第03講集合、立體幾何、解析幾何及其他新定義綜合（4類核心考點(diǎn)精講精練）集合新定義考情分析首先，集合的基本概念和表示方法是基礎(chǔ)，包括集合的定義、元素、子集、并集、交集、補(bǔ)集等?？忌枰莆占系谋硎痉椒?，如列舉法和描述法，并能正確使用集合運(yùn)算符號(hào)。其次，集合的新定義和新概念可能會(huì)出現(xiàn)在高考試題中，考生需要關(guān)注集合新問題?？傮w而言，新高考數(shù)學(xué)集合部分的考情分析要求考生不僅要掌握基礎(chǔ)知識(shí)，還要能夠?qū)⒓现R(shí)與其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域相結(jié)合，解決實(shí)際問題?？忌鷳?yīng)注重基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固，同時(shí)關(guān)注新定義的學(xué)習(xí)和應(yīng)用。立體幾何新定義考情分析新高考數(shù)學(xué)立體幾何部分，新定義的引入是近年來考試改革的一個(gè)重要方面。新定義通常涉及一些特定的幾何概念、性質(zhì)或定理，這些內(nèi)容在傳統(tǒng)的教學(xué)大綱中可能沒有明確提及，但它們對(duì)于解決某些特定問題非常關(guān)鍵?？记榉治鲲@示，新定義的題目往往要求考生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力和空間想象能力。在備考時(shí)，考生需要特別注意以下幾個(gè)方面：理解新定義的含義：考生需要準(zhǔn)確理解新定義的幾何概念或性質(zhì)，并能夠?qū)⑵渑c已知的數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來。掌握新定義的應(yīng)用：通過大量練習(xí)，熟悉新定義在解決立體幾何問題中的應(yīng)用，包括但不限于計(jì)算體積、表面積、線段長度、角度等。分析和解決問題的能力：面對(duì)新定義題目，考生應(yīng)學(xué)會(huì)如何分析問題，運(yùn)用邏輯推理和幾何直觀來解決問題。關(guān)注新定義與實(shí)際問題的結(jié)合：新高考數(shù)學(xué)試題越來越注重實(shí)際應(yīng)用，考生應(yīng)學(xué)會(huì)將新定義與實(shí)際問題結(jié)合起來，提高解決實(shí)際問題的能力。總之，新定義的引入增加了立體幾何題目的難度和深度，考生需要在復(fù)習(xí)時(shí)特別關(guān)注這些內(nèi)容，通過多種方式提高自己的理解和應(yīng)用能力。解析幾何新定義考情分析解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，它以代數(shù)方法研究幾何問題，是連接代數(shù)與幾何的橋梁。在新高考數(shù)學(xué)中，解析幾何的內(nèi)容和考查方式有所更新，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：新定義問題的引入：新高考數(shù)學(xué)解析幾何部分增加了對(duì)新定義的理解和應(yīng)用的考查。這類問題通常會(huì)給出一個(gè)未見過的幾何概念或性質(zhì)，要求考生在理解的基礎(chǔ)上，運(yùn)用已學(xué)知識(shí)進(jìn)行推導(dǎo)和計(jì)算。綜合性增強(qiáng)：解析幾何題目往往與其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域如代數(shù)、三角等知識(shí)相結(jié)合，考查學(xué)生綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)工具解決問題的能力。實(shí)際應(yīng)用背景：新高考數(shù)學(xué)解析幾何題目更加注重實(shí)際應(yīng)用，題目背景往往來源于實(shí)際生活或科學(xué)技術(shù)，要求學(xué)生能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)問題與現(xiàn)實(shí)世界聯(lián)系起來。創(chuàng)新思維的考查：解析幾何題目中可能會(huì)出現(xiàn)一些開放性問題，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用創(chuàng)新思維，探索多種解題方法，而不僅僅是套用固定模式。計(jì)算能力與邏輯推理能力并重：新高考數(shù)學(xué)解析幾何部分不僅考查學(xué)生的計(jì)算能力，還強(qiáng)調(diào)邏輯推理能力?？忌枰獪?zhǔn)確理解幾何圖形的性質(zhì)，合理運(yùn)用幾何定理和公式，進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯推理。針對(duì)這些考情變化，考生在備考時(shí)應(yīng)加強(qiáng)對(duì)新定義的理解和應(yīng)用，提高解決綜合性問題的能力，注重實(shí)際應(yīng)用背景的題目訓(xùn)練，并在解題過程中發(fā)揮創(chuàng)新思維，同時(shí)加強(qiáng)計(jì)算能力和邏輯推理能力的培養(yǎng)?？键c(diǎn)一、集合新定義1．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）定義兩集合的差集：且，已知集合，，則的子集個(gè)數(shù)是（

）個(gè)．A．2 B．4 C．8 D．162．（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于集合A，B，定義A\B=且，則對(duì)于集合A={}，B={}，且，以下說法正確的是（

）A．若在橫線上填入”∩”，則C的真子集有212﹣1個(gè).B．若在橫線上填入”∪”，則C中元素個(gè)數(shù)大于250.C．若在橫線上填入”\”，則C的非空真子集有2153﹣2個(gè).D．若在橫線上填入”∪”，則C中元素個(gè)數(shù)為13.3．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測(cè)）（多選）對(duì)于集合，若，則稱為對(duì)偶互存集，則下列為對(duì)偶互存集的是（

）A． B．C． D．4．（2024·北京西城·三模）記集合.對(duì)任意，，記，對(duì)于非空集合，定義集合.(1)當(dāng)時(shí)，寫出集合；對(duì)于，寫出；(2)當(dāng)時(shí)，如果，求的最小值；(3)求證：.（注：本題中，表示有限集合A中的元素的個(gè)數(shù).）5．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）稱代數(shù)系統(tǒng)為一個(gè)有限群，如果1.為一個(gè)有限集合，為定義在上的運(yùn)算(不必交換)，2.3.稱為的單位元4.，存在唯一元素使稱為的逆元有限群，稱為的子群.若，定義運(yùn)算.(1)設(shè)為有限群的子群，為中的元素.求證:(i)當(dāng)且僅當(dāng)；(ii)與元素個(gè)數(shù)相同.(2)設(shè)為任一質(zhì)數(shù).上的乘法定義為，其中[x]為不大于的最小整數(shù).已知構(gòu)成一個(gè)群，求證:(其中表示個(gè)作運(yùn)算)11．（2024·浙江·二模）稱平面直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為正整數(shù)的點(diǎn)為好整點(diǎn)，記為集合包含的好整點(diǎn)的個(gè)數(shù)．若，則正整數(shù)的最小值是（

）A．1976 B．1977 C． D．2．（2024·湖南懷化·二模）給定整數(shù)，有個(gè)實(shí)數(shù)元素的集合，定義其相伴數(shù)集，如果，則稱集合為一個(gè)元規(guī)范數(shù)集．（注：表示數(shù)集中的最小數(shù)）．對(duì)于集合，則（

）A．是規(guī)范數(shù)集，不是規(guī)范數(shù)集 B．是規(guī)范數(shù)集，是規(guī)范數(shù)集C．不是規(guī)范數(shù)集，是規(guī)范數(shù)集 D．不是規(guī)范數(shù)集，不是規(guī)范數(shù)集3．（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）（多選）若平面點(diǎn)集滿足：任意點(diǎn)，存在，都有，則稱該點(diǎn)集是階聚合點(diǎn)集．下列命題為真命題的是（

）A．若，則是3階聚合點(diǎn)集B．存在對(duì)任意正數(shù)，使不是階聚合點(diǎn)集C．若，則不是階聚合點(diǎn)集D．“”是“是階聚合點(diǎn)集”的充要條件4．（2024·貴州遵義·二模）設(shè)集合或，中的元素，，定義：．若為的元子集，對(duì)，都存在，使得，則稱為的元最優(yōu)子集．(1)若，且，試寫出兩個(gè)不同的；(2)當(dāng)時(shí)，集合，證明：為的2元最優(yōu)子集；(3)當(dāng)時(shí)，是否存在2元最優(yōu)子集，若存在，求出一個(gè)最優(yōu)子集，若不存在，請(qǐng)說明理由．5．（2024·四川·一模）桌上有十個(gè)蘋果，要把這十個(gè)蘋果放到九個(gè)抽屜里，無論怎樣放，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)至少會(huì)有一個(gè)抽屜里面放不少于兩個(gè)蘋果．這一現(xiàn)象就是我們所說的“抽屜原理”．抽屜原理的一般含義為：如果每個(gè)抽屜代表一個(gè)集合，每一個(gè)蘋果就可以代表一個(gè)元素，假如有個(gè)元素放到n個(gè)集合中去，共中必定有一個(gè)集合里至少有兩個(gè)元素．應(yīng)用抽屜原理，解答下列問題：設(shè)n為正整數(shù)，集合.對(duì)于集合A中的任意元素和，記.(1)當(dāng)時(shí)，巖，，求和的值；(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)于A中的任意兩個(gè)不同的元素，，證明：.(3)給定不小于2的正整數(shù)n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意兩個(gè)不同元素，，.寫出一個(gè)集合B，使其元素個(gè)數(shù)最多，并說明由.考點(diǎn)二、立體幾何新定義1．（2024·青?！つM預(yù)測(cè)）如圖，在正方體中，，，，，，分別為棱，，，，，的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，．對(duì)于空間任意兩點(diǎn)，，若線段上不存在也在線段，上的點(diǎn)，則稱，兩點(diǎn)“可視”，則與點(diǎn)“可視”的點(diǎn)為（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，定義點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)之間的“直角距離”．若和兩點(diǎn)之間的距離是，則和兩點(diǎn)之間的“直角距離”的取值范圍是．3．（24-25高三上·浙江·開學(xué)考試）已知是棱長為的正四面體，設(shè)的四個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離所構(gòu)成的集合為，若中元素的個(gè)數(shù)為，則稱為的階等距平面，為的階等距集.(1)若為的1階等距平面且1階等距集為，求的所有可能值以及相應(yīng)的的個(gè)數(shù)；(2)已知為的4階等距平面，且點(diǎn)與點(diǎn)分別位于的兩側(cè).若的4階等距集為，其中點(diǎn)到的距離為，求平面與夾角的余弦值.4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）我們知道，二元實(shí)數(shù)對(duì)可以表示平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)；那么對(duì)于元實(shí)數(shù)對(duì)（，是整數(shù)），也可以把它看作一個(gè)由條兩兩垂直的“軸”構(gòu)成的高維空間（一般記為）中的一個(gè)“點(diǎn)”的坐標(biāo)表示的距離．(1)當(dāng)時(shí)，若，，，求，和的值；(2)對(duì)于給定的正整數(shù)，證明中任意三點(diǎn)滿足關(guān)系；(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)，，，其中，，，．求滿足點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并證明從這個(gè)點(diǎn)中任取11個(gè)點(diǎn)，其中必存在個(gè)點(diǎn)，它們共面或者以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的三棱錐體積不大于．5．（23-24高一下·江蘇常州·期末）離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標(biāo)．設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為，其中為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，…，平面和平面為多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面．(1)求三棱錐在各個(gè)頂點(diǎn)處的離散曲率的和；(2)如圖，已知在三棱錐中，平面ABC，，，三棱錐在頂點(diǎn)C處的離散曲率為．

