甘肅省武威八中2024年高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將木試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

/\r10"

1.已知函數(shù)/(x)=4sin2x--,XG0,—H,若函數(shù)/。)=/(x)-3的所有零點(diǎn)依次記為彳有芻，…，與，且

)

<x2<xy<...<,貝！|%+2X2+24+...+2工“_]+xn=

50)100乃

B.21萬(wàn)D.42萬(wàn)

3

2.某學(xué)校組織學(xué)生參加英語(yǔ)測(cè)試,成績(jī)的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為[20,40)440,60),[60,80),[80,100],

若低于60分的人數(shù)是18人，則該班的學(xué)生人數(shù)是()

3.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，q=l,生=2且對(duì)于任意滿足5〃+]+￡1=2(5〃+1),則()

A./=7B.$6=240C.q°=19D.Szo=381

4.中國(guó)古代中的“禮、樂(lè)、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”產(chǎn)禮”，主要指德育；“樂(lè)”，主要指美育；“射”和“御”，就是

體育和勞動(dòng)；“書”，指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)力數(shù)學(xué),某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開展“六藝”課程講座活動(dòng)，每藝安排一節(jié)，連排

六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“樂(lè)”不排在第一節(jié)，“射”和“御”兩門課程不相鄰，則“六藝”課程講座不同的排

課順序共有()種.

A.408B.120C.156D.240

5.已知圓G：3-1)2+()，+1)2=1,圓g：*-4)2+()，—5)2=9,點(diǎn)M、N分別是圓圓g上的動(dòng)點(diǎn)，p

為X軸上的動(dòng)點(diǎn)，貝|J|8V|一|尸M的最大值是（）

A.26+4B.9C.7D.275+2

6.數(shù)列M”｝的通項(xiàng)公式為%二|〃—d（〃eN"）,貝代c<2”是“｛可｝為遞增數(shù)歹!）”的（）條件.

A.必要而不充分B.充要C.充分而不必要D,即不充分也不必要

7.已知點(diǎn)A（%,y）,8（9,%）是函數(shù)/（x）=a&+法2的函數(shù)圖像上的任意兩點(diǎn)，且y=在點(diǎn)

（笠處的切線與直線48平行，貝lj（）

A.。=0,b為任意非零實(shí)數(shù)B.b=0,。為任意非零實(shí)數(shù)

C.。、b均為任意實(shí)數(shù)D.不存在滿足條件的實(shí)數(shù)。，b

8.已知邊長(zhǎng)為4的菱形A3CQ,ZZMB=60°,M為CD的中點(diǎn)，N為平面ABCD內(nèi)一點(diǎn),若AN=NM,則

AM?AN=（）

A.16B.14C.12D.8

9.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，正視圖、側(cè)視圖和俯視圖都是由一個(gè)邊長(zhǎng)為"的正方形及正方形內(nèi)一段圓弧組成,

則這個(gè)幾何體的表面積是（）

10.在精準(zhǔn)扶貧工作中，有6名男干部、5名女干部，從中選出2名男干部、1名女干部組成一個(gè)扶貧小組分到某村工

作，則不同的選法共有（）

A.6。種B.70種C.75種D.150種

11.函數(shù)y=的部分圖象如圖所示，貝ij（0A+03）-A8=（）

4x

A.6B.5C.4I).3

12.拋物線)，2=2后(〃>0)的準(zhǔn)線與工軸的交點(diǎn)為點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作直線/與拋物線交于4、B兩點(diǎn),使得A是BC的

中點(diǎn)，如直線/的斜率為()

?2

A.±-B.±-l—C.±1D.±73

33

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在，ABC中，角4,B,C的對(duì)邊分別為b,c.若cos3+Jisin3—2=0;且〃=1,則周長(zhǎng)的

范圍為__________?

14.已知雙曲線二-￡=1(〃>0⑦>0)的漸近線與準(zhǔn)線的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,6),則雙曲線的焦距為____.

a~b~

15.如圖，在一個(gè)倒置的高為2的圓錐形容器中，裝有深度為/?的水，再放入一個(gè)半徑為1的不銹鋼制的實(shí)心半球后,

半球的大圓面、水面均與容器口相平，則〃的值為.

