第3講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用考向預(yù)測核心素養(yǎng)考查函數(shù)的極值、最值的求法，利用函數(shù)的極值和最值研究函數(shù)的圖象等，解答題居多，中高檔難度.數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理01基礎(chǔ)知識回顧一、知識梳理1．函數(shù)的極值函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側(cè)________________，右側(cè)________________，則點a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．f′(x)<0f′(x)＞0函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側(cè)________________，右側(cè)________________，則點b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點，極大值、極小值統(tǒng)稱為極值．f′(x)＞0f′(x)<0[提醒]

(1)函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能稱為極值點．(2)在函數(shù)的整個定義域內(nèi)，極值不一定是唯一的，有可能有多個極大值或極小值．(3)極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系．2．函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則__________為函數(shù)的最小值，__________為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則__________為函數(shù)的最大值，__________為函數(shù)的最小值．f(a)f(b)f(a)f(b)[提醒]

極值只能在定義域內(nèi)部取得，而最值卻可以在區(qū)間的端點處取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點處必定是極值．

常用結(jié)論1．對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值的必要不充分條件．2．若函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不斷，則f(x)在[a，b]上一定有最值．3．若函數(shù)f(x)在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)一定在區(qū)間端點處取得最值．4．若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個極值點，則相應(yīng)的極值點一定是函數(shù)的最值點．√二、教材衍化1.(人A選擇性必修第二冊P92

練習(xí)T1改編)函數(shù)f(x)的定義域為R，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)(

)A．無極大值點、有四個極小值點B．有三個極大值點、一個極小值點C．有兩個極大值點、兩個極小值點D．有四個極大值點、無極小值點解析：設(shè)f′(x)的圖象與x軸的4個交點的橫坐標(biāo)從左至右依次為x1，x2，x3，x4.當(dāng)x<x1時，f′(x)>0，當(dāng)x1<x<x2時，f′(x)<0，則x＝x1為極大值點，同理，x＝x3為極大值點，x＝x2，x＝x4為極小值點，故選C.3．(人A選擇性必修第二冊P99

習(xí)題5.3T12(2)改編)當(dāng)x>0時，lnx，x，ex的大小關(guān)系是________．解析：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝lnx－x，可得x＝1為函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上唯一的極大值點，也是最大值點，故f(x)≤f(1)＝－1<0，所以lnx<x.同理可得x<ex，故lnx<x<ex.答案：lnx<x<ex一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)導(dǎo)數(shù)為零的點不一定是極值點．(

)(2)函數(shù)的極大值不一定比極小值大．(

)(3)函數(shù)的極大值一定是函數(shù)的最大值．(

)(4)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值．(

)√×√√二、易錯糾偏1．(極值點概念理解不準(zhǔn)致誤)若函數(shù)f(x)＝x(x－c)2在x＝2處有極小值，則常數(shù)c的值為________．解析：f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由題意知，f′(2)＝12－8c＋c2＝0，解得c＝2或c＝6，又函數(shù)f(x)＝x(x－c)2在x＝2處有極小值，故導(dǎo)數(shù)在x＝2處左側(cè)為負，右側(cè)為正，而當(dāng)c＝6時，f(x)＝x(x－6)2在x＝2處有極大值，故c＝2.答案：22．(混淆極值點與極值致誤)函數(shù)g(x)＝－x2的極值點是________，函數(shù)f(x)＝(x－1)3的極值點________(填“存在”或“不存在”)．解析：結(jié)合函數(shù)圖象可知g(x)＝－x2的極值點是x＝0.因為f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以f′(x)＝0無變號零點，故函數(shù)f(x)＝(x－1)3不存在極值點．答案：0不存在解析：f′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，當(dāng)x∈[0，2)時，f′(x)<0，當(dāng)x∈(2，3]時，f′(x)>0，所以f(x)在[0，2)上是減函數(shù)，在(2，3]上是增函數(shù)．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.答案：402核心考點共研考點一函數(shù)的極值問題(多維探究)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項式函數(shù)的極大值、極小值．角度1由圖象判斷函數(shù)的極值

設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝(x－1)3f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是(

