第3章機器人的微分運動與速度3.1微分與雅克比矩陣3.2坐標(biāo)系的微分運動3.3雅克比矩陣計算3.4

建立雅克比矩陣與微分算子之間的關(guān)聯(lián)3.5雅克比矩陣的逆

機器人的運動是機器人結(jié)構(gòu)的動態(tài)變化;機器人的速度是一定時間內(nèi)的運動變化。機器人在很短的時間段內(nèi)的運動就是機器人的微分運動。微分運動是對機器人進行運動分析

和速度分析的重要手段。

3.1微分與雅克比矩陣

雅克比矩陣(Jacobian)是函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)以一定方式排列成的矩陣。雅克比矩陣是機構(gòu)在任何給定時間的幾何形狀和不同部件之間相互關(guān)系的表示,可表示機構(gòu)部件隨時間變化的幾何關(guān)系。

1.微分與雅克比矩陣的關(guān)系

假設(shè)有兩自由度的機構(gòu),每個連桿都獨立旋轉(zhuǎn),θ1為第1連桿相對于參考坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角度,θ2為第2連桿相對于第1連桿的旋轉(zhuǎn)角度,根據(jù)該兩自由度平面機構(gòu)建立的坐標(biāo)系,如圖3-1所示。

圖3-1兩自由度平面機構(gòu)的坐標(biāo)系

由于機器人是串聯(lián)機器人,因此每個連桿的運動都是指該連桿相對于前一連桿上的當(dāng)前坐標(biāo)系的運動。通過對B點位置方程求微分有

對式(3-1)中兩個變量求微分可得

2.機器人關(guān)節(jié)與手的微分運動

式(3-5)的矩陣形式為

根據(jù)式(3-6)可建立機器人的關(guān)節(jié)微分運動和機器人手坐標(biāo)系微分運動之間的關(guān)系為

例3-1假定已知在某一時刻的機器人雅克比矩陣,計算在給定關(guān)節(jié)微分運動的情況下,機器人手坐標(biāo)系的線位移微分運動和角位移微分運動。

3.2坐標(biāo)系的微分運動

1.坐標(biāo)系的微分運動對于機器人來說,機器人手坐標(biāo)系的微分運動是由機器人每個關(guān)節(jié)的微分運動所引起的。機器人關(guān)節(jié)的微量運動會導(dǎo)致機器人手坐標(biāo)系產(chǎn)生微量運動,因此,必須將機器人的微分運動與坐標(biāo)系的微分運動關(guān)聯(lián)起來。坐標(biāo)系的微分運動包括微分平移、微分旋轉(zhuǎn)和微分變換。

1)微分平移

微分平移是坐標(biāo)系相對于參考坐標(biāo)系平移一個微分量,其含義是坐標(biāo)系沿著x、y、z軸做了微小量的運動,可表示為

2)微分旋轉(zhuǎn)

微分旋轉(zhuǎn)是坐標(biāo)系的微小旋轉(zhuǎn)。繞參考軸的微分旋轉(zhuǎn)是繞坐標(biāo)系繞x、y、z軸的旋轉(zhuǎn),其相應(yīng)的微分轉(zhuǎn)動定義為δx、δy、δz,其微分旋轉(zhuǎn)可分別表示為Rot(x,δx)、Rot(y,δy)和Rot(z,δz),也可以是繞當(dāng)前軸n、o、a旋轉(zhuǎn)。

繞軸大角度旋轉(zhuǎn)時變化矩陣是不能交換的,但繞軸微分旋轉(zhuǎn)時變換矩陣是滿足交換律的,即

證明:由于微分值很小,高階微分可忽略不計,設(shè)高階微分如δxδy為零,則有

3)微分變換

因此,微分算子Δ的求解如下

坐標(biāo)系B運動后的位姿為

2.坐標(biāo)系間的微分變化

式(3-16)可改寫為

則有

例3-3-對給定的坐標(biāo)系B,繞y軸進行0.1rad的微分運動,再沿微分平移[0.1,0,0.2],求相對于當(dāng)前坐標(biāo)的微分變換的微分算子。

3.3-雅克比矩陣計算

機器人的雅克比矩陣就是將關(guān)節(jié)運動和手運動之間的建立起了聯(lián)系,即

以六自由度鏈?zhǔn)綑C器人為例,機器人基座坐標(biāo)系和機器人手坐標(biāo)系之間的總變換為

事實上,相對于最后一個坐標(biāo)系T6的雅克比矩陣比相對于第一個坐標(biāo)系的雅克比矩陣計算要簡單。Paul指出,可將相對于最后一個坐標(biāo)系(即第6個坐標(biāo)系)速度方程寫為

式(3-24)可寫為

3.4建立雅克比矩陣與微分算子之間的關(guān)聯(lián)

1.借助D建立關(guān)系假設(shè)機器人的關(guān)節(jié)移動一個微分量:

2.借助T6JD建立關(guān)系

例3-4假定一個五自由度機器人手的坐標(biāo)系、瞬時的雅克比矩陣及一組微分運動,求經(jīng)微分運動后機器人手的坐標(biāo)系的新位置。

微分運動后,機器人手的坐標(biāo)系的新位置為

3.5雅克比矩陣的逆

為了計算機器人關(guān)節(jié)上的微分運動,則需要獲得雅克比矩陣的逆,方程如下:上式同時左乘矩陣雅克比矩陣的J-1,則可得

雅克比矩陣逆的求解對機器人精確運動有著重要意義,常用的方法有三種:第一種是求出符號形式的雅克比矩陣的逆,把值代入其中并計算出速度;第二種是將數(shù)據(jù)代入雅克

比矩陣,再用高斯消去法或其他方法求解數(shù)值矩陣的逆;第三種是利用逆運動方程計算關(guān)節(jié)的速度。以六自由度鏈?zhǔn)綑C器人為例,其總變換矩陣為

將機器人的期望位姿表示為

1.dθ1的求解方法

通過機器人的期望位姿矩陣和式(3-30)構(gòu)建等式關(guān)系,并將等式兩邊左乘A-11,即

2.dθ3-的求解方法

3.dθ2的求解方法

4.dθ4的求解方法

5.dθ5的求解方法

例3-5工業(yè)相機安裝在機器人手坐標(biāo)系TH上,已知機器人在該位置的雅克比矩陣的逆:

機器人所做的微分運動為

(1)找出哪些關(guān)節(jié)必須做微分運動,并計算出這些關(guān)節(jié)需要做多大的微分運動量才能產(chǎn)生所指定的微分運動。

從而可得,關(guān)節(jié)1、2、4、6需要做微分運動,這些關(guān)節(jié)需要做的微分運動量為0.05、0.2、