2023年浙江省新高考數(shù)學(xué)模擬仿真卷（8）

一.選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）

1.（4分）已知集合人={x|k）g2X<l},B=0,1,2},則A「p=（）

A.{1}B.{-1,0}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}

X,1

2.（4分）若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件，x+y..O,則z=2x+y的最小值為（）

x-y+2.A）

A.5B.1C.0D.-1

3.（4分）已知點(diǎn)產(chǎn)在曲線）上，以為曲線在點(diǎn)尸處的切線的傾斜角，則a的取值范圍是（）

/+1

A.［0,f）B.C.4,芻D.停㈤

332233

4.（4分）函數(shù)/（工）=/〃|1|+5而工在［-不，乃］上的圖象大致為（）

5.（4分）若實(shí)數(shù)a,匕,c滿足m—h）（b—c）＞0,則（）

A.a（b—c）＞0B.{a-b）（a-c）＞0C.a[b-c）＜0D.（a—b）（a—c）＜0

V-V2

6.（4分）已知雙曲線二—二=1（。＞0/＞0）,6、居為左、右焦點(diǎn)，M為坐標(biāo)平面上一點(diǎn)，若△“￡鳥為

a"b-

等腰直角三角形且M尸2的中點(diǎn)在該曲線上，則雙曲線離心率的□「能值中最小的是（）

A.正里B.巫巫C.丘D.巫沙

222

7.（4分）已知公差不為零的等差數(shù)列{4},正整數(shù)〃，4,s,，滿足%,+%=4+《，則之式的取值范

p+q

圍是（）

A.（1,4-00）B.[1,+00）C.{x|xeTV*}D.以上均不正確

8.（4分）已知圓/=]與圓f+Z/nx+y、〃）,二（）（/〃，”是正實(shí)數(shù)）相交于A、8兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)

A4O3的面積最大時(shí)，則""+1）5"+1）的最小值是（）

inn

A.2x/6B.8C.7D.45/3

9.（4分）已知函數(shù)/（x）=k|e、，若8（幻=/2（幻一4。）+]恰有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則〃取值范圍為（)

A.(2,-KX>)B.(e+—，-KO)C.(2,e+—)D.(—,+<?)

10.（4分）已知正四面體P-A4C,。為AA3C內(nèi)的一點(diǎn)，記尸Q與平面248、PAC.08c所成的角分別

為a,0,y,則下列不等式恒成立的個(gè)數(shù)為（）

①sin?a+sin/+sin2y..2，

@cos2a+cos2p+cos2y..2,

③tan2a+tan2p+tan2/?1,

11

④

tan2atan2ptan2y''

A.0B.1C.2D.3

二.填空題（共7小題，滿分36分）

11.（6分）已知復(fù)數(shù)z滿足z=（4-i）i,其中i為虛數(shù)單位，則z的實(shí)部為

12.（6分）二項(xiàng)式（x-3）s展開式中含V的項(xiàng)的系數(shù)是—，所有項(xiàng)的系數(shù)和是

x

13.（6分）已知直線4:x-2y-2=（）,直線6："吹+2y-〃［一2=（）,點(diǎn)P為圓0:丁+丁=4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

則直線人與圓O相交所得的弦長為—;當(dāng)實(shí)數(shù)，"變化時(shí)，點(diǎn)?到直線的最大距離為

14.（6分）某幾何體的三視圖如圖所示，每個(gè)小正方形邊長都是1,則該幾何體的體積為，表面積為

\

\\\\

A\

正視圖側(cè)和Q圖

\X

俯初圈

15.（4分）將數(shù)字I,2,3,4,5,6按第一行1個(gè)數(shù)，第二行2個(gè)數(shù)，第三行3個(gè)數(shù)的形式隨機(jī)排列，設(shè)

2,3）表示第i行中最大的數(shù)，則滿足乂＜華＜苗的所有排列的種數(shù)是（用數(shù)字作答）

16.（4分）已知正實(shí)數(shù)x,y滿足（x+3y-1）（2b+'一1）=1,則x+y的最小值是.

