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備課資料

［備用習(xí)題］

1.以下各式中成立且結(jié)果為最簡(jiǎn)根式的是()

A上軍=痂

G行

D.(V5-V125)3=5+125V125-2癢V125

答案：B

2.對(duì)于a>O,r,sdQ,以下運(yùn)算中正確的是()

A.a'.aWsB.(ar)s=arsC.(-)'=a'-bsD.a'b-(ab)^

b

答案：B

3.式子、仁2=成立的充要條件是()

Vx-1A/X-1

x—2

A.----->0B.x/1C.x<lD.x>2

x—1

分析：方法一：

要使式子、仁2=成立，需x-l>0,x-2K),即x>2.

Vx-1

右X22,則式子J----=/成".

VX-1yjx-\

lx—2ylx—2

從而x>2是式子、上」=半二成立的充要條件.故選D.

Vx-i

方法二：

Y—2

對(duì)A,式子——>0連式子成立也保證不了，尤其x-2<0,x-l<0時(shí)式子不成立.

X-1

對(duì)B,x-l<0時(shí)式子不成立.

對(duì)C,x<l時(shí)Jx-1無(wú)意義.

對(duì)D正確.

答案：D

解：-^b-(2-\/b-1)=J(y/lj-])-=yfb-l(l<b<2).

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5.計(jì)算V2+V5+V2-V5.

解：令x=#2+百+#2-百,

兩邊立方得X3=2+75+2Q+3^2+75*V2-V5?(^2+75+^2-75),即

X3=4-3X,X3-3X+4=0.

(X-1)(X2+X+4)=0.

21215

?.x-+x+4=(x+—)+—>0,

24

x-l=0,EPx=l.

V2+V5+V2-V5=1.

第二章基本初等函數(shù)（I）

本章教材分析

教材把指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、基函數(shù)當(dāng)作三種重要的函數(shù)模型來(lái)學(xué)習(xí),強(qiáng)調(diào)通過(guò)實(shí)例和圖象

的直觀，揭示這三種函數(shù)模型增長(zhǎng)的差異及其關(guān)系,從而讓學(xué)生體會(huì)建立和研究一個(gè)函數(shù)模型

的基本過(guò)程和方法，學(xué)會(huì)運(yùn)用具體的函數(shù)模型解決一些實(shí)際問(wèn)題.

本章總的教學(xué)目標(biāo)是:了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景，理解有理數(shù)指數(shù)事的意義，通過(guò)具體實(shí)

例了解實(shí)數(shù)指數(shù)暴的意義，掌握累的運(yùn)算;理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，掌握f(shuō)（x）=a'的符號(hào)及

意義,能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫(huà)出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)（單

調(diào)性、值域、特別點(diǎn)），通過(guò)應(yīng)用實(shí)例的教學(xué)，體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一種重要的函數(shù)模型;理解對(duì)數(shù)

的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，了解對(duì)數(shù)換底公式及其簡(jiǎn)單應(yīng)用，能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為常用對(duì)數(shù)或自然

對(duì)數(shù),通過(guò)閱讀材料，了解對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史及其對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用;通過(guò)具體函數(shù)，直觀了解對(duì)

數(shù)函數(shù)模型所刻畫(huà)的數(shù)量關(guān)系，初步理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，掌握f(shuō)（x）=logux的符號(hào)及意義，體會(huì)

對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型;能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫(huà)出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了

解對(duì)數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)（單調(diào)性、值域、特殊點(diǎn)）；知道指數(shù)函數(shù)y=a'與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logux

互為反函數(shù)（a>0,a聲），初步了解反函數(shù)的概念和f7x）的意義;通過(guò)實(shí)例了解基函數(shù)的概念,

結(jié)合五種具體函數(shù)y=x,y=x2,y=x1y=x」,y=x2的圖象，了解它們的變化情況.

本章的重點(diǎn)是三種初等函數(shù)的概念、圖象及性質(zhì)，要在理解定義的基礎(chǔ)上，通過(guò)幾個(gè)特殊函數(shù)

圖象的觀察，歸納得出一般圖象及性質(zhì)，這種由特殊到一般的研究問(wèn)題的方法是數(shù)學(xué)的基本方

法.把這三種函數(shù)的圖象及性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系及本質(zhì)區(qū)別搞清楚是本章的難點(diǎn).

教材注重從現(xiàn)實(shí)生活的事例中引出指數(shù)函數(shù)概念，所舉例子比較全面，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思想

素質(zhì)和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和欲望.教學(xué)中要充分發(fā)揮課本的這些材料的作用，并盡可能

聯(lián)系一些熟悉的事例，以豐富教學(xué)的情境創(chuàng)設(shè).在學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)時(shí)，教材將它與

指數(shù)函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容作了比較，讓學(xué)生體會(huì)兩種函數(shù)模型的增長(zhǎng)區(qū)別與關(guān)聯(lián)，滲透了類比思想.

建議教學(xué)中重視知識(shí)間的遷移與互逆作用.教材對(duì)反函數(shù)的學(xué)習(xí)要求僅限于初步的知道概念,

目的在于強(qiáng)化指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)這兩種函數(shù)模型的學(xué)習(xí)，教學(xué)中不宜對(duì)其定義做更多的拓

展.教材對(duì)新函數(shù)的內(nèi)容做了削減，僅限于學(xué)習(xí)五種學(xué)生易于掌握的幕函數(shù)，并且安排的順序

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向后調(diào)整，教學(xué)中應(yīng)防止增加這部分內(nèi)容，以免增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).通過(guò)運(yùn)用計(jì)算機(jī)繪制指

數(shù)函數(shù)的動(dòng)態(tài)圖象，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到信息技術(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用,教師要盡量發(fā)揮電腦

繪圖的教學(xué)功能.教材安排了“閱讀與思考”的內(nèi)容，有利于加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的教育，應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生

認(rèn)真研讀.

本章教學(xué)時(shí)間約需14課時(shí)，具《本分配如下(僅供參考)

2.1指數(shù)函數(shù)約6課時(shí)

2.2對(duì)數(shù)函數(shù)約6課時(shí)

2.3幕函數(shù)約1課時(shí)

本章復(fù)習(xí)約1課時(shí)

2.1指數(shù)函數(shù)

2.1.1指數(shù)與指數(shù)塞的運(yùn)算

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

我們?cè)诔踔械膶W(xué)習(xí)過(guò)程中，已了解了整數(shù)指數(shù)幕的概念和運(yùn)算性質(zhì).從本節(jié)開(kāi)始我們將在回顧

平方根和立方根的基礎(chǔ)上,類比出正數(shù)的n次方根的定義，從而把指數(shù)推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù).進(jìn)而推

廣到有理數(shù)指數(shù)，再推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)，并將幕的運(yùn)算性質(zhì)由整數(shù)指數(shù)慕推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)慕.

