2024-2025學年度九年級正月聯考綜合素質調研數學試題一．選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）1．tan30°的值為（）A． B．22 C．1 D．32．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D． 3．如圖，在大小為4×4的正方形網格中，是相似三角形的是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④4．將拋物線y＝5（x﹣1）2+1向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度，則所得拋物線的解析式為（）A．y＝5（x﹣1）2+1 B．y＝5（x﹣4）2+3 C．y＝5（x﹣4）2﹣1 D．y＝5（x﹣3）2+45．如圖，某停車場入口的欄桿從水平位置AB繞點O旋轉到A'B'的位置．已知AO＝4米，若欄桿的旋轉角∠AOA'＝47°，則欄桿端點A上升的垂直距離A'H為（）A．4sin47°米 B．4cos47°米 C．4tan47°米 D．4sin47°6．已知線段a，b，c，其中c是a和b的比例中項，a＝4，b＝16，則c等于（）A．±10 B．±8 C．8 D．107．如圖，D為Rt△ABC的AC邊上一點，∠C＝90°，∠DBC＝∠A，AC＝4，cosA=45，則A．94 B．125 C．158．如圖，已知⊙O中，半徑OC垂直于弦AB，垂足為D，若OD＝3，OA＝5，則AB的長為（）A．2 B．4 C．6 D．89．如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，點P是BC邊上的一個動點（點P不與點B、C重合），現將△PCD沿直線PD折疊，使點C落到點C′處；作∠BPC′的角平分線交AB于點E．設BP＝x，BE＝y(tǒng)，則下列圖象中，能表示y與x的函數關系的圖象大致是（）A．B． C． D．10．如圖，矩形OABC的頂點B、C在反比例函數y=kx（x＞0）的圖象上，點A的坐標為（6，﹣3），則A．﹣18 B．18 C．9 D．8二．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）11．符合黃金分割比例形式的圖形很容易使人產生視覺上的美感．如圖所示的五角星中，AD＝BC，且C、D兩點都是AB的黃金分割點，若CD＝1，則AB的長是．12．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，若四邊形ABCO是平行四邊形，則∠ADC＝．13．如圖，水庫堤壩的橫斷面是梯形，測得BC長為30m，CD長為205m，斜坡AB的坡比為1：3，斜坡CD的坡比為1：2，則壩底的寬AD為m．14．對于平面直角坐標系中的任意一點A（x，y），我們把點B（x﹣y，x+y）稱為點A的“和差點”．若點A在反比例函數y=2x（x＞0）的圖象上，點B為點A的“和差點”，則OAOB的值為，若射線OA與OB關于y軸對稱，則△AOB三．解答題（每小題8分，滿分16分）15．計算：（π﹣3020）0﹣2cos45°?16+|116．如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦，AB⊥CD，垂足為點M，AM＝4，BM＝6，CM＝3，DM＝8，求⊙O的半徑．四．解答題（每小題8分，滿分16分）17．已知，△ABC在直角坐標平面內，三個頂點的坐標分別是A（0，3）、B（3，4）、C（2，2），正方形網格中，每個小正方形的邊長是一個單位長度．（1）畫出△ABC向左平移4個單位長度得到的△A1B1C1；（畫出圖形）（2）以點B為位似中心，在網格內畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1，點C2的坐標是．18．在矩形ABCD中，E為AD上的一點，過B作CE的垂線，垂足為點G，交CD于點F．（1）求證：△CDE∽△BGC；（2）若AB＝4，BC＝3，DE＝2，求四邊形ABGE的面積．五．解答題（每小題10分，滿分20分）19．