新高考新結(jié)構命題下的概率統(tǒng)計解答題綜合訓練（9類核心考點精講精練）在新課標、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推進。這不僅僅是一場考試形式的變革，更是對教育模式和教育理念的全面革新。當前的高考試題設計，以“三維”減量增質(zhì)為核心理念，力求在減少題目數(shù)量的同時，提升題目的質(zhì)量和考查的深度。這具體體現(xiàn)在以下三個方面：三考題目設計著重考查學生的知識主干、學習能力和學科素養(yǎng)，確保試題能夠全面、客觀地反映學生的實際水平。三重強調(diào)對學生思維深度、創(chuàng)新精神和實際應用能力的考查，鼓勵學生不拘泥于傳統(tǒng)模式，展現(xiàn)個人的獨特見解和創(chuàng)造力。三突出試題特別突出對學生思維過程、思維方法和創(chuàng)新能力的考查，通過精心設計的題目，引導學生深入思考和探索，培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力。面對新高考新結(jié)構試卷的5個解答題，每個題目的考查焦點皆充滿變數(shù)，無法提前預知。概率統(tǒng)計版塊作為一個重要的考查領域，其身影可能悄然出現(xiàn)在第15題中，作為一道13分的題目，難度相對較為適中，易于學生入手。同樣不能忽視的是，概率統(tǒng)計版塊也可能被置于第18、19題這樣的壓軸大題中，此時的分值將提升至17分，挑戰(zhàn)學生的解題能力和思維深度，難度自然相應加大。面對如此多變的命題趨勢，教師在教學備考過程中必須與時俱進。不僅要深入掌握不同題目位置可能涉及的知識點及其命題方式，更要能夠靈活應對，根據(jù)試題的實際情況調(diào)整教學策略。本文基于新高考新結(jié)構試卷的特點，結(jié)合具體的概率統(tǒng)計解答題實例，旨在為廣大師生提供一份詳盡的概率統(tǒng)計解答題綜合訓練指南，以期在新高考中取得更好的成績?？键c一、條件概率1．（2024·江蘇·模擬預測）某設備由相互獨立的甲?乙兩個部件組成，若兩個部件同時出現(xiàn)故障，則設備停止運轉(zhuǎn)；若有且只有一個部件出現(xiàn)故障，則設備出現(xiàn)異常.在一個生產(chǎn)周期內(nèi)，甲部件出現(xiàn)故障的概率為，乙部件出現(xiàn)故障的概率為.甲部件出現(xiàn)故障，檢修費用為3千元；乙部件出現(xiàn)故障，檢修費用為2千元，在一個生產(chǎn)周期內(nèi)，甲?乙兩個部件至多各出現(xiàn)一次故障.(1)試估算一個生產(chǎn)周期內(nèi)的平均檢修費用；(2)求在設備出現(xiàn)異常的情況下，甲部件出現(xiàn)故障的概率.2．（2024·遼寧·一模）某植物園種植一種觀賞花卉，這種觀賞花卉的高度(單位：cm)介于之間，現(xiàn)對植物園部分該種觀賞花卉的高度進行測量，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示.(1)求的值;(2)以頻率估計概率，完成下列問題.(i)若從所有花卉中隨機抽株，記高度在內(nèi)的株數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望；(ii)若在所有花卉中隨機抽取3株，求至少有2株高度在的條件下，至多1株高度低于的概率.3．（2022·全國·高考真題）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣（衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R．（ⅰ）證明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.8284．（2024·廣東佛山·三模）隨著春季學期開學，某市市場監(jiān)管局加強了對學校食堂食品安全管理，助力推廣校園文明餐桌行動，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌”帶動“大文明”，同時踐行綠色發(fā)展理念．該市某中學有A，B兩個餐廳為老師與學生們提供午餐與晚餐服務，王同學、張老師兩人每天午餐和晚餐都在學校就餐，近一個月（30天）選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計如下：選擇餐廳情況（午餐，晚餐）王同學9天6天12天3天張老師6天6天6天12天假設王同學、張老師選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率．