2024-2025學年遼寧省沈陽市九年級下學期數學零模模擬試卷二一．選擇題（共10小題）1．湖南自古就有“魚米之鄉(xiāng)”的美譽，明清時期更有“湖廣熟，天下足”之說．如圖①是某糧倉的實物圖，圖②是其抽離出來的幾何體，關于它的三視圖，下列說法正確的是（）A．主視圖與左視圖相同 B．左視圖與俯視圖相同 C．主視圖與俯視圖相同 D．三個視圖完全相同2．小明用四個全等的含30°角的直角三角板拼成如圖所示的三個圖案，其中是菱形的有（）A．0 B．1 C．2 D．33．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，∠AOD＝60°，AC＝4，則AD的長為（）A．4 B．23 C．2 D．4．阿基米德說：“給我一個支點，我就能撬動整個地球”，這句話精辟地闡明了一個重要的物理學知識杠桿原理，即“阻力×阻力臂＝動力×動力臂”．若某杠桿的阻力和阻力臂分別為1000N和0.6m，則它的動力F和動力臂l之間的函數圖象大致是（）A． B． C． D．5．如圖，△ABC頂點A、B、C均在⊙O上，∠BAC+∠BOC＝84°，則∠BOC為（）A．56° B．60° C．62° D．28°6．一個小組有若干人，新年互相發(fā)送1條祝福信息，已知全組共發(fā)送306條信息，則這個小組有多少人？設這個小組有x人，根據題意可列方程（）A．x（x+1）＝306 B．12C．x（x﹣1）＝306 D．17．斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋線”．如圖，矩形ABCD是以斐波那契數為邊長的正方形拼接而成的，在每個正方形中作一個圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連成的弧線就是斐波那契螺旋線的一部分．在矩形ABCD內任取一點，該點取自陰影部分的概率為（）A．π8 B．π4 C．148．如圖，在離地面高度為1.5米的A處放風箏，風箏線AC長8米，用測傾儀測得風箏線與水平面的夾角為θ，則風箏線一端的高度CD為（）A．（1.5+8sinθ）米 B．（1.5+8cosθ）米 C．（1.5+8tanθ）米 D．(1.5+89．在平面直角坐標系中，已知點A（2，4），B（4，1），以原點O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，則點A的對應點A′的坐標是（）A．（1，2） B．（4，8） C．（8，2）或（﹣8，﹣2） D．（4，8）或（﹣4，﹣8）10．函數y＝x2﹣x+1的圖象與x軸的交點的情況是（）A．有兩個交點 B．有一個交點 C．沒有交點 D．無法判斷二．填空題（共5小題）11．分解因式：x2﹣9＝．12．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝30°，BC＝6，點D是BC的中點，△DEF是以點D為直角頂點的等腰直角三角形，線段EF與線段AB相交于點Q，將△DEF繞點D逆時針轉動，點E從線段AB上轉到與點C重合的過程中，線段DQ的長度的取值范圍是．13．如圖（示意圖），某跳水運動員進行10m跳臺跳水訓練，水面邊緣點E的坐標為(?32，?10)．運動員（將運動員看成一點）在空中運動的路線是經過原點O的拋物線．運動員在空中最高處點A的坐標為(1，54)．運動員入水后，運動路線為另一條拋物線，在該運動員入水點的正前方有M，N兩點，且EM=212m，EN=272m，該運動員入水后運動路線對應的拋物線的函數解析式為y＝a（x﹣h）2+k，且頂點C距水面5m，若該運動員出水點14．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝2x與反比例函數y=kx(k≠0)的圖象交于A，B兩點，C是反比例函數位于第一象限內的圖象上的點，作射線CA交y軸于點D，連接BC，BD，若CDBC=3415．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝45°，∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝4，點E，F分別在線段CD和BC上運動，并且滿足EF＝CD，取EF的中點G，點P是線段AD上一點，連接BP和PG，則BP+PG的最小值為．三．解答題（共8小題）16．計算：?117．