)A．函數(shù)f(x)有極大值f(－3)和f(3)B．函數(shù)f(x)有極小值f(－3)和f(3)C．函數(shù)f(x)有極小值f(3)和極大值f(－3)D．函數(shù)f(x)有極小值f(－3)和極大值f(3)√【解析】

由題意，x∈(－∞，－3)時，y>0，(x－1)3<0?f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；x∈(－3，1)時，y<0，(x－1)3<0?f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；x∈(1，3)時，y>0，(x－1)3>0?f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；x∈(3，＋∞)時，y<0，(x－1)3>0?f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減．所以函數(shù)有極小值f(－3)和極大值f(3)．由圖象判斷函數(shù)y＝f(x)的極值，要抓住兩點：(1)由y＝f′(x)的圖象與x軸的交點，可得函數(shù)

y＝f(x)的可能極值點；(2)由導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的值的正負，從而可得函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性．兩者結(jié)合可得極值點．當(dāng)a－1≤0，即a≤1時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，無極小值．當(dāng)a－1>0，即a>1時，由f′(x)<0，得0<x<a－1，函數(shù)f(x)在(0，a－1)上單調(diào)遞減；由f′(x)>0，得x>a－1，函數(shù)f(x)在(a－1，＋∞)上單調(diào)遞增．f(x)極小值＝f(a－1)＝1＋ln(a－1)．綜上所述，當(dāng)a≤1時，f(x)無極小值；當(dāng)a>1時，f(x)極小值＝1＋ln(a－1)．求函數(shù)的極值或極值點的步驟(1)求導(dǎo)數(shù)f′(x)，不要忘記函數(shù)f(x)的定義域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)檢查在方程的根的左右兩側(cè)f′(x)的符號，確定極值點或函數(shù)的極值．√即m＋1<－e，m<－e－1，所以實數(shù)m的取值范圍是(－∞，－e－1)．故選D.【解析】

(2)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，

(2)若函數(shù)f(x)＝x2－x＋alnx在(1，＋∞)上有極值點，則實數(shù)a的取值范圍為________．已知函數(shù)極值點或極值求參數(shù)的兩個要領(lǐng)(1)列式：根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解．(2)驗證：因為導(dǎo)數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性．|跟蹤訓(xùn)練|1．(2022·昆明市診斷測試)已知函數(shù)f(x)＝(x2－m)ex，若函數(shù)f(x)的圖象在x＝1處切線的斜率為3e，則f(x)的極大值是(

)A．4e－2 B.4e2C．e－2 D.e2解析：f′(x)＝(x2＋2x－m)ex.由題意知，f′(1)＝(3－m)e＝3e，所以m＝0，f′(x)＝(x2＋2x)ex.當(dāng)x>0或x<－2時，f′(x)>0，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)－2<x<0時，f′(x)<0，f(x)是減函數(shù)．所以當(dāng)x＝－2時，f(x)取得極大值，f(－2)＝4e－2.故選A.√2．已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1，2)，則(

)A．當(dāng)k＝1時，f(x)在x＝1處取到極小值B．當(dāng)k＝1時，f(x)在x＝1處取到極大值C．當(dāng)k＝2時，f(x)在x＝1處取到極小值D．當(dāng)k＝2時，f(x)在x＝1處取到極大值√解析：當(dāng)k＝1時，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0.所以x＝1不是f(x)的極值點．當(dāng)k＝2時，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，則f′(1)＝0，且在x＝1的左邊附近f′(x)<0，x＝1的右邊附近f′(x)>0，所以f(x)在x＝1處取到極小值．故選C.3．已知函數(shù)f(x)＝ax－1－lnx(a∈R)．討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)．解：f(x)的定義域為(0，＋∞)．當(dāng)a≤0時，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)在(0，＋∞)上沒有極值點；綜上，當(dāng)a≤0時，f(x)在(0，＋∞)上沒有極值點，當(dāng)a>0時，f(x)在(0，＋∞)上有一個極值點．考點二函數(shù)的最值問題(思維發(fā)散)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：會用導(dǎo)數(shù)求給定區(qū)間上不超過三次的多項式函數(shù)的最大值、最小值．【解】

