PAGE1-第2課時(shí)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理素養(yǎng)訓(xùn)練1．圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝39，BC＝25，CD＝60，DA＝52，則圓的直徑為()A．62 B．63C．65 D．66【答案】C【解析】連接BD，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos(π－A)，即392＋522－2×39×52×cosA＝252＋602＋2×25×60×cosA，∴cosA＝0.∴A＝90°.∴BD為圓的直徑，BD＝eq\r(BC2＋CD2)＝eq\r(252＋602)＝65.故選C．2．如圖所示，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，則四邊形的面積為()A．eq\f(16,3) B．8C．eq\f(32,3) D．8eq\r(3)【答案】D【解析】連接BD，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos(π－A)，即22＋42－2×2×4×cosA＝62＋42＋2×6×4×cosA，∴cosA＝－eq\f(1,2).∴A＝120°.∴S＝S△ABD＋S△BCD＝eq\f(1,2)AB·AD·sinA＋eq\f(1,2)BC·CD·sinC＝8eq\r(3).故選D．3．如圖所示，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC為BD的垂直平分線，∠ACB＝60°，AB＝a，則CD＝()A．eq\f(\r(3),3)a B．eq\f(\r(3),2)aC．eq\f(1,2)a D．eq\f(1,3)a【答案】A【解析】由已知AC為直徑，∴∠ABC＝90°.又∠ACB＝60°，∴BC＝eq\f(1,\r(3))a.∴CD＝BC＝eq\f(1,\r(3))a＝eq\f(\r(3),3)a.故選A．4．圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，則∠D的度數(shù)是________．【答案】90°【解析】設(shè)∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，∠D＝180°－2x，由∠A＋∠C＝x＋3x＝180°，∴x＝45°.∴∠A＝45°，∠B＝90°，∠C＝135°，∠D＝90°.5．如圖所示，AD，BE是△ABC的兩條高，∠ABC＝60°，則∠CED＝________.【答案】60°【解析】∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴△ABD和△ABE均為直角三角形，D，E均在以AB為直徑的圓上．∴A，B，D，E四點(diǎn)共圓．∴∠CED＝∠ABC＝60°.6．如圖所示，已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓，延長(zhǎng)AB和DC相交于E，EG平分∠AED且與BC，AD分別相交于F，G.若∠CFG＝80°，則∠DGF＝________.【答案】80°【解析】∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓，∴∠FCE＝∠A．∵∠CFG＝∠FCE＋∠CEF，∠DGF＝∠A＋∠AEG，而∠AEG＝∠CEF，∴∠CFG＝∠DGF＝80°.7．如圖所示，A，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，AD的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)且EC＝ED．(1)求證：CD∥AB；(2)延長(zhǎng)CD到F，延長(zhǎng)DC到G，使得EF＝EG，求證：A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．【證明】(1)因?yàn)镋C＝ED，所以∠EDC＝∠ECD．因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，所以∠EDC＝∠EBA．故∠ECD＝∠EBA，所以CD∥AB．(2)因?yàn)镋F＝EG，故∠EFD＝∠EGC．又由(1)知∠EDC＝∠ECD，從而∠FED＝∠GEC．由∠EDC＝∠EBA，∠ECD＝∠EAB，可得∠EAB＝∠EBA，所以AE＝BE.連接AF，BG，則△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.所以∠FAB＝∠GBA．又CD∥AB，所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．8．(2015年慶陽模擬)如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，BC與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BA的延長(zhǎng)線上．(1)若eq\f(EC,EB)＝eq\f(1,3)，eq\f(ED,EA)＝eq\f(1,2)，求eq\f(DC,AB)的值；(2)若EF2＝FA·FB，求證：EF∥CD．【解析】(1)∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓，∴∠ECD＝∠EAB，∠EDC＝∠B．∴△EDC∽△EBA，可得eq\f(ED,EB)＝eq\f(EC,EA)＝eq\f(DC,AB).∴eq\f(ED,EB)·eq\f(EC,EA)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DC,AB)))2，即eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DC,AB)))2.∴eq\f(DC,AB)＝eq\f(\r(6),6).(2)∵EF2＝FA·FB，∴eq\f(EF,FA)＝eq\f(FB,FE).又∠EFA＝∠BFE，∴△FAE∽△FEB．∴∠FEA＝∠B．∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓，∴∠EDC＝∠B．∴∠FEA＝∠EDC．∴EF∥CD．實(shí)力提升9．如圖所示，已知△ABC的兩條角平分線AD和CE相交于H，∠B＝60°，F(xiàn)在AC上且AE＝AF.(1)求證：B，D，H，E四點(diǎn)共圓；(2)求證：CE平分∠DEF.【證明】(1)在△ABC中，因?yàn)椤螧＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因?yàn)锳D，CE是角平分線，所以∠HAC＋∠HCA＝60°.故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因?yàn)椤螮BD＋∠EHD＝180°，所以B，D，H，E四