(1)估計一天中王同學午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；(2)記X為王同學、張老師在一天中就餐餐廳的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；(3)假設M表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學生去A餐廳就餐”，，已知推出優(yōu)惠套餐的情況下學生去該餐廳就餐的概率會比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明：．5．（2024·河南駐馬店·二模）某汽車銷售公司為了提升公司的業(yè)績，現(xiàn)將最近300個工作日每日的汽車銷售情況進行統(tǒng)計，如圖所示.

(1)求的值以及該公司這300個工作日每日汽車銷售量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)以頻率估計概率，若在所有工作日中隨機選擇4天，記汽車銷售量在區(qū)間內(nèi)的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望；(3)為增加銷售量，公司規(guī)定顧客每購買一輛汽車可以進行一次抽獎活動，規(guī)則如下：抽獎區(qū)有兩個盒子，其中盒中放有9張金卡?1張銀卡，盒中放有2張金卡?8張銀卡，顧客在不知情的情況下隨機選擇其中一個盒子進行抽獎，直到抽到金卡則抽獎結(jié)束（每次抽出一張卡，然后放回原來的盒中，再進行下次抽獎，中途可更換盒子），卡片結(jié)果的排列對應相應的禮品.已知顧客小明每次抽獎選擇兩個盒子的概率相同，求小明在首次抽獎抽出銀卡的條件下，第二次從另外一個盒子中抽獎抽出金卡的概率.考點二、全概率公式與貝葉斯公式1．（2023·河南·三模）某學校安排甲、乙、丙三個班級同時到學校禮堂參加聯(lián)歡晚會，已知甲班藝術生占比8%，乙班藝術生占比6%，丙班藝術生占比5%．學生自由選擇座位，先到者先選．甲、乙、丙三個班人數(shù)分別占總?cè)藬?shù)的，，．若主持人隨機從場下學生中選一人參與互動．(1)求選到的學生是藝術生的概率；(2)如果選到的學生是藝術生，判斷其來自哪個班的可能性最大．2．（2024·福建廈門·模擬預測）甲箱裝有2個黑球和4個白球，乙箱裝有2個黑球和3個白球，這些球除顏色外完全相同.某人先從兩個箱子中任選一個箱子，再從中隨機摸出一球.(1)求摸出的球是黑球的概率；(2)若已知摸出的球是黑球，用概率公式判斷該球取自哪個箱子的可能性更大.3．（2024·新疆·二模）某人工智能研究實驗室開發(fā)出一款全新聊天機器人棋型，它能夠通過學習和理解人類的語言來進行對話．聊天機器人棋型的開發(fā)主要采用RLHF（人類反饋強化學習）技術，在測試它時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則它的回答被采納的概率為90%，當出現(xiàn)語法錯誤時，它的回答被采納的概率為.(1)在某次測試中輸入了7個問題，聊天機器人棋型的回答有5個被采納，現(xiàn)從這7個問題中抽取4個，以表示抽取的問題中回答被采納的問題個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；(2)設輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為，若聊天機器人棋型的回答被采納的概率為，求的值．4．（23-24高二下·福建南平·階段練習）某運動隊為評估短跑運動員在接力賽中的作用，對運動員進行數(shù)據(jù)分析.運動員甲在接力賽中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四個位置，統(tǒng)計以往多場比賽，其出場率與出場時比賽獲勝率如下表所示.比賽位置第一棒第二棒第三棒第四棒出場率0.30.20.2.0.3比賽勝率0.60.80.70.7(1)當甲出場比賽時，求該運動隊獲勝的概率.(2)當甲出場比賽時，在該運動隊獲勝的條件下，求甲跑第一棒的概率.5．（2024·遼寧·三模）隨著中國科技的進步，涌現(xiàn)了一批高科技企業(yè)，也相應產(chǎn)生了一批高科技產(chǎn)品，在城市，生產(chǎn)某高科技產(chǎn)品的本地企業(yè)有甲?