16.李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/

盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購(gòu)買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付工

元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%.

①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；

②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則，的最大值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)選修4?2：矩陣與變換(本小題滿分10分)

akk

已知矩陣人=(導(dǎo)0)的一個(gè)特征向量為a=,

01—I

A的逆矩陣A-?對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(3,1)變?yōu)辄c(diǎn)(1,1).求實(shí)數(shù)a,k的道.

18.(12分)在邊長(zhǎng)為的正方形力8cO,E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，M、N分別為AA。尸的中點(diǎn)，現(xiàn)

沿A從A”、"折疊，使從C\。三點(diǎn)重合，構(gòu)成一個(gè)三棱錐.

1、c

【解析】

7r萬(wàn)/13

兀的對(duì)稱軸，由三角函數(shù)的對(duì)稱性可得

^-2x--^=—+k7r^keZ)f求出在0,-^-

兀c5兀c

N+無(wú)，=-x2,x,+x=—x2,...,x_+x?=2,將式子相加并整理即可求得占+2々+2占+-+2茗1+%的

363n16

值.

【詳解】

令2工-7=]+%乃(AeZ),得x=gAjT+](%￡Z),即對(duì)稱軸為工=兀+](AwZ).

函數(shù)周期丁=萬(wàn)，令3%兀+]=々兀，可得%二8.則函數(shù)在0,1y37l上有8條對(duì)稱軸.

3

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知玉+%=￡x2,羽+為二.'2,...,七1+%也2,

366

2兀5兀8兀23吟r兀(2+23)x8_100大

將以上各式相加得：2x_,

Xj+2X2+2X3+...+fl+x?=+-----x2=—X——

6666)323

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)的對(duì)稱性，考查了三角函數(shù)的周期性，考查了等差數(shù)列求和.本題的難點(diǎn)是將所求的式子拆分為

*//+乙++%+…+Xn-l+Z的形式.

2、D

【解析】

頻數(shù)

根據(jù)頻率分布直方圖中頻率=小矩形的高x組距計(jì)算成績(jī)低于60分的頻率，再根據(jù)樣本容量二方求出班級(jí)人數(shù).

頻率

【詳解】

根據(jù)頻率分布直方圖，得：低于60分的頻率是（0.005+0.010）x20=0.30,

1Q

?,?樣本容量（即該班的學(xué)生人數(shù)）是高二60（人）.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了頻率二*頻u數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題

樣本谷量

3、D

【解析】

利用數(shù)死的遞推關(guān)系式判斷求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后求解數(shù)列的和，判斷選項(xiàng)的正誤即可.

【詳解】

當(dāng)兒.2時(shí)，+S.T=2⑸+1）ns-Z+2=＞4a2.

n=

所以數(shù)列&｝從第2項(xiàng)起為等差數(shù)列，an=rl.，

2〃一2,.2

所以，4=6,《0=18.

S,=q+（%+'4）（〃_D=〃5_l）+l,$6=16X15+1=241,

$0=20x19+1=381.

故選：

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用、數(shù)列求和以及數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題.

4、A

【解析】

利用間接法求解，首先對(duì)6門課程全排列，減去“樂(lè)”排在第一節(jié)的情況，再減去“射”和“御”兩門課程相鄰的情況，最

后還需加上“樂(lè)”排在第一節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰的情況；

【詳解】

解：根據(jù)題意，首先不做任何考慮直接全排列則有＜=720（種），

當(dāng)“樂(lè)”排在第一節(jié)有封=120（種），

當(dāng)“射”和“御”兩門課程相鄰時(shí)有用＜=240（種），

當(dāng)“樂(lè)”排在第一節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰時(shí)有用A：=48（種），

則滿足“樂(lè)”不排在第一節(jié)，“射”和“御”兩門課程不相鄰的排法有720-120-24（）+48=408（種），

故選：4.

【點(diǎn)睛】

本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意“樂(lè)”的排列對(duì)“射”和“御”兩門課程相鄰的影響，屬于中檔題.