教材為了讓學(xué)生在學(xué)習(xí)之外就感受到指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景，先給出兩個(gè)具體例子:GDP的增

長(zhǎng)問(wèn)題和碳14的衰減問(wèn)題.前一個(gè)問(wèn)題，既讓學(xué)生回顧了初中學(xué)過(guò)的整數(shù)指數(shù)累，也讓學(xué)生感

受到其中的函數(shù)模型，并且還有思想教育價(jià)值.后一個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生體會(huì)其中的函數(shù)模型的同時(shí),

激發(fā)學(xué)生探究分?jǐn)?shù)指數(shù)幕、無(wú)理數(shù)指數(shù)辱的興趣與欲望，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)作了鋪墊.

本節(jié)安排的內(nèi)容蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如推廣的思想(指數(shù)嘉運(yùn)算律的推廣)、類比

的思想、逼近的思想(有理數(shù)指數(shù)幕逼近無(wú)理數(shù)指數(shù)幕)、數(shù)形結(jié)合的思想(用指數(shù)函數(shù)的圖象

研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì))等，同時(shí)，充分關(guān)注與實(shí)際問(wèn)題的結(jié)合，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)，教學(xué)中要注意發(fā)揮信息技術(shù)的力量,盡量利用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)創(chuàng)設(shè)教學(xué)

情境,為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持.

三維目標(biāo)

1.通過(guò)與初中所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行類比，理解分?jǐn)?shù)指數(shù)基的概念，進(jìn)而學(xué)習(xí)指數(shù)嘉的性質(zhì).掌握分?jǐn)?shù)

指數(shù)幕和根式之間的互化，掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)暴的運(yùn)算性質(zhì).培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、抽象類比的能力.

2.掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的互化，滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想.通過(guò)運(yùn)算訓(xùn)練,養(yǎng)成學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)，

一絲不茍的學(xué)習(xí)習(xí)慣，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)來(lái)自生活，數(shù)學(xué)又服務(wù)于生活的哲理.

3.能熟練地運(yùn)用有理指數(shù)基運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化筒、求值，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和科學(xué)正確的計(jì)算

能力.

4.通過(guò)訓(xùn)練及點(diǎn)評(píng)，讓學(xué)生更能熟練掌握指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì).展示函數(shù)圖象，讓學(xué)生通過(guò)觀察，

進(jìn)而研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美和統(tǒng)一美.

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：

(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)基和根式概念的理解.

(2)掌握并運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì).

(3)運(yùn)用有理指數(shù)基性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值.

教學(xué)難點(diǎn)：

(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)基及根式概念的理解.

(2)有理指數(shù)基性質(zhì)的靈活應(yīng)用.

課時(shí)安排

3課時(shí)

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教學(xué)過(guò)程

第1課時(shí)指數(shù)與指數(shù)幕的運(yùn)算(1)

導(dǎo)入新課

思路1.同學(xué)們?cè)陬A(yù)習(xí)的過(guò)程中能否知道考古學(xué)家如何判斷生物的發(fā)展與進(jìn)化，又怎樣判斷它

們所處的年代?(考古學(xué)家是通過(guò)對(duì)生物化石的研究來(lái)判斷生物的發(fā)展與進(jìn)化的，第二個(gè)問(wèn)題

我們不太清楚)考古學(xué)家是按照這樣一條規(guī)律推測(cè)生物所處的年代的.教師板書(shū)本節(jié)課題:指

數(shù)函數(shù)——指數(shù)與指數(shù)基的運(yùn)算.

思路2.同學(xué)們,我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)了平方根、立方根，那么有沒(méi)有四次方根、五次方根…n次方

根呢？答案是肯定的，這就是我們本堂課研究的課題:指數(shù)函數(shù)——指數(shù)與指數(shù)事的運(yùn)算.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問(wèn)題

(1)什么是平方根？什么是立方根？一個(gè)數(shù)的平方根有幾個(gè)，立方根呢？

(2)如x4=a,x5=a,x6=a根據(jù)上面的結(jié)論我們又能得到什么呢？

(3)根據(jù)上面的結(jié)論我們能得到一般性的結(jié)論嗎？

(4)可否用一個(gè)式子表達(dá)呢？

活動(dòng)：教師提示，引導(dǎo)學(xué)生回憶初中的時(shí)候已經(jīng)學(xué)過(guò)的平方根、立方根是如何定義的，對(duì)照類

比平方根、立方根的定義解釋上面的式子,對(duì)問(wèn)題②的結(jié)論進(jìn)行引申、推廣，相互交流討論后

回答，教師及時(shí)啟發(fā)學(xué)生，具體問(wèn)題一般化，歸納類比出n次方根的概念，評(píng)價(jià)學(xué)生的思維.

討論結(jié)果：

(1)若x2=a，則x叫做a的平方根，正實(shí)數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，如:4的平方根為±2,

負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，同理，若x3=a，則x叫做a的立方根，一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè)，如:-8的立方根

為-2.

(2)類比平方根、立方根的定義，一個(gè)數(shù)的四次方等于a,則這個(gè)數(shù)叫a的四次方根.一個(gè)數(shù)的五

次方等于a,則這個(gè)數(shù)叫a的五次方根.一個(gè)數(shù)的六次方等于a,則這個(gè)數(shù)叫a的六次方根.

(3)類比(2)得到一個(gè)數(shù)的n次方等于a,則這個(gè)數(shù)叫a的n次方根.

(4)用一個(gè)式子表達(dá)是，若xn=a,J)llJx叫a的n次方根.

教師板書(shū)n次方根的意義：

一般地，如果x“=a，那么x叫a的n次方根(n-throot),其中n>l且nGN.

可以看出數(shù)的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.

提出問(wèn)題

(1)你能根據(jù)n次方根的意義求出下列數(shù)的n次方根嗎?(多媒體顯示以下題目).

①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；

⑥0的7次方根；⑦戰(zhàn)的立方根.