乙兩個，城市的高科技產(chǎn)品的企業(yè)市場占有率和指標的優(yōu)秀率如下表：市場占有率指標的優(yōu)秀率企業(yè)甲企業(yè)乙其它(1)從城市的高科技產(chǎn)品的市場中隨機選一件產(chǎn)品，求所選產(chǎn)品的指標為優(yōu)秀的概率；(2)從城市的高科技產(chǎn)品的市場中隨機選一件產(chǎn)品，若已知所選產(chǎn)品的指標為優(yōu)秀，求該產(chǎn)品是產(chǎn)自企業(yè)甲的概率；(3)從城市的高科技產(chǎn)品的市場中依次取出6件指標為優(yōu)秀的產(chǎn)品，若已知6件產(chǎn)品中恰有4件產(chǎn)品產(chǎn)自企業(yè)甲，記離散型隨機變量表示這6件產(chǎn)品中產(chǎn)自企業(yè)乙的件數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.6．（2024·安徽·模擬預測）現(xiàn)需要抽取甲?乙兩個箱子的商品，檢驗其是否合格.其中甲箱中有9個正品和1個次品；乙箱中有8個正品和2個次品.從這兩個箱子中隨機選擇一個箱子，再從該箱中等可能抽出一個商品，稱為首次檢驗.將首次檢驗的商品放回原來的箱子，再進行二次檢驗，若兩次檢驗都為正品，則通過檢驗.首次檢驗選到甲箱或乙箱的概率均為.(1)求首次檢驗抽到合格產(chǎn)品的概率；(2)在首次檢驗抽到合格產(chǎn)品的條件下，求首次檢驗選到的箱子為甲箱的概率；(3)將首次檢驗抽出的合格產(chǎn)品放回原來的箱子，繼續(xù)進行二次檢驗時有如下兩種方案：方案一，從首次檢驗選到的箱子中抽??；方案二，從另外一個箱子中抽取.比較兩個方案，哪個方案檢驗通過的概率大.考點三、二項分布1．（2024·山東棗莊·模擬預測）在一個袋子中有若干紅球和白球（除顏色外均相同），袋中紅球數(shù)占總球數(shù)的比例為．(1)若有放回摸球，摸到紅球時停止．在第次沒有摸到紅球的條件下，求第3次也沒有摸到紅球的概率；(2)某同學不知道比例，為估計的值，設計了如下兩種方案：方案一：從袋中進行有放回摸球，摸出紅球或摸球次停止．方案二：從袋中進行有放回摸球次．分別求兩個方案紅球出現(xiàn)頻率的數(shù)學期望，并以數(shù)學期望為依據(jù)，分析哪個方案估計的值更合理．2．（2024·安徽·模擬預測）某學校組織一場由老師與學生進行的智力問題比賽，最終由小明同學和唐老師入圍決賽，決賽規(guī)則如下：①學生：回答n個問題，每個問題小明回答正確的概率均為；若小明回答錯誤，可以行使學生權益，即可以進行場外求助，由場外同學小亮幫助答題，且小亮每個問題回答正確的概率均為.②教師：回答個問題，每個問題唐老師回答正確的概率均為.假設每道題目答對與否相互獨立，最終答對題目多的一方獲勝.(1)若，，記小明同學答對問題（含場外求助答對題數(shù)）的數(shù)量為X，求X的分布列及數(shù)學期望：(2)若，且小明同學獲勝的概率不小于，求p的最小值.3．（2024·河北·三模）某學校的數(shù)學興趣小組對學校學生的冰雪運動情況進行調(diào)研，發(fā)現(xiàn)約有的學生喜歡滑雪運動．從這些被調(diào)研的學生中隨機抽取3人進行調(diào)查，假設每個學生被選到的可能性相等．(1)記表示喜歡滑雪運動的人數(shù)，求的數(shù)學期望．(2)若該數(shù)學興趣小組計劃在全校學生中抽選一名喜歡滑雪運動的學生進行訪談．抽選規(guī)則如下：在全校學生中隨機抽選一名學生，如果該學生喜歡滑雪運動，就不再抽選其他學生，結(jié)束抽選活動；如果該學生不喜歡滑雪運動，則繼續(xù)隨機抽選，直到抽選到一名喜歡滑雪運動的學生為止，結(jié)束抽選活動．并且規(guī)定抽取的次數(shù)不超過次，其中小于當次調(diào)查的總?cè)藬?shù)．設在抽選活動結(jié)束時，抽到不喜歡滑雪運動的學生的人數(shù)為，求抽到名學生不喜歡滑雪運動的概率．4．（2024·北京西城·三模）根據(jù)2024城市魅力排行榜，一線城市4個，分別為：上海、北京、深圳、廣州；新一線城市15個，分別為：成都、杭州、重慶、蘇州、武漢、西安、南京、長沙、天津、鄭州、東莞、無錫、寧波、青島、合肥.其中城區(qū)常住人口超過一千萬的超大城市10個，分別為：上海、北京、深圳、重慶、廣州、成都、天津、東莞、武漢、杭州.(1)從10個超大城市中隨機抽取一座城市，求該城市是一線城市的概率；(2)從10個超大城市按不可放回抽樣的方式隨機抽取3個城市，隨機變量X表示新一線城市的數(shù)量，求隨機變量X的分布列和期望；(3)從10個超大城市中按可放回抽樣的方式隨機抽取3個城市，隨機變量Y表示新一線城市的數(shù)量，比較E（X）與E（Y）的大小關系.