某校為了解七年級學生體育測試情況，在七年級各班隨機抽取了部分學生的體育測試成績，按A，B，C，D四個等級進行統(tǒng)計（說明：A級：90分～100分；B級：75分～89分；C級：60分～74分；D級：60分以下），并將統(tǒng)計結果繪制成兩個不完整的統(tǒng)計圖，請你結合統(tǒng)計圖中所給信息解答下列問題：（1）學校在七年級各班共隨機調查了名學生；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，D級所在的扇形圓心角的度數是；（3）請把條形統(tǒng)計圖補充完整；（4）若該校七年級有500名學生，請根據統(tǒng)計結果估計全校七年級體育測試中A級學生約有多少名？18．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝AD，E，F是對角線BD上的點，且BE＝DF，連接AE，CF，AF，CE．求證：四邊形AFCE是菱形．19．“四大發(fā)明”是指中國古代對世界具有很大影響的四種發(fā)明，它是中國古代勞動人民的重要創(chuàng)造，具體指A．指南針、B．造紙術、C．火藥、D．印刷術四項發(fā)明，如圖是小強同學收集的中國古代四大發(fā)明的不透明卡片，四張卡片除內容外其余完全相同，將這四張卡片背面朝上洗勻放好．（1）小強從這四張卡片中隨機抽取一張后將卡片洗勻，小剛再從剩下的三張卡片中隨機抽取一張，請用列表或畫樹狀圖的方法，求兩人抽到的卡片恰好是“指南針”和“造紙術”的概率．（2）小強和小剛玩游戲，在（1）的規(guī)則上，若兩人抽到的卡片有指南針，則小強勝，否則小剛勝，請判斷上述游戲是否公平，并說明理由．20．如圖①是位于青島的山東省內最大的海景摩天輪“琴島之眼”，游客可以在碧海藍天之間領略大青島的磅礴氣勢．圖②是它的簡化示意圖，點O是摩天輪的圓心，AB是摩天輪垂直地面的直徑，小紅在E處測得摩天輪頂端A的仰角為24°，她沿水平方向向左行走122m到達點D，再沿著坡度i＝0.75的斜坡走了20米到達點C，然后再沿水平方向向左行走40m到達摩天輪最低點B處（A，B，C，D，E均在同一平面內），求摩天輪AB的高度．（結果保留整數）（參考數據：sin24°≈0.4，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）21．如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，以AB為直徑的⊙O交AC，BC于點E，D，連接DE，F是CD上一點，滿足∠CEF＝∠CDE．（1）求證：EF是⊙O的切線．（2）過點D作DG⊥AB于點G，AG＝8，BG＝2，求AC的長．22．已知△ABC為等邊三角形，D是邊AB上一點，連接CD，點E為CD上一點，連接BE．（1）如圖1，延長BE交AC于點F，若∠CBF＝45°，BF=32，求CF（2）如圖2，將△BEC繞點C順時針旋轉60°到△AGC，延長BC至點H，使得CH＝BD，連接AH交CG于點N，求證CE＝DE+2GN；（3）如圖3，AB＝8，點H是BC上一點，且BD＝2CH，連接DH，點K是AC上一點，CK＝AD，連接DK，BK，將△BKD沿BK翻折到△BKQ，連接CQ，當△ADK的周長最小時，直接寫出△CKQ的面積．23．已知拋物線L：y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）經過點A（﹣1，0），且與x軸的另一個交點為點C．（1）當a＝1時，解決下列問題．①求拋物線的解析式、頂點坐標以及點C的坐標；②坐標平面上放置一透明膠片，并在膠片上描畫出點C及L的一段，分別記為C1，L1．平移該膠片，使L1所在拋物線對應的函數恰為y＝x2﹣3，求點C1移動的最短路程；（2）已知直線l：y＝k（x+1）．定義：橫縱坐標均為整數的點稱為“美點”．①判斷直線l是否過點A；②當k＝a=12時，直接寫出直線l與拋物線③當a=132時，記拋物線L在0≤x≤2024的部分為L2．光點Q從點A彈出，沿直線l發(fā)射，若擊中拋物線L2上的“美點”，就算發(fā)射成功，直接寫出此時整數