17.（4分）一條拋物線把平面劃分為二個(gè)區(qū)域，如果一個(gè)平面圖形完全落在拋物線含有焦點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)，我

們就稱此平面圖形被該拋物線覆蓋.那么下列命題中，正確的是—.（填寫序號(hào)）

（1）任意一個(gè)多邊形所圍區(qū)域總能被某一條拋物線覆蓋；

（2）與拋物線對稱軸不平行、不共線的射線不能被該拋物線覆蓋；

（3）射線繞其端點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)銳角所掃過的角形區(qū)域可以被某二條拋物線覆蓋；

（4）任意有限多條拋物線都不能覆蓋整個(gè)平面.

三.解答題（共5小題，滿分74分）

18.(14分)在如圖所示的平面圖形中，AB=2,BC=43,ZABC=ZAEC=~,AE與BC交于點(diǎn)、F,若

6

NC4E=〃，6>e(0,-).

3

(1)用e表示AE,AF：

(2)求任取最大值時(shí)0的值.

AF

19.(15分)如圖，已知多面體ABCQM,四邊形AB8為矩形，AB=2,4)=4,EF"ADREF=2,

AF=BF=DE=?M,N分別為F8,4c的中點(diǎn).

(I)證明：A/_L平面OMN：

(11)求直線Z)N與平面EFBC所成角的正弦值.

￡

20.（15分）己知數(shù)列｛q｝滿足%=1,?H+1=『%+2〃，：為瞥I，記數(shù)列0｝的前〃項(xiàng)和為s/=a^neN\

-一〃-為偶數(shù)

（1）求證：數(shù)列｛%）為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)九；

（2）求｛叫｝的前?項(xiàng)和7；及｛q｝的前/項(xiàng)和為S”.

21.（15分）已知拋物線G：/=4x,橢圓G：3+齊=1（力）0），點(diǎn)/W為橢圓QU勺一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，拋物線G

的在線與橢圓G相交所得的弦長為G.直線/與拋物線G交于。、。兩點(diǎn)，線段加、MQ分別與拋物線

G交于s、7兩點(diǎn)，恰好滿足POMZST;.

（I）求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（II）求以取為直徑的圓而枳的最大值.

22.(15分)已知函數(shù)/(x)=x—4一/八?.

X

([)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間：

(]【)若函數(shù)/(x)在工=玉，毛([工吃)處導(dǎo)數(shù)相等，證明：/U])+/(x2)>3-2ln2；

(III)若對任意的實(shí)數(shù)Ac(-oo,l),若直線)，=依+〃上與曲線)，=/(x)均有唯一公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范

圍.

2023年浙江省新高考數(shù)學(xué)模擬仿真卷（8）

一.選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）

1.（4分）已知集合4=31082%<1},B=0,1,2},則明8=()

A.{1}B.{-1.0}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}

【答案】4

【詳解】vA={x|0<x<2）,B={-1,0,I,2},

???仆=川?

故選：A.

%,I

2.（4分）若實(shí)數(shù)x,），滿足約束條件x+y.O,則z=2x+y的最小值為()

x—j'+2..0

A.5B.1C.ID.-1

【答案】D

【詳解】由約束條件作出可行域幻圖,

聯(lián)立解?得ATI),

x+>'=0

由z=2x+y,得y=-2x+z,由圖可知，當(dāng)直線y=-2x+z過A時(shí),

直線在），軸上的截距最小，z有最小值為-1.

故選：D.

3（4分）已知點(diǎn)尸在曲線廣蕓上，a為曲線在點(diǎn)尸處的切線的傾斜角，則a的取值范圍是（）

A.［0,今(￡生］D.［年,1)

B?居C.(2'3J

【答案】D

【詳解】根據(jù)題意得八加一告1

146473

=-x/3k=--------—=-1

2+22+2

」ex+—+2

7^ex

則曲線產(chǎn)/（幻上切點(diǎn)處的切線的斜率k..-G,

又,/攵=tana,

a^l—,萬)

3

故選：

4.（4分）函數(shù)f（x）=/〃|x|+sinz在［-），乃］上的圖象大致為（)

【答案】D

【詳解】由題意知：函數(shù)為奇+倡型，所以是非奇非偶函數(shù)，排除A和8,

令?%)=/但)=0,且0],X2G[(),乃],因?yàn)?(1)=sinl>0,所以與以。，"，

又f=/〃]+sin(--^)=in^-\=ln-^-<(),/'(一不)=IHTT+sinTC=Inrc>0,所以內(nèi)w1一，，一萬],

即用距離原點(diǎn)遠(yuǎn)，排除C,

故選：D.