函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，求函數(shù)f(x)在[a，b]上最值的方法(1)若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增或遞減，f(a)與f(b)一個為最大值，一個為最小值．(2)若函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)有極值，要先求出[a，b]上的極值，與f(a)，f(b)比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上有唯一一個極值點，這個極值點就是最大(或最小)值點，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用中經(jīng)常用到．|跟蹤訓(xùn)練|(2022·廣東五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝ax＋lnx，其中a為常數(shù)．(1)當(dāng)a＝－1時，求f(x)的最大值；解：(1)易知f(x)的定義域為(0，＋∞)，當(dāng)0<x<1時，f′(x)>0；當(dāng)x>1時，f′(x)<0.所以f(x)在(0，1)上是增函數(shù)，在(1，＋∞)上是減函數(shù)．所以f(x)max＝f(1)＝－1.所以當(dāng)a＝－1時，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的最大值為－1.(2)若f(x)在區(qū)間(0，e]上的最大值為－3，求a的值．03課后達標(biāo)檢測√

[A基礎(chǔ)達標(biāo)]1.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)g(x)＝xf′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是(

)A．f(x)有兩個極值點B．f(－2)為函數(shù)的極大值C．f(x)有兩個極小值D．f(－1)為f(x)的極小值解析：由題圖知，當(dāng)x∈(－∞，－2)時，g(x)>0，所以f′(x)<0，當(dāng)x∈(－2，0)時，g(x)<0，所以f′(x)>0，當(dāng)x∈(0，1)時，g(x)<0，所以f′(x)<0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時，g(x)>0，所以f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，－2)，(0，1)上單調(diào)遞減，在(－2，0)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增．所以f(x)有三個極值點，f(－2)和f(1)為函數(shù)的極小值，f(0)為函數(shù)的極大值，故A，B，D錯誤，C正確．√2．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則f(2)＝(

)A．11或18

B.11C．18D.17或183．已知函數(shù)f(x)＝2f′(1)lnx－x，則f(x)的極大值為(

)A．2 B.2ln2－2C．e D.2－e√√

√√5．(多選)對于函數(shù)f(x)＝ex(x－1)2(x－2)，以下選項正確的是(

)A．有2個極大值

B.有2個極小值

C．1是極大值點

D.1是極小值點6．函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋4在x＝________處取得極小值．解析：由f′(x)＝3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2.當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表，所以函數(shù)f(x)在x＝2處取得極小值．答案：2答案：3

令f′(x)＝0，則x＝－1(舍去)或x＝1.(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并求極值．當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如表：A．f(x)的定義域是(0，＋∞)B．當(dāng)x∈(0，1)時，f(x)的圖象位于x軸下方C．f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間D．f(x)有且僅有兩個極值點√√11．(2022·石家莊二中期末)若函數(shù)f(x)＝(1－x)·(x2＋ax＋b)的圖象關(guān)于點(－2，0)對稱，x1，x2分別是f(x)的極大值點與極小值點，則x2－x1＝(

)解析：由題意可得f(－2)＝3(4－2a＋b)＝0，因為函數(shù)圖象關(guān)于點(－2，0)對稱，且f(1)＝0，所以f(－5)＝0，即f(－5)＝6(25－5a＋b)＝0，√故f(x)＝(1－x)(x2＋7x＋10)＝－x3－6x2－3x＋10，則f′(x)＝－3x2－12x－3＝－3(x2＋4x＋1)，結(jié)合題意可知x1，x2是方程x2＋4x＋1＝0的兩個實數(shù)根，且x1>x2，12．已知函數(shù)f(x)＝aex－2x－2a，且a∈[1，2]，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，ln2]上的最小值為m，則m的取值范圍是________．解析：g(a)＝f(x)＝a(ex－2)－2x是關(guān)于a的一次函數(shù)，當(dāng)x∈[0，ln2)時，ex－2<0，即y＝g(a)是減函數(shù)，因為a∈[1，2]，所以g(a)min＝g(2)＝2(ex－2)－2x(易知x＝ln2也成立)，設(shè)M(x)＝2(ex－2)－2x，則M′(x)＝2ex－2，因為x∈[0，ln2]，所以M′(x)≥0，則M(x)在[0，ln2]上為增函數(shù)