**材料力學講義

一、序言

二、目錄

3.1緒論4

3.1.1概述4

3.1.2重點知識簡介4

3.1.3難點歸納與剖析4

3.1.4知識點詳解4

3.1.5典型例題6

3.2軸向拉伸和壓縮6

3.2.1概述6

3.2.2重點知識簡介7

3.2.3難點歸納與剖析7

3.2.4知識點詳解7

3.2.5典型例題11

3.2.6習題13

習題解答13

33剪切和扭轉14

3.3.1概述14

3.3.2重要知識簡介14

3.3.3難點歸納與剖析14

3.3.4知識點詳解15

3.3.5例題及解答”

3.3.6習題18

習題解答19

3.4截面的幾何性質19

3.4.1概述19

3.4.2重要知識點簡介20

3.4.3難點歸納與剖析20

3.4.4知識點詳解20

3.4.5典型例題23

3.4.6習題23

習題解答24

3.5平面彎曲24

3.5.1概述24

3.5.2重要知識簡介24

3.5.3難點歸納與剖析25

3.5.4知識點詳解25

3.5.5典型例題30

3.5.6習題33

習題解答33

3.6應力狀態(tài)埋論和強度埋論34

3.6.1概述34

3.6.2重要知識簡介34

3.6.3難點歸納與剖析35

3.6.4知識點詳解35

3.6.5典型例題39

3.6.6習題40

習題解答41

3.7組合變形42

3.7.1概述42

3.7.2重點知識簡介42

3.7.3難點歸納與剖析42

3.7.4知識點詳解42

3.7.5典型例題44

3.7.6習題45

習題解答45

3.8變形能法46

3.8.1概述46

3.8.2重點知識簡介46

3.8.3難點歸納與剖析46

3.8.4知識點詳解47

3.8.5典型例題49

3.9超靜定系統(tǒng)51

3.9.1概述51

3.9.2重點知識簡介51

3.9.3難點歸納與剖析52

3.9.4知識點詳解52

3.9.5典型例題54

3.10動載荷55

3.10.1就述55

3.10.2重點知識簡介55

3.10.3難點歸納與剖析56

3.10.4知識點詳解56

3.10.5典型例題57

3.12壓桿的穩(wěn)定性58

3.12.1概述58

3.12.2重點知識簡介58

3.12.3難點歸納與剖析59

3.12.4知識點詳解59

3.12.5典型例題60

綜合練習題〔一〕62

綜合練習題〔二〕62

綜合練習題〔一）參考答案63

綜合練習題〔二〕參考答案66

3.1緒論

材料力學描述的是材料的強度理論，是在假設材料為均勻連續(xù)的根底上進行研究

的。一般的研究方法有三個步驟：（I）分析在外載荷作用下材料或結構的應力狀態(tài)。；

（2）測量表征材料強度的性能指標q（屈服極限）、（強度極限）；（3）應用復雜

應力狀態(tài)下的材料強度理論：/（<T,r）<［a］,其中或，/%，%、%分別

為相應于屈服和破壞的平安系數；以此來判斷材料和構件是否滿足強度的要求。

概述

本章主要掌握幾個材料力學的幾個根本概念，不會單獨列出來考，但是有幾個重

要概念是必須掌握的，在之后的章節(jié)中都會用到。例如用截面法求內力，這也是一項

根本技能；內力和應力的概念與區(qū)別等。復習本章要注意根本概念的記憶和理解.

重點知識簡介

幾個根本假設（可以把小變形限制條件也作為材料力學的根本假設）；截面法求內

力（取隔離體，怎么取能使計算簡單）；內力和應力的區(qū)別。

以上內容是學習材料力學的根底，必須熟練地理解和掌握。

3.1.3難點歸納與剖析

本章的重點和難點都在于截面法求內力。首先應該選擇“隔離體”，所選的隔離體

應該使計算簡單，這就要求我們要能夠初步確定某械面存在的內力形式，無非也就是

軸力、剪力、扭矩和彎矩這四和I選定了隔離體之后就是利用其平衡條件，列平衡方

程，然后求解未知的內刀。

再一點就是要理解內力和外力，以及應力之間的關系。首先，內力是由于外力而

產生的，這里所說的外力可以是集中力、分布力、扭矩、彎矩等，甚至可以是溫度載

荷，當外力撤去以后內力也隨之消失；應力反映的是內力的密集程度簡稱為內力的集

度，應力的量綱是［力］/［長度］2,一般我們所說的應力又有正應力和剪應力之分，正應

力是垂直于截面的應力，而剪應力是平行于截面的應力。

3.1.4知識點詳解

1.強度、剛度和穩(wěn)定性

強度：所謂強度，是指構件或材料抵抗破壞的能力。為了保證構件的正常工作，

首先要求構件應具有足夠的強度，在荷載作用下不發(fā)生破壞。

剛度：所謂剛度，是指構件抵抗變形的能力。工程中對構件的變形根據不同的工

作情況給予一定的限制，使構件在荷載作用下產生的彈性變形控制在一定的范圍內，

這就是要求構件具有足夠的剛度。

穩(wěn)定性：所謂穩(wěn)定要求，就是指承受荷載作用時構件在其原有形狀下的平衡應保

持為穩(wěn)定平衡。對于受壓桿件要求它在壓力作用下不要失穩(wěn)定，而具有足夠的穩(wěn)定性。

2.材料力學的根本假設

連續(xù)性假設：保證了各個物理量是坐標的連續(xù)函數。

均勻性假設：實驗的根底。

各向同性假設：材料的宏觀特性。

※小變形限制條件：簡化計算。

3.內力和應力

（I）內力：在外力作用下，物體對抗或阻止變形而產生于物體內各局部之間的相

互作用力.換句話說，內力是由外力引起的，物體內局部子或原子之間的作用力.