如圖1是一種手機平板支架，由托板、支撐板和底座構成，手機放置在托板上，圖2是其側面結構示意圖．量得托板長AB＝130mm，支撐板長CD＝80mm，底座長DE＝90mm．托板AB固定在支撐板頂端點C處，且CB＝40mm，托板AB可繞點C轉動，支撐板CD可繞點D轉動．當∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求點A到直線DE的距離．（結果保留小數點后一位，參考數據：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，3≈1.73220．已知：如圖，拋物線y＝ax2+x+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（3，0）．（1）試確定該拋物線的函數表達式；（2）若點P是線段BC上的一動點，求OP的最小值．六．解答題（每小題12分，滿分24分）21．已知：如圖，在⊙O中，直徑CD交弦AB于點E，且CD平分弦AB，連接OA，BD．（1）若AE=5，DE＝1，求OA（2）若OA∥BD，則tan∠OAE的值為多少？22．根據對某市相關的市場物價調研，預計進入夏季后的某一段時間，某批發(fā)市場內的甲種蔬菜的銷售利潤y1（千元）與進貨量x（噸）之間的函數y1＝kx的圖象如圖①所示，乙種蔬菜的銷售利潤y2（千元）與進貨量x（噸）之間的函數y2＝ax2+bx的圖象如圖②所示．（1）分別求出y1，y2與x之間的函數關系式；（2）如果該市場準備進甲、乙兩種蔬菜共10噸，設乙種蔬菜的進貨量為t噸．①寫出這兩種蔬菜所獲得的銷售利潤之和W（千元）與t（噸）之間的函數關系式．并求當這兩種蔬菜各進多少噸時獲得的銷售利潤之和最大，最大利潤是多少元？②為了獲得兩種蔬菜的利潤之和不少于8400元，則乙種蔬菜進貨量應在什么范圍內合適？七．解答題（本題滿分14分）23．如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCD的邊AB＝4，BC＝6．若不改變矩形ABCD的形狀和大小，當矩形頂點A在x軸的正半軸上左右移動時，矩形的另一個頂點D始終在y軸的正半軸上隨之上下移動．（1）當∠OAD＝30°時，求OD的長度及點C的坐標；（2）設AD的中點為M．①連接OM、MC，當四邊形OMCD的面積為212時，求OA②當點A移動到某一位置時，點C到點O的距離有最大值，請直接寫出其最大值．

參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）1．tan30°的值為（）A． B．22 C．1 D．3【解答】解：tan30°=3故選：D．2．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D． 【解答】解：A．該圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，符合題意；B．該圖形不是軸對稱圖形，但是中心對稱圖形，不符合題意；C．該圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，不符合題意；D．該圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，不符合題意．故選：A．3．如圖，在大小為4×4的正方形網格中，是相似三角形的是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④【解答】解：①和③相似，∵由勾股定理求出①的三角形的各邊長分別為2、2、10；由勾股定理求出③的各邊長分別為22、2、25，∴22102即22∴兩三角形的三邊對應成比例，∴①③相似．故選：C．4．將拋物線y＝5（x﹣1）2+1向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度，則所得拋物線的解析式為（）A．y＝5（x﹣1）2+1 B．y＝5（x﹣4）2+3 C．y＝5（x﹣4）2﹣1 D．