PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(十六)離散型隨機(jī)變量的方差(建議用時(shí)：60分鐘)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、選擇題1．有甲、乙兩種水稻，測(cè)得每種水稻各10株的分蘗數(shù)據(jù)，計(jì)算出樣本方差分別為DX甲＝11，DX乙＝3.4.由此可以估計(jì)()A．甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊B．乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊C．甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同D．甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度不能比較B[∵DX甲>DX乙，∴乙種水稻比甲種水稻整齊．]2．已知隨機(jī)變量X的分布列為：P(X＝k)＝eq\f(1,3)(k＝1,2,3)，則D(3X＋5)＝()A．6B．9C．3D．4A[EX＝(1＋2＋3)×eq\f(1,3)＝2，∵Y＝3X＋5可能取值為8,11,14，其概率均為eq\f(1,3)，∴EY＝8×eq\f(1,3)＋11×eq\f(1,3)＋14×eq\f(1,3)＝11.∴DY＝D(3X＋5)＝(8－11)2×eq\f(1,3)＋(11－11)2×eq\f(1,3)＋(14－11)2×eq\f(1,3)＝6.]3．同時(shí)拋擲兩枚勻稱的硬幣10次，設(shè)兩枚硬幣同時(shí)出現(xiàn)反面的次數(shù)為ξ，則Dξ＝()A．eq\f(15,8)B．eq\f(15,4)C．eq\f(5,2)D．5A[兩枚硬幣同時(shí)出現(xiàn)反面的概率為eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，故ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,4)))，因此Dξ＝10×eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(15,8).故選A.]4．已知X的分布列為X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)則①EX＝－eq\f(1,3)；②DX＝eq\f(23,27)；③P(X＝0)＝eq\f(1,3).其中正確的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3C[EX＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，故①正確；DX＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,3)))eq\s\up8(2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,3)))eq\s\up8(2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))eq\s\up8(2)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,9)，故②不正確；③P(X＝0)＝eq\f(1,3)明顯正確．]5．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up8(k)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up8(n－k)，k＝0,1,2，…，n，且Eξ＝24，則Dξ的值為()A．8B．12C．eq\f(2,9)D．16A[由題意可知ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(2,3)))，所以eq\f(2,3)n＝Eξ＝24.所以n＝36.所以Dξ＝n×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(2,9)×36＝8.]二、填空題6．若事務(wù)在一次試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù)的方差等于0.25，則該事務(wù)在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為________．0.5[事務(wù)在一次試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù)記為ξ，則ξ聽從兩點(diǎn)分布，則Dξ＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.]7．隨機(jī)變量ξ的取值為0,1,2.若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，Eξ＝1，則Dξ＝________.eq\f(2,5)[由題意設(shè)P(ξ＝1)＝p，ξ的分布列如下ξ012Peq\f(1,5)peq\f(4,5)－p由Eξ＝1，可得p＝eq\f(3,5)，所以Dξ＝12×eq\f(1,5)＋02×eq\f(3,5)＋12×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).]8．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：X－1012Pabceq\f(1,12)若EX＝0，DX＝1，則a＝________，b＝________.eq\f(5,12)eq\f(1,4)[由題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＋\f(1,12)＝1，,－1×a＋0×b＋1×c＋2×\f(1,12)＝0，,－1－02×a＋0－02×b＋1－02×c＋2－02×\f(1,12)＝1，))解得a＝eq\f(5,12)，b＝c＝eq\f(1,4).]三、解答題9．一出租車司機(jī)從某飯店到火車站途中有6個(gè)交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈這一事務(wù)是相互獨(dú)立的，并且概率是eq\f(1,3).(1)求這位司機(jī)遇到紅燈數(shù)ξ的期望與方差；(2)若遇上紅燈，則需等待30秒，求司機(jī)總共等待時(shí)間η的期望與方差．