（2）內力的種類：在材料力學中，內力有四種，即軸力、剪力、扭矩和穹矩。

（3）應力：應力是內力集度，即單位面積上作用的內力，是內力大小的度量，其

單位是Pa或MPa。一說到應力，一定要指明是哪一點及過該點哪個方向截面上的應

力，否那么是無意義的。

（4）平均全應力：單位面積上的內力，定義為

假設將A廠分解為與截面垂直.的分量△e和與截面相切的分量小廠那么

。=也，T=/

分別稱為平均正應力和平均切應力。

一般情況下，內力不是均勻分布的，所以使AAfO,便可得到一點處的應力：

人之「NF

全應4力,p=hni----=—dF

M為AAcL4

正應力公山11空=心

（L4

切應力出“駕=叫

McL4

4.截面法求內力

為顯示內力并計算其大小，用假想的平面將構件截開，一分為二，棄去一半，保

存另一半作為研究對象，再通過平衡方程求出內力的方法。

截面法的根本思想是隔離體必須保持原有的平衡狀態(tài)，根本步驟為：切開~代替

一平衡。

5.位移、變形與應變

位移：構件中各點、線和面在變形前后位置的改變，分為線位移和角位移。

變形是指單元體長度或角度的變化量，而應變那么表征變形的程度，具體定義如

下：

變形：物體受力后，其內部任意兩點之間的相衣線位移或二正交直線間的相對角

位移。

應變：應變是對變形的度量，是無量綱量,應變又分為線應變和角應變。

線應變又稱正應變，是彈性體變形時一點沿某一方向微小線段的相對或變靠，是

一無量綱量，用￡表示，即

角應變又稱剪應變，是彈性體變形時某點處一對相互正交的微線段所夾直角的改

變量，單位為弧度(rad),用y表示，即

式中，。是變形后原來E交的二線段間的夾角。

6.桿件變形的根本形式

在材料力學中所涉及的桿件變形的根本形式有四種：軸向拉伸或壓縮、剪切、扭

轉、平面彎曲。其它各種變形形式即為各根本變形的組合，例如偏心壓縮可視為壓縮

和彎曲的組合，斜彎曲可以分解為兩個方向的平面彎曲等。

3.1.5典型例題

本章的典型例題涉及的內容無非就是截面求內力和簡單的應力應變計算這

兩方面的問題。

例1：對如下圖的鉆床，試求小〃截面上的內力,

解：應用截面法，很顯然，去截面的右邊局部作為隔離體是很簡單的，因為在有

半局部，隔離體上的外刀只有一個的集中力F,而左半局部的外力是地面對鉆床的約

束力，這個約束力是未知的。第二點，我們分析這個所取得隔離體，所取得截面是與

力尸平行的，很顯然，這個〃-〃截面上沒有軸力，存在剪力Fs，而這個剪力與外力產

構成了一個力偶，那么這個截面上一定存在一個彎矩以的所取得隔離體滿足平衡條件。

下面就列平衡方程來求解未知的內力：

這里要注意的是,上面的第二式中是將所有的力對界面的形心C取矩，至于這個形心

的具體位置沒必要深究，但是它?定是在截面上！

求解，述的兩個方程，容易求得截面〃力的內力：Fs=F、M=Fb

例2：如下圖的三角形薄板因受外力作用而變形，角點8垂直向上的位移為0.03mm,

但A8和8C仍保持為直線。試求沿OB的平均應變,

并求AB、兩邊在B點的角度改變。

解：由平均應變(又稱為名義應變)的定義可

知，沿。8的平均應變?yōu)?/p>

因為B點在變形前是直弟，那么8點的角度改變也

就是8點的角應變，根據定義，有

注意:(1)線應變無量綱，而角應變的單位是弧度。

(2)線應變是以伸長為正，縮短為負；角應變是以直角的縮小為正，增大為負。

3.2軸向拉伸和壓縮

3.2.1概述

軸向拉壓是材料力學中研究的最簡單也是最根本的一種變形形式，復習時應以概

念為主，理解記憶。需要掌握的重點內容有以下幾個方面:

1.截面法計算拉壓桿的內力，會繪制軸力圖

2.橫截面的應力計算〔注意橫截面正應力公式的使用條件）

3.斜截面上的應力

4.拉壓虎克定律，會計算拉壓桿的軸向變形

5.材料拉壓力學性能，掌握幾個根本定義、概念等

6.拉壓桿件的強度計算

3.2.2重點知識簡介

本章的重點是：m拉壓桿橫截面的應力計算。對于只承受拉力或壓力的直桿，

其橫截面上的應力也只有拉應力或壓應力，根據拉壓平截面假定以及小變形的假設，

認為橫截面上的正應力均勻分布，只要求出截面的內力，除以橫截面面積即可，注意

應力的量綱是［力］/［長度匕（2）拉壓桿斜截面上的應力。區(qū)別于橫截面的應力，斜截

面上既有正應力，也有剪應力，計算的方法還是利用隔離體的平衡條件，這里要特別

注意的是剪應力的正負號規(guī)那么，區(qū)別彈性力學的符號系統(tǒng)。（3）拉壓虎克定律。二無。

虎克定律是彈性體力學的核心，表示的是彈性體中的應力和應變的關系，這里的拉壓

虎克定律是最簡單的形式，也是最根本的形式，以后的章節(jié)中還會涉及到廣義虎克定

律。利用虎克定律就能夠求出結構的變形，在材料的剛度計算中尤為重要。

3.2.3難點歸納與剖析

本章的難點是對拉玉虎克定律的理解。拉壓虎克定律具有簡單的表現形式，即

b=Ec。為了便于理解，我們可以回想一下理論力學中彈簧的變形計算，即尸=日，

也被稱為虎克定律，實際上這是虎克定律的宏觀表現形式。由虎克定律。=氏可以演

化出求桿件變形的公式，

3.2.4知識點詳解

1.軸向拉伸（壓縮）的變形特點

①構件特征一一構件為等截面直桿。

②受力特征一一外力或外力的合力作用線與構件軸線重合。

③變形特征一一桿件軸線在受力后均勻伸長（或縮短），即桿件兩橫截面沿桿件軸

線方向產生相對的平行移動。

2.拉壓桿橫截面的內力

（1）截面法

截面法是求內力的一般方法。在需求內力的截面處，用一假想的平面沿該截面將桿件截

開，取其一局部，將棄去局部對留下局部的作用代之以內力，然后考慮留下局部的平衡，由

平衡條件求出該截面上的未知內力。

技巧：一?般用截面法將桿件截開以后，取外力個數較少的局部作為研究對象，這樣計算

比擬簡單。

(2)軸力

軸向拉、壓時，桿件橫截面上的內力，以N表示，沿桿件軸線方向。

(3)軸力的正負號規(guī)那么

拉伸時的軸力為正，壓縮時的軸力為負。

(4)軸力圖

表示各橫截面上的軸力沿桿件軸線方向變化規(guī)律的圖線。

2.拉壓桿橫截面上的正應力

(1)應力

由外力作用所引起的內力的密度。

(2)應力的特征

①應力定義在物體的假想平面或邊界上的一點處。

②應力的量綱為［力］/［長度］2,單位是N/nf,或記為Pa。

(3)拉壓桿橫截面上的正應力

平面假設：變形前為平面度的橫截面，在變形后仍保持為平面，并且仍然垂宜于軸線，

只是各橫截面沿桿軸產生了相對位移。從這一實驗觀察的結果以及材料的根本假設得到拉壓

桿的橫截面正應力公式：

N為正時，b為拉應力；N為負時，。為壓應力。

正應力公式應用的條件：

(1)外力合力的作用線必須與桿件軸線重合；

(2)公式只在距外力作用點一定距離外才是正確的；

(3)桿件必須是等直桿。

對于截面尺寸緩慢變化的桿件，正應力公式可寫成桿軸線坐標/的函數：

3.拉壓桿斜截面上的應力

2

①正應力aa=acosa

②切應力剪應力Ta=；osin2a

其中o

A

剪應力正負號規(guī)定：順時針為正，逆時針為負(注意這與彈性力學中的剪力符號規(guī)定不

一樣)