(2)平方根，立方根,4次方根,5次方根,7次方根，分別對(duì)應(yīng)的方根的指數(shù)是什么數(shù)，有什么特

點(diǎn)?4,±8,16,-32,32,0"分別對(duì)應(yīng)什么性質(zhì)的數(shù),有什么特點(diǎn)？

(3)問(wèn)題(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，數(shù)a有正有負(fù)，還有零,結(jié)論有一個(gè)的，也有兩個(gè)

的，你能否總結(jié)一般規(guī)律呢？

(4)任何一個(gè)數(shù)a的偶次方根是否存在呢？

活動(dòng)：教師提示學(xué)生切實(shí)緊扣n次方根的概念，求一個(gè)數(shù)a的n次方根，就是求出的那個(gè)數(shù)的

n次方等于a,及時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生，從數(shù)的分類考慮，可以把具體的數(shù)寫(xiě)出來(lái)，觀察數(shù)的特點(diǎn),對(duì)問(wèn)題

(2)中的結(jié)論,類比推廣引申，考慮要全面，對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表?yè)P(yáng),對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生

提示引導(dǎo)考慮問(wèn)題的思路.

討論結(jié)果：

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(1)因?yàn)椤?的平方等于4+2的立方等于8+2的4次方等于16,2的5次方等于32,-2的5

次方等于-32,0的7次方等于0"的立方等于a2所以4的平方根,±8的立方根,16的4次方根,32

的5次方根,-32的5次方根,0的7次方根,a$的立方根分別是±2,±2,±2,2,-2,0,az.

(2)方根的指數(shù)是2,3,4,5,7…特點(diǎn)是有奇數(shù)和偶數(shù).總的來(lái)看，這些數(shù)包括正數(shù)，負(fù)數(shù)和零.

(3)一個(gè)數(shù)a的奇次方根只有一個(gè)，一個(gè)正數(shù)a的偶次方根有兩個(gè),是互為相反數(shù).0的任何次

方根都是0.

(4)任何一個(gè)數(shù)a的偶次方根不一定存在，如負(fù)數(shù)的偶次方根就不存在,因?yàn)闆](méi)有一個(gè)數(shù)的偶

次方是一個(gè)負(fù)數(shù).

類比前面的平方根、立方根，結(jié)合剛才的討論，歸納出一般情形，得到n次方根的性質(zhì)：

①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),a的n次方根有兩個(gè)，是互為相反數(shù)，正的n次方根用標(biāo)表示,如果是負(fù)數(shù),

負(fù)的n次方根用-標(biāo)■表示，正的n次方根與負(fù)的n次方根合并寫(xiě)成土板(a>0).

②n為奇數(shù)時(shí),正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù),負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)a的n次方根用

符號(hào)磊表示.

③負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；0的任何次方根都是零.

上面的文字語(yǔ)言可用下面的式子表示：

[〃為奇數(shù),a的〃次方根有一個(gè)為伍

a為正數(shù)?〈

.〃為偶數(shù)，。的〃次方根有兩個(gè)擔(dān)標(biāo).

小谷物[〃為奇數(shù)。的〃次方根只有一個(gè)為萬(wàn)，

a為負(fù)數(shù)

[〃為偶數(shù)，。的〃次方根不存在

零的n次方根為零,記為我=0.

可以看出數(shù)的平方根、立方根的性質(zhì)是n次方根的性質(zhì)的特例.

思考根據(jù)n次方根的性質(zhì)能否舉例說(shuō)明上述幾種情況？

活動(dòng)：教師提示學(xué)生對(duì)方根的性質(zhì)要分類掌握,即正數(shù)的奇偶次方根，負(fù)數(shù)的奇次方根,零的任

何次方根，這樣才不重不漏,同時(shí)巡視學(xué)生，隨機(jī)給出一個(gè)數(shù)，我們寫(xiě)出它的平方根,立方根,4次

方根等，看是否有意義,注意觀察方根的形式，及時(shí)糾正學(xué)生在舉例過(guò)程中的問(wèn)題.

解答：答案不唯一，比如,64的立方根是4,16的四次方根為±2,-27的5次方根為卬-27,而-27

的4次方根不存在等.其中加幣也表示方根，它類似于Va的形式，現(xiàn)在我們給式子'4a一個(gè)

名稱——根式.

根式的概念：

式子F叫根式，其中a叫被開(kāi)方數(shù),n叫根指數(shù).

如之一27中,3叫根指數(shù),-27叫被開(kāi)方數(shù).

思考

也”表示a"的n次方根，等式一定成立嗎？如果不一定成立,那么此等于什么？

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活動(dòng)：教師讓學(xué)生注意討論n為奇偶數(shù)和a的符號(hào)，充分讓學(xué)生多舉實(shí)例，分組討論.教師點(diǎn)撥,

注意歸納整理.

(如y(-3)3=百工7=-3,#(-8)4斗8|=8).

解答：根據(jù)n次方根的意義，可得:(布)"=a.

通過(guò)探究得到：n為奇數(shù)，叱=a.

n為偶數(shù)?二同二卜”20'

a,a<0.

因此我們得到n次方根的運(yùn)算性質(zhì)：

①(④')n=a冼開(kāi)方，再乘方(同次)，結(jié)果為被開(kāi)方數(shù).

②n為奇數(shù),也"=a.先奇次乘方,再開(kāi)方(同次)，結(jié)果為被開(kāi)方數(shù).

n為偶數(shù)先偶次乘方,再開(kāi)方(同次)，結(jié)果為被開(kāi)方數(shù)的絕對(duì)值.

-a,a<0,

應(yīng)用示例

思路1

例1求下列各式的值：

32

⑴V(-8)；(2)7(-10);(3)y(3—萬(wàn))4；(4)J("份2(a>b)

活動(dòng)：求某些式子的值,首先考慮的應(yīng)是什么，明確題目的要求是什么，都用到哪些知識(shí),關(guān)鍵是

啥,搞清這些之后，再針對(duì)每一個(gè)題目仔細(xì)分析.觀察學(xué)生的解題情況，讓學(xué)生展示結(jié)果,抓住學(xué)

生在解題過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題并對(duì)癥下藥.求下列各式的值實(shí)際上是求數(shù)的方根,可按方根的運(yùn)

算性質(zhì)來(lái)解，首先要搞清楚運(yùn)算順序，目的是把被開(kāi)方數(shù)的符號(hào)定準(zhǔn)，然后看根指數(shù)是奇數(shù)還

是偶數(shù)，如果是奇數(shù)，無(wú)需考慮符號(hào)，如果是偶數(shù)，開(kāi)方的結(jié)果必須是非負(fù)數(shù).