參考答案與試題解析題號12345678910答案ADCBACBADC一．選擇題（共10小題）1．湖南自古就有“魚米之鄉(xiāng)”的美譽，明清時期更有“湖廣熟，天下足”之說．如圖①是某糧倉的實物圖，圖②是其抽離出來的幾何體，關于它的三視圖，下列說法正確的是（）A．主視圖與左視圖相同 B．左視圖與俯視圖相同 C．主視圖與俯視圖相同 D．三個視圖完全相同【解答】解：這個組合體的三視圖為：由這個組合體的三視圖可知，主視圖與左視圖相同，故選：A．2．小明用四個全等的含30°角的直角三角板拼成如圖所示的三個圖案，其中是菱形的有（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：四個全等的含30°角的直角三角板拼成如圖所示的三個圖案中，第一個與第三個四邊形的四條邊都相等，∴第一個與第三個圖形是菱形，如圖，由四個全等的含30°角的直角三角板拼成的四邊形，∴AD＝BC＝EF，CD＝AB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠ADF＝∠FEB＝30°，∠AFD＝∠FBE＝90°，∴AF=12AD∴AF+BF=1∴AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形；故選：D．3．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，∠AOD＝60°，AC＝4，則AD的長為（）A．4 B．23 C．2 D．【解答】解：∵矩形ABCD中，AC＝4，∴OD=OA=1∵∠AOD＝60°，OD＝OA＝2，∴△AOD是等邊三角形，∴AD＝OA＝2．故選：C．4．阿基米德說：“給我一個支點，我就能撬動整個地球”，這句話精辟地闡明了一個重要的物理學知識杠桿原理，即“阻力×阻力臂＝動力×動力臂”．若某杠桿的阻力和阻力臂分別為1000N和0.6m，則它的動力F和動力臂l之間的函數圖象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：∵阻力×阻力臂＝動力×動力臂，且阻力和阻力臂分別為1000N和0.6m，∴動力F關于動力臂l的函數解析式為：1000×0.6＝Fl，即F=600又∵動力臂l＞0，反比例函數F=600故選：B．5．如圖，△ABC頂點A、B、C均在⊙O上，∠BAC+∠BOC＝84°，則∠BOC為（）A．56° B．60° C．62° D．28°【解答】解：由圓周角定理可知：∠BAC=1∵∠BAC+∠BOC＝84°，∴12解得∠BOC＝56°，故選：A．6．一個小組有若干人，新年互相發(fā)送1條祝福信息，已知全組共發(fā)送306條信息，則這個小組有多少人？設這個小組有x人，根據題意可列方程（）A．x（x+1）＝306 B．12C．x（x﹣1）＝306 D．1【解答】解：設這個小組有x個人，由題意得，x（x﹣1）＝306．故選：C．7．斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋線”．如圖，矩形ABCD是以斐波那契數為邊長的正方形拼接而成的，在每個正方形中作一個圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連成的弧線就是斐波那契螺旋線的一部分．在矩形ABCD內任取一點，該點取自陰影部分的概率為（）A．π8 B．π4 C．14【解答】解：設最大正方形的邊長為a，則正方形的面積S＝a2，其內部扇形的面積S'=π其面積之比為S′S其它以下圖形的面積之比同理可得也是π4由幾何概型的概率求解公式可得，矩形ABCD內任取一點，該點取自陰影部分的概率為π4故選：B．8．如圖，在離地面高度為1.5米的A處放風箏，風箏線AC長8米，用測傾儀測得風箏線與水平面的夾角為θ，則風箏線一端的高度CD為（）A．（1.5+8sinθ）米 B．（1.5+8cosθ）米 C．（1.5+8tanθ）米 D．(1.5+8【解答】解：如圖，過點A作AE⊥CD于E，則四邊形ABDE為矩形，∴DE＝AB＝1.5米，在Rt△AEC中，AC＝8米，∠CAE＝θ，∵sin∠CAE=CE∴CE＝AC?sin∠CAE＝8sinθ（米），∴CD＝CE+DE＝（1.5+8sinθ）米，故選：A．9．在平面直角坐標系中，已知點A（2，4），B（4，1），以原點O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，則點A的對應點A′的坐標是（）A．（1，2） B．（4，8） C．（8，2）或（﹣8，﹣2） D．（4，8）或（﹣4，﹣8）【解答】解：∵以原點O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，點A的坐標為（2，4），∴點A的對應點A′的坐標（2×2，4×2）或（2×（﹣2），4×（﹣2）），即（4，8）或（﹣4，﹣8），故選：D．10．函數y＝x2﹣x+1的圖象與x軸的交點的情況是（）A．