5.(4分)若實(shí)數(shù)〃，A,c滿足m-0)(0-c)>0,則()

A.a(b-c)>0B.(a-b)(a-c)>0C.a[b-c)<0D.(a-b)(a-c)<0

【答案】B

【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng):

對于A,當(dāng)a=3，b=4,c=5時(shí)，a(b-c)<0,4錯(cuò)誤;

a—力>()a-b<()...?

對于B,實(shí)數(shù)a,b,c滿足（。一6）（力一。）>0,則《ny-,八，則有a>b>c或"b<c,

b-c>0b-c<0

當(dāng)。時(shí)，a-b>0?67-c>0,此時(shí)有（。一A）（q-c）>0,

當(dāng)〃vbvc時(shí)，a-b<0,a-c<0?止匕時(shí)有（。一人）（。一c）>0,

綜合可得：（a-〃）（。-c）〉0成立，3正確;

對于C,當(dāng)々一3,b-2,C一1時(shí)，a（b-c）>0,C錯(cuò)誤:

對于。，當(dāng)a=3,b=2,c=l時(shí)，(a-〃)(a-c)>0,。錯(cuò)誤;

故選：B.

22

6.（4分）已知雙曲線十一點(diǎn)"fm>。力>0）,寫、6為左、右焦點(diǎn)，M為坐標(biāo)平面上一點(diǎn)，若△MAE為

等腰直角三角形且“鳥的中點(diǎn)在該曲線上，則雙曲線離心率的可能值中最小的是（）

A.四Vio+x/2

￡D>.-------C.V2Ln*?V10-V2

222

【答案】4

【詳解】當(dāng)月用為斜邊時(shí)，由題意可知，M在y軸上,

6(-°,0),6(。，°)，A〃(O,c),

成的中點(diǎn)坐標(biāo)為（英），代入雙曲線方程，

22

得二一二=4,又〃=02-/,整理可得/一82+4=0.

a~b~

又e>l，解得/=3+石，/.e二^^——

2

當(dāng)耳乃為直角邊時(shí)，M顯然在第一(或第四)象限，￡6=2c，M(c,±2c),

的中點(diǎn)坐標(biāo)為(c,土c),代入雙曲線方程，

得二一二=1,又從=。2一/,整理可得/_3/+1=0.

(rb-

又e>l,解得/=小@,.?.6=51.

22

.?.雙曲線離心率的可能值中最小的是叵乂.

2

故選：A.

7.(4分)已知公差不為零的等差數(shù)列{%},正整數(shù)〃，小，滿足4,+%=4+4,則立匚的取值范

p+q

圍是()

A.(1,+?>)B.[I,+8)C.{x|xeN*}D.以上均不正確

【答案】D

【詳解】因?yàn)樗?為等差數(shù)列，且%,+4=4+q,

所以〃+[=$+，，

因?yàn)?―)2="匚,即2$t?"廿，

242

當(dāng)且僅當(dāng)s=r時(shí)取等號(hào)，

又s,teN*,所以￡.1,r..l,

,,,,,(S+/)2

1,?s~+1~s~+1~(5+z)~-2si.、2stns-,2s+11+1

所以-----=------=-----------=(s+r)--------庵s+/)------------=————=1,

p+4s+ts+ts+ts+t22

當(dāng)且僅當(dāng)s=/=l時(shí)取等號(hào)，

故三士二的取值范圍是U，y),

p+q

因?yàn)檎麛?shù)〃，q，S,/,則三士匚無法取到［1,+oo）中的無理數(shù).

p+q

故選：D.

8.（4分）已知圓f+）,2=］與圓f+2"氏+）,2+〃）,=（）（,〃，〃是正實(shí)數(shù)）相交于A、8兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)

/SAOB的面積最大時(shí)，則⑷〃"）（〃"）的最小值是（）

tnn

A.2x/6B.8C.7D.40

【答案】B

【詳解】?.?圓V+）?=1與圓Y+2〃tv+y2=0相交于A、B兩點(diǎn)，

直線AB的方程為2inx+ny+1=0.