（直接寫出結(jié)果）5．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）甲、乙兩同學進行射擊比賽，已知甲射擊一次命中的概率為，乙射擊一次命中的概率為，比賽共進行輪次，且每次射擊結(jié)果相互獨立，現(xiàn)有兩種比賽方案，方案一：射擊次，每次命中得2分，未命中得0分；方案二：從第一次射擊開始，若本次命中，則得6分，并繼續(xù)射擊；若本次未命中，則得0分，并終止射擊．(1)設甲同學在方案一中射擊輪次總得分為隨機變量是，求；(2)甲、乙同學分別選取方案一、方案二進行比賽，試確定的最小值，使得當時，甲的總得分期望大于乙．6．（2024·河南駐馬店·二模）某汽車銷售公司為了提升公司的業(yè)績，現(xiàn)將最近300個工作日每日的汽車銷售情況進行統(tǒng)計，如圖所示.

(1)求的值以及該公司這300個工作日每日汽車銷售量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)以頻率估計概率，若在所有工作日中隨機選擇4天，記汽車銷售量在區(qū)間內(nèi)的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望；(3)為增加銷售量，公司規(guī)定顧客每購買一輛汽車可以進行一次抽獎活動，規(guī)則如下：抽獎區(qū)有兩個盒子，其中盒中放有9張金卡?1張銀卡，盒中放有2張金卡?8張銀卡，顧客在不知情的情況下隨機選擇其中一個盒子進行抽獎，直到抽到金卡則抽獎結(jié)束（每次抽出一張卡，然后放回原來的盒中，再進行下次抽獎，中途可更換盒子），卡片結(jié)果的排列對應相應的禮品.已知顧客小明每次抽獎選擇兩個盒子的概率相同，求小明在首次抽獎抽出銀卡的條件下，第二次從另外一個盒子中抽獎抽出金卡的概率.考點四、超幾何分布1．（2024·上海長寧·二模）盒子中裝有大小和質(zhì)地相同的6個紅球和3個白球；(1)從盒子中隨機抽取出1個球，觀察其顏色后放回，并同時放入與其顏色相同的球3個，然后再從盒子隨機取出1個球，求第二次取出的球是紅球的概率；(2)從盒子中不放回地依次隨機取出2個球，設2個球中紅球的個數(shù)為，求的分布、期望與方差；2．（2023·陜西榆林·模擬預測）某校體育節(jié)組織比賽，需要志愿者參加服務的項目有：60米袋鼠跳、100米、200米、1500米、3000米、4×100米接力．(1)志愿者小明同學可以在6個項目中選擇3個項目參加服務，求小明在選擇60米袋鼠跳服務的條件下，選擇3000米服務的概率；(2)為了調(diào)查志愿者選擇服務項目的情況，從志愿者中抽取了15名同學，其中有9名首選100米，6名首選4×100米接力．現(xiàn)從這15名同學中再選3名同學做進一步調(diào)查．將其中首選4×100米接力的人數(shù)記作X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．3．（2024·河南信陽·模擬預測）袋中有8個除顏色外完全相同的小球，其中1個黑球，3個白球，4個紅球.(1)若從袋中一次性取出兩個小球，即取到的紅球個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；(2)若從袋中不放回的取3次，每次取一個小球，取到黑球記0分，取到白球記2分，取到紅球記4分，在最終得分為8分的條件下，恰取到一個紅球的概率.4．（2024·山西·三模）袋中裝有大小、形狀、材質(zhì)完全相同的n個小球，其中有個紅球.(1)若，現(xiàn)從袋中隨機摸出2個小球，其中紅球的個數(shù)為隨機變量，求的方差(2)從袋中有放回地摸取小球次，每次摸出一個小球，其中摸到紅球的次數(shù)為隨機變量，若的期望，方差，求;(3)若，現(xiàn)從袋中有放回地摸取小球10次，每次摸出1個小球，記錄顏色后將摸出的小球放回袋中.以摸出紅球的頻率估計袋中紅球所占比例，若，求紅球占比估計值的誤差不超過的概率.參考數(shù)據(jù):0123456789100.02820.01210.00520.00220.00100.00040.00020.00010.00000.00000.00005．（2024·遼寧·模擬預測）某自然保護區(qū)經(jīng)過幾十年的發(fā)展，某種瀕臨滅絕動物數(shù)量有大幅度的增加.已知這種動物擁有兩個亞種（分別記為種和種）.為了調(diào)查該區(qū)域中這兩個亞種的數(shù)目，某動物研究小組計劃在該區(qū)域中捕捉100個動物，統(tǒng)計其中種的數(shù)目后，將捕獲的動物全部放回，作為一次試驗結(jié)果.