解：(1)而于=-8;

(2)J(-10)2=10；

(3)1(3-萬(wàn))"=71-3;

點(diǎn)評(píng)：不注意n的奇偶性對(duì)式子^的值的影響，是導(dǎo)致問(wèn)題出現(xiàn)的一個(gè)重要原因，要在理解

的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)，記熟，會(huì)用，活用.

變式訓(xùn)練

求出下列各式的值：

(l)V^；

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⑵V（3a—3）3（aSl）;

⑶」（3。-3）4.

解：（l）V（-2）7=-2,

⑵y（3a-3）3（a<l）=3a-3,

（3）V（3a-3）4=<3Q-3,Q21,

3-3a,a<1.

點(diǎn)評(píng)：本題易錯(cuò)的是第⑶題，往往忽視a與1大小的討論，造成錯(cuò)解.

思路2

例1下列各式中正確的是()

(l)V^'=a;

(2)V(-2)2=V72;

⑶a』；

(4)'V(V2-1)5=7(V2-1).

活動(dòng)：教師提示，這是一道選擇題，本題考查n次方根的運(yùn)算性質(zhì),應(yīng)首先考慮根據(jù)方根的意義

和運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解，既要考慮被開(kāi)方數(shù)，又要考慮根指數(shù),嚴(yán)格按求方根的步驟，體會(huì)方根運(yùn)算的

實(shí)質(zhì)，學(xué)生先思考哪些地方容易出錯(cuò)，再回答.

解：⑴叱=a，考查n次方根的運(yùn)算性質(zhì)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，應(yīng)先寫(xiě)后7=|a|,故本題錯(cuò).

(2)在方，本質(zhì)上與上題相同，是一個(gè)正數(shù)的偶次方根，根據(jù)運(yùn)算順序也應(yīng)如此，結(jié)論

為［(-2)2=正，故本題錯(cuò).

(3)a°=l是有條件的，即a川,故本題也錯(cuò).

(4)是一個(gè)正數(shù)的偶次方根，根據(jù)運(yùn)算順序也應(yīng)如此，故本題正確.所以答案選(4).

點(diǎn)評(píng)：本題由于考查n次方根的運(yùn)算性質(zhì)與運(yùn)算順序,有時(shí)極易選錯(cuò)，選四個(gè)答案的情況都會(huì)

有，因此解題時(shí)千萬(wàn)要細(xì)心.

例73+272+73-272=

活動(dòng)：讓同學(xué)們積極思考，交流討論,本題乍一看內(nèi)容與本節(jié)無(wú)關(guān)，但仔細(xì)一想，我們學(xué)習(xí)的內(nèi)容

是方根，這里是帶有雙重根號(hào)的式子，去掉一層根號(hào),根據(jù)方根的運(yùn)算求出結(jié)果是解題的關(guān)鍵,

因此將根號(hào)下面的式子化成一個(gè)完全平方式就更為關(guān)鍵了,從何處入手?需利用和的平方公

式與差的平方公式化為完全平方式.正確分析題意是關(guān)鍵，教師提示，引導(dǎo)學(xué)生解題的思路.

解：73+272=71+2V2+(V2)2=7(1+V2)2=V2+1.

73-2V2=7（V2）2-2V2+1=7（V2-1）2=V2-1.

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所以)3+2直+73-272=272.

點(diǎn)評(píng)：不難看出)3-2/與)3+2后形式上有些特點(diǎn),即是對(duì)稱根式，是以±2詬形式

的式子，我們總能找到辦法把其化成一個(gè)完全平方式.

思考

上面的例2還有別的解法嗎？

活動(dòng)：教師引導(dǎo)，去根號(hào)常常利用完全平方公式,有時(shí)平方差公式也可，同學(xué)們觀察兩個(gè)式子的

特點(diǎn)，具有對(duì)稱性，再考慮并交流討論，一個(gè)是+,一個(gè)是去掉一層根號(hào)后,相加正好抵消.同時(shí)

借助平方差，又可去掉根號(hào),因此把兩個(gè)式子的和看成一個(gè)整體，兩邊平方即可,探討得另一種

解法.

另解：利用整體思想,x=)3+24+，3-24,

兩邊平方得X2=3+2V2+3-2V2+2(飛3+26)(，3-2拒)=6+27fW=6+2=8,所

以x=2V2.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)雙重二次根式,特別是形式的式子，我們總能找到辦法將根號(hào)下面的式子

化成一個(gè)完全平方式，問(wèn)題迎刃而解,另外對(duì)+2詬±以-2赤的式子，我們可以把它

們看成一個(gè)整體利用完全平方公式和平方差公式去解.

變式訓(xùn)練

若yja2-2a+l=a-l,求a的取值范圍.

解：因?yàn)閂a2-2a+l=a-1,而Ja?-2a+1=Q(a-1)2=|a-1|=a-1,

即a-l>0,

所以吟1.

點(diǎn)評(píng)：利用方根的運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)化為去絕對(duì)值符號(hào)，是解題的關(guān)鍵.

知能訓(xùn)練

(教師用多媒體顯示在屏幕上)

1.以下說(shuō)法正確的是()

A.正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)

B.負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)

C.0的任何次方根都是零

D.a的n次方根用我'表示(以上n>l且neN).

答案：C

2.化簡(jiǎn)下列各式：

(1)V64;(2)V(-3)2;(3)叱；(4)；(5)(僅7尸.

答案：⑴2;(2)M;(3)X2;(4)|X|77；(5)|x-y|.

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3.計(jì)算77+740+"屈=______.

解：g+VZU+J7-痂

=7（V5）2+2V5?V2+（V2）2+7（V5）2-2V5?V2+（V2）2

=-J（V5+V2）"+（V5—V2）-

=45+42+45-4^2

=2y/5.

答案：2Vs

拓展提升

問(wèn)題：叱=2與（標(biāo)）1'=2（n>l,neN）哪一個(gè)是恒等式，為什么?請(qǐng)舉例說(shuō)明.

活動(dòng)：組織學(xué)生結(jié)合前面的例題及其解答，進(jìn)行分析討論,解決這一問(wèn)題要緊扣n次方根的定

義.

通過(guò)歸納，得出問(wèn)題結(jié)果，對(duì)a是正數(shù)和零,n為偶數(shù)時(shí),n為奇數(shù)時(shí)討論一下.再對(duì)a是負(fù)數(shù),n為

偶數(shù)時(shí),n為奇數(shù)時(shí)討論一下，就可得到相應(yīng)的結(jié)論.

解答：①（后）n=a（n>l,n￡N）.

如果x"=a（n>l,且nGN）有意義，則無(wú)論n是奇數(shù)或偶數(shù),x="Z一定是它的一個(gè)n次方根,

所以（底）n=a恒成立.