又|OA|=|O8|=1,S^OB=^-10.41■|OB|sinAAOB=^sinZAOB?；,

當(dāng)且僅當(dāng)NAO8=90。時(shí)取等號(hào)，如&403為等腰直角三角形，

點(diǎn)。到直線44的距離為正，則〒J=?=—,得4〃P+〃2=2.

2"川+-2

而陽，〃均為正數(shù)，則2=4m2+n2..2\j4m2n2=4mn，即0<nui,-.

2

當(dāng)且僅當(dāng)2〃?=〃=1時(shí)取等號(hào).

（4m1+1）（7+1）4〃/〃2+4〃?2+〃2+14/W2/I:+3.3

貝nil------公----i=----------------------------=--------------=4〃加+—,

mnmbnuiinn

令f（x）=4x+Z,（0<^,-）,則廣。）=4-衛(wèi)<0,

x2x~

/（幻在（0，上單調(diào)遞減，則"x）,w=/（；）=8?

乙乙

⑷〃"）（〃"）的最小值是8.

故選：B.

9.(4分)已知函數(shù)/(x)=|x|e'，若g(x)=7'(x)-4(x)+l恰有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則〃取值范圍為()

B.(e+1,+oo)

A.(2,+cc)C.(2,e+—)D.(—,+℃>)

eee

【答案】B

xex,x..O

【詳解】函數(shù)/*)=|x|"=,，

-xe\x<()

x.O,f(x)=xex,fXx)=(x+\)ex>0,因此工.0時(shí),函數(shù)/(x)單調(diào)遞增.

xvO,f(x)=-xex,r(x)=-(x+I)/,可得函數(shù)/(?在(-oo,-l)單調(diào)遞增;可得函數(shù)/⑶在(-1,0)單調(diào)

遞減.

可得：/(外在x=-l時(shí)，函數(shù)f(.v)取得極大值，/(-1)」.

e

畫出圖象：可知：/(x)..O.

令r(x)-如a)+i=o,

①△="-4<0時(shí)，函數(shù)g(x)無零點(diǎn).

②△=()時(shí)，解得々=2或-2,々=2時(shí)，解得/(幻=1,此時(shí)函數(shù)g(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，舍去.

a=-2,由/(x)..O,可知：此時(shí)函數(shù)g(x)無零點(diǎn)，舍去.

@A=a'—4>0?解得〃>2或〃<-2.

Anzaei\a--4_a+\/a2-4

解得/(x)=---------，/U)=----------.

公_2時(shí)，/三<0,"4三<0.此時(shí)函數(shù)g(x)無零點(diǎn)，舍去.

因此a>2,可得：0〈匕五三<i〈竺叵三.

由g(x)=f2(x)-af(x)+1恰有四個(gè)不同的零點(diǎn),

a—\Ja2—41a+\la2-4

:.a>2,0<---------<-,1<

2e

解得：a>—+e.

e

則a取值范圍為(^+-,-H?).

e

另解：由8(。=產(chǎn)-《〃+1有兩根，一個(gè)在(02)上，一個(gè)在(L+co)上,

ee

△=。?—4>0,g(—)=(—)*,—a,—FI<0，解得a>e4—.

eeee

二.a取值范圍為(e+L+oo).

e

10.(4分)已知正四面體A—ABC,。為AA8C內(nèi)的一點(diǎn)，記PQ與平面Q43、PAC.心。所成的角分別

為a,。，y,則下列不等式恒成立的個(gè)數(shù)為()

①sin，?+sin2/7+sin2y..2,

②cos2a+cos2p+cos2y..2,

(3)tan2a+tan2p+tan2y?1,

111

ian2atan2ptan27

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【詳解】如圖，當(dāng)Q為底面中心。時(shí)，設(shè)正四面體的棱長為1,E,F,G分別為底面邊AB,BC,AC的

中點(diǎn)，

則。=NEPO/?=NGPO,y=/FPO,OE=OF=OG=—,PO=—,PE=PF=PG=—,

632

.A.IQ272

/.sina=sin/>=sin/=-，cosa=cosp=cosy=------，

33

/.sin2a+sin2P+sin2/=-,cos2a+cos2P+cos2/=-,

3111

tan2a+tan2p+tan2/=-,——+——+——=24,

8taifatan邛tany

故①④錯(cuò)；

當(dāng)。與A重合時(shí)，a=/3=0,y=ZAPF

此時(shí)tan7=&,tan2a+tan2p+tan2/=2,

cos2a+cos2p+cos2y..2

故③錯(cuò)，②正確，

故選：B.