重復進行這個試驗共20次，記第次試驗中種的數(shù)目為隨機變量.設該區(qū)域中種的數(shù)目為，種的數(shù)目為（，均大于100），每一次試驗均相互獨立.(1)求的分布列；(2)記隨機變量.已知，（i）證明：，；（ii）該小組完成所有試驗后，得到的實際取值分別為.數(shù)據(jù)的平均值，方差.采用和分別代替和，給出，的估計值.（已知隨機變量服從超幾何分布記為：（其中為總數(shù)，為某類元素的個數(shù)，為抽取的個數(shù)），則）考點五、正態(tài)分布1．（2024·黑龍江·三模）為建立健全國家學生體質(zhì)健康監(jiān)測評價機制，激勵學生積極參加身體鍛煉，教育部印發(fā)了《國家學生體質(zhì)健康標準》，要求各學校每學年開展覆蓋本校各年級學生的《標準》測試工作.為做好全省的迎檢工作，某市在高三年級開展了一次體質(zhì)健康模擬測試，并從中隨機抽取了500名學生的數(shù)據(jù)，根據(jù)他們的健康指數(shù)繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)估計這500名學生健康指數(shù)的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(2)由頻率分布直方圖知，該市學生的健康指數(shù)X近似服從正態(tài)分布N(，)，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差(=84.75).①求P(60.29≤X≤87.92)；②已知該市高三學生約有30000名，記健康指數(shù)在區(qū)間[60.29，87.92]的人數(shù)為，試求E().附：參考數(shù)據(jù)：，若隨機變量X服從正態(tài)分布N(，)，則，，.2．（2024·湖北·模擬預測）某品牌專賣店統(tǒng)計歷史消費數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：進店消費的顧客的消費額X（單位：元）服從正態(tài)分布．為回饋廣大顧客，專賣店對消費達一定金額的顧客開展了品牌知識有獎答題活動，顧客需要依次回答兩類試題，若顧客答對第一類題，則回答第二類題，若顧客沒有答對第一類題，則不再答第二類題，直接結(jié)束有獎答題活動．對于每一類題，答錯得0分，答對得10分，兩類題總分20分，答題結(jié)束后可減免與得分相同數(shù)額的現(xiàn)金（單位：元）．每類試題均有兩次答題機會，在任意一類試題中，若第一次回答正確，則認為答對該類試題，就不再進行第二次答題．若第一次回答錯誤，則進行第二次答題，若第二次答題正確，則也認為答對該類試題；若第二次回答錯誤，則認為答錯該類試題．(1)若某天有200位進店消費的顧客，請估計該天消費額在內(nèi)的人數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；附：若，則．(2)某顧客消費達到指定金額后可參與答題活動，類題中的兩次答題機會答對的概率都是，類題中的兩次答題機會答對的概率都是，且每次答題相互獨立．若答題結(jié)束后可減免的現(xiàn)金數(shù)額為元，求的分布列和數(shù)學期望．3．（2024·廣東深圳·模擬預測）“公平正義”是社會主義和諧社會的重要特征，是社會主義法治理念的價值追求.“考試”作為一種公平公正選拔人才的有效途徑，正被廣泛采用.一般地，對于一次成功的考試來說，所有考生得考試成績應服從正態(tài)分布.某單位準備通過考試（按照高分優(yōu)先錄取的原則）錄用300人，其中275個高薪職位和25個普薪職位.實際報名人數(shù)為2000名，考試滿分為400分.記考生的成績?yōu)?，且，已知所有考生考試的平均成績，?60分及其以上的高分考生有30名.(1)求的值．（結(jié)果保留位整數(shù)）(2)該單位的最低錄取分數(shù)約是多少？（結(jié)果保留為整數(shù)）(3)考生甲的成績?yōu)?86分，若甲被錄取，能否獲得高薪職位？若不能被錄取，請說明理由．參考資料：①當時，令，則．②當，，，，．4．（2024·福建福州·三模）已知某種機器的電源電壓U（單位：V）服從正態(tài)分布．其電壓通常有3種狀態(tài)：①不超過200V；②在200V~240V之間③超過240V．在上述三種狀態(tài)下，該機器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率分別為0.15，0.05，0.2．