有兩個交點 B．有一個交點 C．沒有交點 D．無法判斷【解答】解：當y＝0時，x2﹣x+1＝0，則Δ＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，∴無實數根，∴函數y＝x2﹣x+1的圖象與x軸無交點，故選：C．二．填空題（共5小題）11．分解因式：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．故答案為：（x+3）（x﹣3）．12．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝30°，BC＝6，點D是BC的中點，△DEF是以點D為直角頂點的等腰直角三角形，線段EF與線段AB相交于點Q，將△DEF繞點D逆時針轉動，點E從線段AB上轉到與點C重合的過程中，線段DQ的長度的取值范圍是322【解答】解：∵BC＝6，點D是BC的中點，∴CD＝BD＝3，∵將△DEF繞點D逆時針轉動，點E從線段AB上轉到與點C重合，∴DE＝CD＝3，∵線段EF與線段AB相交于點Q，∴點Q在EF上運動，∴當點Q與點E重合時，DQ有最大值為3，如圖，連接DQ，當DQ⊥EF時，DQ有最小值，∵△DEF是以點D為直角頂點的等腰直角三角形，∴∠E＝45°，∴sinE=DQ∴DQ=22×∴DQ的最小值為32∴32故答案為：3213．如圖（示意圖），某跳水運動員進行10m跳臺跳水訓練，水面邊緣點E的坐標為(?32，?10)．運動員（將運動員看成一點）在空中運動的路線是經過原點O的拋物線．運動員在空中最高處點A的坐標為(1，54)．運動員入水后，運動路線為另一條拋物線，在該運動員入水點的正前方有M，N兩點，且EM=212m，EN=272m，該運動員入水后運動路線對應的拋物線的函數解析式為y＝a（x﹣h）2+k，且頂點C距水面5m，若該運動員出水點D在MN之間（包括【解答】解：∵EM=212m，EN=∴點E的坐標為（?3∴點M，N的坐標分別為（9，﹣10），（12，﹣10）．∵A（1，54∴可設運動員在空中運動時對應拋物線的函數解析式為y＝m（x﹣1）2+5又∵此時拋物線過（0，0），∴m+5∴m=?5∴運動員在空中運動時對應拋物線的函數解析式為y=?54（x﹣1）2令y＝﹣10，∴﹣10=?54（x﹣1）2∴x＝4或﹣2（舍去）．∴B（4，﹣10）．∵該運動員入水后運動路線對應的拋物線解析式為y＝a（x﹣h）2+k，∴當拋物線過點M（9，﹣10）時，頂點為（6.5，﹣15）．∴此時y＝a（x﹣6.5）2﹣15，把M（9，﹣10）代入，得a=4同理，當拋物線過點N（12，﹣10）時，a=5由點D在MN之間得a的取值范圍為516≤a14．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝2x與反比例函數y=kx(k≠0)的圖象交于A，B兩點，C是反比例函數位于第一象限內的圖象上的點，作射線CA交y軸于點D，連接BC，BD，若CDBC=34，△BCD【解答】解：作CF⊥y于點I，BF⊥x，交CI的延長線于點F，作AE⊥CF于點E，設BC交y軸于點M，∵直線y＝3x經過原點，且與雙曲線y=kx交于A，∴點A與點B關于原點對稱，設A（m，2m），則B（﹣m，﹣2m），k＝2m2，設點C的橫坐標為a，則C（a，2m2a），F（﹣m∵tan∠CAE=CEAE=a?m∴tan∠CAE＝tan∠CBF，∴∠CAE＝∠CBF，∵AE∥BF∥DM，∠CAE＝∠CDM，∠CBF＝∠CMD，∴∠CDM＝∠CMD，∴CD＝CM，∵CICF∴CI＝3FI，∴a＝3m，∴C（3m，2m3∵CIMI=tan∠CMD＝tan∠CBF∴DI＝MI=23CI=23×∴DM＝DI+MI＝4m，∵12DM?FI+12DM?CI＝S∴12×4m×m+12×∴m2=9∴k＝2m2＝2×9故答案為：9215．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝45°，∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝4，點E，F分別在線段CD和BC上運動，并且滿足EF＝CD，取EF的中點G，點P是線段AD上一點，連接BP和PG，則BP+PG的最小值為43?2【解答】解：如圖，作點B關于AD的對稱點B'，連接B′P，B'C，連接BB'交AD于點T．∵AB＝BC＝4，∠A＝45°，∴CD=BT=22，BB′=4∵∠C＝90°，點G是EF的中點，∴在Rt△ECF中，CG=1∴點G的運動軌跡是以C為圓心，2為半徑的圓，在Rt△B′BC中，∠B'BC＝90°，由勾股定理得，B'C=BC2∴BP+PG＝B'P+PG≤B'C﹣CG＝43?