③最大、最小應力

4.拉壓桿的變形計算、拉壓虎克定律

(1)變形的定義

受力物體形狀改變時，兩點之間線距離或二正交線段之間夾角的改變，前者稱為線變形,

后者稱為角變形。

（2）軸向拉壓變形的計算

①縱向變形△/=/「/

②縱向應變.與

③拉壓虎克定律

在材料的彈性范圍內，拉壓虎克定律描述為

"三或b二七￡

E

E為材料的拉壓彈性模量，又稱為楊氏模量

將￡=空和。=2代入虎克定律可得軸向拉壓的變形公式

IA

定義EA為材料的拉壓剛度。

虎克定律的適用條件：

a）應力不超過材料的比例極限，即材料處于彈性階段。

b）在計算A/的長度/范圍內，軸力N、截面面積A及材料彈性模量E均為不變常量的

時候，對于階梯桿或軸力在分段不變的情況下，整個桿的變形等于各段變形的代數

和

當軸力或截面面積沿桿軸連續(xù)變化時，變形由積分公式給出

這里要注意公式的靈活應用。

④橫向變形泊松比

假設桿件變形前的橫向尺寸為近變形后為〃，那么橫向應變?yōu)?/p>

試驗的結果說明：當應力不超過某個極限時，橫向應變/與軸向應變￡之比的絕對值是一個

常數。即

式中的〃稱為橫向變形系數或泊松比，它是無量綱的量，其值可由試驗測定。

考慮到橫向應變&'和軸向應變￡的符號相反，故有

彈性模量E和泊松比〃都是材料的固有的彈性常數，它們是反映材料彈性變形能力的

參數。

5.材料拉壓力學性能

U）低碳鋼的拉伸試驗

①彈性變形與塑性變形

a）彈性變形：解除外力后能完全消失的變形。

b）塑性變形：解除外力后不能消失的永久變形。

②低碳鋼拉伸變形的四個階段

以下圖是低碳鋼拉伸變形時的應力-應變曲線，從1ft線中可以看出低碳鋼拉伸變形分為

幾個重要的階段

a）彈性階段段）：這段的曲線根本為直線段，換句話說，應力應變的關系根本上

保持線性關系。法直這里說“根本”是因為在這個階段中包含了比例階段，只有在比例階段

內應力和應變的關系才是為線性的。

b）屈服階段（歷段）：應力變化不大，應變那么不斷增長，這段稱為屈服平臺，這段

曲線的出現是與低碳鋼材料的內部晶格的排列有關。

C）強化階段段］:在該階段，應力?應變曲線的斜率是逐漸變小的，并且出現了較

大的塑性變形。

d）頸縮階段（北段）：當應力到達強度極限后，試件的變形幾乎集中在某一局部區(qū)域，

使局部橫截面面積迅速收縮，形成頸縮現象。由于局部橫截面面積迅速減小，使試件繼續(xù)變

形所需的拉力也越來越小，最終試件被拉斷。

③幾個重要的參數

低碳鋼拉伸圖中的幾個重要參數：比例極限彈性極限4、屈服極限4、強度極限

巧，彈性模量工

比例極限W一一應力和應變成正比的最高應力值。

彈性極限4——只產生彈性變形的最高應力值。

屈服極限區(qū)一一應力變化不大，應變顯著增加時的最低應力值。

強度極限外一一材料在斷裂前所能承受的最高應力值。

彈性模量E一一數值上等于應力-應變曲線中比例階段的斜率，即E=vana,

④力學性能指標

a）強度指標

屈服極限。，（對于塑性材料?）或強度極限％（對于脆性材料）

b）彈性指標

彈性指標即材料的彈性模量E

c）塑性指標

塑性指標：延伸率，和截面收縮率

延伸率：3="乂100%

截面收縮率：-=42Axioo%

A

其中《、A為試件拉斷后的參數。

*d）冷作硬化

材料經過預拉至強化階段，卸載之后，再受力時，呈現比例極限提高，塑性降低

的現象。

（2）材料壓縮時的力學性能

①塑性材料

低碳鋼是典型的塑性材料，試驗結果說明，低碳鋼壓縮時的彈性模量E.比例極

限?！ā⑶O限5都與拉伸時大致相同。只是低碳鋼壓縮時，試件越壓越扁。

②脆性材料

脆性材料壓縮時的力學性能與拉伸時有較大的差異。鑄鐵是一種典型的脆性材料，

試驗說明，鑄鐵彈性范圍內的直線局部不明顯，沒有“屈服點”，試件仍在較小的變形

（但比拉伸時大得多）下突然破壞。破壞斷面與軸線大致成45°角，這說明試件沿斜

截面的剪應力而破壞。

6.拉壓桿件的強度、剛度計算

（1）強度條件

許用應力：[可=￡,式中。根據材料的性質可取材料的屈服極限q（塑性材料）、名

義屈服極限/2（塑性材料）或強度極限％（脆性材料），〃為平安系數，〃>1

強度條件：簡述為桿內最大工作應力不超過許用應力，即

（2）強度計算的三類問題

①強度校核勺6

②截面設計42史

③許用載荷計算NW用b]

（2）剛度條件

剛度計算是指桿件的變形不超過允許的變形，如果定義心/|為許用變形，那么剛度條件

寫成

△/=型K[△/]或△/=[△/]

EAJ，EA（x>

*7.軸向拉壓時的超靜定問題

（1）超靜定問題

未知數多余可被應用的獨立平衡方程數，不能用靜力學平衡方程完全確定全部未知數的

問題。

（2）超靜定問題的解題步驟

①靜力平衡條件一一由靜力平衡條件列出平衡方程。

②變形相容條件一一根據結構或桿件變形后應保持連續(xù)的變形相容條件，作出位移圖

1或變形圖），有位移圖的幾何關系列出變形間的關系方程。

③物理關系一一由虎克定律列出力-變形間的關系方程。

④將物理關系代入變形相容條件，得到補充方程。補充方程和靜力平衡方程，二者方

程數正好等于未知數的個數，聯(lián)立平衡方程和補充方程，求解全部未知數。

3.2.5典型例題

例1求圖示桿各段的內力并繪軸力圖。

解（1）采用截面法，分別繪出求解各段內力的隔離體圖，并在切開的面_L以內力N表

示。一般內力（軸力）以拉力表示。由平衡條件EE=o分別解出各段內力為：

Nj=4KN（拉）Nn=lKN（拉）Njn=-2KN（壓）

例1題圖

（2）繪制軸力圖

例2—懸掛桿件長/,橫截面面積為A,容重為試求桿件在自重作用下內力沿桿軸

的變化并繪出軸力圖。

解（1）內力沿桿軸的分布

首先將桿的自重簡化成沿桿軸均勻分布的荷載。

設立坐標如圖，在任意位置x處截取一段隔離體作為研究對象。根據平衡條件Z￡=0,

可得：

當產/時，為軸力最大處，其值為

（2）繪制軸力圖

如下圖

例2題圖隔離體圖軸力圖

解（1）內力沿桿軸的分布

首先將桿的自重簡化成沿桿軸均勻分布的荷載。

設立坐標如圖，在任意位置x處截取一段隔離體作為研究對象。根據平衡條件ZE=o,

可得：

當產/時，為軸力最大處，其值為

（2）繪制軸力圖：如下圖。

例3求例2所示構件橫截面的正應力

解：軸力上面已求出，為：

任意橫截面上的應力為：

例4鋼木構架如圖，桿①為鋼制圓桿，Ai=600/wrr,Icr],=160MPa：桿②為木桿，

人2=10（）00〃〃〃2>[<J]2=7MPa。

（1）假設尸二10kN,校核兩桿的強度：

（2）結該構架的容許荷載[P]；

13）根據容許荷載，試重新選擇桿①的直徑。

解（1）校核兩桿強度，先繪節(jié)點B受力圖，由靜力平衡條件得：

=0,N/Sin30-尸=0，M=2戶（拉）①

E￡=0,N〃-N/Cos30=0,N〃=岳（壓）②

兩桿的強度均滿足條件。

（2）確定該構綱的容許荷載[P]o

由桿①：［乂1=川可=%小

代入式①得：［P］=，NJ=48kN

由桿②：［N2］=A［d=70kN

代入式②得：［P］=；［NJ=40.4kN

為了使兩桿均平安，最終確定容許荷載［P］=40.4kN.