(1)求該機器生產(chǎn)的零件為不合格品時，電壓不超過200V的概率；(2)從該機器生產(chǎn)的零件中隨機抽取n（）件，記其中恰有2件不合格品的概率為，求取得最大值時n的值．附：若，取，．5．（2024·福建龍巖·三模）某企業(yè)對某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級劃分為五個層級，分別對應如下五組質(zhì)量指標值：.根據(jù)長期檢測結(jié)果，得到芯片的質(zhì)量指標值服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量指標值不小于80的產(chǎn)品稱為等品，其它產(chǎn)品稱為等品.現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機抽取100件作為樣本，統(tǒng)計得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)長期檢測結(jié)果，該芯片質(zhì)量指標值的標準差的近似值為11，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值.若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計該芯片為等品的概率(保留小數(shù)點后面兩位有效數(shù)字)；(①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表；②參考數(shù)據(jù):若隨機變量服從正態(tài)分布，則，.)(2)（i）從樣本的質(zhì)量指標值在和[85，95]的芯片中隨機抽取3件，記其中質(zhì)量指標值在[85，95]的芯片件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；（ii）該企業(yè)為節(jié)省檢測成本，采用隨機混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝.已知一件等品芯片的利潤是元，一件等品芯片的利潤是元，根據(jù)(1)的計算結(jié)果，試求的值，使得每箱產(chǎn)品的利潤最大.01236．（2024·遼寧·模擬預測）某工廠為了提高精度，采購了一批新型機器，現(xiàn)對這批機器的生產(chǎn)效能進行測試，對其生產(chǎn)的第一批零件的內(nèi)徑進行測量，統(tǒng)計繪制了如下圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求a的值以及這批零件內(nèi)徑的平均值和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)以頻率估計概率，若在這批零件中隨機抽取4個，記內(nèi)徑在區(qū)間內(nèi)的零件個數(shù)為，求的分布列以及數(shù)學期望；(3)已知這批零件的內(nèi)徑（單位：mm）服從正態(tài)分布，現(xiàn)以頻率分布直方圖中的平均數(shù)作為的估計值，頻率分布直方圖中的標準差作為的估計值，則在這批零件中隨機抽取200個，記內(nèi)徑在區(qū)間上的零件個數(shù)為，求的方差.參考數(shù)據(jù)：，若，則，，.考點六、獨立性檢驗1．（2024·安徽合肥·模擬預測）春夏之交因晝夜溫差大，細菌、病毒等活躍，是流感高發(fā)季節(jié)．某校高二年級某組團統(tǒng)計了流感暴發(fā)前的半個月與流感暴發(fā)后的半個月的學生請假情況，得到如下數(shù)據(jù)：因發(fā)燒請假非發(fā)燒請假合計流感暴發(fā)前1030流感暴發(fā)后30合計70(1)完成列聯(lián)表，并依據(jù)的獨立性檢驗，判斷能否認為流感暴發(fā)對請假的同學中發(fā)燒的人數(shù)有影響．(2)后經(jīng)過了解，在全校因發(fā)燒請假的同學中男生占比為，且的因發(fā)燒請假的男生需要輸液治療，的因發(fā)燒請假的女生需要輸液治療．學校隨機選擇一名因發(fā)燒請假在醫(yī)院輸液的同學進行慰問，求這名同學是女生的概率．附：．0．050．010．0013．8416．63510．8282．（2024·山西太原·模擬預測）貴州省“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽在比賽間隙進行蘆笙舞、侗族大歌等非物質(zhì)文化遺產(chǎn)展演，這項活動將體育運動與當?shù)孛褡迕袼孜幕嘤|合，創(chuàng)造出獨特的文體公共產(chǎn)品．