①求直線PC與直線AB所成角的余弦值；②若點(diǎn)Q在棱PB上運(yùn)動(dòng)，求直線CQ與平面ABC所成的角的最大值．1．（2023·安徽滁州·模擬預(yù)測(cè)）（多選）閱讀數(shù)學(xué)材料：“設(shè)為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在點(diǎn)處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，，平面和平面為多面體的所有以為公共點(diǎn)的面”解答問題：已知在直四棱柱中，底面為菱形，，則下列說法正確的是（

）A．四棱柱在其各頂點(diǎn)處的離散曲率都相等B．若，則四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為C．若四面體在點(diǎn)處的離散曲率為，則平面D．若四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為，則與平面的夾角為2．（20-21高一下·四川成都·期末）類比于二維平面中的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理；如圖1，由射線，，構(gòu)成的三面角，，，，二面角的大小為，則．（1）當(dāng)、時(shí)，證明以上三面角余弦定理；（2）如圖2，平行六面體中，平面平面，，，①求的余弦值；②在直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．3．（2022·遼寧沈陽·二模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示.蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個(gè)相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉(zhuǎn)，使，，三點(diǎn)重合為點(diǎn)所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個(gè)菱形的各個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和，而每一頂點(diǎn)的曲率規(guī)定等于減去蜂房多面體在該點(diǎn)的各個(gè)面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為.(1)求蜂房曲頂空間的彎曲度；(2)若正六棱柱底面邊長為1，側(cè)棱長為2，設(shè)（i）用表示蜂房（圖2右側(cè)多面體）的表面積；（ii）當(dāng)蜂房表面積最小時(shí)，求其頂點(diǎn)的曲率的余弦值.4．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）已知兩個(gè)非零向量，，在空間任取一點(diǎn)，作，，則叫做向量，的夾角，記作.定義與的“向量積”為：是一個(gè)向量，它與向量，都垂直，它的模.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，為上一點(diǎn)，.(1)求的長；(2)若為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值；(3)若為上一點(diǎn)，且滿足，求.考點(diǎn)三、解析幾何新定義1．（2024·河南·二模）從橢圓外一點(diǎn)Px0,y0向橢圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為，則直線稱作點(diǎn)關(guān)于橢圓的極線，其方程為.現(xiàn)有如圖所示的兩個(gè)橢圓，離心率分別為，內(nèi)含于，橢圓上的任意一點(diǎn)關(guān)于的極線為，若原點(diǎn)到直線的距離為1，則的最大值為（

）

A． B． C． D．2．（24-25高三上·廣東佛山·階段練習(xí)）橢圓的離心率e滿足，則稱該橢圓為“黃金橢圓”．若是“黃金橢圓”，則；“黃金橢圓”兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、（），P為橢圓C上的異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)M是的內(nèi)心，連接PM并延長交于N，則．3．（2024·山東青島·三模）在平面內(nèi)，若直線將多邊形分為兩部分，多邊形在兩側(cè)的頂點(diǎn)到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為的離心率為2，點(diǎn)為右支上一動(dòng)點(diǎn)，直線與曲線相切于點(diǎn)，且與的漸近線交于兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，直線為的等線.(1)求的方程;(2)若是四邊形的等線，求四邊形的面積;(3)設(shè)，點(diǎn)的軌跡為曲線，證明:在點(diǎn)處的切線為的等線4．（2024·浙江舟山·模擬預(yù)測(cè)）阿基米德螺線廣泛存在于自然界中，具有重要作用．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，螺線與坐標(biāo)軸依次交于點(diǎn)，并按這樣的規(guī)律繼續(xù)下去．(1)求．(2)求證：不存在正整數(shù)，使得三角形的面積為2022;(3)求證：對(duì)于任意正整數(shù)，三角形為銳角三角形．5．（2024·江西新余·二模）通過研究，已知對(duì)任意平面向量，把繞其起點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)P，(1)已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)：(2)已知二次方程的圖像是由平面直角坐標(biāo)系下某標(biāo)準(zhǔn)橢圓繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得的斜橢圓C，（i）求斜橢圓C的離心率；（ⅱ）過點(diǎn)作與兩坐標(biāo)軸都不平行的直線交斜橢圓C于點(diǎn)M、N，過原點(diǎn)O作直線與直線垂直，直線交斜橢圓C于點(diǎn)G、H，判斷是否為定值，若是，請(qǐng)求出定值，若不是，請(qǐng)說明理由.1．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）在空間解析幾何中，可以定義曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之間滿足：①曲面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)均為三元方程的解；②以三元方程的任意解為坐標(biāo)的點(diǎn)均在曲面上，則稱曲面的方程為，方程的曲面為.已知空間中某單葉雙曲面的方程為，雙曲面可視為平面中某雙曲線的一支繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)面，已知直線過C上一點(diǎn)，且以為方向向量.(1)指出平面截曲面所得交線是什么曲線，并說明理由；(2)證明：直線在曲面上；(3)若過曲面上任意一點(diǎn)，有且僅有兩條直線，使得它們均在曲面上.設(shè)直線在曲面上，且過點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值.2．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，利用公式①（其中，，，為常數(shù)），將點(diǎn)變換為點(diǎn)的坐標(biāo)，我們稱該變換為線性變換，也稱①為坐標(biāo)變換公式，該變換公式①可由，，，組成的正方形數(shù)表唯一確定，我們將稱為二階矩陣，矩陣通常用大寫英文字母，，…表示.(1)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)（到原點(diǎn)距離不變），求坐標(biāo)變換公式及對(duì)應(yīng)的二階矩陣；(2)在平面直角坐標(biāo)系中，求雙曲線繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（到原點(diǎn)距離不變）得到的雙曲線方程；(3)已知由（2）得到的雙曲線，上頂點(diǎn)為，直線與雙曲線的兩支分別交于，兩點(diǎn)（在第一象限），與軸交于點(diǎn).設(shè)直線，的傾斜角分別為，，求證：為定值.3．（24-25高三上·上海·階段練習(xí)）若坐標(biāo)平面內(nèi)的曲線與某正方形四條邊的所在直線均相切，則稱曲線為正方形的一條“切曲線”，正方形為曲線的一個(gè)“切立方”．(1)試寫出圓的一個(gè)切立方的四條邊所在直線的方程；(2)已知正方形的方程為，且正方形為雙曲線的一個(gè)“切立方”，求雙曲線的離心率的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)的圖象為曲線，試問曲線是否存在切立方，并說明理由．4．（24-25高三上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，定義：若曲線和上分別存在點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)和點(diǎn)為和的一對(duì)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.(1)若上任意一點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為點(diǎn)，求點(diǎn)所在的曲線方程.(2)若上任意一點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為點(diǎn)，求的取值范圍.(3)若和有且僅有兩對(duì)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.5．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，可以用兩點(diǎn)之間距離公式刻畫兩點(diǎn)的距離，事實(shí)上，這里的距離屬于這兩個(gè)點(diǎn)的一種“度量”.在拓?fù)鋵W(xué)中，我們規(guī)定某一實(shí)數(shù)滿足：①，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；

②；

③.其中，為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)，我們就稱是關(guān)于兩點(diǎn)的一個(gè)“度量”.設(shè)：平面直角坐標(biāo)系（為坐標(biāo)原點(diǎn)）內(nèi)兩點(diǎn)的“距離”.(1)求證：兩點(diǎn)的“距離”是關(guān)于兩點(diǎn)的一個(gè)“度量”.(2)設(shè)為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn).（?。┤簦?qǐng)?jiān)谙聢D中定性做出點(diǎn)的集合組成的圖像（不必說明理由，但要求做出特殊點(diǎn)與其特征）.