5、B

【解析】

試題分析：圓^：（工-1『+（），+1『二1的圓心石（1，一1）,半徑為1,圓。2：（工-4『+（丁-5『=9的圓心廠（4,5）,半徑

是3.要使|/W|T尸M最大，需|尸N|最大，且歸M最小，儼M最大值為盧尸|+3,|尸M的最小值為|產(chǎn)耳一1,故

|尸'|一|加|最大值是（|尸耳+3）—（歸￡|—1）=|戶目一歸國(guó)+4/（4,5）關(guān)于工軸的對(duì)稱點(diǎn)尸（4,-5）,

|PF|-1PE\=|PFf\-1PE|<|EF'\=7（4-I）2+（-5+1）2=5,故歸百一歸目+4的最大值為5+4=9,故選B.

考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系及其判定.

【思路點(diǎn)睛】先根據(jù)兩圓的方程求出圓心和半徑，要使歸訓(xùn)-|加|最大，需|PN|最大，且歸根最小，|「照最大值

為|P可+3,|PM|的最小值為戶目—建故最大值是（|叩+3）-（歸同一1）=|尸同一|尸耳+4,再利用對(duì)稱

性，求出所求式子的最大值.

6、A

【解析】

根據(jù)遞增數(shù)列的特點(diǎn)可知見解得cv〃+g,由此得到若｛4｝是遞增數(shù)列，則eV,，根據(jù)推出關(guān)系可確

定結(jié)果.

【詳解】

若“｛q｝是遞增數(shù)列”，則4出一4=卜+1-4一|〃-d>o,

即（〃+1-C）2>（〃一，化簡(jiǎn)得：

133

又〃EN'，???〃+二之二，,?

222

則c<2$｛4｝是遞增數(shù)列，｛4｝是遞增數(shù)列=cv2,

"c<2”是“｛an｝為遞增數(shù)列”的必要不充分條件.

故選：4

【點(diǎn)睛】

本題考查充分條件與必要條件的判斷，涉及到根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解參數(shù)范圍，屬于基礎(chǔ)題.

7、A

【解析】

求得/（力的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式和兩直線平行的條件：斜率相等，化簡(jiǎn)可得。=0,〃為任意非零實(shí)數(shù).

【詳解】

y=/（A）在點(diǎn)（五白,/f上9]]處的切線與直線AB平行，即有

依題意/‘（X）=+2bx

2GI2\2））

+bx\--bx；

---."+Z?(%+X2)=

2,空

所以屈（x+/］不五由于對(duì)任意區(qū),看上式都成立，可得。=（），〃為非

出一3

零實(shí)數(shù).

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，求切線的斜率，考查兩點(diǎn)的斜率公式，以及化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

8、B

【解析】

取AM中點(diǎn)。，可確定AM?ON=0；根據(jù)平面向量線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算法則可求得AM2,利用

AM?AN=AM?（A。+ON）可求得結(jié)果.

【詳解】

取AM中點(diǎn)。，連接OV,

AN=NM,ON±AM,即AMON=(h

?rZDAB=60，ZADM=12(),

/.AM2=（DM-DA）2=DM2+DA2-21DM|?|DA|cosZADA/=4+16+8=28,

則AM?AN=AM?(AO+ON)=AM-AO+AMON=-AM2=14.

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量數(shù)量積的求解問(wèn)題，涉及到平面向量的線性運(yùn)算，關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笙蛄窟M(jìn)行拆解，進(jìn)而利用平面

向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解.

9、C

【解析】

畫出直觀圖，由球的表面積公式求解即可

【詳解】

這個(gè)幾何體的直觀圖如圖所示，它是由一個(gè)正方體中挖掉!個(gè)球而形成的，所以它的表面積為

O

S=3a?+3/一空-+1x4〃。?=6--a2.

Ia8I4）

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖以及幾何體的表面積的計(jì)算，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.

10、C

【解析】

根據(jù)題意，分別計(jì)算“從6名男干部中選出2名男干部”和“從5名女干部中選出1名女干部”的取法數(shù)，由分步計(jì)數(shù)原

理計(jì)算可得答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，從6名男干部中選出2名男干部，有=15種取法,

從5名女干部中選出1名女干部，有C；=5種取法，

則有15x5=75種不同的選法；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

11、A

【解析】

根據(jù)正切函數(shù)的圖象求出A、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出結(jié)果.