(3)由容許荷載［P］=40.4kN,設計桿①的直徑。

當構架在［P］=40.4kN作用下，桿②橫截面上的應力恰到好處，正好是到達”］2值，對

桿①來說，強度仍有余，即桿①的截面還可減小。根據強度條件：

例5圖示結構由兩桿組成，兩桿長度均為/,B點受垂直荷載P作用。

(1)桿①為剛性桿，桿②剛度為E4,求節(jié)點8的位移：

(2)桿①、桿②剛度均為E4,求節(jié)點8的位移。

解(1)：a.繪節(jié)點B受力圖，并求出兩桿內力。

由平衡條件可解得：

b.繪節(jié)點B的位移圖，求解節(jié)點B的位移。

由節(jié)點位移圖可得節(jié)點4的位移

解(2)：節(jié)點受力圖同上，節(jié)點位移如下。

由節(jié)點位移可得節(jié)點B的水平及垂直位移分別為：

節(jié)點B的總位移：為=麗=荷取+以=|償j+(行『

3.2.6習題

習題1對于圖示承受軸向拉伸的錐形桿上的A點，哪一種應力狀態(tài)是正確的。0

習題2應用拉壓正應力公式b=N/A的條件是1)

(A)應力小于比例極限(B)外力的合力沿桿的軸線

(C)應力小于彈性極限(D)應力小于屈服極限

習題3求圖示豎直懸掛的實心圓錐桿在自重作用卜邯J伸長量，設材料的比重為y。

習題4如圖，一長為/的剛休(不計自重)由兩根剛度不同、長度均為/的等直桿懸掛

于天花板上，且受鉛垂力P的作用，為使剛體保持水平，求距離X。

習題5圖示構架，剛性梁絞支于A點，并以兩根材料和橫截面面積都相同的樞桿懸

吊于水平位置，設尸=50kN,鋼桿許用應力匕］=lOOMPa,求兩吊桿的內力及所需橫截面積。

習題解答

習題1：B習題2：B

習題3：此題考核軸向拉壓變形的計算

取隔離體如下圖，隔離體的自重63="(幻=y54.X，A*)為截面面積

據隔離體的平衡條件，截面內力N(x)=G(x)

由軸向變形公式得到：

習題4：首先對被懸掛的剛體進行受力分析，如圖，列剛體的平衡條件方程

由此可以求得兩根懸桿的變形

要使剛體保持水平，必須有必=42,容易求得

習題5：圖示構架是一個超靜定結構，但是考慮到4。是剛性桿，那么可以應用小變形

條件和幾何關系來求解。

根據幾何關系，容易知道桿1和桿2的變形量的關系為42=2加|,那么由條件兩桿的

材料、橫截面積和長度相同可以得到M=2'