為了打造更具吸引力的賽事，某平臺發(fā)起了群眾觀賽意見反饋調(diào)查，共收回了200份調(diào)查問卷．性別關注賽事不關注賽事男8436女4040(1)通過進一步分析關注賽事群眾的調(diào)查問卷得知，關注表演的女性用戶有24名，現(xiàn)從關注賽事的群眾中抽取一人，設“抽取的一人為男性”為事件A，“抽取的一人關注表演”為事件B，若，則以此次調(diào)查的數(shù)據(jù)為依據(jù)，估計從平臺用戶中任意抽取一名用戶，該用戶關注表演的概率為多少；(2)是否有的把握認為是否關注賽事與性別有關？附：，其中．0.0500.0100.0050.001k3.8416.6357.87910.8283．（2024·重慶渝中·模擬預測）為考察某種藥物預防疾病的效果，進行動物試驗，得到如下的列聯(lián)表（單位：只）：藥物疾病合計未患病患病未服用5040服用合計75200(1)請將上面的列聯(lián)表補充完整；(2)依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為藥物有效呢？從概率的角度解釋得到的結(jié)論；(3)為了進一步研究，現(xiàn)按分層抽樣的方法從未患病動物中抽取10只作為樣本，從該樣本中隨機抽取4只，設其中未服用藥物的動物數(shù)為，求的分布列及期望.附表及公式：.0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.0244．（2024·福建泉州·模擬預測）某學校為了研究不同性別的學生對“村BA”賽事的了解情況，進行了一次抽樣調(diào)查，分別隨機抽取男生和女生各80名作為樣本，設事件“了解村BA”，“學生為女生”，據(jù)統(tǒng)計，.(1)根據(jù)已知條件，補全列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷該校學生對“村BA”的了解情況與性別是否有關？了解不了解總計男生女生總計(2)現(xiàn)從該校不了解“村BA”的學生中，采用分層隨機抽樣的方法抽取10名學生，再從這10名學生隨機抽取4人，設抽取的4人中男生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.附：，.0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.8285．（2024·安徽·模擬預測）元宵節(jié)是中國的傳統(tǒng)節(jié)日，為慶祝元宵節(jié)，某大學開展吃元宵、吃酒圓、猜燈謎等一系列活動．(1)為探究元宵節(jié)吃湯圓和吃元宵的地域差異，某小組開展調(diào)研，得到如下列聯(lián)表，已知，是否有的把握認定吃湯圓或元宵與地域有關？北方南方湯圓1636元宵2424(2)在猜燈謎活動中共有10道標有序號的各不相同的題目，甲同學隨機抽取其中的5道回答．（i）求抽取的5道題中恰有5道題序號均相鄰的概率；（ii）已知：若是兩點分布，且，則，若甲抽取的題目中有對相鄰序號的題目，計算的數(shù)學期望．附：6．（2024·四川成都·模擬預測）在學校食堂就餐成為了很多學生的就餐選擇．學校為了解學生食堂就餐情況，在校內(nèi)隨機抽取了100名學生，其中男生和女生人數(shù)之比為，現(xiàn)將一周內(nèi)在食堂就餐超過8次的學生認定為“喜歡食堂就餐”，不超過8次的學生認定為“不喜歡食堂就餐”．“喜歡食堂就餐”的人數(shù)比“不喜歡食堂就餐”人數(shù)多20人，“不喜歡食堂就餐”的男生只有10人．男生女生合計喜歡食堂就餐不喜歡食堂就餐10合計100(1)將上面的列聯(lián)表補充完整，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析學生喜歡食堂就餐是否與性別有關：(2)用頻率估計概率，從該校學生中隨機抽取10名，記其中“喜歡食堂就餐”的人數(shù)為X．事件“”的概率為，求隨機變量X的期望和方差．參考公式：，其中．a(chǎn)0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828考點七、線性回歸直線方程1．（2024·山東濟南·三模）近年來，我國眾多新能源汽車制造企業(yè)迅速崛起．某企業(yè)著力推進技術革新，利潤穩(wěn)步提高．統(tǒng)計該企業(yè)2019年至2023年的利潤（單位：億元），得到如圖所示的散點圖．其中2019年至2023年對應的年份代碼依次為1，2，3，4，5．