y＝5（x﹣3）2+4【解答】解：將拋物線y＝5（x﹣1）2+1向上平移2個單位長度，得到平移后解析式為：y＝5（x﹣1）2+1+2，即y＝5（x﹣1）2+3，∴再向右平移3個單位長度所得的拋物線解析式為：y＝5（x﹣1﹣3）2+3，即y＝5（x﹣4）2+3．故選：B．5．如圖，某停車場入口的欄桿從水平位置AB繞點O旋轉到A'B'的位置．已知AO＝4米，若欄桿的旋轉角∠AOA'＝47°，則欄桿端點A上升的垂直距離A'H為（）A．4sin47°米 B．4cos47°米 C．4tan47°米 D．4sin47°【解答】解：在Rt△A′OH中，OA′＝4米，∠A′HO＝90°，∠AOA'＝47°，∴sin∠AOA′=A′H∴A′H＝OA′?sin∠AOA′＝4sin47°（米）．故選：A．6．已知線段a，b，c，其中c是a和b的比例中項，a＝4，b＝16，則c等于（）A．±10 B．±8 C．8 D．10【解答】解：∵已知線段a，b，c，其中c是a和b的比例中項，a＝4，b＝16，∴c2＝ab，解得，c＝8或c＝﹣8（舍去），故選：C．7．如圖，D為Rt△ABC的AC邊上一點，∠C＝90°，∠DBC＝∠A，AC＝4，cosA=45，則A．94 B．125 C．15【解答】解：∵Rt△ABC，AC＝4，cosA=4∴ACAB∴AB＝5，∴BC=A∵∠DBC＝∠A，∠DCB＝∠BCA，∴△DCB∽△BCA，∴CDCB∴BC2＝CD?AC，∴CD=B故選：A．8．如圖，已知⊙O中，半徑OC垂直于弦AB，垂足為D，若OD＝3，OA＝5，則AB的長為（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：根據勾股定理得AD＝4根據垂徑定理得AB＝2AD＝8故選：D．9．如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，點P是BC邊上的一個動點（點P不與點B、C重合），現將△PCD沿直線PD折疊，使點C落到點C′處；作∠BPC′的角平分線交AB于點E．設BP＝x，BE＝y(tǒng)，則下列圖象中，能表示y與x的函數關系的圖象大致是（）A．B． C．D．【解答】解：如圖，連接DE，∵△PC′D是△PCD沿PD折疊得到，∴∠CPD＝∠C′PD，∵PE平分∠BPC′，∴∠BPE＝∠C′PE，∴∠EPC′+∠DPC′=1∴△DPE是直角三角形，∵BP＝x，BE＝y(tǒng)，AB＝3，BC＝5，∴AE＝AB﹣BE＝3﹣y，CP＝BC﹣BP＝5﹣x，在Rt△BEP中，PE2＝BP2+BE2＝x2+y2，在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2＝（3﹣y）2+52，在Rt△PCD中，PD2＝PC2+CD2＝（5﹣x）2+32，在Rt△PDE中，DE2＝PE2+PD2，則（3﹣y）2+52＝x2+y2+（5﹣x）2+32，整理得，﹣6y＝2x2﹣10x，所以y=?13x2+53縱觀各選項，只有D選項符合．解法二：可以證明△BPE∽△CDP，利用相似三角形的性質求解．故選：D．10．如圖，矩形OABC的頂點B、C在反比例函數y=kx（x＞0）的圖象上，點A的坐標為（6，﹣3），則A．﹣18 B．18 C．9 D．8【解答】解：過點C作CM⊥x軸于點M，過點B作BD⊥CM于點D，過點A作AE⊥x軸于點E．∵四邊形OABC是矩形，∴∠MOC+∠AOE＝90°＝∠OCM+∠BCD，BC＝OA，∵∠COM+∠OCM＝90°，∠OAE+∠AOE＝90°，∴∠OCM＝∠AOE，∠BCD＝∠OAE，∵∠CDB＝∠AEO，∴△CDB≌△AEO（AAS），∴OE＝BD，CD＝AE，∵點A坐標為（6，﹣3），∴OE＝6，AE＝3，∴BD＝6，CD＝3，∵∠OCM＝∠AOE，∠CMO＝∠OEA＝90°，∴△COM∽△OAE，∴OMCM設C（a，2a），則B（a+6，2a﹣3），∵頂點B、C在反比例函數y=kx（∴k＝a?2a＝（a+6）（2a﹣3），解得k＝8，故選：D．二．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）11．符合黃金分割比例形式的圖形很容易使人產生視覺上的美感．