4.1數(shù)列的概念【題型1數(shù)列的概念與分類】1、（2023·云南·高二曲靖民族中學(xué)?？计谥校┫铝姓f(shuō)法正確的是（）A．?dāng)?shù)列與是相同的B．?dāng)?shù)列可以表示為C．?dāng)?shù)列與是相同的數(shù)列D．?dāng)?shù)列的第項(xiàng)為【答案】D【解析】對(duì)于A項(xiàng)，數(shù)列與是不同的，表示數(shù)列，而表示數(shù)列中的第項(xiàng)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，是一個(gè)集合，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，兩個(gè)數(shù)列中的數(shù)雖然相同，但順序不同，不是相同的數(shù)列，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)正確.故選：D.2、（2022·高二課時(shí)練習(xí)）下列有關(guān)數(shù)列的說(shuō)法正確的是（）A．同一數(shù)列的任意兩項(xiàng)均不可能相同B．?dāng)?shù)列，，與數(shù)列，，是同一個(gè)數(shù)列C．?dāng)?shù)列1，3，5，7可表示為D．?dāng)?shù)列2，5，2，5，…，2，5，…是無(wú)窮數(shù)列【答案】D【解析】例如無(wú)窮個(gè)3構(gòu)成的常數(shù)列3，3，3，…的各項(xiàng)都是3，故A錯(cuò)誤；數(shù)列，0，1與數(shù)列0，1，中項(xiàng)的順序不同，即表示不同的數(shù)列，故B錯(cuò)誤；是一個(gè)集合，故C錯(cuò)誤；根據(jù)數(shù)列的分類，數(shù)列2，5，2，5，…，2，5，…中的項(xiàng)有無(wú)窮多個(gè)，所以是無(wú)窮數(shù)列，D正確.故選：D.3、（2023下·海南儋州·高二?？计谥校┫铝袛?shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無(wú)窮數(shù)列的是（）A．1，，，，…B．，，，C．，，，，…D．1，，，…，【答案】C【解析】A，B都是遞減數(shù)列，D是有窮數(shù)列，只有C符合題意．故選：C．4、（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）下列說(shuō)法正確的是（）A．?dāng)?shù)列可以用圖象來(lái)表示B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式不唯一C．?dāng)?shù)列中的項(xiàng)不能相等D．?dāng)?shù)列可以用一群孤立的點(diǎn)表示【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由數(shù)列定義知，數(shù)列是以項(xiàng)數(shù)為自變量，項(xiàng)為因變量的特殊函數(shù)，故可以用圖象來(lái)表示，A正確；對(duì)于B，若數(shù)列有通項(xiàng)公式，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式不一定唯一，例如：數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為，也可以為，B正確；對(duì)于C，數(shù)列中的項(xiàng)可以相等，如常數(shù)列，C不正確；對(duì)于D，由數(shù)列是特殊的函數(shù)且知，數(shù)列可以用一群孤立的點(diǎn)表示，D正確.故選：ABD5、（2022·高二課時(shí)練習(xí)）下列結(jié)論中正確的是（）A．?dāng)?shù)列可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)B．?dāng)?shù)列若用圖像表示，則從圖像上看都是一群孤立的點(diǎn)C．?dāng)?shù)列的項(xiàng)數(shù)是無(wú)限的D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列【答案】ABD【解析】由數(shù)列的定義知，數(shù)列是特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集或它的有限子集，選項(xiàng)A，B正確；由于數(shù)列有有窮數(shù)列與無(wú)窮數(shù)列之分，即數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可以是有限的，也可以是無(wú)限的，C不正確；對(duì)于，得到，所以，數(shù)列是遞增數(shù)列，D正確.故選：ABD【題型2由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)】1、（2023·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下面圖形由小正方形組成，請(qǐng)觀察圖①至圖④的規(guī)律，并依此規(guī)律，寫出第n個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，，，，，，等式兩邊同時(shí)累加得，即，也符合該式，所以第個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是．故選：C2、（2023上·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的前三項(xiàng)為4，3，2，則的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)椋缘囊粋€(gè)通項(xiàng)公式可以為．而對(duì)于A的通項(xiàng)，，不符合題設(shè)要求；對(duì)于B中的通項(xiàng)，，不符合題設(shè)要求；對(duì)于D中的通項(xiàng)，，不符合題設(shè)要求.故選：C3、（2023·甘肅金昌·高二永昌第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列-4，7，-10，13，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由符號(hào)來(lái)看，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以通項(xiàng)公式中應(yīng)該是，數(shù)值4，7，10，13，…滿足，所以通項(xiàng)公式可以是．故選：B．