故答案為：43?三．解答題（共8小題）16．計算：?1【解答】解：原式=?1+1+9+2×=?1+1+9+2＝11．17．某校為了解七年級學生體育測試情況，在七年級各班隨機抽取了部分學生的體育測試成績，按A，B，C，D四個等級進行統(tǒng)計（說明：A級：90分～100分；B級：75分～89分；C級：60分～74分；D級：60分以下），并將統(tǒng)計結果繪制成兩個不完整的統(tǒng)計圖，請你結合統(tǒng)計圖中所給信息解答下列問題：（1）學校在七年級各班共隨機調查了50名學生；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，D級所在的扇形圓心角的度數是36°；（3）請把條形統(tǒng)計圖補充完整；（4）若該校七年級有500名學生，請根據統(tǒng)計結果估計全校七年級體育測試中A級學生約有多少名？【解答】解：（1）由題意可得，七年級各班共隨機調查了：10÷20%＝50（人），故答案為：50；（2）D級所在的扇形圓心角的度數是：（1﹣46%﹣24%﹣20%）×360°＝36°；故答案為：36°；（3）補全條形統(tǒng)計圖如圖所示．（4）因為500×20%＝100（名）．所以估計全校七年級體育測試中A級學生人數約為100名．18．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝AD，E，F是對角線BD上的點，且BE＝DF，連接AE，CF，AF，CE．求證：四邊形AFCE是菱形．【解答】證明：如圖，設AC交BD于點O，∵AB＝AD，四邊形ABCD是平行四邊形，∴平行四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即EO＝FO，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴平行四邊形AFCE是菱形．19．“四大發(fā)明”是指中國古代對世界具有很大影響的四種發(fā)明，它是中國古代勞動人民的重要創(chuàng)造，具體指A．指南針、B．造紙術、C．火藥、D．印刷術四項發(fā)明，如圖是小強同學收集的中國古代四大發(fā)明的不透明卡片，四張卡片除內容外其余完全相同，將這四張卡片背面朝上洗勻放好．（1）小強從這四張卡片中隨機抽取一張后將卡片洗勻，小剛再從剩下的三張卡片中隨機抽取一張，請用列表或畫樹狀圖的方法，求兩人抽到的卡片恰好是“指南針”和“造紙術”的概率．（2）小強和小剛玩游戲，在（1）的規(guī)則上，若兩人抽到的卡片有指南針，則小強勝，否則小剛勝，請判斷上述游戲是否公平，并說明理由．【解答】解：（1）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中兩人抽到的卡片恰好是“指南針”和“造紙術”的結果有2種，所以兩人抽到的卡片恰好是“指南針”和“造紙術”的概率為212（2）公平，由樹狀圖知，共有12種等可能的結果，其中兩人抽到的卡片有指南針的有6種結果，沒有指南針的有6種結果，所以小強勝的概率為12，小剛勝的概率為1所以此游戲公平．20．如圖①是位于青島的山東省內最大的海景摩天輪“琴島之眼”，游客可以在碧海藍天之間領略大青島的磅礴氣勢．圖②是它的簡化示意圖，點O是摩天輪的圓心，AB是摩天輪垂直地面的直徑，小紅在E處測得摩天輪頂端A的仰角為24°，她沿水平方向向左行走122m到達點D，再沿著坡度i＝0.75的斜坡走了20米到達點C，然后再沿水平方向向左行走40m到達摩天輪最低點B處（A，B，C，D，E均在同一平面內），求摩天輪AB的高度．（結果保留整數）（參考數據：sin24°≈0.4，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）【解答】解：如圖，作BM⊥ED交ED的延長線于M，CN⊥DM于N，則MN＝BC＝40m，BM＝CN，在Rt△CDN中，i=CNDN=∴設CN＝3xm（x＞0），則DN＝4xm，∴CD=CN2解得x＝4，∴CN＝12m，DN＝16m，∴BM＝12m，EM＝MN+DN+DE＝40+16+122＝178m，在Rt△AEM中，tan24°=AM∴12+AB178∴AB＝178×0.45﹣12≈68（m），∴摩天輪AB的高度約為68m．21．