如圖所示的五角星中，AD＝BC，且C、D兩點都是AB的黃金分割點，若CD＝1，則AB的長是2+5【解答】解：∵C、D兩點都是AB的黃金分割點，∴AC=5?12AB，BD∴AC+BD＝（5?1）AB即AB+CD＝（5?1）AB∴AB=5故答案為：5+12．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，若四邊形ABCO是平行四邊形，則∠ADC＝60°．【解答】解：設∠ADC的度數＝α，∠ABC的度數＝β；∵四邊形ABCO是平行四邊形，∴∠ABC＝∠AOC；∵∠ADC=12β，∠AOC＝而α+β＝180°，∴α+β=180°α=解得：α=60°β=120°∴∠ADC＝60°，故答案為：60°．13．如圖，水庫堤壩的橫斷面是梯形，測得BC長為30m，CD長為205m，斜坡AB的坡比為1：3，斜坡CD的坡比為1：2，則壩底的寬AD為130m．【解答】解：作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，∵斜坡CD的坡比為1：2，即CFDF∴DF＝2CF，又CD＝205m，∴CF＝20m，DF＝40m，由題意得，四邊形BEFC是矩形，∴BE＝CF＝20m，EF＝BC＝30m，∵斜坡AB的坡比為1：3，∴BEAE=13，即AE＝3∴AD＝AE+EF+DF＝130m，故答案為：130m．14．對于平面直角坐標系中的任意一點A（x，y），我們把點B（x﹣y，x+y）稱為點A的“和差點”．若點A在反比例函數y=2x（x＞0）的圖象上，點B為點A的“和差點”，則OAOB的值為22，若射線OA與OB關于y軸對稱，則△AOB的面積為【解答】解：①設點A的坐標為（m，2m∵點B為點A的“和差點”，∴點B坐標為（m?2m，m∴OA2＝m2+4m2，OB2＝（m?2m）2+（m+2m∴OA∴OAOB②如圖，作AC∥x軸，交OB于C，交y軸于D，∵點A在反比例函數y=2x（∴S△AOD＝1，∵射線OA與OB關于y軸對稱，∴OA＝OC，S△COD＝S△AOD＝1，∴S△AOC＝2，∵OAOB∴OB=2OA=2∴S△AOB=2S△AOC＝22故答案為：22，22三．解答題（共9小題）15．計算：（π﹣3020）0﹣2cos45°?16+|1【解答】解：原式＝1﹣2×22?＝1?2?4＝﹣4．16．如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦，AB⊥CD，垂足為點M，AM＝4，BM＝6，CM＝3，DM＝8，求⊙O的半徑．【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，連接OB，如圖所示：則CF＝DF=12CD，AE＝BE=∵AM＝4，BM＝6，CM＝3，DM＝8∴AB＝10，CD＝11，∴CF＝DF＝5.5，AE＝BE＝5，∴MF＝5.5﹣3＝2.5，∵OE⊥AB，OF⊥CD，AB⊥CD，∴四邊形MEOF是矩形，∴OE＝MF＝2.5，在Rt△BOE中，OB=B即⊙O的半徑為5217．已知，△ABC在直角坐標平面內，三個頂點的坐標分別是A（0，3）、B（3，4）、C（2，2），正方形網格中，每個小正方形的邊長是一個單位長度．（1）畫出△ABC向左平移4個單位長度得到的△A1B1C1；（畫出圖形）（2）以點B為位似中心，在網格內畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1，點C2的坐標是（1，0）．（畫出圖形）【解答】解：（1））如圖，△A1B1C1即為所求，（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求，點C2的坐標是（1，0），故答案為：（1，0）．18．在矩形ABCD中，E為AD上的一點，過B作CE的垂線，垂足為點G，交CD于點F．（1）求證：△CDE∽△BGC；（2）若AB＝4，BC＝3，DE＝2，求四邊形ABGE的面積．【解答】（1）證明：在矩形ABCD中，∠D＝90°．∵BG⊥CE，∴∠CGB＝90°．∴∠D＝∠CGB，∵∠ECD+∠BCG＝90°，∠CBG+∠BCG＝90°，∴∠ECD＝∠CBG，∴△CDE∽△BGC；（2）矩形ABCD中，CD＝AB＝4．