4、（2023·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】對(duì)于A中，由，可得，符合題意，所以A正確；對(duì)于B中，由，可得，不符合題意，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，可得，不符合題意，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，可得，不符合題意，所以D錯(cuò)誤.故選：A.5、（2023·全國(guó)·高二課堂例題）分別寫出下列數(shù)列的一個(gè)遞推關(guān)系，并求出各個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng)：（1）1，2，4，7，11，…；（2），2，5，8，11，…；（3）1，，4，，16，…．【答案】（1），；（2），；（3），【解析】（1）因?yàn)椋?，，，，所以，即．從而．?）因?yàn)?，所?，即．從而．（3）因?yàn)?，所以．即．從而．【題型3寫出或判斷數(shù)列中的項(xiàng)】1、（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）數(shù)列滿足，，則等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C2、（2023·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列，則該數(shù)列的第2024項(xiàng)為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】該數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以.故選：D.3、（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）根據(jù)下面數(shù)列的通項(xiàng)公式，分別說(shuō)出各數(shù)列的前5項(xiàng)．（1）（2）．【答案】（1），，，，；（2），，，，【解析】（1）因?yàn)椋?，，，?（2）因?yàn)椋?，，，?4、（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，寫出它的前5項(xiàng)及第項(xiàng)：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）答案見解析；（4）答案見解析【解析】（1）因?yàn)?，所以?（2）因?yàn)椋裕?（3）因?yàn)?，所以，，，，?（4）因?yàn)椋?，，，，?5、（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（1）數(shù)列從第幾項(xiàng)起各項(xiàng)的數(shù)值逐漸增大？（2）數(shù)列的哪些項(xiàng)為正數(shù)？（3）數(shù)列中是否存在數(shù)值與首項(xiàng)相同的項(xiàng)？【答案】（1）；（2）及其時(shí)，；（3）存在，【解析】（1），數(shù)列從第項(xiàng)起各項(xiàng)的數(shù)值逐漸增大.（2）令，解得：或，因此及其時(shí)，.（3），令，解得：或，因此數(shù)列中存在數(shù)值與首項(xiàng)相同的項(xiàng)，.【題型4根據(jù)遞推關(guān)系求通項(xiàng)】1、（2023上·河南·高三開封高中校聯(lián)考期中）在數(shù)列中，，，，則（）A．B．15C．D．10【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，即，?所以.因?yàn)?，所?故選：B.2、（2023上·上海閔行·高二?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中，若，，則的通項(xiàng)公式為.【答案】【解析】在數(shù)列中，，，因此數(shù)列是常數(shù)列，則，所以的通項(xiàng)公式為.3、（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足，，寫出一個(gè)符合上述條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（答案不唯一）【解析】由得：，則當(dāng)時(shí)，，，故滿足遞推關(guān)系，又，滿足，滿足條件的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為：.4、（2023·上海閔行·高二?？计谥校?shù)列對(duì)任意正整數(shù)，滿足，數(shù)列通項(xiàng)公式.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由可得兩式作商可得，又不符合上式，所以.5、（2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）在數(shù)列中，，且，則.【答案】4【解析】由題意可得，所以，，……，，累加得，所以.【題型5由數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)】1、（2023·北京·高二八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列滿足，則.【答案】【解析】由可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，解之得2、（2023·廣東·高二校聯(lián)考期末）對(duì)任意正整數(shù)，數(shù)列滿足：，則.【答案】【解析】根據(jù)題意有：當(dāng)，得：2；當(dāng)時(shí)，，即，即，又不滿足上式，所以的通項(xiàng)公式為.3、（2023·福建龍巖·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【解析】時(shí)，，時(shí)，，不適合上式，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.4、（2023·全國(guó)·高二合肥市第六中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和（），且，則．【答案】7【解析】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，有，；當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，當(dāng)時(shí)，，所以，所以.5、（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，設(shè)為前項(xiàng)和，．