例如：（W）4=3,（V-5）3=-5.

②廂1當(dāng)〃為奇魏

1|a|,當(dāng)〃為偶數(shù)

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),a6R,M?=2恒成立.

例如：VF=2，V（-2）5=-2.

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),aeR,a）0,加7表示正的n次方根或0,所以如果a也那么也F=a.例如療=3,

V0=0；如果a<0,那么標(biāo)=|a|=-a,如而了=籽=3.

即（八'na）"=a（n>l,nGN）是恒等式，也F=a（n>l,nGN）是有條件的.

點(diǎn)評(píng)：實(shí)質(zhì)上是對(duì)n次方根的概念、性質(zhì)以及運(yùn)算性質(zhì)的深刻理解.

課堂小結(jié)

學(xué)習(xí)必備歡迎下載

學(xué)生仔細(xì)交流討論后，在筆記上寫(xiě)出本節(jié)課的學(xué)習(xí)收獲，教師用多媒體顯示在屏幕上.

1.如果xn=a,那么x叫a的n次方根，其中n>l且n^N.用式子后表示,式子后叫根式，其中

a叫被開(kāi)方數(shù),n叫根指數(shù).

(1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),a的n次方根有兩個(gè)，是互為相反數(shù)，正的n次方根用后表示,如果是負(fù)數(shù),

負(fù)的n次方根用-后表示，正的n次方根與負(fù)的n次方根合并寫(xiě)成±42(a>0).

(2)n為奇數(shù)時(shí),正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù),負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)a的n次方根用

符號(hào)爪表示.

(3)負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根.。的任何次方根都是零.

2.掌握兩個(gè)公式：n為奇數(shù)時(shí)，(底)"=a,n為偶數(shù)時(shí)，""*=一'”"

-a,a<0.

作業(yè)

課本P59習(xí)題2.1A組1.

補(bǔ)充作業(yè)：

1.化簡(jiǎn)下列各式：

(1)V81;(2)甲二變;(3)V?；(4)^a2b4.

解：(1而=療=療=莎；

(2只/岳-行~亞；

⑶―V^￥=X2；

(4)田齊閾(I。")?=五|?。?

2.若5<a<8,則式子Jm-5)2-J(a-8)2的值為.

分析:因?yàn)?<a<8,所以J(a-5)2-J(a-8/=a-5-8+a=2a-13.

答案：2a-13.

3."5+2斯+75-276=.

分析：對(duì)雙重二次根式，我們覺(jué)得難以下筆，我們考慮只有在開(kāi)方的前提下才可能解出,由此提

示我們想辦法去掉一層根式，

不難看出75+276=7(3+2)2=V3+V2.

同理75-276=7(3-2)2=6-JL所以45+2布+加-2庭=273.

答案:2百

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設(shè)計(jì)感想

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)的平方根和立方根，根式的內(nèi)容是這些內(nèi)容的推廣，本節(jié)課由于方根和根式

的概念和性質(zhì)難以理解,在引入根式的概念時(shí)，要結(jié)合已學(xué)內(nèi)容，列舉具體實(shí)例,根式爪的講

解要分n是奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況來(lái)進(jìn)行,每種情況又分a>O,a<O,a=O三種情況，并結(jié)合具體例子

講解，因此設(shè)計(jì)了大量的類比和練習(xí)題目,要靈活處理這些題目，幫助學(xué)生加以理解，所以需要

用多媒體信息技術(shù)服務(wù)教學(xué).

(設(shè)計(jì)者：路致芳)

第2課時(shí)指數(shù)與指數(shù)募的運(yùn)算(2)

導(dǎo)入新課

思路1.碳14測(cè)年法.原來(lái)宇宙射線在大氣層中能夠產(chǎn)生放射性碳14,并與氧結(jié)合成二氧化碳

后進(jìn)入所有活組織，先為植物吸收,再為動(dòng)物吸收，只要植物和動(dòng)物生存著，它們就會(huì)不斷地吸

收碳14在機(jī)體內(nèi)保持一定的水平.而當(dāng)有機(jī)體死亡后，即會(huì)停止吸收碳14,其組織內(nèi)的碳14

便以約5730年的半衰期開(kāi)始衰變并消失.對(duì)于任何含碳物質(zhì)只要測(cè)定剩下的放射性碳14的

含量，便可推斷其年代(半衰期:經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間，變?yōu)樵瓉?lái)的一半).引出本節(jié)課題:指數(shù)與指數(shù)

幕的運(yùn)算之分?jǐn)?shù)指數(shù)事.

思路2.同學(xué)們，我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)累及其運(yùn)算性質(zhì)，那么整數(shù)指數(shù)累是否可以推廣

呢？答案是肯定的.這就是本節(jié)的主講內(nèi)容，教師板書(shū)本節(jié)課題——指數(shù)與指數(shù)塞的運(yùn)算之分

數(shù)指數(shù)幕.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問(wèn)題

(1)整數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)是什么？

(2)觀察以下式子，并總結(jié)出規(guī)律：a>0,

___________10

①=2f=a2=a5;

_______8

②好=7^?=a4=a5;

___________12

③叱=加斤=2&了；

________

?y[a^==a，=a2.

(3)利用(2)的規(guī)律，你能表示下列式子嗎？

療而，版,VF(x>0,m,nGN：且n>1).

(4)你能用方根的意義來(lái)解釋(3)的式子嗎？

(5)你能推廣到一般的情形嗎？

活動(dòng)：學(xué)生回顧初中學(xué)習(xí)的整數(shù)指數(shù)事及運(yùn)算性質(zhì)，仔細(xì)觀察，特別是每題的開(kāi)始和最后兩步

的指數(shù)之間的關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)方根的意義，用方根的意義加以解釋，指點(diǎn)啟發(fā)學(xué)生類

比(2)的規(guī)律表示，借鑒(2)(3),我們把具體推廣到一般，對(duì)寫(xiě)正確的同學(xué)及時(shí)表?yè)P(yáng)，其他學(xué)生鼓勵(lì)

提示.

討論結(jié)果：⑴整數(shù)指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)：an=aaa；.a,a°=l(a#0);0°無(wú)意義；

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-n1/mnm+n/m、nmn/n、mmn/\nn?n

a=—(a邦);a-a=a;(a)=a;(a)=a;(a?b)=ab.

an

⑵①a?是3°的5次方根；②是@8的2次方根；③a?是的4次方根；④a$是3°的2次

_____m8_____莊___20

方根.實(shí)質(zhì)上①訝=a3，②"=ak③叱=2了，④0=a^結(jié)果的a的指數(shù)是2,4,3,5

分別寫(xiě)成了形式上變了，本質(zhì)沒(méi)變.