在Rt△DCE中，DE＝2，根據勾股定理，得CE=CD2∴S△CDE=12×CD?∵△CDE∽△BGC，∴S△CDES△BGC=（∴4∴S△BGC=9∴四邊形ABGE的面積＝S矩形ABCD﹣S△CDE﹣S△BGC＝4×3﹣4?919．如圖1是一種手機平板支架，由托板、支撐板和底座構成，手機放置在托板上，圖2是其側面結構示意圖．量得托板長AB＝130mm，支撐板長CD＝80mm，底座長DE＝90mm．托板AB固定在支撐板頂端點C處，且CB＝40mm，托板AB可繞點C轉動，支撐板CD可繞點D轉動．當∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求點A到直線DE的距離．（參考數據：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，3≈1.732【解答】解：如圖，過A作AM⊥DE，交ED的延長線于點M，過點C作CF⊥AM，垂足為F，過點C作CN⊥DE，垂足為N，∴四邊形CFMN是矩形，CN＝FM，由題意可知，AC＝AB﹣CB＝130﹣40＝90，∵CD＝80mm，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°在Rt△CDN中，CN=CD?sin∠CDE=80×3∵∠DCN＝90°﹣60°＝30°，又∵∠DCB＝80°，∴∠BCN＝80°﹣30°＝50°，∵AM⊥DE，CN⊥DE，∴AM∥CN，∴∠A＝∠BCN＝50°．∴∠ACF＝90°﹣50°＝40°．在Rt△ACF中，AF＝AC?sin40°＝90×0.643≈57.87（mm），∴AM=AF+FM=57.87+40×3答：點A到直線DE的距離約為127.2mm．20．已知：如圖，拋物線y＝ax2+x+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（3，0）．（1）試確定該拋物線的函數表達式；（2）若點P是線段BC上的一動點，求OP的最小值．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+x+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（3，0），∴a?1+c=09a+3+c=0，解得a=?∴拋物線的解析式為y=?12x2+x（2）當OP是BC邊上的高時，OP的值最?。連（3，0），C（1，2），∴BC=(1?3)2∵S△OBC=12BC?∴OP=6即OP的最小值是3221．已知：如圖，在⊙O中，直徑CD交弦AB于點E，且CD平分弦AB，連接OA，BD．（1）若AE=5，DE＝1，求OA（2）若OA∥BD，則tan∠OAE的值為多少？【解答】解：（1）∵直徑CD交弦AB于點E，且CD平分弦AB，∴OD⊥AB，設AO＝x，則DO＝x，∵DE＝1，∴EO＝x﹣1，在Rt△AOE中：AE2+EO2＝AO2，∴（5）2+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝3，∴AO＝3；（2）∵OA∥BD，∴∠OAB＝∠EBD，∵直徑CD交弦AB于點E，且CD平分弦AB，∴AE＝BE，EO⊥AB，在△AOE和△BED中∠OAE=∠DBEAE=BE∴△AEO≌△BED（ASA）．∴EO＝ED，∵AO＝DO，∴OE=12∴∠OAE＝30°，∴tan∠OAE=322．根據對某市相關的市場物價調研，預計進入夏季后的某一段時間，某批發(fā)市場內的甲種蔬菜的銷售利潤y1（千元）與進貨量x（噸）之間的函數y1＝kx的圖象如圖①所示，乙種蔬菜的銷售利潤y2（千元）與進貨量x（噸）之間的函數y2＝ax2+bx的圖象如圖②所示．（1）分別求出y1，y2與x之間的函數關系式；（2）如果該市場準備進甲、乙兩種蔬菜共10噸，設乙種蔬菜的進貨量為t噸．①寫出這兩種蔬菜所獲得的銷售利潤之和W（千元）與t（噸）之間的函數關系式．并求當這兩種蔬菜各進多少噸時獲得的銷售利潤之和最大，最大利潤是多少元？②為了獲得兩種蔬菜的利潤之和不少于8400元，則乙種蔬菜進貨量應在什么范圍內合適？【解答】解：（1）由題意得：5k＝3，解得k＝0.6，