【詳解】

由圖象得，令y=lan（1一1）=0,即；工一］=〃冗，keZ

攵=0時(shí)解得x=2,

令)，=tan卜1,即工x—g=￡,解得產(chǎn)3,

(42J424

，A(2,O)0(3,1),

???OA=(2,0),OB=(3,1),48=(1,1),

???(OA+O孫43=(5,1)(1,1)=5+1=6.

故選：4

【點(diǎn)睛】

本題考查正切函數(shù)的圖象，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于綜合題，但是難度不大，解題關(guān)鍵是利用國(guó)象與正切函數(shù)圖

象求出坐標(biāo)，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)果，屬于簡(jiǎn)單題.

12、B

【解析】

設(shè)點(diǎn)4(%yj、3(%％)，設(shè)直線A6的方程為“=〃?)」三，由題意得出必=與，將直線/的方程與拋物線的方

程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合y=/可求得〃?的值，由此可得出直線/的斜率.

【詳解】

由題意可知點(diǎn)C1一多0),設(shè)點(diǎn)A(XQJ、*玉,％)，設(shè)直線的方程為尤=，〃》，—],

由于點(diǎn)4是8。的中點(diǎn)，則y=方，

x=rny——

將直線/的方程與拋物線的方程聯(lián)立得.-2,整理得y2—2〃w)，+p2=0,

V=2px

2

由韋達(dá)定理得>1+必=3))=2mp,得y=2T,y]y2=2y；="=p,解得m=±±叵，

因此，直線/的斜率為_L=±42.

m3

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線斜率的求解，考查直線與拋物線的綜合問(wèn)題，涉及韋達(dá)定理設(shè)而不求法的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬

于中等題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、(2,3]

【解析】

先求A角，再用余弦定理找到邊小。的關(guān)系，再用基本不等式求a+c?的范圍即可.

【詳解】

解：cosB+>/3sin^-2=0

2sin(B+r)=2,sin(B+3)=l,B=q

b1=a2+c2-laccos—

3

r=Q-+(r-2accos—

3

/\2[〃十C

[a+c)-1=o3ac<3A-----

l<a+c<2

所以三角形周長(zhǎng)。+c+〃w(2,3]

故答案為：(2,3]

【點(diǎn)睛】

考查正余弦定理、基本不等式的應(yīng)用以及三條線段構(gòu)成三角形的條件；基礎(chǔ)題.

14、1

【解析】

由雙曲線叱。…)的漸近線.展1’以及求得,的值即可得答案.

【詳解】

由于雙曲線=-與=1(4>0力>0)的漸近線與準(zhǔn)線的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,6),

crZr

2

所以X=2=l，即C=〃2①，

C

把(1,6)代入y=得6=2,即〃=6〃②

aa

又。2+加=/③

聯(lián)立①②③，得。=2.

所以2。=4.

故答案是：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的性質(zhì)，注意題目“雙曲線的漸近線與準(zhǔn)線的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,6)”這一條件的運(yùn)用，另外注意題目

中要求的焦距即2c,容易只計(jì)算到就得到結(jié)論.

15、啦

【解析】

由已知可得到圓錐的底面半徑，再由圓錐的體積等于半球的體積與水的體積之和即可建立方程.

【詳解】

設(shè)圓錐的底面半徑為，體積為V,半球的體積為匕，水(小圓錐)的體積為匕，如圖

則OA=，;OC=1,O8=2,BE=〃，所以2xr=V7+4xH解得,=4，

2

所以V=1%/x2=3■4，V.=—7i,K=-^-x(—)xh=-7rh^f

39,3-329

?91

由曠=丫+匕，得乃+§M?3,解得力=蚯.

故答案為：啦

【點(diǎn)睛】

本題考查圓錐的體積、球的體積的計(jì)算，考查學(xué)生空間想象能力與計(jì)算能力，是一道中檔題.

16、130.15.

【解析】

由題意可得顧客需要支付的費(fèi)用，然后分類討論，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問(wèn)題可得工的最大值.

【詳解】

⑴x=l(),顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各一盒，需要支付(60+80)-10=130元.