5245

根據(jù)4個(gè)式子的最后結(jié)果可以總結(jié)：當(dāng)根式的被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時(shí)，根式可以

寫(xiě)成分?jǐn)?shù)作為指數(shù)的形式(分?jǐn)?shù)指數(shù)塞形式).

357____m

(3)利用(2)的規(guī)律,VF=5\V7?=7\Va?=a\VF=x".

357

(4)53的四次方根是57,75的三次方根是7),a7的五次方根是atx111的n次方根是x

結(jié)果表明方根的結(jié)果和分?jǐn)?shù)指數(shù)基是相通的.

7

(5)如果a>0,那么臚的n次方根可表示為后m=a7,即a=Va"W^nGN^l).

綜上所述，我們得到正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義，教師板書(shū)：

規(guī)定:正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義是一=UZm(a>o,m,nWN*,n>l).

提出問(wèn)題

①負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的意義是怎樣規(guī)定的？

②你能得出負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義嗎？

③你認(rèn)為應(yīng)怎樣規(guī)定零的分?jǐn)?shù)指數(shù)募的意義？

④綜合上述，如何規(guī)定分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義？

⑤分?jǐn)?shù)指數(shù)累的意義中，為什么規(guī)定a>0,去掉這個(gè)規(guī)定會(huì)產(chǎn)生什么樣的后果？

⑥既然指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)是否也適

用于有理數(shù)指數(shù)累呢？

活動(dòng)：學(xué)生回想初中學(xué)習(xí)的情形，結(jié)合自己的學(xué)習(xí)體會(huì)回答，根據(jù)零的整數(shù)指數(shù)幕的意義和負(fù)

整數(shù)指數(shù)事的意義來(lái)類比,把正分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義與負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的意義融合起來(lái)，與整數(shù)指

數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)類比可得有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，教師在黑板上板書(shū)，學(xué)生合作交流，以具

體的實(shí)例說(shuō)明a>0的必要性,教師及時(shí)作出評(píng)價(jià).

討論結(jié)果：①負(fù)整數(shù)指數(shù)基的意義是:晨三二但卻加右寸.

②既然負(fù)整數(shù)指數(shù)基的意義是這樣規(guī)定的，類比正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)累的意義可得正數(shù)的負(fù)分

數(shù)指數(shù)塞的意義.

上1I

規(guī)定:正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累的意義是am----=,——(a>O,m,neN,n>l).

Jw7

③規(guī)定:零的分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義是:零的正分?jǐn)?shù)次基等于零，零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)事沒(méi)有意義.

④教師板書(shū)分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義.分?jǐn)?shù)指數(shù)累的意義就是：

n__

正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義是ai=M/(a>O,m,nCN,n>l),正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)'幕的意義是

學(xué)習(xí)必備歡迎下載

」一=rL(a>O,m,nGN*,n>l),零的正分?jǐn)?shù)次幕等于零，零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累沒(méi)有意義.

a'"=

⑤若沒(méi)有a>0這個(gè)條件會(huì)怎樣呢?

12

如(一1)5=3一1=一1,(一1~=6(-11=1具有同樣意義的兩個(gè)式子出現(xiàn)了截然不同的結(jié)果,這只說(shuō)明分

數(shù)指數(shù)事在底數(shù)小于零時(shí)是無(wú)意義的.因此在把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)時(shí)，切記要使底數(shù)大于零,

2

如無(wú)a>0的條件，比如式子3a2=|a|彳,同時(shí)負(fù)數(shù)開(kāi)奇次方是有意義的，負(fù)數(shù)開(kāi)奇次方時(shí),應(yīng)把負(fù)

號(hào)移到根式的外邊，然后再按規(guī)定化成分?jǐn)?shù)指數(shù)累，也就是說(shuō)，負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)慕在有意義的情況

下總表示正數(shù)，而不是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)只是出現(xiàn)在指數(shù)上.

⑥規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義后,指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù).

有理數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì):對(duì)任意的有理數(shù)r,s,均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：

(1)ar-as=a'+s(a>O,r,seQ),

(2)(ar)s=ars(a>O,r,seQ),

(3)(a-b)r=arb'(a>O,b>O,reQ).

我們利用分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的意義和有理數(shù)指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)可以解決一些問(wèn)題，來(lái)看下面的例題.

應(yīng)用示例

思路1

f-11|6—

例1求值:①83;@252③(一尸;①(—)4.

281

活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生考慮解題的方法，利用塞的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算出數(shù)值或化成最簡(jiǎn)根式，根據(jù)題

目要求，把底數(shù)寫(xiě)成事的形式,8寫(xiě)成23,25寫(xiě)成52,1寫(xiě)成2","寫(xiě)成(2))利用有理數(shù)事的

2813

運(yùn)算性質(zhì)可以解答，完成后,把自己的答案用投影儀展示出來(lái).

222

解：①8H=(23戶=23=22=4;

②25"=(5?)《=5二5三-；

③(；尸=(2"尸=2"x(-5)=32;

,、16424x(-2)2327

④(一)4=(一)4=(-)-3=—.

81338

點(diǎn)評(píng)：本例主要考查基值運(yùn)算,要按規(guī)定來(lái)解.在進(jìn)行基值運(yùn)算時(shí)，要首先考慮轉(zhuǎn)化為指數(shù)運(yùn)算,

2

而不是首先轉(zhuǎn)化為熟悉的根式運(yùn)算，如8三=除=廂=4.

例2用分?jǐn)?shù)指數(shù)基的形式表示下列各式.

a3-4a;a2-(a>0).

活動(dòng)：學(xué)生觀察、思考，根據(jù)解題的順序，把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕,再由幕的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)運(yùn)算,

根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)累時(shí),要由里往外依次進(jìn)行，把握好運(yùn)算性質(zhì)和順序,學(xué)生討論交流自己的

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解題步驟，教師評(píng)價(jià)學(xué)生的解題情況，鼓勵(lì)學(xué)生注意總結(jié).

解：^-4a=^-a1=a+1=a1■,

22+』?

a2-=a2a=a;

______1I412

Ja\a=(a-aW)5=(a))5=a3.