二.填空題(共7小題，滿分36分)

11.(6分)已知復(fù)數(shù)z滿足z=(4-i)i,其中i為虛數(shù)單位，則z的實(shí)部為1,|z|=—.

【答案】I;V17

【詳解】?/z=(4-/)/=1+4/,

??.z的實(shí)部為1；

|z|=4+下=拒.

故答案為：I;\/?7.

12.(6分)二項(xiàng)式(X-?)'展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)是所有項(xiàng)的系數(shù)和是.

x

【答案】-15；-32

【詳解】二項(xiàng)式3-3)5展開式的通項(xiàng)公式為7；7=。＞(-3)一x5-",令5-2廠=3,求得r=1,

X

可得展開式中含,，的項(xiàng)的系數(shù)為CX(-3)=-15.

令工=1,可得所有項(xiàng)的系數(shù)和是(1-3)5=-32,

故答案為：-15；-32.

13.(6分)已知直線《：x-2y-2=0,直線："a+2y-〃?-2=0,點(diǎn)尸為圓O：x?+)'=4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

則直線4與圓o相交所得的弦長為—述_；當(dāng)實(shí)數(shù)加變化時(shí)，點(diǎn)Q到直線4的最大距離為

5

【答案】苧；2+V2

【詳解】圓O的圓心坐標(biāo)為(0,0).半徑為2,

1-212

圓心到直線x—2)，-2=()的距離4=

則直線(與圓O相交所得的弦長為2

R,直線/,:nix+2y—-2=0為mix-l)+2>,-2=0>

嚙SO,解得附則直線4過定點(diǎn)8，小

?.?|。。|=夜＜2,「.Q在圓O內(nèi)部,

又P為圓。:丁+產(chǎn)=4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

/.HP到直線4的最大距離為2+&.

故答案為：＜5；2+五.

14.(6分)某幾何體的三視圖如圖所示，每個(gè)小正方形邊長都是1,則該幾何體的體積為1，表面積為

\

\

\\\\

A\

正視圖側(cè)電Q圖

、

\X

俯初閣

【答案】1,3+276

【詳解】根據(jù)三視圖知，該幾何體是三棱錐4-4C。，把三棱錐放入棱長為2的正方體中，圻圖所示:

1II3

計(jì)算底面ABCO的面積為Sw=22--xlxl--x2xl--x2xl=-,

Am一〃2222

所以該三棱錐的體積為V一惚核堆俳=—3S-幅,口口h=-3x—2x2=1;

表皿積為S在面積=Sgg+S;MBD+5仙何十S^CD

=g+；x&xJ(6)2—g)2+1x273X7(>/5)2-(^)24-1X2^XX/2

22

=3+2\/6.

故答案為：1，3+2R

15.(4分)將數(shù)字1,2,3,4,5,6按第一行1個(gè)數(shù)，第二行2個(gè)數(shù)，第三行3個(gè)數(shù)的形式隨機(jī)排列，設(shè)

2,3)表示第i行中最大的數(shù)，則滿足N1的所有排列的種數(shù)是用數(shù)字作答)

【答案】240

【詳解】首先生?定是6個(gè)數(shù)中最大的，故小=6,且6在第三行，$?定是5,4,3中?個(gè)，

若乂2是2,則第二行另一個(gè)數(shù)只能是1,那么第一行的數(shù)就比2大，無法滿足MvMvNj

當(dāng)N2是5,乂可以是4,3,2,1,滿足條件的排列個(gè)數(shù)4x3x2x6=144個(gè).

當(dāng)N?是4,乂可以是3,2,1,此時(shí)5必須在第三行，滿足條件的排列個(gè)數(shù)3x6x2x2=72個(gè).

當(dāng)M是3,州可以是2,1,此時(shí)4必須在第三行，滿足條件的排列個(gè)數(shù)2乂6乂2乂1-24個(gè).

綜上，總的符合條件的排列的個(gè)數(shù)為24+72+144=240,

故答案為240.

16.(4分)己知正實(shí)數(shù)》,)，滿足。+3)，一1)(2x+y-l)=l,則x+y的最小值是.