⑵設(shè)顧客一次購(gòu)買水果的促銷前總價(jià)為)'元，

)，＜120元時(shí)，李明得到的金額為yx80%，符合要求.

)，N120元時(shí)，有(.y—x)x80%2)，x70%恒成立，即8(yr)之工即=15元.

8I；Zmin

所以工的最大值為15.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)、數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)、數(shù)學(xué)式子變形與運(yùn)算求解能力,以實(shí)際生活為背景，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情

境，考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

kak-k=Ak

17、解：設(shè)特征向量為對(duì)應(yīng)的特征值為入，則即《

2=1

因?yàn)閗#0,所以a=2.5分

因?yàn)锳-；=；,所以A1]=[3

即1_|一[1

()1

所以2+k=3,解得k=2.綜上，a=2,k=2.20分

【解析】

試題分析：由特征向量求矩陣A,由逆矩陣求k

考點(diǎn)：特征向量，逆矩陣

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計(jì)算，考查逆矩陣.

27

18、(1)平行，證明見解析；(2)—.

4

【解析】

(1)由題意及圖形的翻折規(guī)律可知A/N應(yīng)是A4Ab的一條中位線，利用線面平行的判定定理即可求證；

(2)利月條件及線面垂直的判定定理可知48_LBE,ABA.BF,則平面AE/L在利用錐體的體積公式即可.

【詳解】

(1)證明：因翻折后〃、C、。重合,

???MN應(yīng)是AA6尸的一條中位線，

:.MN//AF,

?；MNq平面AEF,A尸u平面4所,

:.MNII平面AEF；

(2)解：???/WJLBE,AB工BF,

???AB上面BEF

且A8=6,8七=8卜=3,

???V?A-BEF=9)，

V,VE-AFMN_SAFMN_3

又干一■s-

YE-ABF°M8F一

_27

…VE-AFMN~?

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理及錐體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

2

19、(1)x=y+71+/-(2)&ABF的周長(zhǎng)為2/(+2〃?一1+2mdm+—1，6=2時(shí)，，/的周長(zhǎng)為

11+477

【解析】

(1)設(shè)/的方程為1=心，+〃7,根據(jù)題意由點(diǎn)到直線的距離公式可得再h=L將直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得

)，2-26-2〃?=0,設(shè)A、8坐標(biāo)分別是(斗,兇)、5,為)，利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式消參即可求解.

(2)根據(jù)拋物線的定義可得|Ab|+|B/匕〃+$+%，由(1)可得|Ab|+|B"|=2加2+2加-1,再利用弦長(zhǎng)公

式即可求解.

【詳解】

(1)設(shè)/的設(shè)程為“=切十加

于是=\=>k2=m2-1

x=ky+m,

聯(lián)立=>y~—2ky-2m=0

/7=2x-

設(shè)A、4坐標(biāo)分別是（%,?）、（W，？2）

則口

Xi+x2=2k~+2m

設(shè)43的中點(diǎn)坐標(biāo)為（KV）,則

x=k2+m=m2-}+m

?

y=k=±Vm2-1

22

消去參數(shù)利得：X=y+y]\+y

（2）設(shè)8（%,%），由拋物線定義知

\AF\=x.+^f\BF\=x2+^fp=\

/.IAF14-1BF|=p+^+x2

由（1）知％+超=2二+2"?=2（〃一1）+2〃，

：.\AF\^-\BF|=2m2+2m

IAB|=C+（七-%y=J（l+二）（乂-必）、

=\（1+1）［5+丁2）2_今跖］

22

乂+必=2攵，y］?y2=-2m,k=m-}

|AB|=（4〃『+8〃L4）=+2m-i

ABF的周長(zhǎng)為2m2+2m-1+2m\lm2+2m-\

〃z=2時(shí)，.AW7的周長(zhǎng)為11+4不

【點(diǎn)睛】

本題考查了動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程、直線與拋物線的位置關(guān)系、拋物線的定義、弦長(zhǎng)公式，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.

20、（1）不在，證明見詳解；（2）病+1

8

【解析】

（D假設(shè)直線方程>，=區(qū)+〃，并于拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，計(jì)算必.尸3=7,可得〃=-1,然后驗(yàn)證可

得結(jié)果.

