第8章三角形8.1.2三角形的內(nèi)角和與外角和1．理解三角形內(nèi)角和定理的內(nèi)容，能應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決一些簡單的實(shí)際問題．2．能運(yùn)用三角形外角的兩條性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的幾何計(jì)算和證明，并體會(huì)幾何圖形中的不等關(guān)系．3．會(huì)用簡單的說理來計(jì)算與三角形相關(guān)的角的度數(shù)．重點(diǎn)：三角形內(nèi)角和與外角和定理．難點(diǎn)：與三角形內(nèi)外角有關(guān)的計(jì)算．一、情境導(dǎo)入多媒體展示：(三兄弟之爭)在一個(gè)直角三角形村莊里，住著三個(gè)內(nèi)角，平時(shí)它們非常團(tuán)結(jié)，有一天，老三不高興了，對(duì)老大說：“憑什么你的度數(shù)最大，我也要和你一樣大！”老大說：“這是不可能的，否則我們這個(gè)家就要被拆散，圍不起來了！”“為什么呢？”老二、老三納悶起來……同學(xué)們，你們知道其中的道理嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：三角形的內(nèi)角和【類型一】判斷三角形的形狀一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1∶2∶3，這個(gè)三角形一定是()A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．無法判定解析：設(shè)這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是x，2x，3x，根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，得x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°，∴這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是30°，60°，90°，即這個(gè)三角形是直角三角形．故選A.方法總結(jié)：在解決有關(guān)比例問題時(shí)，通常先設(shè)比例系數(shù)，然后列方程求解．【類型二】求三角形內(nèi)角的度數(shù)已知，如圖，D是△ABC中BC邊延長線上一點(diǎn)，DF⊥AB交AB于F，交AC于E.若∠A＝46°，∠D＝50°，求∠ACB的度數(shù)．解析：在直角三角形DFB中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求得∠B的度數(shù)，再在△ABC中求∠ACB的度數(shù)即可．解：在△DFB中，∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°.∵∠D＝50°，∴∠B＝90°－∠D＝40°.在△ABC中，∵∠A＝46°，∠B＝40°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.方法總結(jié)：求三角形的內(nèi)角，必然和三角形內(nèi)角和定理有關(guān)，解決問題時(shí)要根據(jù)圖形特點(diǎn)，在不同的三角形中，靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理求解．【類型三】三角形的內(nèi)角與角平分線、高的綜合運(yùn)用如圖，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝40°，∠C＝70°，求∠DAE的度數(shù).解析：由三角形的內(nèi)角和可得∠BAC的度數(shù)，再由角平分線可求得∠BAE＝∠EAC＝eq\f(1,2)∠BAC，在直角三角形ACD中，可求得∠DAC的度數(shù)，最后由∠DAE＝∠EAC－∠DAC即可求∠DAE的度數(shù)．解：∵∠B＝40°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝70°.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠EAC＝35°.在△CAD中，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.∴∠DAC＝180°－90°－70°＝20°.∴∠DAE＝∠EAC－∠DAC＝35°－20°＝15°.方法總結(jié)：本題是常見的幾何計(jì)算題，解題的關(guān)鍵是利用三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的性質(zhì)，找出角與角之間的關(guān)系并結(jié)合圖形解答．探究點(diǎn)二：三角形的外角和及其性質(zhì)【類型一】利用三角形外角的性質(zhì)比較角的大小如圖，∠A，∠1，∠2的大小關(guān)系為()A．∠A＞∠1＞∠2B．∠A＞∠2＞∠1C．∠2＞∠1＞∠AD．∠2＞∠A＞∠1解析：根據(jù)外角的性質(zhì)即可知．∵∠1＞∠A，∠2＞∠1，∴∠2＞∠1＞∠A.故選C.方法總結(jié)：根據(jù)三角形外角的性質(zhì)(三角形的外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角)來比較角的大?。绢愋投咳切瓮饨呛投ɡ砣鐖D，∠1，∠2，∠3是△ABC的外角，若∠1∶∠2∶∠3＝4∶3∶2，則∠ABC的度數(shù)為()A．60°B．80°C．90°D．100°解析：設(shè)∠1，∠2，∠3的度數(shù)分別為4x，3x，2x，則4x＋3x＋2x＝360°，解得x＝40°.∴∠2＝3x＝120°.∴∠ABC＝180°－120°＝60°.故選A.方法總結(jié)：三角形中與外角和有關(guān)的計(jì)算，掌握三角形的外角和等于360°是解題的關(guān)鍵．【類型三】利用三角形外角的性質(zhì)求角度如圖所示，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度數(shù)．解析：延長BP交AC于E或連接AP并延長，構(gòu)造三角形的外角，再利用外角的性質(zhì)即可求出∠A的度數(shù)．(也可利用內(nèi)角和為180°來計(jì)算轉(zhuǎn)換)解：如圖，延長BP交AC于點(diǎn)E，則∠BPC，∠PEC分別為△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A.∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.方法總結(jié)：利用三角形的外角的性質(zhì)將已知與未知的角聯(lián)系起來是計(jì)算角的度數(shù)的方法．三、板書設(shè)計(jì)三角形的內(nèi)角和與外角和1．三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180°.2．三角形內(nèi)角和定理的證明．3．三角形外角的性質(zhì)：(1)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角的和；(2)三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角．4．三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°.本節(jié)課通過一段對(duì)話設(shè)置疑問，巧設(shè)懸念，激起學(xué)生獲取知識(shí)的求知欲，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生由被動(dòng)接受知識(shí)轉(zhuǎn)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，從而提高學(xué)習(xí)效率．然后讓學(xué)生自主探究，