（ⅱ）求證：.(3)規(guī)定平面內(nèi)兩條平行直線的距離為在上分別取的任意兩個(gè)點(diǎn)距離的最小值.已知不重合的直線，，，求的取值范圍.考點(diǎn)四、其他新定義綜合1．（2024·浙江·二模）古人把正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)、正矢函數(shù)、余矢函數(shù)這八種三角函數(shù)的函數(shù)線合稱為八線.其中余切函數(shù)，正割函數(shù)，余割函數(shù)，正矢函數(shù)，余矢函數(shù).如圖角始邊為軸的非負(fù)半軸，其終邊與單位圓交點(diǎn)，、分別是單位圓與軸和軸正半軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直軸，作垂直軸，垂足分別為、，過點(diǎn)作軸的垂線，過點(diǎn)作軸的垂線分別交的終邊于、，其中、、、為有向線段，下列表示正確的是（

）

A． B．C． D．2．（2024·吉林長春·一模）我們知道，在平面內(nèi)取定單位正交基底建立坐標(biāo)系后，任意一個(gè)平面向量，都可以用二元有序?qū)崝?shù)對(duì)表示.平面向量又稱為二維向量，一般地，n元有序?qū)崝?shù)組稱為n維向量，它是二維向量的推廣.類似二維向量，對(duì)于n維向量，可定義兩個(gè)向量的數(shù)量積，向量的長度（模）等：設(shè)，，則；.已知向量滿足，向量滿足(1)求的值；(2)若，其中.（i）求證：；（ii）當(dāng)且時(shí)，證明：.3．（22-23高一上·云南昆明·期末）人臉識(shí)別技術(shù)在各行各業(yè)的應(yīng)用改變著人類的生活，所謂人臉識(shí)別，就是利用計(jì)算機(jī)分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識(shí)別信息，最終判別對(duì)象的身份，在人臉識(shí)別中為了檢測(cè)樣本之間的相似度主要應(yīng)用距離的測(cè)試，常用測(cè)量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.若二維空間有兩個(gè)點(diǎn)，，則曼哈頓距離為：，余弦相似度為：，余弦距離為(1)若，，求A，B之間的曼哈頓距離和余弦距離；(2)已知，，，若，，求的值1．（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家托勒密對(duì)三角學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，托勒密把圓的半徑60等分，用圓的半徑長的作為單位來度量弦長.將圓心角所對(duì)的弦長記為.如圖，在圓中，的圓心角所對(duì)的弦長恰好等于圓的半徑，因此的圓心角所對(duì)的弦長為60個(gè)單位，即.若為圓心角，，則.

2．（2024·廣西欽州·三模）對(duì)于平面向量，定義“變換”：，其中表示中較大的一個(gè)數(shù)，表示中較小的一個(gè)數(shù).若，則.記.(1)若，求及；(2)已知，將經(jīng)過次變換后，最小，求的最小值；(3)證明：對(duì)任意，經(jīng)過若干次變換后，必存在，使得.3．（2024·山西太原·二模）已知兩個(gè)非零向量，，將向量繞著它的起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（）弧度后，其方向與向量的方向相同，則叫做向量到的角．已知非零向量到的角為，數(shù)量叫做向量與的運(yùn)算，記作，即．根據(jù)此定義，不難證明以下性質(zhì)：①；②；③．(1)利用以上性質(zhì)證明：；(2)設(shè)到的角為，定義．當(dāng)時(shí)，則表示△OAB面積；當(dāng)時(shí)，則表示△OAB面積的相反數(shù)．利用上述定義和性質(zhì)證明：①如圖，四邊形ABCD的兩邊AD，BC延長相交于點(diǎn)E，對(duì)角線AC，BD的中點(diǎn)為F，G，求證：四邊形ABCD的面積等于△EFG的面積的4倍；②在平面直角坐標(biāo)系中，記向量，，△ABC各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，求證：△ABC面積為．4．（24-25高二上·河北保定·開學(xué)考試）給定平面上一個(gè)圖形D，以及圖形D上的點(diǎn)，如果對(duì)于D上任意的點(diǎn)P，為與P無關(guān)的定值，我們就稱為關(guān)于圖形D的一組穩(wěn)定向量基點(diǎn).(1)已知為圖形D，判斷點(diǎn)是不是關(guān)于圖形D的一組穩(wěn)定向量基點(diǎn)；(2)若圖形D是邊長為2的正方形，是它的4個(gè)頂點(diǎn)，P為該正方形上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；(3)若給定單位圓及其內(nèi)接正2024邊形為該單位圓上的任意一點(diǎn)，證明是關(guān)于圓的一組穩(wěn)定向量基點(diǎn)，并求的值.1．（2021·四川達(dá)州·一模）兩個(gè)非零向量，，定義．若，，則．2．（23-24高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）（多選）設(shè)為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在點(diǎn)處的離散曲率為，其中，為多面體的所有與點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，平面和平面為多面體的所有以為公共點(diǎn)的面.已知在直四棱柱中，四邊形為菱形，，則下列說法正確的是（

