2025年高考數(shù)學一輪復習全程跟蹤特訓卷（新高考地區(qū)）考點過關(guān)檢測42__離散型隨機變量的分布列、均值與方差一、單項選擇題1．[2022·河北邢臺模擬]已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4)，若P(ξ>2c＋1)＝P(ξ<2c－1)，則c的值為()A.eq\f(3,2)B．2C．1D.eq\f(1,2)2．[2022·湖北漢陽一中模擬]已知隨機變量ξ～B(12，P)，且E(2ξ－3)＝5，則D(3ξ)＝()A.eq\f(8,3)B．8C．22D．243．[2022·山東濰坊模擬]接種疫苗是預防和控制傳染病最經(jīng)濟、有效的公共衛(wèi)生干預措施．根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，人在接種某種病毒疫苗后，有80%不會感染這種病毒，若有4人接種了這種疫苗，則最多1人被感染的概率為()A.eq\f(512,625)B.eq\f(256,625)C.eq\f(113,625)D.eq\f(1,625)4．[2022·福建上杭一中月考]《乘風破浪的姐姐》是一檔深受觀眾喜愛的電視節(jié)目，節(jié)目采用組團比賽的方式進行，參賽選手需要全部參加完五場公開比賽，其中五場中有四場獲勝，就能取得參加決賽的資格．若某參賽選手每場比賽獲勝的概率是eq\f(2,3)，則這名選手能參加決賽的概率是()A.eq\f(80,243)B.eq\f(16,243)C.eq\f(76,243)D.eq\f(112,243)5．[2021·新高考Ⅱ卷]某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，σ2))，下列結(jié)論中不正確的是()A．σ越小，該物理量在一次測量中在(9.9,10.1)的概率越大B．σ越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C．σ越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．σ越小，該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等6．[2022·山東煙臺模擬]袋中裝有標號分別為1,2,3,4,5,6的六個相同小球，現(xiàn)有一款摸球游戲，從袋中一次性摸出三個小球，記下號碼并放回，如果三個號碼的和是3的倍數(shù)，則獲獎，若有4人參與摸球游戲，則恰好2人獲獎的概率是()A.eq\f(36,625)B.eq\f(128,628)C.eq\f(216,625)D.eq\f(336,625)7．已知在10件產(chǎn)品中可能存在次品，從中抽取2件檢查，其中次品數(shù)為ξ，已知P(ξ＝1)＝eq\f(16,45)，且該產(chǎn)品的次品率不超過40%，則這10件產(chǎn)品的次品率為()A．10%B．20%C．30%D．40%8．[2022·湖北襄陽模擬]已知離散型隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3，且P(X≥1)＝eq\f(2,3)，P(X＝3)＝eq\f(1,6)，若X的數(shù)學期望E(X)＝eq\f(5,4)，則D(4X－3)＝()A．19B．16C.eq\f(19,4)D.eq\f(7,4)二、多項選擇題9．[2021·新高考Ⅰ卷]有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1,2，…，n)，c為非零常數(shù)，則()A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同10．[2022·山東濟寧一中月考]某學校舉行防溺水知識競賽，共設(shè)置了5道題，每道題答對得20分，答錯扣10分(每道題都必須回答，但互不影響)．設(shè)某選手每道題答對的概率均為eq\f(2,3)，設(shè)總得分為X，則()A．該選手恰好答對2道題的概率為eq\f(4,9)B．E(X)＝50C．D(X)＝eq\f(100,3)D．P(X>60)＝eq\f(112,243)11．[2022·遼寧鳳城一中月考]已知隨機變量ξ的分布列如下表所示，則()ξ012Pb－abaA.E(ξ)有最小值eq\f(1,2)B．E(ξ)沒有最值C．D(ξ)有最小值0D．D(ξ)有最大值eq\f(1,2)12．[2022·河北唐縣一中月考]下列說法正確的是()A．某投擲類游戲闖關(guān)規(guī)則是游戲者最多投擲5次，只要有一次投中，游戲者即闖關(guān)成功，并停止投擲，已知每次投中的概率為eq\f(1,2)，則游戲者闖關(guān)成功的概率為eq\f(31,32)B．從10名男生、5名女生中選取4人，則其中至少有一名女生的概率為eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(3,14),C\o\al(4,15))C．已知隨機變量X的分布列為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝i))＝eq\f(a,ii＋1)(i＝1,2,3)，則P(X＝2)＝eq\f(2,9)D．若隨機變量η～N(2，σ2)，且δ＝3η＋1，則P(η＜2)＝0.5，E(δ)＝6三、填空題13．[2022·湖南師大附中月考]設(shè)隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))k，k＝1,2,3，則a的值為________．14．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(10，σ2)，若P(X<8)＝0.23，則P(X<12)＝________.15．[2022·河北滄州模擬]三分損益法是古代中國發(fā)明制定音律時所用的生律法．三分損益包含“三分損一”“三分益一”兩層含義，三分損一是指將原有長度作3等分而減去其1份，即原有長度×eq\f(3－1,3)＝生得長度；而三分益一則是指將原有長度作3等分而增添其1份，即原有長度×eq\f(3＋1,3)＝生得長度，兩種方法可以交替運用、連續(xù)運用，各音律就得以輾轉(zhuǎn)相生，假設(shè)能發(fā)出第一個基準音的樂器的長度為243，每次損益的概率為eq\f(1,2)，則經(jīng)過5次三分損益得到的樂器的長度為128的概率為________．16．已知A袋內(nèi)有大小相同的1個紅球和3個白球，B袋內(nèi)有大小相同的1個紅球和2個白球．現(xiàn)從A、B兩個袋內(nèi)各任取2個球，則恰好有1個紅球的概率為________．記取出的4個球中紅球的個數(shù)為隨機變量X，則X的數(shù)學期望為________．四、解答題17．[2021·新高考Ⅰ卷]某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結(jié)束：若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結(jié)束．A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分：B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；(2)為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．18．[2022·遼寧沈陽模擬]2021年某省開始的“3＋1＋2”模式新高考方案中，對化學、生物、地理和政治等四門選考科目，制定了計算轉(zhuǎn)換分T(即記入高考總分的分數(shù))的“等級轉(zhuǎn)換賦分規(guī)則”(詳見附1和附2)，具體的轉(zhuǎn)換步驟為：①原始分Y等級轉(zhuǎn)換；②原始分等級內(nèi)等比例轉(zhuǎn)換賦分．某校的一次年級模擬考試中，政治、化學兩選考科目的原始分分布如下表：等級ABCDE比例約15%約35%約35%約13%約2%政治學科各等級對應(yīng)的原始分區(qū)間[81,98][72,80][66,71][63,65][60,62]化學學科各等級對應(yīng)的原始分區(qū)間[90,100][80,89][69,79][66,68][63,65]現(xiàn)從政治、化學兩學科中分別隨機抽取了20個原始分成績數(shù)據(jù)如下：政治化學個位數(shù)十位數(shù)個位數(shù)98766540647998654210701234579986281346949358(1)該校的甲同學選考政治學科，其原始分為86分，乙同學選考化學學科，其原始分為93分．