取4。桿作為隔離體(如圖)分析其平衡條件，即

oA

解得乂=gP=30kN,N2=|p=60kN

許用應力Q]=100MPa,那么

巧=乂4匕],6=區(qū)Wla\——這兩個條件必須同時滿足

A-A

解得兩桿的橫截面積八>叢=60x10，o'mm?=6mm2

[<y]lOOxlO6

3.3剪切和扭轉

3.3.1概述

這一章重點掌握捫轉的相關計算，剪切局部掌握剪切和擠壓的實用計算.主要內

容如下：

1.剪切和擠壓的實用計算

2.扭矩、扭矩圖

3.純剪切概念，剪切虎克定律

4.圓軸扭轉應力和變形公式及變形強度和剛度計算

5,斜截面應力及破以分析

3.3.2重要知識簡介

可以說，根本變形的強度、剛度的計算幾乎是每年的必考題，包括上?章的軸向拉壓、

這章的剪切和扭轉，以及之后要涉及到得平面彎曲。這幾個根本變形會單獨出題，一般是

2-3道題，大概占到40分左右，而且這局部題是相對簡單的，一定要把握住，難一點的也

就是組合變形的強度計算問題。

從本章來講，比擬重要也是必須掌握的知識點有：①剪切、擠壓的實用計算；②圓軸扭

轉的應力和變形的計算；③純剪切、剪切虎克定律的概念。

3.3.3難點歸納與剖析

本章的難點主要有兩個

（1）圓軸扭轉的相關計算

圓軸扭轉的相關計算中涉及的公式較多：薄壁圓筒的應力公式，實心圓軸的應力公式,

圓軸扭轉的變形公式等。再一點在計算過程中涉及到了截面的兒何性質，具體講就是裁面的

極慣性矩，這在下一章節(jié)中會具體涉及到。

（2）純剪切、剪切虎克定律

純剪切是一個比擬重要的概念，它作為一個根本的定理不僅在材料力學中出現，在彈性

力學、塑性力學等幾乎所有的變形體力學中都會涉及到，所以一定要仔細掌握。

剪切虎克定律描述的是剪切變形中的應力和應變的關系，與拉壓虎克定律相似，也具有

簡單的形式，即丁=Gy,這里的G是剪切彈性模量，它與拉壓彈性模量上有一定的關系，

這在以后會給出證明。

3.3.4知識點詳解

1.剪切及其實用計算

（1）剪切的力學模型

①受力特征：構件受一對大小相等、方向相反、作用線相互緊靠但不重合的平行力的

作用。

②變形特征：構件沿二平行力的交界面發(fā)生相對錯動。

（2）剪切面

構件將發(fā)生相互錯動的面。具有一個剪切面的剪切變形稱為單剪切，具有兩個剪切面的

剪切變形稱為雙剪切，如以下圖所示：

單剪切（每個鉀釘只有一個剪切面）雙萌切（每個獅釘有兩個前切面）

（3）剪力

剪切面上的內力，其作用線與剪切面平行。

（4）剪切的實用計算方法

根據構件破壞的可能性，以直接試驗為根底，用剪切面上的平均應力〔名義應力）來進

行構件的強度計算

剪切實用計算：假定剪應力在截面上均勻分布，且平均剪應力等于剪切面上的剪力除以

剪切面的面積，叩

剪切強度條件：剪切的強度條件為

式中，［日為根據直接試驗并按名義剪應力公式（平均剪應力計算公式）求得的材料的許用

剪應力。

2.擠壓及其實用計算

m擠壓

擠壓常常伴隨著剪切聲生，指構件局部面積的承壓作用。

（2）平均（名義）擠壓應力

假定擠壓應力在擠壓面上均勻分布，定義擠壓應力為

其中擠壓面積為(I)擠壓面為平面時，以實際接觸面積作為計算擠壓面積(2)當擠壓面為

圓柱面時，以直徑投影面作為計算擠壓面積。

(3)擠壓強度條件

擠壓實用計算的強度條件為

式中[%」為材料的許用擠壓應力，其值由實驗測定。

3.扭矩、扭矩圖

(1)功率與外力偶矩的換算

記住公式川=時刈(功率等于外力偶矩與角速度的乘積)。當給定功率M(kW)和轉

速〃(r/min)時，外力偶矩的計算公式為

假設給定功率N”(馬力，H.P,1馬力=735.5W)時，外力偶矩計算公式為

(2)扭矩

扭矩是扭轉桿件的內力偶矩，同樣可以由截面法計算，計算的原那么是隔離體的平衡，

即外力偶矩與內力偶矩平衡。

扭矩的符號規(guī)定：按右手螺旋法那么將扭矩用矢量表示，當矢量沿截面外法向

時扭矩取正，反之取負。

(3)扭矩圖

表示圓桿各截面上的扭矩沿桿軸線方向變化規(guī)律的圖線。

4.純剪切，剪切虎克定律

(1)純剪切的概念

單元體的各個面，只承受剪應力。

(2)剪應力互等定理

如下圖的純剪切單元體，根據單元體的平衡條件ZMz=O,有

得至=

彷點：剪應力互等定理雖然是在純剪切狀態(tài)下得到的，但它是一般性定理，在有正應力

存在的時候同樣成立。第二，剪應力互等定理是對單元體而言,單元體是一個微小正六面體,

對于一般的六面體并不成立。

[3)剪切虎克定律

在剪應力不超過材料的剪切比例極限時，剪應力與剪應變成正比，即

式中G為剪切彈性模量；G、七和〃三者的關系為

這個關系在第六章給予證明。

5.扭轉的力學模型

①構件特征：構件為等圓截面直桿。

②受力特征：外力倡矩的作用面與桿件軸線相垂直。

③變形特征：桿件各橫截面繞桿軸作相對轉動

6.圓軸扭轉應力和變形

圓軸扭轉剛性平面假設：圓軸扭轉時，各截面就像剛性平面一樣，繞軸線旋轉了一個微

小角度。根據這個假設，榮譽推導圓軸扭轉時的剪應力計算公式

式中夕為所求點到截面圓心的距離；為截面的極慣性矩，定義為/〃二工爐5，對于圓截

面，/=—=—,對于空心圓截面/“=￡（/）―/）.

'232"32

最大剪應力計算：當夕到達最大時，剪應力為最大，即

式中，叱定義為“，為截面的抗扭橫面模量，對于圓截面%='=迎1=空，對于空心

圓截面叱=2=/_（少一小）。

R16。

圓軸扭轉變形：圓軸扭轉的變形，一般用兩個截面間繞軸線的相對扭轉角e來表示，

注意其單位是弧度（rad）.這里定義G/,,為抗扭剛度，它表示圓軸抵抗扭轉變形的能力。（在

拉壓變形中曾定義￡4為桿件抗拉壓剛度，另外圓軸扭轉變形公式與拉壓變形公式有一定的

相似性，注意聯(lián)系記憶）

7.圓軸扭轉的強度、剛度計算

圓軸扭轉的強度，剛度計算：

（1）強度條件

（2）剛度條件

工程中常用單位長度的扭轉角表示圓軸扭轉的變形程度，即

通常規(guī)定不超過規(guī)定的許用值的]（其單位工程中習慣上用“度/米/m"），剛度條件為

8.斜截面應力及破壞分析

圓軸扭轉斜截面的應力：畫單元體圖很容易求得，所以不用刻意去記。

破壞分析：對于鑄鐵，其抗拉能力弱，扭轉時沿著最大拉應力面被拉斷；對于低碳鋼,

其抗剪能力弱，在剪應力最大的橫截面上被剪壞。

3.3.5例題及解答

例1試校核如卜?圖連接銷釘的剪切強度。F=100kN,銷釘直徑d=30mm,材料的許用

剪應力K]=60MPa。假設強度不夠，應改用多大直徑的銷釘。

解：銷釘的每個剪切面所承受的剪力均為

銷釘的剪切強度為

因丁＞[7],故不能平安工作，要滿足強度要求，應有

A42[r]

解上式得

應改用直徑d=331nm的銷釘。

例2如下圖，一螺栓將拉桿與厚度為8mm的兩塊蓋板連接。各零件材料相同，許川應

力為[cr]=&)MPa,[r]=60MPa,[ajy]=160MPa。假設拉桿的厚度6=15mm，拉力F=120kN，

試設計螺栓直徑d及拉桿寬度b.