點(diǎn)評(píng)：利用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義和有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行根式運(yùn)算時(shí)，其順序是先把根

式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)累，再由嘉的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)運(yùn)算.對(duì)于計(jì)算的結(jié)果,不強(qiáng)求統(tǒng)一用什么形式來(lái)表

示,沒(méi)有特別要求，就用分?jǐn)?shù)指數(shù)累的形式來(lái)表示，但結(jié)果不能既有分?jǐn)?shù)指數(shù)又有根式,也不能

既有分母又有負(fù)指數(shù).

例3計(jì)算下列各式(式中字母都是正數(shù))：

211115

(1)(2a3b2)(-6a2b3)+(-3a6b3)；

(2)(m4n8產(chǎn)

活動(dòng)：先由學(xué)生觀察以上兩個(gè)式子的特征，然后分析,四則運(yùn)算的順序是先算乘方，再算乘除,

最后算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的，整數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)算規(guī)律擴(kuò)充到分?jǐn)?shù)指數(shù)幕后，其

運(yùn)算順序仍符合我們以前的四則運(yùn)算順序，再解答，把自己的答案用投影儀展示出來(lái)，相互交

流,其中要注意到(1)小題是單項(xiàng)式的乘除運(yùn)算，可以用單項(xiàng)式的乘除法運(yùn)算順序進(jìn)行，要注

意符號(hào)，第(2)小題是乘方運(yùn)算,可先按積的乘方計(jì)算，再按基的乘方進(jìn)行計(jì)算,熟悉后可以簡(jiǎn)

化步驟.

21￡_5

解：(1)原式=[2x(-6)+(-3)]a3+26b2+36=4ab()=4a；

1--L1x8--x8//

(2)(m4n8)8=(m4)8(n8)8=m4n8=m2n、'=——.

n

點(diǎn)評(píng)：分?jǐn)?shù)指數(shù)暴不表示相同因式的積，而是根式的另一種寫(xiě)法.有了分?jǐn)?shù)指數(shù)累，就可把根式

轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的形式，用分?jǐn)?shù)指數(shù)事的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算了.

本例主要是指數(shù)基的運(yùn)算法則的綜合考查和應(yīng)用.

變式訓(xùn)練

求值：

⑴明,正;

⑵3

11]+2」+!

解：⑴3市?次.小=3.35.3,3&=3+2+3+6=32=9；

44

cr34々334?3"(加3"_92

27m-3m-m92-4

⑵=(Wz=(Wz=-mn

ii25/?25

(53)6(〃6尸

例4計(jì)算下列各式:

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(1)(V25-V125HV25;

2

(2)―^-=(a＞0).

y[a

活動(dòng)：先由學(xué)生觀察以上兩個(gè)式子的特征，然后分析，化為同底.利用分?jǐn)?shù)指數(shù)累計(jì)算，在第(1)

小題中，只含有根式，且不是同次根式，比較難計(jì)算，但把根式先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)事再計(jì)算,這樣就

簡(jiǎn)便多了，第(2)小題也是先把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)基后再由運(yùn)算法則計(jì)算，最后寫(xiě)出解答.

112^231

解：⑴原式=(253-1252)+254=(53-52)4-52

23_21

=532-522=56-5^^5-5;

思路2

例1比較J5,朗IV而的大小.

活動(dòng)：學(xué)生努力思考，積極交流，教師引導(dǎo)學(xué)生解題的思路，由于根指數(shù)不同，應(yīng)化成統(tǒng)一的根指

數(shù),才能進(jìn)行比較，又因?yàn)楦笖?shù)最大的是6,所以我們應(yīng)化為六次根式，然后，只看被開(kāi)方數(shù)的

大小就可以了.

解：因?yàn)?=而125＞123＞121,所以包莊＞為為＞心而.

所以后＞vi》＞vn.

點(diǎn)評(píng)：把根指數(shù)統(tǒng)一是比較幾個(gè)根式大小的常用方法.

例2求下列各式的值：

(2)2V3XVL5XV12.

活動(dòng)：學(xué)生觀察以上幾個(gè)式子的特征，既有分?jǐn)?shù)指數(shù)累又有根式，應(yīng)把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)累

后再由運(yùn)算法則計(jì)算，如果根式中根指數(shù)不同，也應(yīng)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)累,然后分析解答，對(duì)(1)應(yīng)由

里往外481x6=心、(33"，對(duì)⑵化為同底的分?jǐn)?shù)指數(shù)累，及時(shí)對(duì)學(xué)生活動(dòng)進(jìn)行評(píng)價(jià).

解：(/lx正

,_L_L4+Z11417

=[34x(33)2]4=(3%)4=(33)4=36=3桁;

q!1]+!+!111

(2)243xVk5xV12=2x32x(1-)3x(3x22)6=2+^3-32+3+6=2x3=6.

例3計(jì)算下列各式的值:

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3111

⑴[(a2bV-(ab-3)2(b2)7]3;

1+aQy[a+a*

2--

(3)(Va3后+“3.

活動(dòng)：先由學(xué)生觀察以上三個(gè)式子的特征，然后交流解題的方法,把根式用分?jǐn)?shù)指數(shù)累寫(xiě)出,

利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)去計(jì)算，教師引導(dǎo)學(xué)生,強(qiáng)化解題步驟，對(duì)(1)先進(jìn)行積的乘方，再進(jìn)行同底

數(shù)基的乘法，最后再乘方，或先都乘方，再進(jìn)行同底數(shù)基的乘法，對(duì)(2)把分?jǐn)?shù)指數(shù)化為根式,

然后通分化簡(jiǎn)，對(duì)(3)把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)，進(jìn)行積的乘方，再進(jìn)行同底數(shù)基的運(yùn)算.

-2.11>Z11_111+1_2_1+Z12

解：⑴原式=(a2b2)3(ab-3)6-(b2)3=a2b3a5b2b6=a26b326=a3b°=a3;

3J__371

另解：原式=(a2b2a2b2-b

31.37112

=/工h8戶=渝。)。3;

11/—,1

1H—廣7at--1=I-

(2)原式=_旦_______Ya+1=」______________〃+l=-L(「%)=

1+y/uQ-]4a(a-l)4a4aa-\

-2_24a

y[a{a-1)a(l-a)

_L21_2_1_3￡]

(3)原式=(a2b3)^(bV)2=a5b52a2=a^b~2+2=a'=-.

a

例4已知a>0,對(duì)于0夕0,1'6+,式子(g'嚴(yán)(上)，能化為關(guān)于a的整數(shù)指數(shù)幕的情形有幾

yja

種？

活動(dòng)：學(xué)生審題，考慮與本節(jié)知識(shí)的聯(lián)系，教師引導(dǎo)解題思路，把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕后再由

運(yùn)算法則計(jì)算，即先把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，再進(jìn)行哥的乘方，化為關(guān)于a的指數(shù)塞的情形,

再討論，及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生的作法.