（2）分別計(jì)算線段PAP4中垂線的方程，然后聯(lián)立，根據(jù)（D的條件可得點(diǎn)M的軌跡方程），=2f,然后可得焦

點(diǎn),F,結(jié)合拋物線定義可得|MN|-日+：,計(jì)算可得結(jié)果.

O

【詳解】

（1）設(shè)直線方程、=丘+〃，4（冷/）,3（々,%）

根據(jù)題意可知直線斜率一定存在，P（0,-3）

y=kx+b

貝卜|,=>x2-4H-4（3+/?）=0

y=—A--3

L4

毛毛=-4(3+Z?),X]+x2=4k

△二T『+16/2+48

PA=(xi,yl+3),尸8=(/,%+3)

則%?尸3=百占+()1+3)()，2+3)

PAPB=x,x2+y\y2+3{yx+y2)+9

22

y\y2=(br,+b)(kx2=kxlx2-^-kb(<xl+x2)+/7

X+y2=kx]+b+kx2+b=k(%+毛)+2〃

%.08=(公+1卜d2+(3Z+的)(M+々)+〃2+6〃+9

由PAPB=-4

2

所以(公+1)%/+(3Z+必)(x+x2)+Z?+6〃+9=-4

將AZ=T(3+〃),5+x2=4k代入上式

化簡(jiǎn)可得〃2+〃?+1=。，所以人=一1

則直線方程為)，=6-1,

所以直線過(guò)定點(diǎn)(0,-1),A=(^)2+16/7+48>0

所以可知點(diǎn)0(0,1)不在直線上.

(2)設(shè)Af(xw,yM)

線段"的中點(diǎn)為

Iz乙)

(％y-3^

Uk2i

線段總的中點(diǎn)為。

v+3

則直線PA的斜率為女「人=二二

直線總的斜率為即8=9

x.

可知線段PA的中垂線的方程為y-匕i

2J

I4v2

由）,卓-3,所以上式化簡(jiǎn)為尸尸十,1

4x2

即線段PA的中垂線的方程為），=--rX+U--1

%8

同理可得:

4r2

線段心的中垂線的方程為），二一三X十看一?

）——1一，（N+%）

88~32

則=■

尸-2"立_X12+x；+xx-8

1x2

X2832

由（1）可知：%+毛=44,與工2=T（3+3=-8

（X[+X,）

所以

X[+x^~+X|X-）—8加=2K

32

即M（仁2巧，所以點(diǎn)〃軌跡方程為），=2/

焦點(diǎn)為

1

+-

I8）8

當(dāng)M,N,/三點(diǎn)共線時(shí)，|MN|-d有最大

1=V65-H

所以|MN|_d=|MN|-阿尸|+-<|NF|

88-F

【點(diǎn)睛】

本題考查直線于拋物線的綜合應(yīng)用，第（1）問(wèn)中難點(diǎn)在于計(jì)算處〃，第（2）問(wèn)中關(guān)鍵在于得到點(diǎn)M的軌跡方程，直

線與圓錐曲線的綜合常常要聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理，屬難題.

113

21、（1）-（2）見解析，一

88

【解析】

（1）根據(jù)題意設(shè)出事件，列出概率，運(yùn)用公式求解；（2）由題得，X的所有可能取值為01,2,根據(jù)（1）和變量對(duì)應(yīng)

的事件，可得變量對(duì)應(yīng)的概率，即可得分布列和期望值.

【詳解】

（1）記2家小店分別為A,5,A店有i人休假記為事件4（z=0,1,2）,5店有i人，休假記為事件g（i=0,

1,2）,發(fā)生調(diào)劑現(xiàn)象的概率為尸.

則P（4）=尸

『(A)=夕(BJ=G3

P(4)=P(")=C；(；

、七)4

所以尸=尸（4&）+/（&穌）=%卜3；="

答：發(fā)生調(diào)劑現(xiàn)象的概率為之.

O

（2）依題意，X的所有可能取值為0,1,2.

則P（X=0）=P（A/2）=；X；=4，

尸(X=I)=P(ABJ+P(44)