［答案］史述

5

【詳解】因?yàn)閤>0,y>0,則x+3)，-1>-1,2x+y-l>-l,

因?yàn)椤?3y-l)(2x+y_l)=l,

所以x+3y—l>0,2x+y-l>0.

因此x+y=+3y—1)+-^(2x+y—1)+］..2J至(x+3y-1)(2x-y-1)+~="二"，

x+3>'-l=V2

io

當(dāng)且僅當(dāng)：(x+3y—l)=：(2x+y—l),即，

2.r+>'-1=—

I3夜

V=—+---

510

所以時(shí)取等號(hào),

2叵

x=-+——

510

所以x+），的最小值為上也

5

故答案為：土芋

17.（4分）一條拋物線把平面劃分為二個(gè)區(qū)域，如果一個(gè)平面圖形完全落在拋物線含有焦點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)，我

們就稱此平面圖形被該拋物線覆羞.那么下列命題中，正確的是⑴（2）⑷.（填寫序號(hào)）

（I）任意一個(gè)多邊形所圍區(qū)域總能被某一條拋物線覆蓋；

（2）與拋物線對稱軸不平行、不共線的射線不能被該拋物線覆蓋：

（3）射線繞其端點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)銳知所掃過的角形區(qū)域可以被某二條拋物線覆蓋;

（4）任意有限多條拋物線都不能覆蓋整個(gè)平面.

【答案】:（1）（2）（4）

【詳解】由「任意一個(gè)多邊形所圍區(qū)域沿著拋物線頂點(diǎn)出發(fā)向拋物線對稱軸所在直線平移，總能把有限的

區(qū)域放入拋物線內(nèi)部，故選項(xiàng)（I）正確；

由于過拋物線內(nèi)部一點(diǎn)的直線（不平行于軸）與拋物線都有兩人交點(diǎn)，故拋物線無法覆蓋住一條直線，也

不能覆蓋與軸不平行、不共線的射線，故選項(xiàng)（2）正確；

由于銳角是由兩條不平行的射線組成，故拋物線不能覆蓋任何一個(gè)銳角，所以選項(xiàng)（3）錯(cuò)誤；

假設(shè)一個(gè)平面能被八個(gè)拋物線覆蓋，任意在平面上任取〃+1條不平行、不共線的射線，由于拋物線要覆蓋

射線必須滿足拋物線的軸與該射線平行或共線，故一定有一條射線不能被覆蓋，與題設(shè)矛盾，所以任意有

限多條拋物線都不能覆蓋整個(gè)平面，故選項(xiàng)（4）正確.

故答案為:⑴（2）（4）.

三.解答題（共5小題，滿分74分）

18.(14分)在如圖所示的平面圖形中，AB=2,BC=x/3,ZABC=ZAEC=-,AE與BC交于點(diǎn)、F,若

6

NC4E=〃，6>e(0,-).

3

(1)用夕表示AE,AF；

(2)求任取最大值時(shí)。的值.

AF

【答案】見解析

【詳解】(1)由題意可知在AA5C中，由余弦定理可知AC2=AB2+BC2-2AB?8C-8SB,

可得AC=1,且NACB=X,在A4CE中，因?yàn)镋=工，NC4E=8,所以44。E=圣一6>,

266

由正弦定理可得：———=生",所以AE=2sin(2-。)，在RtAACF中，人/=生>=—!—

sinZACEsinE6cos。cos。

(2)由(1)可知,—=2cos(9sin(—6e(0，),

AF63

麗卜iAEcc6萬小2八、0.八l+cos28+Gsin2611.心、冗、

所以---=2cos0-sin(----6)=cos0+，3sin0cosn0=------------------=—+sin(20+—),

AF6226

因?yàn)?e(0,乙)，所以2夕+至e(乙，—),

3666

當(dāng)2〃+四=2時(shí)，即〃=工時(shí).7n(2〃+馬取得最大值I.

6266

所以把取最大值時(shí)，。=工.

AF6

19.(15分)如圖，已知多面體A8a)￡戶，四邊形A8CD為矩形，AB=2,4)=4,EF!/AD\\.EF=2,

AF=BF=DE=6M,N分別為8C的中點(diǎn).

(I)訐明：AFI平面DMN：

（II）求直線ON與平面?所成角的正弦值.