基于高考實測的轉(zhuǎn)換賦分模擬，試分別計算甲乙同學的轉(zhuǎn)換分，并從公平性的角度談?wù)勀銓π赂呖歼@種“等級轉(zhuǎn)換賦分法”的看法．(2)若從該?；瘜W學科等級為A、B的學生中，隨機抽取3人，設(shè)這3人轉(zhuǎn)換分不低于90分的有ξ人，求ξ的分布列和數(shù)學期望．附1：等級轉(zhuǎn)換的等級人數(shù)占比與各等級的轉(zhuǎn)換分賦分區(qū)間．等級ABCDE原始分從高到低排序的等級人數(shù)占比約15%約35%約35%約13%約2%轉(zhuǎn)換分T的賦分區(qū)間[86,100][71,85][56,70][41,55][30,40]附2：計算轉(zhuǎn)換分T的等比例轉(zhuǎn)換賦分公式：eq\f(Y2－Y,Y－Y1)＝eq\f(T2－T,T－T1)(其中：Y1，Y2，分別表示原始分Y對應(yīng)等級的原始分區(qū)間下限和上限；T1，T2分別表示原始分對應(yīng)等級的轉(zhuǎn)換分賦分區(qū)間下限和上限．T的計算結(jié)果按四舍五入取整)考點過關(guān)檢測43__統(tǒng)計與統(tǒng)計案例一、單項選擇題1．[2022·山東濰坊模擬]某學校參加志愿服務(wù)社團的學生中，高一年級有50人，高二年級有30人，高三年級有20人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從這100名學生中抽取學生組成一個活動小組，已知從高二年級的學生中抽取了6人，則從高三年級的學生中應(yīng)抽取的人數(shù)為()A．2B．3C．4D．52．[2022·河北張家口模擬]某中學春季運動會上，12位參加跳高半決賽同學的成績各不相同，按成績從高到低取前6位進入決賽，如果小明知道了自己的成績后，則他可根據(jù)其他11位同學成績的哪個數(shù)據(jù)判斷自己能否進入決賽()A．中位數(shù)B．平均數(shù)C．極差D．方差3．[2022·湖南衡陽模擬]衡陽市某省示范性高中為調(diào)查該校高一年級學生們的體育鍛煉情況，通過隨機抽樣抽取100名學生，統(tǒng)計其一周的體育鍛煉次數(shù)，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如圖所示．則此100人一周的人均體育鍛煉次數(shù)為()A．3.9B．4.5C．5.1D．5.54．[2022·福建廈門外國語學校月考]如圖①、②分別是甲、乙兩戶居民家庭全年各項支出的統(tǒng)計圖．根據(jù)統(tǒng)計圖，下列對兩戶教育支出占全年總支出的百分比作出的判斷中，正確的是()A．甲戶比乙戶大B．乙戶比甲戶大C．甲、乙兩戶一般大D．無法確定哪一戶大5．2021年7月，中國青年報社社會調(diào)查中心通過問卷網(wǎng)，對2047名14～35歲青少年進行的專項調(diào)查顯示，對于神舟十二號航天員乘組出征太空，98.9%的受訪青少年都表示了關(guān)注．針對兩個問題“關(guān)于此次神舟十二號飛行乘組出征太空，你有什么感受(問題1)”和“青少年最關(guān)注哪些方面(問題2)”，問卷網(wǎng)統(tǒng)計了這2047名青少年回答的情況，得到如圖所示的兩個統(tǒng)計圖，據(jù)此可得到的正確結(jié)論為()A．對于神舟十二號太空之旅，只有極少的受訪青少年關(guān)注航天員是怎樣選的B．對于神舟十二號飛行乘組出征太空，超過七成的受訪青少年認為開啟空間站新時代，“中國速度”令人矚目C．對于神舟十二號太空之旅，青少年關(guān)注最多的是航天員在太空的工作和生活D．對于神舟十二號飛行乘組出征太空，超過八成的受訪青少年充分感受到我國載人航天事業(yè)取得大發(fā)展、大進步6．[2022·山東萊蕪一中月考]已知變量x，y之間的一組數(shù)據(jù)如下表：x12345y3.47.59.113.8m若y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝3x＋1，則m的值為()A．16B．16.2C．16.4D．16.67．[2022·江蘇鹽城模擬]某詞匯研究機構(gòu)為對某城市人們使用流行語的情況進行調(diào)查，隨機抽取了200人進行調(diào)查統(tǒng)計得下方的2×2列聯(lián)表．則根據(jù)列聯(lián)表可知()年輕人非年輕人總計經(jīng)常用流行語12525150不常用流行用語351550總計16040200參考公式：獨立性檢驗統(tǒng)計量χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.下面的臨界值表供參考：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A.有95%的把握認為“經(jīng)常用流行用語”與“年輕人”有關(guān)系B．沒有95%的把握認為“經(jīng)常用流行用語”與“年輕人”有關(guān)系C．有99%的把握認為“經(jīng)常用流行用語”與“年輕人”有關(guān)系D．有99%的把握認為“經(jīng)常用流行用語”與“年輕人”沒有關(guān)系8．[2022·湖北武昌模擬]甲、乙、丙、丁四位同學組成的數(shù)學學習小組進行了一次小組競賽，共測試了5道題，每位同學各題得分情況如下表：題目學生第1題第2題第3題第4題第5題甲101010200乙101051510丙1010151510丁010102020下列說法正確的是()A．甲的平均得分比丙的平均得分高B．乙的得分極差比丁的得分極差大C．對于這4位同學，因為第4題的平均得分比第2題的平均得分高，所以第4題相關(guān)知識一定比第2題相關(guān)知識掌握好D．對于這4位同學，第3題得分的方差比第5題得分的方差小二、多項選擇題9．[2022·山東省月考]下列說法正確的是()A．離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的B．利用頻率分布直方圖計算的樣本數(shù)字特征是樣本數(shù)字特征的估計值C．兩個相關(guān)變量的相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)越接近于1D．在回歸分析模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好10．[2022·湖北黃岡中學月考]為了增強學生的身體素質(zhì)，提高適應(yīng)自然環(huán)境、克服困難的能力，某校在課外活動中新增了一項登山活動，并對“學生喜歡登山和性別是否有關(guān)”做了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，得到如圖所示的等高條形統(tǒng)計圖，則下列說法中正確的有()附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.xα3.8416.635α0.050.01A.被調(diào)查的學生中喜歡登山的男生人數(shù)比喜歡登山的女生人數(shù)多B．被調(diào)查的女生中喜歡登山的人數(shù)比不喜歡登山的人數(shù)多C．若被調(diào)查的男女生均為100人，則有99%的把握認為喜歡登山和性別有關(guān)D．無論被調(diào)查的男女生人數(shù)為多少，都有99%的把握認為喜歡登山和性別有關(guān)11．[2022·廣東惠州模擬]某種產(chǎn)品的價格x(單位：元/kg)與需求量y(單位：kg)之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：x1015202530y1110865根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋14.4，則以下結(jié)論正確的是()A．y與x正相關(guān)B．y與x負相關(guān)C．樣本中心為(20,8)D．該產(chǎn)品價格為35元/kg時，日需求量大約為3.4kg12．[2022·重慶九龍坡模擬]創(chuàng)新，是一個民族進步的靈魂，是一個國家興旺發(fā)達的不竭源泉．為支持“中小企業(yè)”創(chuàng)新發(fā)展，國家決定對部分創(chuàng)新型企業(yè)的稅收進行適當減免，現(xiàn)在全國調(diào)查了100家中小企業(yè)年收入情況，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本的頻率分布直方圖，則下面結(jié)論正確的是()A．年收入在[500,600)萬元的中小企業(yè)約有16家B．樣本的中位數(shù)大于400萬元C．估計當?shù)刂行⌒推髽I(yè)年收入的平均數(shù)為376萬元D．