）A．四棱柱在其各頂點(diǎn)處的離散曲率都相等B．若，則四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為C．若四面體在點(diǎn)處的離散曲率為，則平面D．若四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為，則直線與平面所成的角的正弦值為3．（2021·全國·模擬預(yù)測(cè)）（多選）設(shè)為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在點(diǎn)處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，…，平面和平面為多面體的所有以為公共點(diǎn)的面．已知在直四棱柱中，底面為菱形，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直四棱柱在其各頂點(diǎn)處的離散曲率都相等B．若，則直四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為C．若，則直四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為D．若四面體在點(diǎn)處的離散曲率為，則平面4．（24-25高三上·河南·階段練習(xí)）已知數(shù)列（正整數(shù)且為常數(shù)）的各項(xiàng)均為正整數(shù)，設(shè)集合，記中的元素個(gè)數(shù)為.(1)若數(shù)列求集合及的值；(2)若數(shù)列為等差數(shù)列，求的值；(3)求的最大值．5．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知集合，若存在數(shù)陣滿足：①；②；則稱為“好集合”，并稱數(shù)陣為的一個(gè)“好數(shù)陣”．(1)已知數(shù)陣是的一個(gè)好數(shù)陣，試寫出，，，的值；(2)若集合為“好集合”，證明：集合的“好數(shù)陣”必有偶數(shù)個(gè)；(3)判斷是否為“好集合”．若是，求出滿足條件的所有“好數(shù)陣”；若不是，說明理由．6．（24-25高三上·北京順義·階段練習(xí)）給定正整數(shù)，集合.若存在集合，，，同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①，；②集合中的元素都為奇數(shù)，集合中的元素都為偶數(shù)，所有能被3整除的數(shù)都在集合中（集合中還可以包含其它數(shù)）；③集合，，中各元素之和分別為，，，有；則稱集合為可分集合.(1)已知為可分集合，寫出相應(yīng)的一組滿足條件的集合，，；(2)當(dāng)時(shí)，是不是可分集合？判斷并說明理由；(3)已知為偶數(shù)，求證：“是整數(shù)”是“為可分集合”的必要不充分條件.7．（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）已知無窮數(shù)列an，bn各項(xiàng)都是正整數(shù)，定義集合：，；(1)已知，，直接寫出集合；(2)若，，，求證：an中有無窮多個(gè)1；(3)若an，bn均為等差數(shù)列，且，均為無限集，求證：．8．（24-25高三上·北京海淀·階段練習(xí)）已知數(shù)列an記集合(1)對(duì)于數(shù)列an：，列出集合的所有元素；(2)若是否存在，使得？若存在，求出一組符合條件的；若不存在，說明理由；(3)若把集合中的元素從小到大排列，得到的新數(shù)列為若，求的最大值.9．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）我們知道，在平面內(nèi)取定單位正交基底建立坐標(biāo)系后，任意一個(gè)平面向量，都可以用二元有序?qū)崝?shù)對(duì)表示．平面向量又稱為二維向量．一般地，n元有序?qū)崝?shù)組稱為n維向量，它是二維向量的推廣．類似二維向量，對(duì)于n維向量，也可定義兩個(gè)向量的數(shù)量積、向量的長度（模）等：設(shè)，，則；．已知向量滿足，向量滿足．(1)求的值；(2)若，其中，當(dāng)且時(shí)，證明：．10．（24-25高三上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）設(shè)集合A為非空數(shù)集，定義.(1)若集合，直接寫出集合及；(2)若集合且，求證；(3)若集合且，求A中元素個(gè)數(shù)的最大值.11．（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）已知集合，對(duì)于任意，操作一：選擇中某個(gè)位置（某兩個(gè)數(shù)之間或第一個(gè)數(shù)之前或最后一個(gè)數(shù)之后），插入連續(xù)個(gè)或連續(xù)個(gè)，得到；操作二：刪去中連續(xù)個(gè)或連續(xù)個(gè)，得到；進(jìn)行一次操作一或者操作二均稱為一次“月變換”，在第次“月變換”的結(jié)果上再進(jìn)行次“月變換”稱為第次“月變換”．(1)若對(duì)進(jìn)行兩次“月變換”，依次得到，．直接寫出和的所有可能情況．(2)對(duì)于和至少要對(duì)進(jìn)行多少次“月變換”才能得到？說明理由．(3)證明：對(duì)任意，總能對(duì)進(jìn)行不超過次“月變換”得到．12．（24-25高三上·浙江·階段練習(xí)）正整數(shù)集，其中.將集合拆分成個(gè)三元子集，這個(gè)集合兩兩沒有公共元素.若存在一種拆法，使得每個(gè)三元子集中都有一個(gè)數(shù)等于其他兩數(shù)之和，則稱集合是“三元可拆集”.(1)若，判斷集合是否為“三元可拆集”，若是，請(qǐng)給出一種拆法；若不是，請(qǐng)說明理由；(2)若，證明：集合不是“三元可拆集”；(3)若，是否存在使得集合是“三元可拆集”，若存在，請(qǐng)求出的最大值并給出一種拆法；若不存在，請(qǐng)說明理由.13．（23-24高三下·湖南常德·階段練習(xí)）對(duì)于給定的正整數(shù)n，記集合，其中元素稱為一個(gè)n維向量.特別地，稱為零向量.設(shè)，，，定義加法和數(shù)乘：，.對(duì)一組向量，，…，，若存在一組不全為零的實(shí)數(shù)，，…，，使得，則稱這組向量線性相關(guān).否則，稱為線性無關(guān).(1)對(duì)，判斷下列各組向量是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由.①，；②，，.(2)已知，，線性無關(guān)，判斷，，是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由.(3)已知個(gè)向量，，…，線性相關(guān)，但其中任意個(gè)都線性無關(guān)，證明：①如果存在等式（，，2，3，…，m），則這些系數(shù)，，…，或者全為零，或者全不為零；②如果兩個(gè)等式，（，，，2，3，…，m）同時(shí)成立，其中，則.14．（24-25高三上·河北滄州·階段練習(xí)）已知有限集，若中的元素滿足，則稱為“元重生集”.(1)集合是否為“2元重生集”，請(qǐng)說明理由；(2)是否存在集合中元素均為正整數(shù)的“3元重生集”？如果有，請(qǐng)求出有幾個(gè)，如果沒有，請(qǐng)說明理由；(3)若，證明：“元重生集”有且只有一個(gè)，且.15．（24-25高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知集合，為集合的子集．定義，．(1)?。偃舸嬖谇?，求的最小值；②對(duì)于給定的，若存在互不相同且，求的最大值及此時(shí)的最大值．取，是否存在及，使得，且？若存在，請(qǐng)舉例；若不存在，請(qǐng)證第03講集合、立體幾何、解析幾何及其他新定義綜合（4類核心考點(diǎn)精講精練）集合新定義考情分析首先，集合的基本概念和表示方法是基礎(chǔ)，包括集合的定義、元素、子集、并集、交集、補(bǔ)集等。考生需要掌握集合的表示方法，如列舉法和描述法，并能正確使用集合運(yùn)算符號(hào)。其次，集合的新定義和新概念可能會(huì)出現(xiàn)在高考試題中，考生需要關(guān)注集合新問題?？傮w而言，新高考數(shù)學(xué)集合部分的考情分析要求考生不僅要掌握基礎(chǔ)知識(shí)，還要能夠?qū)⒓现R(shí)與其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域相結(jié)合，解決實(shí)際問題?？忌鷳?yīng)注重基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固，同時(shí)關(guān)注新定義的學(xué)習(xí)和應(yīng)用。立體幾何新定義考情分析新高考數(shù)學(xué)立體幾何部分，新定義的引入是近年來考試改革的一個(gè)重要方面。新定義通常涉及一些特定的幾何概念、性質(zhì)或定理，這些內(nèi)容在傳統(tǒng)的教學(xué)大綱中可能沒有明確提及，但它們對(duì)于解決某些特定問題非常關(guān)鍵?？记榉治鲲@示，新定義的題目往往要求考生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力和空間想象能力。在備考時(shí)，考生需要特別注意以下幾個(gè)方面：理解新定義的含義：考生需要準(zhǔn)確理解新定義的幾何概念或性質(zhì)，并能夠?qū)⑵渑c已知的數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來。掌握新定義的應(yīng)用：通過大量練習(xí)，熟悉新定義在解決立體幾何問題中的應(yīng)用，包括但不限于計(jì)算體積、表面積、線段長度、角度等。分析和解決問題的能力：面對(duì)新定義題目，考生應(yīng)學(xué)會(huì)如何分析問題，運(yùn)用邏輯推理和幾何直觀來解決問題。關(guān)注新定義與實(shí)際問題的結(jié)合：新高考數(shù)學(xué)試題越來越注重實(shí)際應(yīng)用，考生應(yīng)學(xué)會(huì)將新定義與實(shí)際問題結(jié)合起來，提高解決實(shí)際問題的能力?？傊露x的引入增加了立體幾何題目的難度和深度，考生需要在復(fù)習(xí)時(shí)特別關(guān)注這些內(nèi)容，通過多種方式提高自己的理解和應(yīng)用能力。解析幾何新定義考情分析解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，它以代數(shù)方法研究幾何問題，是連接代數(shù)與幾何的橋梁。在新高考數(shù)學(xué)中，解析幾何的內(nèi)容和考查方式有所更新，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：新定義問題的引入：新高考數(shù)學(xué)解析幾何部分增加了對(duì)新定義的理解和應(yīng)用的考查。這類問題通常會(huì)給出一個(gè)未見過的幾何概念或性質(zhì)，要求考生在理解的基礎(chǔ)上，運(yùn)用已學(xué)知識(shí)進(jìn)行推導(dǎo)和計(jì)算。綜合性增強(qiáng)：解析幾何題目往往與其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域如代數(shù)、三角等知識(shí)相結(jié)合，考查學(xué)生綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)工具解決問題的能力。實(shí)際應(yīng)用背景：新高考數(shù)學(xué)解析幾何題目更加注重實(shí)際應(yīng)用，題目背景往往來源于實(shí)際生活或科學(xué)技術(shù)，要求學(xué)生能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)問題與現(xiàn)實(shí)世界聯(lián)系起來。創(chuàng)新思維的考查：解析幾何題目中可能會(huì)出現(xiàn)一些開放性問題，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用創(chuàng)新思維，探索多種解題方法，而不僅僅是套用固定模式。計(jì)算能力與邏輯推理能力并重：新高考數(shù)學(xué)解析幾何部分不僅考查學(xué)生的計(jì)算能力，還強(qiáng)調(diào)邏輯推理能力?？忌枰獪?zhǔn)確理解幾何圖形的性質(zhì)，合理運(yùn)用幾何定理和公式，進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯推理。針對(duì)這些考情變化，考生在備考時(shí)應(yīng)加強(qiáng)對(duì)新定義的理解和應(yīng)用，提高解決綜合性問題的能力，注重實(shí)際應(yīng)用背景的題目訓(xùn)練，并在解題過程中發(fā)揮創(chuàng)新思維，同時(shí)加強(qiáng)計(jì)算能力和邏輯推理能力的培養(yǎng)?？键c(diǎn)一、集合新定義1．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）定義兩集合的差集：且，已知集合，，則的子集個(gè)數(shù)是（

）個(gè)．A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】根據(jù)題意求得集合，從而求得其子集的個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，有兩個(gè)元素，則的子集個(gè)數(shù)是個(gè)．故選：B．2．（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于集合A，B，定義A\B=且，則對(duì)于集合A={}，B={}，且，以下說法正確的是（

）A．若在橫線上填入”∩”，則C的真子集有212﹣1個(gè).B．若在橫線上填入”∪”，則C中元素個(gè)數(shù)大于250.C．若在橫線上填入”\”，則C的非空真子集有2153﹣2個(gè).D．若在橫線上填入”∪”，則C中元素個(gè)數(shù)為13.【答案】B【分析】根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)確定相應(yīng)的集合，然后由集合與子集定義得結(jié)論．【詳解】，，集合無公共元素，選項(xiàng)A中，集合為空集，沒有真子集，A錯(cuò)；選項(xiàng)B中，由得，由得，因此中元素個(gè)數(shù)為，B正確；選項(xiàng)C中，中元素個(gè)數(shù)為166，非空真子集個(gè)數(shù)為，C錯(cuò)；選項(xiàng)D中，，而，因此其中元素個(gè)數(shù)為331個(gè)，D錯(cuò)．故選：B．3．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測(cè)）（多選）對(duì)于集合，若，則稱為對(duì)偶互存集，則下列為對(duì)偶互存集的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)對(duì)偶互存集的定義逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A正確；對(duì)于B，為全體奇數(shù)構(gòu)成的集合，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，也為奇數(shù)，故B正確；對(duì)于C，，則，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)x∈0,2時(shí)，，故D正確．故選：ABD．4．（2024·北京西城·三模）記集合.對(duì)任意，，記，對(duì)于非空集合，定義集合.(1)當(dāng)時(shí)，寫出集合；對(duì)于，寫出；(2)當(dāng)時(shí)，如果，求的最小值；(3)求證：.（注：本題中，表示有限集合A中的元素的個(gè)數(shù).）【答案】(1)；(2)5(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)定義直接寫出集合，再根據(jù)的定義寫出；（2）設(shè)，則，則由題意可得，從而可求得結(jié)果；（3）設(shè)A中的所有元素為，，…，，其中，記（），先利用反證法證明這些互不相等，再根據(jù)定義證明即可.【詳解】（1）；若，則.（2）的最小值為5.證明如下：設(shè).因?yàn)?，除外，其?個(gè)元素需由兩個(gè)不同的，計(jì)算得到，所以，解得.當(dāng)時(shí)，有，符合題意.（3）證明：設(shè)A中的所有元素為，，…，，其中.記（），則這些互不相等.證明如下：如果存在，，則，的每一位都相等，所以，的每一位都相等，從而，與集合A中元素的互異性矛盾.定義集合，則.又，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查集合的新定義，考查集合間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是對(duì)集合新定義的正確理解，考查理解能力，屬于難題.5．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）稱代數(shù)系統(tǒng)為一個(gè)有限群，如果1.為一個(gè)有限集合，為定義在上的運(yùn)算(不必交換)，2.3.稱為的單位元4.，存在唯一元素使稱為的逆元有限群，稱為的子群.若，定義運(yùn)算.(1)設(shè)為有限群的子群，為中的元素.求證:(i)當(dāng)且僅當(dāng)；(ii)與元素個(gè)數(shù)相同.(2)設(shè)為任一質(zhì)數(shù).上的乘法定義為，其中[x]為不大于的最小整數(shù).已知構(gòu)成一個(gè)群，求證:(其中表示個(gè)作運(yùn)算)【答案】(1)（i）證明見解析；（ii）證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）（i）利用單位元、子群的定義判斷可得答案；（ii）首先構(gòu)造一個(gè)到的滿射，直接由的定義得到，另一方面，證明這個(gè)映射同時(shí)也是單射即可；（2）我們有如下斷言:，假設(shè)是使得的最小正整數(shù)，由（1）的結(jié)論可知可得答案.【詳解】（1）（i）如果，則，，從而.另一方面，如果，則有，，即，從而，即，從而，反之由得到，類似討論得中的元素也全都屬于，證畢；（ii）我們首先構(gòu)造一個(gè)到的滿射，這直接由的定義得到，另一方面，我們證明這個(gè)映射同時(shí)也是單射，事實(shí)上，若對(duì)，兩邊左乘，則有，從而兩集合間有一一映射，故元素個(gè)數(shù)相等；（2）我們有如下斷言:，假設(shè)是使得的最小正整數(shù)，則(其中表示個(gè)作.運(yùn)算)在運(yùn)算下構(gòu)成的一個(gè)子群，記作，而由（1）的結(jié)論可知，這一集族中的集合有相同的元素個(gè)數(shù)，且兩兩不交(若有兩個(gè)集合相交，則推得，由（1）（i）得兩集合相同)從而它們構(gòu)成的一個(gè)劃分，從而有，因而.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是對(duì)新定義的理解及性質(zhì)的應(yīng)用.11．（2024·浙江·二模）稱平面直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為正整數(shù)的點(diǎn)為好整點(diǎn)，記為集合包含的好整點(diǎn)的個(gè)數(shù)．若，則正整數(shù)的最小值是（

