”作為兩個(gè)事件，那么問題(1)就是積事件的概率，問題(2)就是條件概率.可以先求積事件的概率，再用條件概率公式求條件概率;也可以先求條件概率，再用乘法公式求積事件的概率.

方法2：（1）在縮小的樣本空間A上求P（B|A）.已知第1次抽到代數(shù)題，這時(shí)還余下4道試題，其中代數(shù)題和幾何題各2道.因此，事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率為

②

是根據(jù)條件概率的直觀意義,增加了“A發(fā)生”的條件后,樣本空間縮小為A,求P(B|A)就是以A為樣本空間計(jì)算AB的概率.

求條件概率的兩種方法①

是基于樣本空間Ω

,

先計(jì)算P(A)和P(AB)

，再利用條件概率公式求P(B|A)；條件概率只是縮小了樣本空間,

因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì).方法歸納

條件概率的性質(zhì)：例2

已知3張獎(jiǎng)券中只有1張有獎(jiǎng)，

甲、

乙、丙3名同學(xué)依次不放回地各隨機(jī)抽取1張.他們中獎(jiǎng)的概率與抽獎(jiǎng)的次序有關(guān)嗎？

分析：要知道中獎(jiǎng)概率是否與抽獎(jiǎng)次序有關(guān)，只要考察甲、乙、丙3名同學(xué)的中獎(jiǎng)概率是否相等.因?yàn)橹挥?張有獎(jiǎng),所以“乙中獎(jiǎng)”等價(jià)于“甲沒中獎(jiǎng)且乙中獎(jiǎng)”,“丙中獎(jiǎng)”等價(jià)于“甲和乙都沒中獎(jiǎng)”，利用乘法公式可求出乙、丙中獎(jiǎng)的概率.因?yàn)镻(A)=P(B)=P(C),所以中獎(jiǎng)的概率與抽獎(jiǎng)的次序無關(guān).例3銀行儲(chǔ)蓄卡的密碼由6位數(shù)字組成.某人在銀行自助取款機(jī)上取錢

時(shí)，忘記了密碼的最后1位數(shù)字.

求:(1)任意按最后1位數(shù)字，不超過2次就按對(duì)的概率；(2)如果記得密碼的最后1位是偶數(shù)，不超過2次就按對(duì)的概率.分析:最后1位密碼“不超過2次就按對(duì)”等價(jià)于“第1次按對(duì)，或者第1次按錯(cuò)第2次按對(duì)”.因此，可以先把復(fù)雜事件用簡(jiǎn)單事件表示，再利用概率性質(zhì)求解.

變式：某校高三(1)班有學(xué)生40人，其中共青團(tuán)員15人，全班分成4個(gè)小組，第一小組有學(xué)生10人，共青團(tuán)員4人.從該班任選一人作學(xué)生代表.(1)求選到的是共青團(tuán)員的概率；(2)求選到的既是共青團(tuán)員又是第一小組學(xué)生的概率；解：設(shè)“選到的是共青團(tuán)員

”為事件A

，

“選到的是第一小組學(xué)生

”為事件B

，則

“選到的既是共青團(tuán)員又是第一小組學(xué)生

”為事件AB.

(3)已知選到的是共青團(tuán)員，求他是第一小組學(xué)生的概率.法二.由題意知，事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)為15，事件AB所包含的基本事件個(gè)數(shù)為4，

變式：某校高三(1)班有學(xué)生40人，其中共青團(tuán)員15人，全班分成4個(gè)小組，第一小組有學(xué)生10人，共青團(tuán)員4人.從該班任選一人作學(xué)生代表.

1.條件概率定義.針對(duì)以