專題16二次函數(shù)與正方形存在性問題解題點(diǎn)撥作為特殊四邊形中最特殊的一位，正方形擁有更多的性質(zhì)，因此坐標(biāo)系中的正方形存在性問題變化更加多樣，從判定的角度來說，可以有如下：（1）有一個角為直角的菱形；（2）有一組鄰邊相等的矩形；（3）對角線互相垂直平分且相等的四邊形．依據(jù)題目給定的已知條件選擇恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，即可確定所求的點(diǎn)坐標(biāo)．從未知量的角度來說，正方形可以有4個“未知量”，因其點(diǎn)坐標(biāo)滿足4個等量關(guān)系，考慮對角線性質(zhì)，互相平分（2個）垂直（1個）且相等（1個）．比如在平面中若已知兩個定點(diǎn)，可以在平面中確定另外兩個點(diǎn)使得它們構(gòu)成正方形，而如果要求在某條線上確定點(diǎn)，則可能會出現(xiàn)不存在的情況，即我們所說的未知量小于方程個數(shù)，可能無解．從動點(diǎn)角度來說，關(guān)于正方形存在性問題可分為：（1）2個定點(diǎn)+2個全動點(diǎn)；（2）1個定點(diǎn)+2個半動點(diǎn)+1個全動點(diǎn);甚至可以有：（3）4個半動點(diǎn)．不管是哪一種類型，要明確的是一點(diǎn)，我們肯定不會列一個四元一次方程組求點(diǎn)坐標(biāo)！常用處理方法：思路1：從判定出發(fā)若已知菱形，則加有一個角為直角或?qū)蔷€相等；若已知矩形，則加有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；若已知對角線互相垂直或平分或相等，則加上其他條件．思路2：構(gòu)造三垂直全等若條件并未給關(guān)于四邊形及對角線的特殊性，則考慮在構(gòu)成正方形的4個頂點(diǎn)中任取3個，必是等腰直角三角形，若已知兩定點(diǎn)，則可通過構(gòu)造三垂直全等來求得第3個點(diǎn)，再求第4個點(diǎn)．總結(jié)：構(gòu)造三垂直全等的思路僅適合已知兩定點(diǎn)的情形，若題目給了4個動點(diǎn)，則考慮從矩形的判定出發(fā)，觀察該四邊形是否已為某特殊四邊形，考證還需滿足的其他關(guān)系．正方形的存在性問題在中考中出現(xiàn)得并不多，正方形多以小題壓軸為主．例：在平面直角坐標(biāo)系中，A（1,1），B（4,3），在平面中求C、D使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是正方形．如圖，一共6個這樣的點(diǎn)C使得以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形．至于具體求點(diǎn)坐標(biāo)，以為例，構(gòu)造△AMB≌△，即可求得坐標(biāo)．至于像、這兩個點(diǎn)的坐標(biāo)，不難發(fā)現(xiàn)，是或的中點(diǎn)，是或的中點(diǎn)．題無定法，具體問題還需具體分析，如上僅僅是大致思路．直擊中考1．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，，與軸交于點(diǎn)．(1)求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，過作軸交直線于點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與直線交于、兩點(diǎn)，，，其中點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)解析式；(2)點(diǎn)是拋物線第三象限上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），連接，以為邊作正方形，當(dāng)頂點(diǎn)或恰好落在拋物線對稱軸上時，直接寫出對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．

3．（2022·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)在第一象限的拋物線上，交直線于點(diǎn)D．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時，求四邊形的面積；(3)點(diǎn)Q在拋物線上，當(dāng)?shù)闹底畲笄沂侵苯侨切螘r，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；(4)如圖2，作交x軸于點(diǎn)，點(diǎn)H在射線上，且，過的中點(diǎn)K作軸，交拋物線于點(diǎn)I，連接，以為邊作出如圖所示正方形，當(dāng)頂點(diǎn)M恰好落在y軸上時，請直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)．

4．（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，其對稱軸為直線，與x軸的另一交點(diǎn)為C．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)M在直線上，且在第四象限，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N．①若點(diǎn)N在線段上，且，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；②以為對角線作正方形（點(diǎn)P在右側(cè)），當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