求的通項(xiàng)公式；【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，可得，，當(dāng)或時(shí)，，適合上式，的通項(xiàng)公式為.【題型6數(shù)列單調(diào)性的判斷】1、（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）判斷下列數(shù)列的單調(diào)性：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）單調(diào)遞減；（2）單調(diào)遞增；（3）單調(diào)遞增；（4）單調(diào)遞減【解析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞減知，單調(diào)遞減，所以數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列.（2）由為增函數(shù)知，單調(diào)遞增，所以數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.（3）由在上單調(diào)遞增知，單調(diào)遞增，所以數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.（4）因?yàn)?，所以，?dāng)，時(shí)，，所以，即，所以，所以數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列.2、（2023·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中?？计谥校?shù)列的通項(xiàng)公式為，已知其為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?因?yàn)閿?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以在恒成立，所以，即可.令，，則，由一次函數(shù)知，當(dāng)時(shí)，取得最大值為,即.所以的取值范圍為.故選：B.3、（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）（多選）已知數(shù)列滿足：（），且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的可能取值是（）A．2B．C．D．3【答案】BC【解析】因?yàn)?，，是遞增數(shù)列，所以必有，即：，解得：.故選：BC.4、（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列中，，若是遞減數(shù)列，則的取值范圍.【答案】【解析】∵數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，∴當(dāng)時(shí)，，∴，即，由于數(shù)列在時(shí)單調(diào)遞增，因此其最小值為3，∴,綜上可得：的取值范圍是.【題型7求數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)】1、（2023·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)列中，，則數(shù)列中的最大項(xiàng)是第項(xiàng)．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，又，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以最大，則.2、（2023·廣東佛山·高二佛山第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則數(shù)列的最大值為.【答案】【解析】因?yàn)?，，則，當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，所以且時(shí)，數(shù)列在單調(diào)遞增，即，當(dāng)時(shí)，，所以且時(shí)，數(shù)列在單調(diào)遞減，即，所以，所以數(shù)列的最大值為.3、（2023·多選·高二課時(shí)練習(xí)）已知，求該數(shù)列前30項(xiàng)中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)．【答案】最大項(xiàng)為，最小項(xiàng)為【解析】，，而，，若要最大，則需要取最小正數(shù)，則當(dāng)時(shí)，最大，若要最小，則需要取最大負(fù)數(shù)，則當(dāng)時(shí)，最?。栽摂?shù)列前30項(xiàng)中的最大項(xiàng)為，最小項(xiàng)為.4、（2023·多選·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，試問(wèn)數(shù)列有沒(méi)有最大項(xiàng)？若有，求出最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；若沒(méi)有，說(shuō)明理由．【答案】數(shù)列的第8項(xiàng)和第9項(xiàng)為最大項(xiàng)，其值為．【解析】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．于是，數(shù)列的第8項(xiàng)和第9項(xiàng)為最大項(xiàng)，且，即最大項(xiàng)為.5、（2023·多選·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，畫出數(shù)列的圖象，并求數(shù)列的最小項(xiàng)．【答案】答案見解析【解析】因?yàn)?，所以，，，，，，，，，，，則數(shù)列的圖象如圖所示，由圖可知，當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增；所以數(shù)列最小的項(xiàng)為第六項(xiàng).【題型8數(shù)列的周期性及應(yīng)用】1、（2023·福建·高二統(tǒng)考期中）已知數(shù)列滿足，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意，數(shù)列滿足，，可得，所以數(shù)列構(gòu)成以3項(xiàng)為周期的周期數(shù)列，則.故選：A.2、（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若數(shù)列滿足,，則的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以有，因此數(shù)列是以為周期的數(shù)列，所以.故選：D3、（2023·湖南株洲·高二