如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，以AB為直徑的⊙O交AC，BC于點E，D，連接DE，F是CD上一點，滿足∠CEF＝∠CDE．（1）求證：EF是⊙O的切線．（2）過點D作DG⊥AB于點G，AG＝8，BG＝2，求AC的長．【解答】（1）證明：如圖，連接OE，∵四邊形ABDE是⊙O的內接四邊形，∴∠A+∠EDB＝180°，∵∠CDE+∠EDB＝180°，∴∠A＝∠CDE，∵∠CEF＝∠CDE，∴∠A＝∠CEF，∴EF∥AB，∴∠FEO＝∠AOE，∵AO＝EO，∠BAC＝45°，∴∠OAE＝∠OEA＝45°，∴∠OEF＝∠AOE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴OE⊥EF，∵OE為⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線；（2）解：如圖，連接OD，過點C作CM⊥AB于點M，∵DG⊥AB，∴∠DGO＝90°，∵AB＝AG+BG＝8+2＝10，∴OD＝OB＝5，∴OG＝OB﹣BG＝5﹣2＝3，在Rt△DGO中，DG=O在△BDG和△BCM中∠BGD＝∠BMC＝90°，∴tanB=DG∴CM＝2BM，∵∠AMC＝90°，∠BAC＝45°，∴AM＝CM＝2BM，∵AB＝AM+BM＝10，∴AM＝CM=20在Rt△AMC中，∠AMC＝90°，∴AC=A22．已知△ABC為等邊三角形，D是邊AB上一點，連接CD，點E為CD上一點，連接BE．（1）如圖1，延長BE交AC于點F，若∠CBF＝45°，BF=32，求CF（2）如圖2，將△BEC繞點C順時針旋轉60°到△AGC，延長BC至點H，使得CH＝BD，連接AH交CG于點N，求證CE＝DE+2GN；（3）如圖3，AB＝8，點H是BC上一點，且BD＝2CH，連接DH，點K是AC上一點，CK＝AD，連接DK，BK，將△BKD沿BK翻折到△BKQ，連接CQ，當△ADK的周長最小時，直接寫出△CKQ的面積．【解答】（1）解：如圖1，過點F作FP⊥BC于點P．∵△ABC為等邊三角形．∴AB＝AC＝BC．∠ABC＝∠ACB＝60°．∵FP⊥BC．∴∠FPB＝90°．∵∠CBF＝45°．∴∠BFP＝45°．∴BP＝FP．∵BF=32∴BP＝FP=22×∵tan∠ACB=FP∴PC=3∴CF＝2PC＝23．（2）證明：如圖2，延長CG到I，使GI＝DE，連接AI，過點H作HM∥AG，交CG于點M，．∵△ABC為等邊三角形．∴AB＝AC＝BC．∠ABC＝∠ACB＝60°．由旋轉的性質得，∠BCD＝∠ACI．CE＝CG，BE＝AG，∠CBE＝∠CAG．∴△BCD≌△ACI（SAS）．∴BD＝AI，∠IAC＝∠ABC＝60°．∴AI∥BC．∴∠IAN＝∠CHN．∵CH＝BD．∴CH＝AI．又∵∠INA＝∠CNH．∴△IAN≌△CHN（AAS）．∴AN＝HN．∵HM∥AG．∴∠GAN＝∠MHN．又∵∠ANG＝∠HNM，AN＝HN．∴△AGN≌△HMN（ASA）．∴AG＝HM，GN＝MN．同理，△HCM≌△BDE（ASA）．∴CM＝DE．∴CE＝CG＝CM+MN+NG＝DE+2GN．（3）解：如圖3，過點D，H分別作BC的垂線，分別交BC于點F，交AC于點G，作∠KDE＝60°，交BC于點E．．∵△ABC為等邊三角形．∴∠GCH＝∠DBF＝60°．∵GH⊥BC．∴∠HGC＝30°．∴CG＝2CH．∵BD＝2CH．∴BD＝CG．又∠DFB＝∠GHC＝90°．∴△GCH≌△DBF（AAS）．∴DF＝GH，BF＝CH．∵CK＝AD．∴BD＝AK．∵∠KDE＝60°．∴∠BDK＝∠BDE+60°＝60°+∠AKD．∴∠BDE＝∠AKD．∴△BDE≌△AKD（ASA）．∴BE＝AD＝CK，DE＝KD．設BF＝CH＝a，則CG＝AK＝BD＝2a．∴HG＝DF=3aBE＝AD＝CK＝8﹣2a．∴EF＝|BF﹣BE|＝|a﹣（8﹣2a）|＝|3a﹣8|．∴DE=(∴△ADK的周長＝AD+AK+DK＝AB+DE＝8+DE．∴△ADK的周長最小值時，DE的值最?。喈攁＝2時，DE的值最小，此時CG＝AK＝BD＝4．即點K，點G重合，如圖4，．∴△CKQ的面積＝2S△CGH＝2×12×2×2323．已知拋物線L：y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）經過點A（﹣1，0），且與x軸的另一個交點為點C．（1）當a＝1時，解決下列問題．①求拋物線的解析式、頂點坐標以及點C的坐標；②坐標平面上放置一透明膠片，并在膠片上描畫出點C及L的