5．（2020·遼寧錦州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交x軸于兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖，直線與拋物線交于A,D兩點(diǎn)，與直線于點(diǎn)E．若是線段上的動點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F，交直線于點(diǎn)G，交直線于點(diǎn)H．①當(dāng)點(diǎn)F在直線上方的拋物線上，且時，求m的值；②在平面內(nèi)是否在點(diǎn)P，使四邊形為正方形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

6．（2020秋·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為．直線與拋物線交于，兩點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)用配方法求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)是對稱軸右側(cè)拋物線上任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，交直線于點(diǎn)，當(dāng)時，請直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)；②連接，以為邊作正方形，是否存在點(diǎn)使點(diǎn)恰好落在對稱軸上？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

7．如圖，直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1)求直線及拋物線的解析式；(2)C為拋物線上的一點(diǎn)，的面積為3，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)P在拋物線上，Q在直線上，M在坐標(biāo)平面內(nèi)，當(dāng)以A，P，Q，M為頂點(diǎn)的四邊形為正方形時，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

8．如圖，拋物線與x軸交于，D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)E，P為拋物線的對稱軸上的動點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)最小時，求此時點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)M為對稱軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，且M在x軸上方，N為平面內(nèi)一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，M，N，使得以A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．(1)______，______；(2)若點(diǎn)P是該拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，那么在拋物線上且位于x軸上方是否存在點(diǎn)M，使四邊形為正方形？若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

10．（2022秋·湖南·九年級?？计谀┤鐖D，已知拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)連接BC，點(diǎn)D是線段BC上方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作，交x軸于點(diǎn)E，連接AD交BC于點(diǎn)F，當(dāng)取得最小值時，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；(3)點(diǎn)G為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線對稱軸與x軸交于點(diǎn)H，連接GB，點(diǎn)M是拋物線上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m．①當(dāng)時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；②過點(diǎn)M作軸，與拋物線交于點(diǎn)N，P為x軸上一點(diǎn)，連接PM，PN，將△PMN沿著MN翻折，得△QMN，若四邊形MPNQ恰好為正方形，求m的值．

11．（2022秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系．xOy中，直線y＝x﹣4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，過A，B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C（﹣2，0）．(1)求拋物線解析式；(2)如圖1，點(diǎn)F是直線AB下方拋物線上一動點(diǎn)，連接FA，F(xiàn)B，求出四邊形FAOB面積最大值及此時點(diǎn)F的坐標(biāo)．(3)如圖2，在（2）問的條件下，點(diǎn)Q為平面內(nèi)y軸右側(cè)的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q及平面內(nèi)任意一點(diǎn)M使得以A，F(xiàn)，Q，M為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

12．綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，過A，B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C，且，點(diǎn)F是直線AB下方拋物線上的動點(diǎn)，連接FA，F(xiàn)B．(1)求拋物線解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)F與拋物線的頂點(diǎn)重合時，的面積為______；．(3)求四邊形FAOB面積的最大值及此時點(diǎn)F的坐標(biāo)．(4)在（3）的條件下，點(diǎn)Q為平面內(nèi)y軸右側(cè)的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q及平面內(nèi)另一點(diǎn)M，使得以A，F(xiàn)，Q，M為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

13．（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交y軸于點(diǎn)D，直線AB與之相交，且是拋物線的頂點(diǎn)．(1)b＝______，c＝______；(2)如圖1，點(diǎn)P是第四象限拋物線上一點(diǎn)，且滿足，拋物線交x軸于點(diǎn)C，連接PC．①求直線PB的解析式；②求PC的長；(3)如圖2，點(diǎn)Q是拋物線第三象限上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、D重合），連接BQ，以BQ為邊作正方形BEFQ，當(dāng)頂點(diǎn)E或F恰好落在拋物線對稱軸上時，直接寫出對應(yīng)的Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

14．（2022·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A(﹣1，0)，B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)b＝______，c＝______；(2)若點(diǎn)D為第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥y軸交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥y軸于點(diǎn)G，求出DE+FG的最大值及此時點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P是該拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，那么在拋物線上且位于x軸上方是否存在點(diǎn)M，使四邊形OMPQ為正方形？若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

15．（2022秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)求△BCD的面積；(3)點(diǎn)M為拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)N為平面內(nèi)一點(diǎn)，以A，M，I，N為頂點(diǎn)作正方形，是否存在點(diǎn)M，使點(diǎn)I恰好落在對稱軸上？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

16．（2022秋·浙江·九年