[8-rr8-rr16-3r

解：(產(chǎn)?(77=),=a2.a*=a4”=a4.

16-3r能被4整除才行，因此r=0,4,8時(shí)上式為關(guān)于a的整數(shù)指數(shù)幕.

點(diǎn)評(píng)：本題中確定整數(shù)的指數(shù)塞時(shí)，可由范圍的從小到大依次驗(yàn)證，決定取舍.利用分?jǐn)?shù)指數(shù)累

進(jìn)行根式運(yùn)算時(shí)，結(jié)果可以化為根式形式或保留分?jǐn)?shù)指數(shù)累的形式.

例5已知f(x)=ex—e-x,g(x)=ex+e'x.

(1)求[f(X)]2—[g(x)]2的值；

(2)設(shè)f(x)f(y)=4,g(x)g(y)=8,求g('+))的值.

g*-y)

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活動(dòng)：學(xué)生觀察題目的特點(diǎn)，說(shuō)出解題的辦法,整體代入或利用公式，建立方程，求解未知，如果

學(xué)生有難度，教師可以提示引導(dǎo)，對(duì)(1)為平方差,利用公式因式分解可將代數(shù)式化簡(jiǎn)，對(duì)(2)難

以發(fā)現(xiàn)已知和未知的關(guān)系，可寫(xiě)出具體算式，予以探求.

解：(1)[f(x)]2-Eg(x)]2=[f(x)+g(x)].Ef(X)-g(x)]

=(e、-e"+e'+e-")(eX-e'-eX-e')=2e"(-2e'x)=—4e°=-4;

另解：⑴[f(x)]2-[g(x)]2=(ex-ex)2-(ex+es)2

=e2x-2exe-x+e2x-e2x-2exex-e-2x

=-4e,-x=-4e°=-4;

(2)f(x)-f(y)=(e'—e')(ey—e-y)=ex+y+e'<x4>l—e'-y—-g(x+y)—g(x—y)=4,

同理可得g(x)g(y)=g(x+y)+g(x—y)=8,

得方程組p+y)-g(X7)=4,解得g(x+y)=6,g(x-y)=2.

g(x+y)+g(x-y)=8,

g(x+y)6

所以=-=3,

g(x-y)2

點(diǎn)評(píng)：將已知條件變形為關(guān)于所求量g(x+y)與g(x-y)的方程組，從而使問(wèn)題得以解決,

這種處理問(wèn)題的方法在數(shù)學(xué)上稱之為方程法，方程法所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想即方程思想，是數(shù)學(xué)中

重要的數(shù)學(xué)思想.

知能訓(xùn)練

課本P54練習(xí)1、2、3.

[補(bǔ)充練習(xí)]

教師用實(shí)物投影儀把題目投射到屏幕上讓學(xué)生解答，教師巡視，啟發(fā)，對(duì)做得好的同學(xué)給予表

揚(yáng)鼓勵(lì).

1.(1)下列運(yùn)算中，正確的是()

A.a2a3=a6

2332

B.(-a)=(-a)

C.(Va-l)0=0

D.(-a2)3=-a6

(2)下列各式①y(—4)2",②](一4產(chǎn)十|③療，④V7(各式的nCN,aGR)中，有意義的是

()

A.①②B.①③C.①②③④D.①③④

(3)(總序)2?(W7)2等于(

)

A.aB.a2C.a3D.a4

(4)把根式一2y(。-切/改寫(xiě)成分?jǐn)?shù)指數(shù)累的形式為()

2_5

A.-2(a-b)5B.-2(a-b)2

2_2_5_5

C.-2(a5-b5)D.-2(a2-b2)

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2111115

(5)化簡(jiǎn)(a3b2)(-3a2b3)-(-a6b6)的結(jié)果是()

3

A.6aB.-aC.-9aD.9a

-i12

2.計(jì)算：(1)0.0273—(--)-2+2564-3"+(2-1)°=,

7

⑵設(shè)5'=4,5'=2,則5"y=.

11

、一一/

3.已知x+y=12,xy=9且xVy,求一j-----的值.

x2+

答案：l.(l)D(2)B(3)B(4)A(5)C2.⑴19(2)8

LLL111

2解.%2y2_Q2y2)(x2y2)_%2*2y2+y

------x-y

/+y2(%2+y2)Q2_,2)

因?yàn)閤+y=12,xy=9,所以(x-y^=(x+y)2-4xy=144-36=108=4X27.

12-6A/3

又因?yàn)閤<y,所以x-y=-2x33=-63.所以原式上言=-奇

拓展提升

x-x3

.化簡(jiǎn),:—

1-7-

X3+X3+1X3+1-—1

活動(dòng)：學(xué)生觀察式子特點(diǎn)，考慮X的指數(shù)之間的關(guān)系可以得到解題思路,應(yīng)對(duì)原式進(jìn)行因式分

解，根據(jù)本題的特點(diǎn)，注意到：

1121

x-l=(x3)3-l3=(x3-l)-(x3+x3+1);

J2[

x+l=(x3)3+l3=(x3+l)?(x3-X3+1);

!J1111

X-X3=x3[(x3)2-!]=x3(x3-l)(x3+l).

構(gòu)建解題思路教師適時(shí)啟發(fā)提示.

II11\_2

地X-lX+lX-X^(一)3—廣(%^)3+I3—X^

解：----j—+-----------7—------T+7----------------T-------

/+/+1/+1戶-1盧+戶+1/+1--1

121121111

(—―1)(—++1)+1)(--戶+1)/―1)(戶+1)

=-------------------------------1-------------------------------------------------------------

21

+X*+1+1(犬§—1)

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2￡211_

=x3-1+x3-X3+1-X3-x3=-x3.

點(diǎn)撥:解這類題目，要注意運(yùn)用以下公式，

￡￡￡|

(a2-b)(a2+b")=a-b,

1￡J.J.

(a2±bi)2=a±2a2b2+b,

1I2112

(a§土b3)(a§+ab+b)=a±b.

2.已知ai+a^=3,探究下列各式的值的求法.

33

(l)a+a';(2)a2+a'2;(3)-^j~~巴了.

a?-。,

解：⑴將a2+a2=3,兩邊平方，得a+a/+2=9,即a+a=7;

⑵將a+ai=7兩邊平方，得a2+a-2+2=49,EPa2+a2=