樣本在區(qū)間[500,700]內(nèi)的頻數(shù)為18三、填空題13．[2022·河北保定模擬]已知一組數(shù)據(jù)－3,2a,4,5－a,1,9的平均數(shù)為3(其中a∈R)，則中位數(shù)為________．14．從某小區(qū)抽取100戶居民進行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50到350度之間，頻率分布直方圖如下圖所示，直方圖中的x值為________．15．[2022·福建莆田模擬]2021年受疫情影響，國家鼓勵員工在工作地過年．某機構(gòu)統(tǒng)計了某市5個地區(qū)的外來務(wù)工人員數(shù)與他們選擇留在當?shù)剡^年的人數(shù)占比，得到如下的表格：A區(qū)B區(qū)C區(qū)D區(qū)E區(qū)外來務(wù)工人員數(shù)50004000350030002500留在當?shù)氐娜藬?shù)占比80%90%80%80%84%根據(jù)這5個地區(qū)的數(shù)據(jù)求得留在當?shù)剡^年人員數(shù)y與外來務(wù)工人員數(shù)x的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8135x＋eq\o(a,\s\up6(^)).該市對外來務(wù)工人員選擇留在當?shù)剡^年的每人補貼1000元，該市F區(qū)有10000名外來務(wù)工人員，根據(jù)經(jīng)驗回歸方程估計F區(qū)需要給外來務(wù)工人員中留在當?shù)剡^年的人員的補貼總額為________萬元．(參考數(shù)據(jù)：取0.8135×36＝29.29)16．我國探月工程嫦娥五號探測器于2020年12月1日23時11分降落在月球表面預選著陸區(qū)，在順利完成月面自動采樣之后，成功將攜帶樣品的上升器送入到預定環(huán)月軌道，這是我國首次實現(xiàn)月球無人采樣和地外天體起飛，對我國航天事業(yè)具有重大而深遠的影響，為進一步培養(yǎng)中學生對航空航天的興趣愛好，某學校航空航天社團在本校高一年級進行了納新工作，前五天的報名情況為：第1天3人，第2天6人，第3天10人，第4天13人，第5天18人，通過數(shù)據(jù)分析已知，報名人數(shù)與報名時間具有線性相關(guān)關(guān)系．已知第x天的報名人數(shù)為y，則y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為________，該社團為了解中學生對航空航天的興趣愛好和性別是否有關(guān)系，隨機調(diào)查了100名學生，并得到如下2×2列聯(lián)表：有興趣無興趣合計男生45550女生302050合計7525100請根據(jù)上面的列聯(lián)表，在概率不超過0.001的條件下認為“中學生對航空航天的興趣愛好和性別________(填“有”或”無”)關(guān)系．參考公式及數(shù)據(jù)：回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中斜率的最小二乘估計公式為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))·\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))；χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828四、解答題17．[2022·湖北十堰模擬]某公司為了解服務(wù)質(zhì)量，隨機調(diào)查了100位男性顧客和100位女性顧客，每位顧客對該公司的服務(wù)質(zhì)量進行打分．已知這200位顧客所打分數(shù)均在[25,100]之間，根據(jù)這些數(shù)據(jù)得到如下的頻數(shù)分布表：顧客所打分數(shù)[25,40)[40,55)[55,70)[70,85)[85,100]男性顧客人數(shù)46103050女性顧客人數(shù)610244020(1)求這200位顧客所打分數(shù)的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；(2)若顧客所打分數(shù)不低于70分，則該顧客對公司服務(wù)質(zhì)量的態(tài)度為滿意；若顧客所打分數(shù)低于70分，則該顧客對公司服務(wù)質(zhì)量的態(tài)度為不滿意，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下列2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為顧客對公司服務(wù)質(zhì)量的態(tài)度與性別有關(guān)？滿意不滿意男性顧客女性顧客附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.82818．[2022·山東濟寧一中月考]某公司對某產(chǎn)品作市場調(diào)研，獲得了該產(chǎn)品的定價x(單位：萬元/噸)和一天銷售量y(單位：噸)的一組數(shù)據(jù)，制作了如下的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表，并作出了散點圖．eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))eq\o(z,\s\up6(－))eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)eq\i\su(i＝1,10,z)eq\o\al(2,i)eq\i\su(i＝1,10,x)iyieq\i\su(i＝1,10,z)iyi0.331030.16410068350表中z＝eq\f(1,x)，eq\r(0.2)≈0.45，eq\r(4.8)≈2.19.(1)根據(jù)散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋k·x－1哪一個更適合作為y關(guān)于x的回歸方程；(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果，試建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)若生產(chǎn)1噸該產(chǎn)品的成本為0.20萬元，依據(jù)(2)的回歸方程，預計定價為多少時，該產(chǎn)品一天的利潤最大，并求此時的月利潤．(每月按30天計算，計算結(jié)果保留兩位小數(shù))(參考公式：回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)))考點過關(guān)檢測44__概率與統(tǒng)計的綜合(1)1．[2022·遼寧朝陽模擬]中國探月工程自2004年立項以來，聚焦“自主創(chuàng)新、重點跨越、支撐發(fā)展、引領(lǐng)未來”的目標，創(chuàng)造了許多項中國首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶“月壤”著陸地球，又首次實現(xiàn)了我國地外天體無人采樣返回．為了了解某中學高三學生對此新聞事件的關(guān)注程度，從該校高三學生中隨機抽取了100名學生進行調(diào)查，調(diào)查樣本中有40名女生．如圖是根據(jù)樣本的調(diào)查結(jié)果繪制的等高條形圖(陰影區(qū)域表示關(guān)注“嫦娥五號”的部分)．關(guān)注沒關(guān)注合計男女合計附：α0.100.050.010.005xα2.7063.8416.6357.879χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.(1)完成上面的2×2列聯(lián)表，并計算回答是否有95%的把握認為“對‘嫦娥五號’關(guān)注程度與性別有關(guān)”？(2)若將頻率視為概率，現(xiàn)從該中學高三的女生中隨機抽取3人．記被抽取的3名女生中對“嫦娥五號”新聞關(guān)注的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列及數(shù)學期望．2．[2022·山東歷城二中月考]某地政府為解除空巢老年人缺少日常護理和社會照料的困境，大力培育和發(fā)展養(yǎng)老護理服務(wù)市場．