解：11)按拉伸強度要求設計拉桿的寬度。

拉桿的軸力N=尸，其強度為

解上式得

(2)按剪切強度要求設計螺栓的直徑。

螺栓所承受的剪力為

應滿足剪切強度條件

解上式得

(3)按照擠壓強度要求設計螺栓的直徑

擠壓輕度條件為

解上式得

比擬以上三種結果，取

例3r為圓桿橫截面.上的扭矩，試畫出如圖[a)、(b)、(c)所示截面上與r對應的剪應

力分布圖。

解：由圓軸扭轉橫截面上任一點的剪應力公式

可知，一點剪應力的大小與這一點距圓心的距離成正比，故橫截面任意一條半徑上各點的剪

應力分布分別如圖⑶)、(bi)>(C1)所示。

例4如下圖，A8軸的轉速〃=120r/min,從3輪輸入的功率為P=44.13kW,功率的一

半通過錐形齒輪傳給垂直釉II,另一半由水平軸I輸出。=600nun,D1-240nun,

4=100mm,&=80mm,d、=60mm,[r]=20Mpa。試對各軸進行強度校核。

解：A8軸所傳遞的扭矩為

AB軸橫截面上最大剪應力為

AB軸的最大工作剪應力小于許用剪應力，滿足強度要求。

I軸橫截面上的最大剪應力為

I軸的最大工作剪應力小于許用剪應力，滿足強度要求。

II軸的轉速可根據齒輪傳動比與直徑的關系求得，印

n軸傳遞的扭矩為

n軸橫截面上最大剪應力為

II軸的最大工作剪應力小于許用剪應力，滿足強度要求。

綜上所述可知，各軸均滿足強度要求。

3.3.6習題

習題1在構件內一點處二互相不垂直的截面上，與二面交線垂直的剪應力之間的關系為

0

（A）大小不相等

（B）大小相等，但不成對（即其方向并不都指向或都離開二面交線）

（C）大小可能相等，也可能成對

（D）大小相等而且成對，即剪應力互等定理仍成立

習題2在平板和受拉螺栓之間墊上一個墊圈，如下圖，可以提高0強度

（A）螺栓的拉伸

（B）螺栓的剪切

（C）螺栓的擠壓

（D）平板的擠壓

習題3圖示圓軸由鋼桿和鋁套筒結合為一個整體，當其承受扭轉變形時，其橫截面上的

剪應力分布如圖0所示

習題4鋼制圓軸受力如圖，圖中=8（X）Nm,牡=l200Nm,—=400Nm,/,=30cm,

4=70cm。假設⑶=50MPu,[0=0.25/m,G=82GPii。設計軸的直徑d°

習題解答

習題1.C

習題2.D

習題3.B

注：此題考察的是對剪切虎克定律的理解，以及圓軸扭轉變形的特點。

圓軸受扭時，里、外層之間無相對滑動，這說明二者形成一個整體，同時產生扭轉

變形。根據平面假定，二者組成的組合截面，在軸受扭后依然保持平面，即其直徑保持

為直線，但要相當于原來的位置轉過一角度。

剪切虎克定律描述為r=Gy,在鋼桿和鋁套筒結合處，變形保持連續(xù)，即剪應變相

等，那么由于鋼材的剪切模量大于鋁，故應選B。

習題4.作扭矩圖

由強度條件：rnm=^=^<[r],得

7ra

~16~

由剛度條件：=^x^=^-x^2<p],得

GI,71「冗d7T

32

所以，可取直徑d=7.0cm。

3.4截面的幾何性質

3.4.1概述

檄面的幾何性質主要包括：靜矩、形心、慣性矩和慣性積、極慣性矩等。在材料力學中

一般涉及的是構件（或者就說是桿件）的截面幾何性質，這在進行構件的應力、應變，以及

變形的計算中是很重要的，構件的承載能力不僅與構件的材料有關還與構件的幾何形狀是有

關的。

這一章重點掌握截面各幾何性質的根本概念，主要內容有：

1.截面形心的計算

2.慣性矩、慣性積

3.組合截面慣性矩的平行移軸公式

4.主慣性矩、形心主慣矩

3.4.2重要知識點簡介

在所有的截面幾何性質中，比擬重要和常用的有截面的靜矩和慣性矩這兩個。截面的靜

矩又稱為截面的一次矩，而截面的慣性矩那么又稱為截面的二次矩，根據這一點，就很容易

記住靜矩和慣性矩的定義式：

靜矩：S.=JjdA

慣性矩：/.=fy2dA

注意積分號里被積函數的差異。

關于組合截面幾何性質的計算，也是很重要的，例如有些截面并不是簡單的一個形狀,

這時就需要用組合截面的相關計算公式來計算。

3.4.3難點歸納與剖析

本章的難點是平行移軸公式和對主慣性矩及形心主慣矩的理解，這里要涉及到慣

性枳。

對于平行移軸公式，注意在一對平行軸中，其中一根軸必須是過形心的軸。平行

移軸公式的重要應用是計算組合截面的慣性矩。

如果截面對某對坐標軸的慣性積為零，那么稱這對坐標軸為截面的主慣性軸，簡

稱為主軸。

3.4.4知識點詳解

1.靜矩和形心

（1）一般截面的靜矩和形心（定義）

截面對z、），軸的靜矩

對Z軸的靜矩：=

對y軸的靜矩：Sy=zA=￡zdA

截面的形心坐標

[ydLAcfzdAs

形心坐標：尸=2,六L_一

AAAA

※截面對形心軸的靜矩為零，即

靜矩的量綱是[長度F。

(2)組合截面的靜矩和形心