）A．1976 B．1977 C． D．【答案】B【分析】一方面由必要性：轉(zhuǎn)換成恒成立求參問題，可以求得，另一方面比較重要的一點(diǎn)是：要驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，，由此即可得解.【詳解】一方面：由題意，，使得不等式恒成立，注意到，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，即，所以正整數(shù)應(yīng)該滿足，另一方面：當(dāng)時(shí)，我們證明：成立，證明過程如下：注意到，所以，，記，則，，，即成立，綜合以上兩方面，可知正整數(shù)的最小值是1977.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵在于用必要性求得參數(shù)范圍后，一定要檢驗(yàn)充分性是否成立，由此即可順利得解.2．（2024·湖南懷化·二模）給定整數(shù)，有個(gè)實(shí)數(shù)元素的集合，定義其相伴數(shù)集，如果，則稱集合為一個(gè)元規(guī)范數(shù)集．（注：表示數(shù)集中的最小數(shù)）．對(duì)于集合，則（

）A．是規(guī)范數(shù)集，不是規(guī)范數(shù)集 B．是規(guī)范數(shù)集，是規(guī)范數(shù)集C．不是規(guī)范數(shù)集，是規(guī)范數(shù)集 D．不是規(guī)范數(shù)集，不是規(guī)范數(shù)集【答案】C【分析】利用規(guī)范數(shù)集的定義，逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】集合中，，則，即的相伴數(shù)集中的最小數(shù)不是1，因此不是規(guī)范數(shù)集；集合，，，即的相伴數(shù)集中的最小數(shù)是1，因此是規(guī)范數(shù)集.故選：C3．（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）（多選）若平面點(diǎn)集滿足：任意點(diǎn)，存在，都有，則稱該點(diǎn)集是階聚合點(diǎn)集．下列命題為真命題的是（

）A．若，則是3階聚合點(diǎn)集B．存在對(duì)任意正數(shù)，使不是階聚合點(diǎn)集C．若，則不是階聚合點(diǎn)集D．“”是“是階聚合點(diǎn)集”的充要條件【答案】ACD【分析】根據(jù)集合新定義的規(guī)定，易判斷A正確；通過舉反例排除B；按照集合新定義得不出合理結(jié)論否定為階聚合點(diǎn)集判斷C；運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，即可得到D正確.【詳解】對(duì)于A，由可得，故是3階聚合點(diǎn)集，即A正確；對(duì)于B，對(duì)任意的點(diǎn)集，總存在，使得是1階聚合點(diǎn)集，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因，而，故不是階聚合點(diǎn)集，即C正確；對(duì)于D，因是階聚合點(diǎn)集等價(jià)于，因，可得，又因，依題意可得，反之也成立，故“是階聚合點(diǎn)集”是“”的充要條件，即D正確.故選：ACD.4．（2024·貴州遵義·二模）設(shè)集合或，中的元素，，定義：．若為的元子集，對(duì)，都存在，使得，則稱為的元最優(yōu)子集．(1)若，且，試寫出兩個(gè)不同的；(2)當(dāng)時(shí)，集合，證明：為的2元最優(yōu)子集；(3)當(dāng)時(shí)，是否存在2元最優(yōu)子集，若存在，求出一個(gè)最優(yōu)子集，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)或；(2)證明見解析；(3)不存在，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)給定的定義直接寫出即可.（2）任取，確定存在的，使得，代入計(jì)算證得.（3）先考慮的情況，證明不存在最優(yōu)子集即可推理得證.【詳解】（1）取或，滿足，所以或.（2）任取，則存在，使得，記，，若，則結(jié)論成立；若，則，所以為的2元最優(yōu)子集.（3）先考慮的情況，假設(shè)存在2元最優(yōu)子集，記，，使，記，則，由，得，因此中至少有一個(gè)數(shù)大于等于4，這與是最優(yōu)子集矛盾，由的任意性，可知不存在最優(yōu)子集，當(dāng)時(shí)，，則，所以沒有2元最優(yōu)子集.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解新定義運(yùn)算有關(guān)的題目，關(guān)鍵是理解和運(yùn)用新定義的概念以及元算，利用化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，將不熟悉的數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化成熟悉的問題進(jìn)行求解.5．（2024·四川·一模）桌上有十個(gè)蘋果，要把這十個(gè)蘋果放到九個(gè)抽屜里，無論怎樣放，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)至少會(huì)有一個(gè)抽屜里面放不少于兩個(gè)蘋果．這一現(xiàn)象就是我們所說的“抽屜原理”．抽屜原理的一般含義為：如果每個(gè)抽屜代表一個(gè)集合，每一個(gè)蘋果就可以代表一個(gè)元素，假如有個(gè)元素放到n個(gè)集合中去，共中必定有一個(gè)集合里至少有兩個(gè)元素．應(yīng)用抽屜原理，解答下列問題：設(shè)n為正整數(shù)，集合.對(duì)于集合A中的任意元素和，記.(1)當(dāng)時(shí)，巖，，求和的值；(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)于A中的任意兩個(gè)不同的元素，，證明：.(3)給定不小于2的正整數(shù)n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意兩個(gè)不同元素，，.寫出一個(gè)集合B，使其元素個(gè)數(shù)最多，并說明由.【答案】(1)，(2)證明見解析(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)定義得到，；（2）設(shè)，，求出，，分析出，，證明出，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，得到若，則成立，對(duì)集合進(jìn)行分類，應(yīng)用抽屜原理和反證法，得到滿足條件的集合B中元素個(gè)數(shù)不多于，在取，對(duì)于，2，…，，取，且；，令，得到答案.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，；?）當(dāng)時(shí)，對(duì)于A中的任意兩個(gè)不同的元素，，設(shè)，，，.對(duì)于任意的，，，2，3，4，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有.即，所以，又因?yàn)椋?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立：（3）由（2）可證，對(duì)于任意的，，若，則成立.考慮設(shè)，，對(duì)于任意的，3，…，n，，所以，假設(shè)滿足條件的集合B中元素個(gè)數(shù)不少于，則至少存在兩個(gè)元素在某個(gè)集合中，不妨設(shè)為，，則.與假設(shè)矛盾，所以滿足條件的集合B中元素個(gè)數(shù)不多于.?。粚?duì)于，2，…，，取，且；.令，則集合B滿足條件，且元素個(gè)數(shù)為，故B是一個(gè)滿足條件且元素個(gè)數(shù)最多的集合.【點(diǎn)睛】新定義問題的方法和技巧：（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理解；（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對(duì)此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；（4）如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.考點(diǎn)二、立體幾何新定義1．（2024·青?！つM預(yù)測(cè)）如圖，在正方體中，，，，，，分別為棱，，，，，的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，．對(duì)于空間任意兩點(diǎn)，，若線段上不存在也在線段，上的點(diǎn)，則稱，兩點(diǎn)“可視”，則與點(diǎn)“可視”的點(diǎn)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接、、、、、，借助平行線的性質(zhì)可得四點(diǎn)共面，即可得線段與相交，線段與相交，線段與相交，從而排除A、B、C.【詳解】如圖，連接，，，由正方體的性質(zhì)及、分別為棱、的中點(diǎn)，易得，所以線段與相交，與相交，故A、B錯(cuò)誤；連接，，有，，故，所以線段與相交，C錯(cuò)誤；連接，直線與，直線與均為異面直線，D正確.故選：D.2．（23-24高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，定義點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)之間的“直角距離”．若和兩點(diǎn)之間的距離是，則和兩點(diǎn)之間的“直角距離”的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)空間兩點(diǎn)距離公式，結(jié)合三角代換法、輔助角公式、正弦型函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以設(shè)，其中，因此，因?yàn)?，所以，因此，設(shè)，于是有，因?yàn)?，所以，因此?dāng)且時(shí)，即當(dāng)且時(shí)，有最大值，當(dāng)且或時(shí)，有最小值，此時(shí)，或，所以的最小值，綜上，和兩點(diǎn)之間的“直角距離”的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用三角代換的方法、運(yùn)用正弦函數(shù)的最值的性質(zhì).3．（24-25高三上·浙江·開學(xué)考試）已知是棱長為的正四面體，設(shè)的四個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離所構(gòu)成的集合為，若中元素的個(gè)數(shù)為，則稱為的階等距平面，為的階等距集.(1)若為的1階等距平面且1階等距集為，求的所有可能值以及相應(yīng)的的個(gè)數(shù)；(2)已知為的4階等距平面，且點(diǎn)與點(diǎn)分別位于的兩側(cè).若的4階等距集為，其中點(diǎn)到的距離為，求平面與夾角的余弦值.【答案】(1)答案見解析(2).【分析】（1）分兩種情況得出的所有可能值以及相應(yīng)的的個(gè)數(shù)；（2）先根據(jù)已知得出，再計(jì)算求得余弦值.【詳解】（1）①情形一：分別取的中點(diǎn)，由中位線性質(zhì)可知，此時(shí)平面為的一個(gè)1階等距平面，為正四面體高的一半，等于.由于正四面體有4個(gè)面，這樣的1階等距平面平行于其中一個(gè)面，有4種情況；②情形二：分別取的中點(diǎn)將此正四面體放置到棱長為1的正方體中，則為正方體棱長的一半，等于.由于正四面體的六條棱中有3組對(duì)棱互為異面直線，這樣的1階等距平面平行于其中一組異面直線，有3種情況.綜上，當(dāng)?shù)闹禐闀r(shí)，有4個(gè)；當(dāng)?shù)闹禐闀r(shí)，有3個(gè).（2）在線段上分別取一點(diǎn)，使得，則平面即為平面.如圖，取中點(diǎn)，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，過點(diǎn)且與平面垂直的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，，設(shè)平面法向量為m=所以，即，所以，又平面的法向量為，設(shè)平面與夾角為所以，所以平面與夾角余弦值為.4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）我們知道，二元實(shí)數(shù)對(duì)可以表示平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)；那么對(duì)于元實(shí)數(shù)對(duì)（，是整數(shù)），也可以把它看作一個(gè)由條兩兩垂直的“軸”構(gòu)成的高維空間（一般記為）中的一個(gè)“點(diǎn)”的坐標(biāo)表示的距離．(1)當(dāng)時(shí)，若，，，求，和的值；(2)對(duì)于給定的正整數(shù)，證明中任意三點(diǎn)滿足關(guān)系；(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)，，，其中，，，．求滿足點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并證明從這個(gè)點(diǎn)中任取11個(gè)點(diǎn)，其中必存在個(gè)點(diǎn)，它們共面或者以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的三棱錐體積不大于．【答案】(1)，，(2)證明見解析(3)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)新定義直接計(jì)算；（2）由新定義，寫出不等式兩邊的表達(dá)式，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)證明；（3）根據(jù)新定義，及絕對(duì)值的性質(zhì)得點(diǎn)是以為對(duì)角線的正方體的表面和內(nèi)部的整數(shù)點(diǎn)，共125個(gè)，把它們分布在五個(gè)平面，1，2，3，上，這五個(gè)面一個(gè)面取3個(gè)點(diǎn)，相鄰面上取一個(gè)點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)構(gòu)成三棱錐（能構(gòu)成時(shí)），棱錐的體積不超過，然后任取11點(diǎn)中如果沒有4點(diǎn)共面，但至少有一個(gè)平面內(nèi)有3個(gè)點(diǎn)．根據(jù)這3點(diǎn)所在平面分類討論可得．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，若，，，則，，．（2）設(shè)，，，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)有，，，所以．（3）因?yàn)?，，，則，且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)同時(shí)成立，又因?yàn)?，可得，，，，可知，，?，2，3，4，則，點(diǎn)是以為對(duì)角線的正方體內(nèi)部（含面上）的整數(shù)點(diǎn)，共125個(gè)，即．這125個(gè)點(diǎn)在，，，，這五面內(nèi)．這三個(gè)平面內(nèi)，一個(gè)面上取不共線的3點(diǎn)，相鄰面上再取一點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三棱錐．則這個(gè)三棱錐的體積最大為，現(xiàn)在任取11個(gè)點(diǎn)，若有四點(diǎn)共面，則命題已成立；若其中無4點(diǎn)共面，但11個(gè)點(diǎn)分在5個(gè)平面上至少有一個(gè)平面內(nèi)有3個(gè)點(diǎn)（顯然不共線）；若這三點(diǎn)在，，這三個(gè)平面中的一個(gè)上，與這個(gè)面相鄰的兩個(gè)面上如果有一點(diǎn)，那么這一點(diǎn)與平面上的三點(diǎn)這四點(diǎn)可構(gòu)成三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)，其體積不超過，否則還有8個(gè)點(diǎn)在平面和上，不合題意，若這三個(gè)點(diǎn)在平面或上，不妨設(shè)在平面，若在平面在一個(gè)點(diǎn)，則同樣四點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐體積不超過，否則剩下的8個(gè)點(diǎn)在，，三個(gè)平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一種分布都有四點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐體積不超過；綜上所述：任取11個(gè)點(diǎn)，其中必存在4個(gè)點(diǎn)，它們共面或者以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的三棱錐體積不大于．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題新定義距離，解題關(guān)鍵是利用新定義轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值，利用絕對(duì)值的性質(zhì)解決一些問題．本題還考查了抽屜原理，11個(gè)放在5個(gè)平面上，至少有一個(gè)平面內(nèi)至少有3點(diǎn)，由此分類討論可證明結(jié)論成立．5．（23-24高一下·江蘇常州·期末）離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標(biāo)．設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為，其中為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，…，平面和平面為多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面．(1)求三棱錐在各個(gè)頂點(diǎn)處的離散曲率的和；(2)如圖，已知在三棱錐中，平面ABC，，，三棱錐在頂點(diǎn)C處的離散曲率為．