從2016年開始新建社區(qū)養(yǎng)老機構(gòu)，下表是該地近五年新建社區(qū)養(yǎng)老機構(gòu)數(shù)量對照表：年份20162017201820192020年份代碼(x)12345新建社區(qū)養(yǎng)老機構(gòu)(y)1215202528(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)可知，y與x之間存在線性相關(guān)關(guān)系，用最小二乘法求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)若該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人，他們的年齡X近似服從正態(tài)分布N(70,9)，其中年齡X∈(76,79]的有321人，試估計該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人有多少人？參考公式：經(jīng)驗回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).參考數(shù)據(jù)：P(μ－2σ≤x≤μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ≤x≤μ＋3σ)＝0.9973.3．[2022·河北邢臺模擬]北京冬季奧運會將于2022年2月4日至2022年2月20日在中華人民共和國北京市和河北省張家口市聯(lián)合舉行．這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運會，北京、張家口同為主辦城市，也是中國繼北京奧運會、南京青奧會之后第三次舉辦奧運賽事．北京冬奧組委對報名參加北京冬奧會志愿者的人員開展冬奧會志愿者的培訓活動，并在培訓結(jié)束后進行了一次考核．為了解本次培訓活動的效果，從中隨機抽取80名志愿者的考核成績，根據(jù)這80名志愿者的考核成績得到的統(tǒng)計圖表如下所示．女志愿者考核成績頻率分布表分組頻數(shù)頻率[75,80)20.050[80,85)130.325[85,90)180.450[90,95)am[95,100]b0.075男志愿者考核成績頻率分布直方圖若參加這次考核的志愿者考核成績在[90,100]內(nèi)，則考核等級為優(yōu)秀．(1)分別求這次培訓考核等級為優(yōu)秀的男、女志愿者人數(shù)；(2)若從樣本中考核等級為優(yōu)秀的志愿者中隨機抽取3人進行學習心得分享，記抽到女志愿者的人數(shù)為X，求X的分布列及期望．4．[2022·廣東湛江模擬]某單位有員工50000人，一保險公司針對該單位推出一款意外險產(chǎn)品，每年每位職工只需要交少量保費，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金．保險公司把該單位的所有崗位分為A，B，C三類工種，從事三類工種的人數(shù)分布比例如餅圖所示，且這三類工種每年的賠付概率如下表所示：工種類別ABC賠付概率eq\f(1,105)eq\f(2,105)eq\f(1,104)對于A，B，C三類工種，職工每人每年保費分別為a元、a元、b元，出險后的賠償金額分別為100萬元、100萬元、50萬元，保險公司在開展此項業(yè)務(wù)過程中的固定支出為每年20萬元．(1)若保險公司要求每年收益的期望不低于保費的15%，證明：153a＋17b≥4200.(2)現(xiàn)有如下兩個方案供單位選擇：方案一：單位不與保險公司合作，職工不交保險，出意外后單位自行拿出與保險公司提供的等額賠償金賠付給出意外的職工，單位開展這項工作的固定支出為每年35萬元；方案二：單位與保險公司合作，a＝35，b＝60，單位負責職工保費的80%，職工個人負責20%，出險后賠償金由保險公司賠付，單位無額外專項開支．根據(jù)該單位總支出的差異給出選擇合適方案的建議．考點過關(guān)檢測45__概率與統(tǒng)計的綜合(2)1．[2022·福建三明模擬]為促進物資流通，改善出行條件，駐某縣扶貧工作組引入資金新建了一條從該縣到市區(qū)的快速道路．該縣脫貧后，工作組為了解該快速道路的交通通行狀況，調(diào)查了行經(jīng)該道路的各種類別的機動車共1000輛，對行車速度進行統(tǒng)計后，得到如圖所示的頻率分布直方圖：(1)試根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本中的這1000輛機動車的平均車速(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替)；(2)設(shè)該公路上機動車的行車速度v服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分別取自該調(diào)查樣本中機動車的平均車速和車速的方差s2(經(jīng)計算s2＝210.25)．①請估計該公路上10000輛機動車中車速不低于85千米/時的車輛數(shù)(精確到個位)：②現(xiàn)從經(jīng)過該公路的機動車中隨機抽取10輛，設(shè)車速低于85千米/時的車輛數(shù)為X，求X的數(shù)學期望．附注：若ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0.9973.參考數(shù)據(jù)：14.52＝210.25.2．[2022·湖南師大附中月考]今年五月，某醫(yī)院健康管理中心為了調(diào)查成年人體內(nèi)某種自身免疫力指標，從在本院體檢的人群中隨機抽取了100人，按其免疫力指標分成如下五組：(10,20]，(20,30]，(30,40]，(40,50]，(50,60]，其頻率分布直方圖如圖1所示．今年六月，某醫(yī)藥研究所研發(fā)了一種疫苗，對提高該免疫力有顯著效果．經(jīng)臨床檢測，將自身免疫力指標比較低的成年人分為五組，各組分別按不同劑量注射疫苗后，其免疫力指標y與疫苗注射量x個單位具有相關(guān)關(guān)系，樣本數(shù)據(jù)的散點圖如圖2所示．(1)健管中心從自身免疫力指標在(40,60]內(nèi)的樣本中隨機抽取3人調(diào)查其飲食習慣，記X表示這3人中免疫力指標在(40,50]內(nèi)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；(2)由于大劑量注射疫苗會對身體產(chǎn)生一定的副作用，醫(yī)學部門設(shè)定：自身免疫力指標較低的成年人注射疫苗后，其免疫力指標不應(yīng)超過普通成年人群自身免疫力指標平均值的3倍．以健管中心抽取的100人作為普通人群的樣本，據(jù)此估計疫苗注射量不應(yīng)超過多少個單位．附：對于一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估計值分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xi－\o(x,\s\up6(－))))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).3．[2022·福建寧化一中月考]學生視力不良問題突出，是教育部發(fā)布的我國首份《中國義務(wù)教育質(zhì)量監(jiān)測報告》中指出的眾多現(xiàn)狀之一．習近平總書記作出重要指示，要求全社會都要行動起來，共同呵護好孩子的眼睛，讓他們擁有一個光明的未來．為了落實總書記指示，掌握基層情況，某單位調(diào)查了某校學生的視力情況，隨機抽取了該校100名學生(男生50人，女生50人)，統(tǒng)計了他們的視力情況，結(jié)果如下：不近視近視男生2525女生2030(1)是否有90%的把握認為近視與性別有關(guān)？(2)如果用這100名學生中男生和女生近視的頻率分別代替該校男生和女生近視的概率，且每名學生是否近視相互獨立.現(xiàn)從該校學生中隨機抽取男、女同學各2名，設(shè)隨機變量X表示抽取的4人中近視的人數(shù)，試求X的分布列及數(shù)學期望E(X)．α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.4．[2022·北京通州模擬]某蔬菜批發(fā)商分別在甲、乙兩個市場銷售某種蔬菜(兩個市場的銷售互不影響)，已知該蔬菜每售出1噸獲利500元，未售出的蔬菜降價處理，每噸虧損100元．現(xiàn)分別統(tǒng)計該蔬菜在甲、乙兩個市場以往100個周期的市場需求量，制成頻數(shù)分布條形圖如下：以市場需求量的頻率代替需求量的概率．設(shè)批發(fā)商在下個銷售周期購進n噸該蔬菜，在甲、乙兩個市場同時銷售，以X(單位：噸)表示下個銷售周期兩個市場的總需求量，T(單位：元)表示下個銷售周期兩個市場的銷售總利潤．