對于由〃個簡單圖形組成的組合截面，其靜矩為：

2這4不Sy這餌

Z-IJ-I

y

組合截面形心：7=^—,彳=弓一

ZAZA

f=lf=l

式中，A、&、…、A,-----各簡單圖形的面積；

無、無、…、yn---各簡單圖形的形心坐標；

耳、藝2、…、五----各簡單圖形的形心坐標。

(3)關于靜矩的特征總結

①截面的靜矩是對某一坐標軸而定義的；

②靜矩的量綱為長度的三次方，單位是nA

③靜矩的數值可能是正，也可能為負，也可能等于零。假設截面對某軸的靜矩為零，

那么該軸必通過截面的形心；反之，假設某軸通過形心，那么截面對該軸的靜矩也必等于零。

2.慣性矩、慣性積、極慣性矩

(1)慣性矩

慣性矩也稱為截面的二次矩，定義為

對z軸的慣性矩：A=￡y2d4

對y軸的慣性矩:，小卜必

慣性矩的特征：

①截面的慣性矩是對某一坐標軸而定義的；

②慣性矩的量綱為長度的四次方，單位是m』；

③慣性矩的數值恒為正值。

(2)慣性積

定義積分

為截面對兩正交軸)，和z軸的慣性積。(兩正交軸中，只要有一根軸是截面的對稱軸，那么

截面對這一對坐標軸的慣性積等于零。)

慣性矩的特征:

①截面的慣性積是對某一坐標軸而定義的；

②慣性積的量綱為長度的四次方，單位是

③慣性積的數值可能是正，也可能為負，也可能等于零。假設一對坐標軸中有一條是截

面的對稱軸，那么截面對這一對坐標軸的慣性積必等于零，但假設截面對某一對坐標輸的慣

性枳為零,那么這一對坐標軸中卻不一定有截面的對稱軸。注意與靜矩特征的區(qū)別!

（3）極慣性矩

截面對坐標原點的極慣性矩為

其中，P表示微元面積dA到坐標原點0的距離

極慣性矩的特征：

①截面的極慣性矩是對某?極點而定義的；

②極慣性矩的量綱為長度的四次方，單位是m,

③極慣性矩的數值恒為正值，其數值等于以該點為坐標原點的任意一對正交的坐標軸的

慣性矩之和

（4）慣性半徑

慣性半徑定義為：

①截面對），軸的慣性半徑：

②截面對z軸的慣性半徑：

有了慣性半徑的定義之后，截面對坐標軸的慣性矩就可以簡單地寫成面積與慣性半徑平

方的乘積的形式

（5）常用公式（要記?。?/p>

*圓截面對形心的極慣矩為：

對形心坐標的慣性矩為：

*空心圓截面對形心的極慣矩為：

對形心坐標的慣性矩為：

3.慣性矩的平行移軸公式

如以下圖（a）,截面的面積為A,對形心軸為、Zc的慣性矩為〃、Q,慣性積為/臺,

和形心軸平行的軸），、z與），c、Zc之間的距離分別為a、b,那么

對于組合截面，如圖［b）,平行移軸公式為

※注意:在一組相互平行的坐標軸中,截面對形心軸的慣性矩為最小。（但慣性積不一

定為最?。?/p>

4.主慣性矩、形心主慣矩

（1）主慣性軸與主慣性矩

①主慣性軸一一假設截面對坐標軸光、Z。的慣性積為零（/哂,=0），那么坐標軸光、

z0稱為截面的主慣性軸。

②主慣性軸的方位一一假設截面對丁、z軸的慣性矩人、和慣性積〃為，那么主慣

性軸的方位由下式確定：

角度4是指原坐標軸)，、z軸與主慣性軸之間的夾角，并且規(guī)定其正負號規(guī)那么為，從原坐

標軸量起，逆時針轉向為正。

③主慣性矩一一截面對主慣性軸的慣性矩

這個公式與第六章中主應力的公式類似，加果對主應力公式熟悉了，那么這個公式也不難記

憶。

主慣性矩是界面對通過同一原點O所有軸的慣性矩中的最大值和最小值。

(2)形心主慣性軸與形心主慣性矩

①形心主慣性軸一一通過截面形心的一對主慣性軸。

②形心主慣性矩一一截面對形心主慣性軸的慣性矩。

3.4.5典型例題

例1半徑為「的半圓：(1)求其對直徑z軸的靜矩及形心孔;(2)求對形心軸飛的慣

性矩。

解：(I)在距z軸任意高度)，處取狹長條作為微面積，即

(2)圓對z軸的慣性矩為:

半圓對z軸的慣性矩為：

利用平行移軸公式，半圓對形心軸Zc的慣性矩為：

例2試計算圖示槽形截面的形心主慣性矩。

解：(1)形心坐標7的計算。

z為對稱軸，形心必在z軸上

(2)確定形心主軸

z為對稱軸，故為形心主軸，另一條形心主軸必須過形心并與z軸垂直，即圖中)，軸。

(3)形心主慣性矩i一算

注:此題中用到的公式:

(I)組合截面形心公式

y=^——n，z=n-^—

ZAZA

/=1/=!

(2)矩形截面的形心慣性矩公式

(3)平行移軸公式

3.4.6習題

習題1對于圖示直角三角形，以下結論中正確的選項是0

(A)--4、力-z2都是圖形的主軸

(B)y,-zn%-Z?都不是圖形的主軸

(C)乂-馬是圖形的主軸，)，2-Z2不是圖形的主軸

(D)F-馬不是圖形的主軸，M-Z2是圖形的主軸

習題2試確定如下圖圖形通過坐標原點O的主慣性軸的位置，并計算主慣性矩/.和/.

的值。

習題3確定上題中所示圖形的形心主慣性矩及形心主慣性軸

習題解答

習