①求直線PC與直線AB所成角的余弦值；②若點(diǎn)Q在棱PB上運(yùn)動(dòng)，求直線CQ與平面ABC所成的角的最大值．【答案】(1)2(2)①；②【分析】（1）根據(jù)離散曲率的定義計(jì)算即可（2）①首先證明，再由點(diǎn)處的離散曲率可求出，從而其它相應(yīng)的線段都可計(jì)算，把與平移至中位線處，得出為異面直線與的夾角或其補(bǔ)角，在用余弦定理求解即可.②首先是把線面角做出，設(shè)，再把角的三角函數(shù)值表示成的函數(shù)，最后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.【詳解】（1）由離散曲率的定義得：，，，，四個(gè)式子相加得：.（2）①如圖，分別取的中點(diǎn)，連接，顯然有，所以為異面直線與的夾角或其補(bǔ)角，設(shè)，因?yàn)椋?，?/p>

因?yàn)槠矫妫矫?，所以，，，，因?yàn)椋?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，由點(diǎn)處的離散曲率為可得，所以，，，而，，所以，故異面直線與的夾角的余弦值為.②如圖，過點(diǎn)做交與，連接，因?yàn)槠矫?，所以平面，則為直線與平面所成的角，設(shè)，在中，因?yàn)椋?，所以，故，?dāng)分母最小時(shí)，最大，即最大，此時(shí)，即（與重合），，所以的最大值為.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過題目所給的新定義求出，從而計(jì)算出各邊的長度，求與平面所成的角的最大值，首先是把線面角做出，設(shè)，再把角的三角函數(shù)值表示成的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，求最值是把式子經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃巫罱K轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題.1．（2023·安徽滁州·模擬預(yù)測(cè)）（多選）閱讀數(shù)學(xué)材料：“設(shè)為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在點(diǎn)處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，，平面和平面為多面體的所有以為公共點(diǎn)的面”解答問題：已知在直四棱柱中，底面為菱形，，則下列說法正確的是（