(1)求變量X概率分布列；(2)當n＝19時，求T與X的函數(shù)解析式，并估計銷售利潤不少于8900元的概率；(3)以銷售利潤的期望作為決策的依據(jù)，判斷n＝17與n＝18應(yīng)選用哪一個．第一部分考點過關(guān)檢測考點過關(guān)檢測1集合與常用邏輯用語1．答案：B解析：由題設(shè)有A∩B＝{2,3}，故選B.2．答案：A解析：根據(jù)全稱量詞命題與存在量詞命題的否定可知：綈p：?a∈N，?b∈N，a≤b.3．答案：B解析：∵A＝{x|－1<x≤1}，B＝{y|y＝x－1，x∈A}＝{y|－2<y≤0}，?RB＝(－∞，－2]∪(0，＋∞)．4．答案：C解析：因為集合P代表的是函數(shù)的定義域，Q代表函數(shù)的值域，P＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y≥0}．所以P?Q.5．答案：D解析：設(shè)集合A＝{－1,0,1,4,5}，C＝{x∈R|0＜x＜2}，則A∩C＝{1}，∵B＝{2,3,4}，∴(A∩C)∪B＝{1}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}．6．答案：D解析：由x2－6x－16<0?A＝(－2,8)，B＝(－∞，2]，∴A∩B＝(－2,2]．7．答案：B解析：由|x－1|＜2解得：－2＋1＜x＜2＋1，即－1＜x＜3.由x(x－3)＜0，解得0＜x＜3.“|x－1|＜2成立”是“x(x－3)＜0成立”的必要不充分條件．8．答案：D解析：因為A＝{x|0<x<1}，B＝{x|x>3}，故集合A，B不存在包含關(guān)系，故A，B選項錯誤；對于C選項，A∪B＝(0,1)∪(3，＋∞)≠R，故錯誤；對于D選項，A∩(?RB)＝{x|0<x<1}∩{x|x≤3}＝{x|0<x<1}＝A，故D選項正確．9．答案：A解析：一方面，若a＋b＋c＝0，a>b>c，則a>0，c<0.∴b2－4ac>0，∴函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c有兩個零點，∴“a>b>c”是“函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c有兩個零點”的充分條件．另一方面，若a＝－1，b＝0，c＝1，則函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c有兩個零點，但不滿足a>b>c，即“a>b>c”不是“函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c有兩個零點”的必要條件．10．答案：C解析：對于A，當b＝0時，eq\f(a,b)不存在，A錯；對于B，充分性：因為a>b，當a＝1，b＝－1時，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)不成立，充分性不成立．B不對；對于C，根據(jù)存在量詞命題的否定的定義知C對；對于D，充分性：若a>2，b>2，由不等式的性質(zhì)可得ab>4，充分性成立．必要性：若ab>4，取a＝b＝－3，則“a>2，b>2”不成立，必要性不成立．故“a>2，b>2”是“ab>4”的充分條件，不是必要條件，D錯．11．答案：ABC解析：A＝{x∈R|－3<x<6}，若A＝B，則a＝－3，且a2－27＝－18，故A正確．a(chǎn)＝－3時，A＝B，故D不正確．若A?B，則(－3)2＋a·(－3)＋a2－27≤0且62＋6a＋a2－27≤0，解得a＝－3，故B正確．當B＝?時，a2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－27))≤0，解得a≤－6或a≥6，故C正確．12．答案：BC解析：因為“m>2”是“m>3”的必要不充分條件，所以A錯誤；因為log2a＋log2c＝2log2b?ac＝b2(a，b，c均大于0)，所以“l(fā)og2a＋log2c＝2log2b”是“a，b，c成等比數(shù)列”的充分不必要條件，所以B正確；冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(1,1)，反之不成立，比如：y＝2x－1，所以C正確；若直線l1與l2平行，則直線l1與l2的傾斜角相等；若直線l1與l2的傾斜角相等，則直線l1與l2平行或重合，所以D錯誤．13．答案：5解析：集合A∪B＝{1,2,3,4,5}中有5個元素．14．答案：a>b解析：冪函數(shù)y＝x3在R上是增函數(shù)，所以由a3>b3可得a>b，反之亦成立．所以a3>b3是a>b的充要條件．15．答案：(－3,0]解析：此題等價于全稱量詞命題“?x∈R,4mx2＋4mx－3＜0成立”是真命題．①當m＝0時，原不等式化為“－3＜0”，?x∈R顯然成立；②當m≠0時，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,m2＋3m<0，))解得－3＜m＜0.綜合①②得－3＜m≤0.16.答案：[－2，－1]解析：A＝{x|x2－2x－8>0}＝{x|(x－4)(x＋2)>0}＝{x|x<－2或x>4}，因為B＝{x|x≤a或x≥a＋5}，所以?RB＝{x|a<x<a＋5}，若A∩(?RB)＝?，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－2,a＋5≤4))，解得－2≤a≤－1.所以a的取值范圍是[－2，－1]．考點過關(guān)檢測2不等式的性質(zhì)與基本不等式1．答案：B解析：當c＞0時，ac＞bc，當c＝0時，ac＝bc，當c＜0時，ac＜bc，排除A；由a＞b得a3＞b3，B正確；當a＞b≥0時，a2＞b2，當0≥a＞b時，a2＜b2，排除C；當a＞b，ab＜0時，有eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，排除D，故選B.2．答案：D解析：p－q＝a2－4a＋5－(a－2)2＝1＞0，所以p＞q，故選D.3．答案：B解析：對于A，當c<0時，若ac<bc，則a>b，故選項A錯誤；對于B，若a>b，c<0，則ac<bc，故選項B正確；對于C，當a＝2，b＝－3時，滿足a2<b2，但是a>b，故選項C錯誤；對于D，若eq\r(a)<eq\r(b)，則0<a<b，選項D錯誤．4．答案：C解析：對于A，當x<0時，y＝x＋eq\f(4,x)<0，故A項不符合題意．對于B，當0<x<π時，0<sinx≤1，所以y＝sinx＋eq\f(4,sinx)≥5.故B項不符合題意．對于C，由于ex>0，所以根據(jù)基本不等式可以得出y＝ex＋4e－x≥2eq\r(ex·4e－x)＝4，當且僅當ex＝2時取得最小值4，故C項符合題意．對于D，由于eq\r(x2＋1)>0，所以根據(jù)基本不等式可以得出y＝eq\r(x2＋1)＋eq\f(2,\r(x2＋1))≥2eq\r(2)，當且僅當x2＝±1時取得最小值2eq\r(2)，故D項不符合題意．5．答案：D解析：對于A，當c＝0時，ac2＝bc2，所以不是真命題；對于B，當a＝0，b＝－2時，a>b，但a2<b2，所以不是真命題；對于C，當a＝－4，b＝－1時，a<b<0，a2>ab>b2，所以不是真命題；對于D，若a<b<0，則eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，所以是真命題．6．答案：A解析：因為x>0，y>0，x＋y＝1，所以xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2＝eq\f(1,4)，當且僅當x＝y(tǒng)＝eq\f(1,2)時取等號，則eq\f(1,xy)≥4，即最小值為4.7．答案：D解析：由a>0，b>0，可得eq\f(3ab,a＋4b)＝eq\f(3,\f(a＋4b,ab))＝eq\f(3,\f(4,a)＋\f(1,b))，又由a＋b＝1，可得eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(1,b)))＝5＋eq\f(4b,a)＋eq\f(a,b)≥5＋2eq\r(\f(4b,a)×\f(a,b))＝9，當且僅當eq\f(4b,a)＝eq\f(a,b)時，即a＝eq\f(2,3)，b＝eq\f(1,3)時，等號成立，所以eq\f(3,\f(4,a)＋\f(1,b))≤eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)，即eq\f(3ab,a＋4b)的最大值為eq\f(1,3).8．