[解](1)易知司機(jī)遇上紅燈次數(shù)ξ聽從二項(xiàng)分布，且ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3)))，∴Eξ＝6×eq\f(1,3)＝2，Dξ＝6×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(4,3).(2)由已知η＝30ξ，∴Eη＝30Eξ＝60，Dη＝900Dξ＝1200.10．海關(guān)大樓頂端鑲有A、B兩面大鐘，它們的日走時(shí)誤差分別為X1，X2(單位：s)，其分布列如下：X1－2－1012P0.050.050.80.050.05X2－2－1012P0.10.20.40.20.1依據(jù)這兩面大鐘日走時(shí)誤差的均值與方差比較這兩面大鐘的質(zhì)量．[解]∵EX1＝0，EX2＝0，∴EX1＝EX2.∵DX1＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5；DX2＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.∴DX1<DX2.由上可知，A面大鐘的質(zhì)量較好．[實(shí)力提升練]1．已知隨機(jī)變量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，則Eη，Dη分別是()A．6和2.4 B．2和2.4C．2和5.6 D．6和5.6B[∵X～B(10,0.6)，∴EX＝10×0.6＝6，DX＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，∴Eη＝8－EX＝2，Dη＝(－1)2DX＝2.4.]2．已知A1，A2為兩所高校實(shí)行的自主招生考試，某同學(xué)參與每所高校的考試獲得通過(guò)的概率均為eq\f(1,2)，該同學(xué)一旦通過(guò)某所高校的考試，就不再參與其他高校的考試，設(shè)該同學(xué)通過(guò)高校的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，則DX＝()A．eq\f(3,16)B．eq\f(5,4)C．eq\f(25,64)D．eq\f(19,64)A[因?yàn)閄的取值為0,1，P(X＝0)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，P(X＝1)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，所以EX＝0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(3,4)＝eq\f(3,4)，DX＝eq\f(9,16)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,16)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,16).故選A.]3．設(shè)一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有A和eq\x\to(A)，且P(A)＝m，令隨機(jī)變量ξ＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，A發(fā)生，,0，A不發(fā)生，))則ξ的方差Dξ＝________.m(1－m)[隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ01P1－mm所以Eξ＝0×(1－m)＋1×m＝m.所以Dξ＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．]4．設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為P(X＝k)＝pk·(1－p)1－k(k＝0,1)，則EX，DX的值分別是________、________.p(1－p)p[由X的分布列知，P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，故EX＝0×(1－p)＋1×p＝p，易知X聽從兩點(diǎn)分布，∴DX＝p(1－p)．]5.現(xiàn)有A，B兩個(gè)項(xiàng)目，投資A項(xiàng)目100萬(wàn)元，一年后獲得的利潤(rùn)為隨機(jī)變量X1(萬(wàn)元)，依據(jù)市場(chǎng)分析，X1的分布列為X11211.811.7Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(1,3)投資B項(xiàng)目100萬(wàn)元，一年后獲得的利潤(rùn)X2(萬(wàn)元)與B項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整(價(jià)格上調(diào)或下調(diào))有關(guān)，已知B項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)進(jìn)行2次獨(dú)立的調(diào)整，且在每次調(diào)整中價(jià)格下調(diào)的概率都是p(0≤p<1)．經(jīng)專家測(cè)算評(píng)估，B項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格的下調(diào)次數(shù)與一年后獲得相應(yīng)利潤(rùn)的關(guān)系如下表：B項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格一年內(nèi)下調(diào)次數(shù)X(次)012投資100萬(wàn)元一年后獲得的利潤(rùn)X2(萬(wàn)元)1312.52(1)求X1的方差DX1；(2)求X2的分布列；(3)若p＝0.3，依據(jù)投資獲得利潤(rùn)的差異，你情愿選擇投資哪個(gè)項(xiàng)目？(參考數(shù)據(jù)：1.22×0.49＋0.72×0.42＋9.82×0.09＝9.555)[解](1)X1的分布列為X11211.811.7Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(1,3)則EX1＝12×eq\f(1,6)＋11.8×eq\f(1,2)＋11.7×eq\f(1,3)＝11.8，DX1＝(12－11.8)2×eq\f(1,6)＋(11.8－11.8)2×eq\f(1,2)＋(11.7－11.8)2×eq\f(1,3)＝0.01.(2)設(shè)Ai表示事務(wù)“第i(i＝1,2)次調(diào)整，價(jià)格下調(diào)”，則P(X＝0)＝P(eq\x\to(A1))P(eq\x\to(A2))＝(1－p)2，P