）A．四棱柱在其各頂點(diǎn)處的離散曲率都相等B．若，則四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為C．若四面體在點(diǎn)處的離散曲率為，則平面D．若四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為，則與平面的夾角為【答案】BC【分析】根據(jù)題意求線線夾角，再代入離散曲率公式，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷，結(jié)合線面垂直的判定定理及性質(zhì)即可得出答案.【詳解】A：當(dāng)直四棱柱的底面為正方形時(shí)，其在各頂點(diǎn)處的離散曲率都相等，當(dāng)直四棱柱的底面不為正方形時(shí)，其在同一底面且相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)處的離散曲率不相等，故A錯(cuò)誤；B：若，則菱形為正方形，因?yàn)槠矫妫矫妫?，，所以直四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為，故B正確；C：在四面體中，，，所以，所以四面體在點(diǎn)處的離散曲率為，解得，易知，所以，所以，所以直四棱柱為正方體，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，同理，又平面，所以平面，故C正確，D：直四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為,則,即是等邊三角形,設(shè),則即為與平面的所成角,,故D錯(cuò)誤;故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是充分理解離散曲率的定義，從而結(jié)合立體幾何的知識(shí)求解即可．2．（20-21高一下·四川成都·期末）類比于二維平面中的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理；如圖1，由射線，，構(gòu)成的三面角，，，，二面角的大小為，則．（1）當(dāng)、時(shí)，證明以上三面角余弦定理；（2）如圖2，平行六面體中，平面平面，，，①求的余弦值；②在直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）①；②當(dāng)點(diǎn)在的延長線上，且使時(shí)，平面.【分析】（1）過射線上一點(diǎn)作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接，，可得是二面角的平面角．在中和中分別用余弦定理，兩式相減變形可證結(jié)論；（2）①直接利用三面角定理（（1）的結(jié)論）計(jì)算；②連結(jié)，延長至，使，連結(jié)，由線面平行的判定定理證明平面．【詳解】（1）證明：如圖，過射線上一點(diǎn)作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接，則是二面角的平面角．在中和中分別用余弦定理，得，，兩式相減得，∴，兩邊同除以，得．（2）①由平面平面，知，∴由（1）得，∵，，∴．②在直線上存在點(diǎn)，使平面．連結(jié)，延長至，使，連結(jié)，在棱柱中，，，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴．在四邊形中，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，又平面，平面，∴平面．∴當(dāng)點(diǎn)在的延長線上，且使時(shí)，平面．3．（2022·遼寧沈陽·二模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示.蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個(gè)相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉(zhuǎn)，使，，三點(diǎn)重合為點(diǎn)所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個(gè)菱形的各個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和，而每一頂點(diǎn)的曲率規(guī)定等于減去蜂房多面體在該點(diǎn)的各個(gè)面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為.(1)求蜂房曲頂空間的彎曲度；(2)若正六棱柱底面邊長為1，側(cè)棱長為2，設(shè)（i）用表示蜂房（圖2右側(cè)多面體）的表面積；（ii）當(dāng)蜂房表面積最小時(shí)，求其頂點(diǎn)的曲率的余弦值.【答案】(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）根據(jù)彎曲度、曲率的定義求得正確答案.（2）（i）結(jié)合多面體的表面積的求法求得；（ii）利用導(dǎo)數(shù)求得蜂房表面積最小時(shí)的值.令，利用余弦定理求得，結(jié)合三角恒等變換的知識(shí)求得頂點(diǎn)的曲率的余弦值.【詳解】（1）蜂房曲頂空間的彎曲度為頂端三個(gè)菱形的7個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和，根據(jù)定義其度量值等于減去三個(gè)菱形的內(nèi)角和，再減去6個(gè)直角梯形中的兩個(gè)非直角內(nèi)角和，即蜂房曲頂空間的彎曲度為.（2）（i）如圖所示，連接AC，SH，則，設(shè)點(diǎn)在平面的射影為O，則，則，菱形SAHC的面積為，側(cè)面積，所以蜂房的表面積為.（ii），令得到，所以在遞增；在遞增.所以在處取得極小值，也即是最小值.此時(shí)，在中，令，由余弦定理得，又頂點(diǎn)的曲率為，.4．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）已知兩個(gè)非零向量，，在空間任取一點(diǎn)，作，，則叫做向量，的夾角，記作.定義與的“向量積”為：是一個(gè)向量，它與向量，都垂直，它的模.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，為上一點(diǎn)，.(1)求的長；(2)若為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值；(3)若為上一點(diǎn)，且滿足，求.【答案】(1)2(2)(3)10【分析】（1）證明，為直線與所成的角，設(shè)，結(jié)合“向量積”的模的定義由條件列方程求可得的長；（2）過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，證明為二面角的平面角，解三角形求其大小，結(jié)合二面角與二面角互補(bǔ)可得結(jié)論；（3）過點(diǎn)作，證明平面，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，證明，結(jié)合條件可求.【詳解】（1）因?yàn)榈酌鏋榫匦危?，，因?yàn)榈酌?，底面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，所以為直線與所成的角，即，設(shè)，則，，在中，又，所以，解得或（舍去），所以；（2）在平面內(nèi)過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌妫酌?，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，所以，設(shè)二面角的平面角為，則，所以，即二面角的余弦值為；（3）依題意，，又，所以，，又，所以，又，平面，所以平面，在平面內(nèi)過點(diǎn)作，垂足為，由平面，平面，所以，又，平面，所以平面，在平面內(nèi)過點(diǎn)作交于點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使得，連接，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，即，所以.【點(diǎn)睛】“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.考點(diǎn)三、解析幾何新定義1．（2024·河南·二模）從橢圓外一點(diǎn)Px0,y0向橢圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為，則直線稱作點(diǎn)關(guān)于橢圓的極線，其方程為.現(xiàn)有如圖所示的兩個(gè)橢圓，離心率分別為，內(nèi)含于，橢圓上的任意一點(diǎn)關(guān)于的極線為，若原點(diǎn)到直線的距離為1，則的最大值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)定義寫出極線的方程，由距離公式列出一個(gè)方程，再結(jié)合點(diǎn)在橢圓上找到的關(guān)系再進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)，橢圓方程：，橢圓方程：，則有①由極線的定義得直線的方程為，原點(diǎn)到直線的距離，化簡得②，對(duì)比①②式得出，則有，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，此時(shí).故選：D.2．（24-25高三上·廣東佛山·階段練習(xí)）橢圓的離心率e滿足，則稱該橢圓為“黃金橢圓”．若是“黃金橢圓”，則；“黃金橢圓”兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、（），P為橢圓C上的異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)M是的內(nèi)心，連接PM并延長交于N，則．【答案】【分析】根據(jù)離心率可得關(guān)于的方程，從而可求其值，根據(jù)角平分線的形狀結(jié)合橢圓的定義可得的值.【詳解】因?yàn)槭恰包S金橢圓”，故，故，連接，因?yàn)闉閮?nèi)心，故為角平分線，由角平分線性質(zhì)，有，故，故答案為：，.3．（2024·山東青島·三模）在平面內(nèi)，若直線將多邊形分為兩部分，多邊形在兩側(cè)的頂點(diǎn)到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為的離心率為2，點(diǎn)為右支上一動(dòng)點(diǎn)，直線與曲線相切于點(diǎn)，且與的漸近線交于兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，直線為的等線.(1)求的方程;(2)若是四邊形的等線，求四邊形的面積;(3)設(shè)，點(diǎn)的軌跡為曲線，證明:在點(diǎn)處的切線為的等線【答案】(1)(2)12(3)證明見解析【分析】（1）利用已知等量關(guān)系建立方程，求解各個(gè)元素，得到雙曲線方程即可.（2）利用給定定義，求解關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，最后得到四邊形面積即可.（3）利用給定條件和新定義證明即可.【詳解】（1）由題意知，顯然點(diǎn)在直線的上方，因?yàn)橹本€為的等線，所以，解得，所以的方程為（2）設(shè)Px0,y0故，該式可以看作關(guān)于的一元二次方程，所以，即方程為當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，也成立漸近線方程為，不妨設(shè)在上方，聯(lián)立得，故，所以是線段的中點(diǎn)，因?yàn)榈竭^的直線距離相等，則過點(diǎn)的等線必定滿足:到該等線距離相等，且分居兩側(cè)，所以該等線必過點(diǎn)，即的方程為，由，解得，故.所以，所以，所以，所以（3）設(shè)，由，所以，故曲線的方程為由（*）知切線為，也為，即，即易知與在的右側(cè)，在的左側(cè)，分別記到的距離為，由（2）知，所以由得因?yàn)?，所以直線為的等線.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解析幾何，解題關(guān)鍵是利用給定定義和條件，然后結(jié)合前問結(jié)論，得到，證明即可．4．（2024·浙江舟山·模擬預(yù)測(cè)）阿基米德螺線廣泛存在于自然界中，具有重要作用．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，螺線與坐標(biāo)軸依次交于點(diǎn)，并按這樣的規(guī)律繼續(xù)下去．(1)求．(2)求證：不存在正整數(shù)，使得三角形的面積為2022;(3)求證：對(duì)于任意正整數(shù)，三角形為銳角三角形．【答案】(1)5；4(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用給定定義結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式求解即可.（2）將原三角形合理拆分，利用直角三角形的性質(zhì)求出面積，結(jié)合完全平方數(shù)的性質(zhì)證明即可.（3）利用給定定義確定最大角，利用余弦定理判定其為銳角即可.【詳解】（1）由兩點(diǎn)間距離公式得，由題意得，，所以.（2），，而不可能等于，故不存在正整數(shù)，使得三角形的面積為.（3），，，因?yàn)椋栽谌切沃?，為最大角，由余弦定理得，，則為銳角，即三角形為銳角三角形．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查新定義問題，解題關(guān)鍵是合理利用給定定義，找到最大角，然后利用余弦定理得到其為銳角即可．5．（2024·江西新余·二模）通過研究，已知對(duì)任意平面向量，把繞其起點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)P，(1)已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)：(2)已知二次方程的圖像是由平面直角坐標(biāo)系下某標(biāo)準(zhǔn)橢圓繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得的斜橢圓C，（i）求斜橢圓C的離心率；（ⅱ）過點(diǎn)作與兩坐標(biāo)軸都不平行的直線交斜橢圓C于點(diǎn)M、N，過原點(diǎn)O作直線與直線垂直，直線交斜橢圓C于點(diǎn)G、H，判斷是否為定值，若是，請(qǐng)求出定值，若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)（i）；（ⅱ）是，2【分析】（1）借助所給定義計(jì)算即可得；（2）（i）計(jì)算出該斜橢圓的長軸長與焦距，結(jié)合離心率定義計(jì)算即可得；（ⅱ）法一：設(shè)出直線、，聯(lián)立斜橢圓方程可得與交點(diǎn)橫坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，結(jié)合弦長公式即可表示出，計(jì)算即可得；法二：將所有點(diǎn)、直線與曲線都繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，再設(shè)出直線、旋轉(zhuǎn)后方程，聯(lián)立標(biāo)準(zhǔn)方程可得與交點(diǎn)縱坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，結(jié)合弦長公式即可表示出，計(jì)算即可得.【詳解】（1）由已知可得，則，設(shè)，則，所以，，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（2）（i）由與交點(diǎn)為和，則，由與交點(diǎn)為和，則，所以，；（ⅱ）法一：設(shè)直線：，、Nx2,y與斜橢圓聯(lián)立：，有，∵，，∴，設(shè)直線：，代入斜橢圓，有，∴，∴，故.法二：將橢圓順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，由①可得橢圓方程為，點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為，當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)后斜率不存在時(shí)，，，，當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)后斜率存在時(shí)，設(shè)直線旋轉(zhuǎn)后為，旋轉(zhuǎn)后、Nx2與橢圓方程聯(lián)立，即，可得，，，，設(shè)直線旋轉(zhuǎn)后為，代入橢圓方程中，有，，.