答案：D解析：x＋2y＝(x＋2y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝4＋eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)≥4＋2eq\r(4)＝8.所以x＋2y＞m恒成立，只需(x＋2y)min＞m.所以m＜8.9．答案：AC解析：由于0＜a＜b＜c，lna＜lnb，故A正確；由于0＜a＜b＜c，所以b2－a2＝(a＋b)(b－a)＞0，故B錯誤；eq\f(1,c－a)－eq\f(1,c－b)＝eq\f(c－b－c－a,c－ac－b)＝eq\f(a－b,c－ac－b)<0，故C正確；由于0＜a＜b＜c，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b，故D錯誤．10．答案：AC解析：x2＋eq\f(1,x2)≥2eq\r(x2·\f(1,x2))＝2，當且僅當x2＝1時等號成立，故A正確；eq\r(x2＋3)＋eq\f(1,\r(x2＋3))≥2eq\r(\r(x2＋3)·\f(1,\r(x2＋3)))＝2，當且僅當eq\r(x2＋3)＝1時等號成立，但eq\r(x2＋3)≥eq\r(3)≠1，故B錯誤；eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(1,b2)))(a2＋2b2)＝3＋eq\f(2b2,a2)＋eq\f(a2,b2)≥3＋2eq\r(2)，當且僅當a2＝eq\r(2)－1，b2＝eq\f(2－\r(2),2)時等號成立，故C正確；當a＞0，b＞0，a＋b＝1時，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝2＋eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥4，但a＋b＝1，不一定a＞0，b＞0，故D錯誤．11．答案：BD解析：對于A，當c＝0時，不等式顯然不成立，故A錯誤；對于B，∵a>b且a＋b＝2，∴a>1且b<1，∴a－1>0且b－1<0，∴eq\f(1,a－1)>eq\f(1,b－1)，故B正確；對于C，∵eq\f(a2＋b2,2)＝eq\f(a2＋b2＋a2＋b2,4)≥eq\f(a2＋b2＋2ab,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝1，∴a2＋b2≥2，當且僅當a＝b＝1時等號成立，故C錯誤；對于D，∵a＋b＝2，∴eq\f(a,2)＋eq\f(b,2)＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＋\f(b,2)))＝eq\f(a,2b)＋eq\f(b,2a)＋1≥2eq\r(\f(a,2b)·\f(b,2a))＋1＝2，當且僅當a＝b＝1時等號成立，故D正確．12．答案：BCD解析：因為x>0，y>0，且2x＋y＝1，所以eq\f(x＋1,xy)＝eq\f(x＋2x＋y,xy)＝eq\f(3,y)＋eq\f(1,x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,y)＋\f(1,x)))(2x＋y)＝eq\f(6x,y)＋eq\f(y,x)＋5≥2eq\r(\f(6x,y)·\f(y,x))＋5＝2eq\r(6)＋5，當且僅當eq\f(6x,y)＝eq\f(y,x)，即y＝eq\r(6)x時取等號.5＋2eq\r(6)≈9.9，所以可能取值10、11、12.13．答案：ba－b2<a2－ab解析：依題意，因a≠b，則ba－b2－(a2－ab)＝－(a2－2ab＋b2)＝－(a－b)2<0，所以ba－b2<a2－ab.14．答案：5＋2eq\r(6)解析：由題意，eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)＝1，且a>0，b>0，故a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(3,b)))＝5＋eq\f(2b,a)＋eq\f(3a,b)≥5＋2eq\r(\f(2b,a)×\f(3a,b))＝5＋2eq\r(6)，當且僅當eq\f(2b,a)＝eq\f(3a,b)，即a＝eq\r(6)＋2，b＝eq\r(6)＋3時等號成立．15．答案：32π解析：設(shè)矩形的長與寬分別為a，b，則2a＋2b＝16，即a＋b＝8，所以8≥2eq\r(ab)，當且僅當a＝b＝4時取等號，所以ab≤16，則旋轉(zhuǎn)形成的圓柱的側(cè)面積為π·2ab≤2π×16＝32π.所以矩形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周形成的圓柱的側(cè)面積最大值為32π.16．答案：eq\r(6)－eq\r(3)eq\r(6)解析：由xy2(x＋6y)＝1，可得x(x＋6y)＝eq\f(1,y2)，故(x＋3y)2＝x2＋6xy＋9y2＝x(x＋6y)＋9y2＝eq\f(1,y2)＋9y2≥2eq\r(\f(1,y2)×9y2)＝6，當且僅當eq\f(1,y2)＝9y2即y＝eq\f(\r(3),3)時，等號成立．此時x＋3y取得最小值eq\r(6)，x＝eq\r(6)－3y＝eq\r(6)－eq\r(3).考點過關(guān)檢測3一元二次不等式1．答案：B解析：由x2－2x－8≤0，得(x－4)(x＋2)≤0，所以－2≤x≤4.2．答案：D解析：由題意得，不等式x2－2x－3＜0的解集A＝(－1,3)，不等式x2＋x－6＜0的解集B＝(－3,2)，所以A∩B＝(－1,2)，即不等式x2＋ax＋b＜0的解集為(－1,2)，所以a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.3．答案：A解析：由題可知，log0.5(4x2－3x)≥0，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得0<4x2－3x≤1，解得：－eq\f(1,4)≤x<0或eq\f(3,4)<x≤1，所以y＝eq\r(log0.54x2－3x)的定義域為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)).4．答案：C解析：由題可得－1和eq\f(1,2)是方程ax2－x－c＝0的兩個根，且a<0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,2)＝\f(1,a),－1×\f(1,2)＝－\f(c,a)))，解得a＝－2，c＝－1，則y＝cx2－x－a＝－x2－x＋2＝－(x＋2)(x－1)，則函數(shù)圖象開口向下，與x軸交于(－2,0)，(1,0)．5．答案：D解析：ax2＋bx＋2>0的解集為{x|－2<x<1}，∴－2,1是方程ax2＋bx＋2＝0的根，且a<0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2＋1＝－\f(b,a),－2×1＝\f(2,a)))，∴a＝－1，b＝－1，則二次函數(shù)y＝2bx2＋4x＋a＝－2x2＋4x－1開口向下，對稱軸x＝1，在區(qū)間[0,3]上，當x＝1時，函數(shù)取得最大值1，當x＝3時，函數(shù)取得最小值－7.6．答案：B解析：因為(x－a)?(x＋a)<1對任意實數(shù)x均成立，所以(1＋x－a)(1－x－a)<1對任意實數(shù)x恒成立，即(1－a)2－x2<1恒成立，所以(1－a)2<1＋x2恒成立，所以只需(1－a)2<(1＋x2)min，又因為(1＋x2)min＝1，所以(1－a)2<1，解得0<a<2.7．答案：A解析：因為x∈(0,2]，所以不等式可化為ax＋eq\f(3a,x)＜2.當a＝0時，不等式為0＜2，滿足題意；當a＞0時，不等式化為x＋eq\f(3,x)<eq\f(2,a)，則x＋eq\f(3,x)≥2eq\r(x·\f(3,x))＝2eq\r(3)，當且僅當x＝eq\r(3)時取等號，所以eq\f(2,a)＞2eq\r(3)，即0＜a＜eq\f(\r(3),3)；當a＜0時，x＋eq\f(3,x)＞eq\f(2,a)在x∈(0,2]時恒成立．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(\r(3),3))).8．答案：A解析：若對于任意的x∈{x|1≤x≤3}，f(x)<－m＋4恒成立，即可知：mx2－mx＋m－5<0在x∈{x|1≤x≤3}上恒成立，令g(x)＝mx2－mx＋m－5，對稱軸為x＝eq\f(1,2).當m＝0時，－5<0恒成立，當m<0時，有g(shù)(x)開口向下且在[1,3]上單調(diào)遞減，∴在[1,3]上g(x)max＝g(1)＝m－5<0，得m<5，故有m<0.