【答案】見解析

【詳解】（I）證明：以A為原點(diǎn)，AB,4）為x,），軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系

則A(0,0,0),8(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),N(2,2,0),

取中點(diǎn)S,連產(chǎn)S，

???AF=BF=^、AB=2,SF=4s：.F(l,l,2),/V7(-/,1),

22

AF=(1J2),OM=《二,1)，O"=(2,-2,0),

22

令而DMN的法向量為萬=（%,%,%）,

HDM=0

fi-DN=0

???"-(1,1,2)，

vri//AF,;.AF_LiSDMV...........(6分)

(II)解：???DN=(2,-2,0),BC=(0,4,0),BF=(-1,1,2),

?，?

人_心4.q.R“行I?BC=0

令卸ACEF的法向量為由=(%,%zj,_,

所B-=0

m=(2,0,I),DN=(2,-2.0).

二.直線ON與平面￡7有。所成角的正弦值：sin8=|cos＜西加小舞.

........(15分)

20.（15分）已知數(shù)列｛an｝滿足%=1必用=卜+2〃，：為?,記數(shù)列應(yīng)

前〃項(xiàng)和為S,a=GN”.

-?！耙弧ㄒ粸榕紨?shù)n

（D求證:數(shù)列｛2｝為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)/；

（2）求｛叫）的前一項(xiàng)和7；及?｝的前/項(xiàng)和為S”.

【答案】見解析

2a+2%〃為奇數(shù)

【詳解】(1)證明：由題意易知，足6=1,%+]=n

-annI,/?為偶數(shù)

貝1J出”+2=2%”+i+2(2"+1)=2%,向+4〃+2,

又=一％”一2〃一1，

所以d+i=%〃+2=—%一4〃-2+4〃+2=-2a2n=-2blt,

又a=%=4，

所以｛〃,｝為首項(xiàng)為4,公比為-2的等比數(shù)列，

故〃,=4x(—2)z；

(2)解：由題意可得，7；=1-(-2)2+2(-2)3+■..+//?(-2)n+,@,

所以—27；=1?(—2)3+2(-2)4+…+5-1).(—2)田+〃?(一2)"2②，

①-②可得37；=(-2>+(-2)3+…+(-2)"+,-/1-(-2)"+2,

所以7；=±一(2+[)(_2)"+2；

"939

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，4+1+a”=一〃一1,

⑴當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，令〃=2%-1,

則Sn=S”T=4+(4+4)+…+(&I+)

=1+(-3)+(-5)+???+(-2%+1)

一(-2&-2)伙-1)

=H---------------------

2

=2—k2,

所以S“=l一堡誓；

(")當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，〃=2&,

則S—SzLSzi+a』，

由⑴可知，S”_1=2-3，

又因?yàn)椤！?a=(-2)用，

所以*=S”=2-代+(-2)2=1一9+(-2)劑.

2一處1匚，〃為奇數(shù)

綜上所述，S.=J

2-9+(-2聲，〃為偶數(shù)

21.(15分)已知拋物線C：k=以，橢圓C：±+[=1S>O),點(diǎn)M為橢圓C,上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，拋物線G

'4b~

的準(zhǔn)線與橢圓。2相交所得的弦長為6.直線/與拋物線G交于2、Q兩點(diǎn)、，線段M尸、MQ分別與拋物線

G交于S、T兩點(diǎn),恰好滿足尸0=257.

(I)求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)求以訂為直徑的圓面積的最大值.

【答案】見解析

【詳解】（I）拋物線C1的準(zhǔn)線方程x=-l,

因?yàn)閽佄锞€G的準(zhǔn)線與橢圓G相交的弦長G，

所以拋物線c,的準(zhǔn)線與橢圓a交點(diǎn)（—1,土日），

得,+上=1,得從=1

44b2

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+/=1.

'4'

（n）因?yàn)椤?=2ST,

所以5、7兩點(diǎn)是M。、MQ的中點(diǎn),

令必（.，為），。（斗，X），QG，丁2），

可得吟5號(hào)）1（為+七耳+為）

22

2

所以（A12L）2=2.%+2%=2x°+六,y：_2y°y_y2+8%=o，

同理找一2yoy2-￡+8%=0,

所以力，力是/一2,，0），一），；+8與一0的