綜上所述，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于對(duì)旋轉(zhuǎn)后的方程的理解與運(yùn)用，最后一問可直接在旋轉(zhuǎn)后的斜橢圓上計(jì)算，也可在標(biāo)準(zhǔn)橢圓下計(jì)算，其旋轉(zhuǎn)前后的線段長度不變.1．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）在空間解析幾何中，可以定義曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之間滿足：①曲面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)均為三元方程的解；②以三元方程的任意解為坐標(biāo)的點(diǎn)均在曲面上，則稱曲面的方程為，方程的曲面為.已知空間中某單葉雙曲面的方程為，雙曲面可視為平面中某雙曲線的一支繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)面，已知直線過C上一點(diǎn)，且以為方向向量.(1)指出平面截曲面所得交線是什么曲線，并說明理由；(2)證明：直線在曲面上；(3)若過曲面上任意一點(diǎn)，有且僅有兩條直線，使得它們均在曲面上.設(shè)直線在曲面上，且過點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值.【答案】(1)平面上，以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓；理由見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征可知，可得坐標(biāo)平面的方程；當(dāng)時(shí)，可得平面截曲面所得交線的方程，進(jìn)而可得曲線類型；（2）設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，由題意有，從而得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入曲面的方程驗(yàn)證即可.（3）設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，直線的方向向量為，由題意有，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入曲面的方程，進(jìn)而可求得的關(guān)系，可得，利用向量夾角公式求解即可得出答案.【詳解】（1）根據(jù)坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征可知，坐標(biāo)平面的方程為，已知曲面的方程為，當(dāng)時(shí)，平面截曲面所得交線上的點(diǎn)滿足，即，也即在平面上到原點(diǎn)距離為定值1，從而平面截曲面所得交線是平面上，以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓.（2）設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，由，均為直線的方向向量，有，從而存在實(shí)數(shù)，使得，即，則，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，于是，因此點(diǎn)的坐標(biāo)總是滿足曲面的方程，從而直線在曲面上.（3）直線在曲面上，且過點(diǎn)，設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，直線的方向向量為，由，均為直線的方向向量，有，從而存在實(shí)數(shù)，使得，即，則，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵在曲面上，∴，整理得，由題意，對(duì)任意的，有恒成立，∴，且，∴，或，不妨取，則，或，∴，或，又直線的方向向量為，則異面直線與所成角的余弦值均為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：新定義題型的特點(diǎn)是：通過給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的．遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決．2．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，利用公式①（其中，，，為常數(shù)），將點(diǎn)變換為點(diǎn)的坐標(biāo)，我們稱該變換為線性變換，也稱①為坐標(biāo)變換公式，該變換公式①可由，，，組成的正方形數(shù)表唯一確定，我們將稱為二階矩陣，矩陣通常用大寫英文字母，，…表示.(1)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)（到原點(diǎn)距離不變），求坐標(biāo)變換公式及對(duì)應(yīng)的二階矩陣；(2)在平面直角坐標(biāo)系中，求雙曲線繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（到原點(diǎn)距離不變）得到的雙曲線方程；(3)已知由（2）得到的雙曲線，上頂點(diǎn)為，直線與雙曲線的兩支分別交于，兩點(diǎn)（在第一象限），與軸交于點(diǎn).設(shè)直線，的傾斜角分別為，，求證：為定值.【答案】(1)公式為，二階矩陣為(2)(3)證明見解析【分析】（1）設(shè)，，通過，計(jì)算整理可得答案；（2）利用（1）的結(jié)果代入計(jì)算即可；（3）設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立，求出的斜率，然后利用韋達(dá)定理計(jì)算，進(jìn)而求出，則可得為定值.【詳解】（1）設(shè)，，則，，，故，，所以坐標(biāo)變換公式為，該變換所對(duì)應(yīng)的二階矩陣為；（2）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)角是的旋轉(zhuǎn)變換下所得點(diǎn)坐標(biāo)為.則，即，得，則，所求曲線方程為；（3）①直線斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，設(shè)Ax1由，得，所以，，且，當(dāng)時(shí)，取，，所以直線方程為：，直線方程與雙曲線方程聯(lián)立可得，解得或，所以，.所以，所以，可得；當(dāng)時(shí)，設(shè)的斜率分別為，，，所以，，所以.因?yàn)樵诘谝幌笙?，所以，所以，所?②直線斜率不存在時(shí)，可得，可得，，所以，同理可得.綜上可得，為定值，得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)定值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．3．（24-25高三上·上海·階段練習(xí)）若坐標(biāo)平面內(nèi)的曲線與某正方形四條邊的所在直線均相切，則稱曲線為正方形的一條“切曲線”，正方形為曲線的一個(gè)“切立方”．(1)試寫出圓的一個(gè)切立方的四條邊所在直線的方程；(2)已知正方形的方程為，且正方形為雙曲線的一個(gè)“切立方”，求雙曲線的離心率的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)的圖象為曲線，試問曲線是否存在切立方，并說明理由．【答案】(1)(答案不唯一)(2)(3)存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)“切立方”的定義，結(jié)合圖象，找到一個(gè)切立方的四條邊所在直線的方程即可；（2）根據(jù)“切立方”的定義，聯(lián)立與雙曲線，由于相切，則，根據(jù)，即可求出雙曲線的離心率的取值范圍；（3）設(shè)第一個(gè)切點(diǎn)為，則切線為，根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱和正方形對(duì)邊平行，因此可設(shè)第二條切線為，同理求出第三條和第四條切線，然后驗(yàn)證四條切線形成的圖形是否為正方形即可.【詳解】（1）根據(jù)“切立方”的定義，結(jié)合圖象可得，(答案不唯一)（2）由正方形的方程為，則，由正方形為雙曲線的一個(gè)“切立方”，則，聯(lián)立可得，整理得，則，整理得，即，則，所以.（3）由函數(shù)，則，設(shè)一個(gè)切點(diǎn)為，則則過該點(diǎn)的一條切線方程為：，即，由函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此如果曲線是存在切立方，則正方形也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故與第一條邊平行的正方形的另一條邊所在直線為：,設(shè)第三個(gè)切點(diǎn)為，同理可得另兩條切線為，若存在正方形，即，由此可設(shè)，代入消元可得，設(shè)，由，，由零點(diǎn)存在性定理可知在上有解，因此曲線存在切立方.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）第二問中求雙曲線的離心率，關(guān)鍵找到關(guān)于的關(guān)系式，因此利用直線與雙曲線相切，把直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立消去建立關(guān)于的一元二次方程，然后，建立關(guān)于的關(guān)系式；（2）第三問的關(guān)鍵在于圍成正方形的四條直線方程的設(shè)法，利用正方形的對(duì)邊平行和結(jié)合函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則相互平行的兩條切線在軸的截距互為相反數(shù).4．（24-25高三上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，定義：若曲線和上分別存在點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)和點(diǎn)為和的一對(duì)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.(1)若上任意一點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為點(diǎn)，求點(diǎn)所在的曲線方程.(2)若上任意一點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為點(diǎn)，求的取值范圍.(3)若和有且僅有兩對(duì)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義可得曲線方程，結(jié)合曲線方程及基本不等式可得最值；（2）設(shè)，則根據(jù)對(duì)稱性得，根據(jù)三角換元可得，恒等變形得，即可求得的取值范圍；（3）和有且僅有兩對(duì)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”等價(jià)于曲線和有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，令，求得.當(dāng)時(shí)，的最小值為，討論當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，零點(diǎn)情況，當(dāng)時(shí)，由，得，，分時(shí)，時(shí)，時(shí)，零點(diǎn)情況，求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，即，所以點(diǎn)所在的曲線方程為.（2）設(shè)，則根據(jù)對(duì)稱性得，因?yàn)榍€關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，設(shè)，，，所以，所以的最小值為，最大值為，所以的取值范圍為.（3）和有且僅有兩對(duì)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”等價(jià)于曲線和有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即，化簡可得，令，則.（i）若，則，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為.①當(dāng)時(shí)，，即，則沒有零點(diǎn)，不滿足題意.②當(dāng)時(shí)，，只有一個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意.③當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，所以，故，又，所以在上有一個(gè)零點(diǎn).設(shè)，則，單調(diào)遞增，所以，則當(dāng)時(shí)，，又，所以，因此在上有一個(gè)零點(diǎn).故當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，滿足題意.（ii）若，則由，得，.①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，所以至多有一個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意.②當(dāng)時(shí)，，則，所以單調(diào)遞減，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意.③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以至多有一個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（3）和有且僅有兩對(duì)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”等價(jià)于曲線和有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，令，利用導(dǎo)數(shù)討論零點(diǎn)情況，求得實(shí)數(shù)的取值范圍.5．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，可以用兩點(diǎn)之間距離公式刻畫兩點(diǎn)的距離，事實(shí)上，這里的距離屬于這兩個(gè)點(diǎn)的一種“度量”.在拓?fù)鋵W(xué)中，我們規(guī)定某一實(shí)數(shù)滿足：①，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；

②；

③.其中，為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)，我們就稱是關(guān)于兩點(diǎn)的一個(gè)“度量”.設(shè)：平面直角坐標(biāo)系（為坐標(biāo)原點(diǎn)）內(nèi)兩點(diǎn)的“距離”.(1)求證：兩點(diǎn)的“距離”是關(guān)于兩點(diǎn)的一個(gè)“度量”.(2)設(shè)為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn).（?。┤?，請(qǐng)?jiān)谙聢D中定性做出點(diǎn)的集合組成的圖像（不必說明理由，但要求做出特殊點(diǎn)與其特征）.

（ⅱ）求證：.(3)規(guī)定平面內(nèi)兩條平行直線的距離為在上分別取的任意兩個(gè)點(diǎn)距離的最小值.已知不重合的直線，，，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)（i）圖象見解析；（ii）證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)題設(shè)定義逐一檢驗(yàn)①②③，即可證明結(jié)果；（2）（i）根據(jù)題設(shè)定義，利用，即可求解；（ii）設(shè)Px,y，則，再令，即可證明結(jié)果；（3）