當m>0時，有g(shù)(x)開口向上且在[1,3]上單調(diào)遞增，∴在[1,3]上g(x)max＝g(3)＝7m－5<0，∴0<m<eq\f(5,7).綜上，m的取值范圍為m<eq\f(5,7).9．答案：ACD解析：對于A，∵不等式的解集為{x|x＜－3或x＞－2}，∴k＜0，且－3與－2是方程kx2－2x＋6k＝0的兩根，∴(－3)＋(－2)＝eq\f(2,k)，解得k＝－eq\f(2,5).故A正確；對于B，∵不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R，x≠\f(1,k)))))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k<0，,Δ＝4－24k2＝0，))解得k＝－eq\f(\r(6),6)，故B錯誤；對于C，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k<0，,Δ＝4－24k2<0，))解得k＜－eq\f(\r(6),6)，故C正確；對于D，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k>0，,Δ＝4－24k2≤0，))解得k≥eq\f(\r(6),6)，故D正確．10．答案：ABD解析：關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴a>0，A選項正確；且－2和3是關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，由韋達定理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2＋3＝－\f(b,a),－2×3＝\f(c,a)))，則b＝－a，c＝－6a，則a＋b＋c＝－6a<0，C選項錯誤；不等式bx＋c>0即為－ax－6a>0，解得x<－6，B選項正確；不等式cx2－bx＋a<0即為－6ax2＋ax＋a<0，即6x2－x－1>0，解得x<－eq\f(1,3)或x>eq\f(1,2)，D選項正確．11．答案：AD解析：二次函數(shù)f(x)＝x2－2(a－1)x＋a圖象的對稱軸為直線x＝a－1，∵任意x1，x2∈[－1,2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，即f(x)在區(qū)間[－1,2]上是單調(diào)函數(shù)，∴a－1≤－1或a－1≥2，∴a≤0或a≥3，即實數(shù)a的取值范圍為(－∞，0]∪[3，＋∞)．12．答案：ABD解析：對于A，由題意，Δ＝a2－4b＝0，∴b＝eq\f(a2,4)，所以A正確；對于B，a2＋eq\f(1,b)＝a2＋eq\f(4,a2)≥2eq\r(a2·\f(4,a2))＝4當且僅當a2＝eq\f(4,a2)，即a＝eq\r(2)時等號成立，所以B正確；對于C，由韋達定理，知x1x2＝－b＝－eq\f(a2,4)<0，所以C錯誤；對于D，由韋達定理，知x1＋x2＝－a，x1x2＝b－c＝eq\f(a2,4)－c，則|x1－x2|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(a2－4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,4)－c)))＝2eq\r(c)＝4，解得c＝4，所以D正確．13．答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))解析：由題意可知Δ＝4(m－1)2－4(m2－2)≤0，即－8m＋12≤0，得m≥eq\f(3,2)，故m的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)).14．答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2)))))或eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,4)))解析：因為不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(2,4)，所以a<0且2和4是ax2＋bx＋c＝0的兩根．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋4＝－\f(b,a),2×4＝\f(c,a)))可得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－6a,c＝8a))，所以cx2＋bx＋a<0可化為：8ax2－6ax＋a<0，因為a<0，所以8ax2－6ax＋a<0可化為8x2－6x＋1>0，即(2x－1)(4x－1)>0，解得：x>eq\f(1,2)或x<eq\f(1,4)，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2)))))或eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,4))).15．答案：eq\f(5,2)解析：關(guān)于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集為{x|x1<x<x2}，所以x1，x2是一元二次方程x2－2ax－8a2＝0(a>0)的實數(shù)根，所以Δ＝4a2＋32a2＝36a2>0，且x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.又因為x2－x1＝15，所以152＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2，又a>0，解得a＝eq\f(5,2).16．答案：{t|1<t<2}解析：由題意，可知集合A＝{x|－t<x<t，t>0}，集合B＝{x|－1<x<2}，因為集合A，B構(gòu)成“偏食”，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t<－1<t,2>t))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t<2<t,－1<－t))，解不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t<－1<t,2>t))，得1<t<2；解不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t<2<t,－1<－t))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t>2,t<1))，此時無解．所以實數(shù)t的取值范圍為1<t<2.單元過關(guān)檢測一集合、常用邏輯用語、不等式1．答案：B解析：由題設(shè)可得?UB＝{1,5,6}，故A∩(?UB)＝{1,6}，故選B.2．答案：B解析：集合B＝{x|(x－1)(x－4)≤0}＝{x|1≤x≤4}，∴A∩B＝{1,2}．3．答案：D解析：命題為存在量詞命題，則命題的否定為：?x∈(1,3)，x2－4x＋3>0.4．答案：C解析：由x2－7x＋10<0，得2<x<5，所以B＝{x|2<x<5}，因為A＝{x|－2<x<3}，所以A∪B＝{x|－2<x<5}，故選C.5．答案：A解析：|a|≠3?a≠3且a≠－3，所以“|a|≠3”是“a≠3”的充分不必要條件，故選A.6．答案：D解析：對于A，如3>2，－3<0，顯然3＋(－3)<2＋0，A不正確；對于B，如3>2，－4>－5，顯然3×(－4)<2×(－5)，B不正確；對于C，因bc－ad>0，而eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＝eq\f(bc－ad,ab)>0，則ab>0，C不正確；對于D，因c>d>0，則eq\f(1,d)>eq\f(1,c)>0，又a>b>0，于是得eq\f(a,d)>eq\f(b,c)>0，所以eq\r(\f(a,d))>eq\r(\f(b,c))，D正確．7．答案：D解析：由已知條件可得eq\f(2,3a)＋eq\f(1,4b)＝eq\f(1,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,a)＋\f(3,b)))(a＋b)＝eq\f(1,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(11＋\f(8b,a)＋\f(3a,b)))≥eq\f(1,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(11＋2\r(\f(8b,a)·\f(3a,b))))＝eq\f(11,12)＋eq\f(\r(6),3).當且僅當eq\r(3)a＝2eq\r(2)b時，等號成立．因此，eq\f(2,3a)＋eq\f(1,4b)的最小值是eq\f(11,12)＋eq\f(\r(6),3).8．答案：A解析：因為關(guān)于x的不等式x2－4ax＋3a2<0解集為{x|x1<x<x2}，所以x1＋x2＝4a，x1x2＝3a2，又因為a<0，所以x1＋x2＋eq\f(a,x1x2)＝4a＋eq\f(1,3a)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4a＋\f(1,－3a)))≤－2eq\r(－4a·\f(1,－3a))＝－eq\f(4\r(3),3)，當且僅當－4a＝eq\f(1,－3a)，即a＝－eq\f(\r(3),6)時等號成立．9．答案：BC解析：對于A，B，因為M＝{x|x2－3x＋2≤0}，解不等式得M＝{x|1≤x≤2}，又因為N＝{x|x>－1}，得M?N，故A錯誤，B正確；對于C，M∩N＝{x|1≤x≤2}≠?，故C正確；對于D，因為?RN＝{x|x≤－1}，所以M∪(?RN)＝(－∞，－1]∪[1,2]≠R，故D錯誤．10．答案：BCD解析：對于A，若c≥0時，則原式不對，所以A錯；對于B，由ac2>bc2，則c2>0，兩邊同乘以eq\f(1,a2)，所以a>b，故B正確；對于C，由a<b<0，同乘以負數(shù)a，b得a2>ab，ab>b2，所以a2>ab>b2，故C正確；對于D，由c>a>b>0，所以0<c－a<c－b，所以eq\f(1,c－a)>eq\f(1,c－b)>0，故D正確．11．答案：BCD解析：對于A，自然數(shù)一定是有理數(shù)，有理數(shù)不一定是自然數(shù)，所以“x∈N”是“x∈Q”的充分不必要條件，故A正確；對于B，x＝1時，12－3<0，所以?x∈N*，x2－3<0，故B錯誤；對于C，y＝eq\r(x2＋4)＋eq\f(1,\r(x2＋4))≥2，當且僅當eq\r(x2＋4)＝eq\f(1,\r(x2＋4))即x2＝－3，故不存在x∈R，使函數(shù)y＝eq\r(x2＋4)＋eq\f(1,\r(x2＋4))的最小值為2，故C錯誤；對于D，命題“?x>0，x2－3>0”的否定是“?x>0，x2－3≤0”，故D錯誤．故選BCD.12．答案：ACD解析：因為a，b均為正實數(shù)，且a＋b＝1，對于A，ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(1,4)，當且僅當a＝b＝eq\f(1,2)時取“＝”，正確；對于B，eq\f(b,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(b,a)＋eq\f(2a＋b,b)＝eq\f(b,a)＋eq\f(2a,b)＋2≥2eq\r(\f(b,a)·\f(2a,b))＋2＝2eq\r(2)＋2，當且僅當eq\f(b,a)＝eq\f(2a,b)?a＝eq\r(2)－1，b＝2－eq\r(2)時取“＝”，錯誤；對于C，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b2＋\f(1,5)))＝a2b2＋eq\f(1,5)(a2＋b2)＋eq\f(1,25)＝a2b2＋eq\f(1,5)(a＋b)2－eq\f(2,5)ab＋eq\f(1,25)＝a2b2＋eq\f(1,5)－eq\f(2,5)ab＋eq\f(1,25)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ab－\f(1,5)))2＋eq\f(1,5)≥eq\f(1,5)，當且僅當ab＝eq\f(1,5)時取“＝”，正確；對于D，eq\f(a2,a＋2)＋eq\f(b2,b＋1)＝eq\f(a＋2－22,a＋2)＋eq\f(b＋1－12,b＋1)＝a＋2－4＋eq\f(4,a＋2)＋b＋1－2＋eq\f(1,b＋1)＝eq\f(4,a＋2)＋eq\f(1,b＋1)－2，設(shè)s＝a＋2，t＝b＋1?s＋t＝4，則上式＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,s)＋\f(1,t)))(s＋t)－2＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(4t,s)＋\f(s,t)))－2≥eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(4t,s)·\f(s,t))))－2＝eq\f(1,4)，當且僅當s＝2t?a＝eq\f(2,3)，b＝eq\f(1,3)時取“＝”，正確．13．答案：?x>1，x2＋x－1<014．答案：7解析：滿足{a}?M{a，b，c，d}的集合M有{a}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，共7個．15．答案：16解析：因為點(a，b)在直線x＋4y＝4上，所以a＋4b＝4，所以eq\f(4,a)＋eq\f(9,b)＝eq\f(1,4)(a＋4b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(9,b)))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋36＋\f(16b,a)＋\f(9a,b)))≥eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋36＋2\r(\f(16b,a)·\f(9a,b))))＝16，當且僅當eq\f(16b,a)＝eq\f(9a,b)，即a＝1，b＝eq\f(3,4)時等號成立，故eq\f(4,a)＋eq\f(9,b)的最小值為16.16．答案：－2或－1－10解析：若a＝0，則原不等式為8x＋16≥0，即x≥－2，顯然原不等式的整數(shù)解有無數(shù)個，不符合題意，故a≠0.設(shè)y＝ax2＋8(a＋1)x＋7a＋16(a≠0)，其圖象為拋物線，對于任意一個給定的a值其拋物線只有在開口向下的情況下才能滿足y≥0而整數(shù)解只有有限個，所以a<0，因為0為其中一個解，所以7a＋16≥0，即a≥－eq\f(16,7)，所以－eq\f(16,7)≤a<0，又a∈Z，所以a＝－2或a＝－1，若a＝－2，則不等式為－2x2－8x＋2≥0，解得－2－eq\r(5)≤x≤eq\r(5)－2，因為x為整數(shù)，所以x＝－4，－3，－2，－1,0；若a＝－1，則不等式為－x2＋9≥0，解得－3≤x≤3，因為x為整數(shù)，所以x＝－3，－2，－1,0,1,2,3.所以全部不等式的整數(shù)解的和為－10.17．解析：由題意可知，∵A＝{x||x－3|<2}＝{x|1<x<5}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,x－4)>0))))＝{x|x<2或x>4}，∴A∩B＝{x|1<x<2或4<x<5}，∵A∪B＝R，∴?U(A∪B)＝?.18．解析：(1)當a＝2時，ax2－x－1<0?2x2－x－1<0?(2x＋1)(x－1)<0，解得－eq\f(1,2)<x<1，則該不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<1))))；(2)依題意，－eq\f(1,3)，b是方程ax2－x－1＝0的兩個根，且a>0，于是得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)＋b＝\f(1,a),－\f(1,3)b＝－\f(1,a)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6,b＝\f(1,2)))，則ab＝6×eq\f(1,2)＝3，所以ab的值是3.19．解析：(1)因為集合A為空集，所以Δ＝4－4m<0，解得m>1，即實數(shù)m的取值范圍是{m|m>1}．(2)當m＝－8時，A＝{x|x2－2x－8≤0}＝{x|－2≤x≤4}，因為B＝{y|y＝3x，x≤n}＝{y|0<y≤3n}，因為“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，所以B是A的真子集，所以3n≤4，解得n≤2log32，故實數(shù)n的取值范圍是{n|n≤2log32}．20．解析：(1)∵x>1，∴x－1>0，∴f(x)＝x＋eq\f(4,x－1)－2＝(x－1)＋eq\f(4,x－1)－1≥2eq\r(x－1·\f(4,x－1))－1＝3，當且僅當x－1＝eq\f(4,x－1)，即x＝3時等號成立，∴m＝3.(2)由(1)可知g(x)＝eq\r(ax2－ax＋3)的定