(1)根據(jù)散點圖判斷，和哪一個適宜作為企業(yè)利潤y（單位：億元）關于年份代碼x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）中的判斷結(jié)果，建立y關于x的回歸方程；(3)根據(jù)（2）的結(jié)果，估計2024年的企業(yè)利潤．參考公式及數(shù)據(jù)；，，，，，，2．（2024·福建南平·模擬預測）某大型商場的所有飲料自動售賣機在一天中某種飲料的銷售量（單位：瓶）與天氣溫度（單位：）有很強的相關關系，為能及時給飲料自動售賣機添加該種飲料，該商場對天氣溫度和飲料的銷售量進行了數(shù)據(jù)收集，得到下面的表格：1015202530354041664256204840968192經(jīng)分析，可以用作為關于的經(jīng)驗回歸方程．(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求關于的經(jīng)驗回歸方程(結(jié)果保留兩位小數(shù))；(2)若飲料自動售賣機在一天中不需添加飲料的記1分，需添加飲料的記2分，每臺飲料自動售賣機在一天中需添加飲料的概率均為，在商場的所有飲料自動售賣機中隨機抽取3臺，記總得分為隨機變量，求的分布列與數(shù)學期望．參考公式及數(shù)據(jù)：對于一組數(shù)據(jù)，經(jīng)驗回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為3．（2024·河北滄州·模擬預測）“南澳牡蠣”是我國地理標志產(chǎn)品，產(chǎn)量高、肉質(zhì)肥、營養(yǎng)好，素有“海洋牛奶精品”的美譽.2024年該基地考慮增加人工投入，現(xiàn)有以往的人工投入增量x（人）與年收益增量y（萬元）的數(shù)據(jù)如下：人工投入增量x（人）234681013年收益增量y（萬元）13223142505658該基地為了預測人工投入增量為16人時的年收益增量，建立了y與x的兩個回歸模型：模型①：由最小二乘公式可求得y與x的線性回歸方程：；模型②：由散點圖的樣本點分布，可以認為樣本點集中在曲線：的附近，對人工投入增量x做變換，令，則，且有，，，.(1)（i）根據(jù)所給的統(tǒng)計量，求模型②中y關于x的回歸方程（精確到0.1）；（ii）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的決定系數(shù)，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預測人工投入增量為16人時的年收益增量.回歸模型模型①模型②回歸方程182.479.2(2)根據(jù)養(yǎng)殖規(guī)模與以往的養(yǎng)殖經(jīng)驗，產(chǎn)自某南澳牡蠣養(yǎng)殖基地的單個“南澳牡蠣”質(zhì)量（克）在正常環(huán)境下服從正態(tài)分布.購買10只該基地的“南澳牡蠣”，會買到質(zhì)量小于20g的牡蠣的可能性有多大?附：若隨機變量，則，；樣本的最小二乘估計公式為：，，.4．（2024·山東淄博·二模）汽車尾氣排放超標是導致全球變暖、海平面上升的重要因素．我國近幾年著重強調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大新能源項目的支持力度，積極推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展．某汽車制造企業(yè)對某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進行調(diào)查，得到下面的統(tǒng)計表：年份t20152016201720182019年份代碼x（x＝t﹣2014）12345銷量y（萬輛）1012172026(1)計算銷量y關于年份代碼x的線性相關系數(shù)r，并判斷是否可以認為y與x有較強的線性相關關系（若|r|≥0.75，則認為有較強的線性相關關系）．若是，求出y關于x的線性回歸方程：若不是，說明理由；(2)為了解購車車主的性別與購車種類（分為新能源汽車與傳統(tǒng)燃油汽車）的情況，該企業(yè)又隨機調(diào)查了該地區(qū)100位購車車主的購車情況，假設一位車主只購一輛車．男性車主中購置傳統(tǒng)燃油汽車的有40名，購置新能源汽車的有30名：女性車主中有一半購置新能源汽車．將頻率視為概率，已知一位車主購得新能源汽車，請問這位車主是女性的概率．附：若為樣本點，相關系數(shù)公式：r；為回歸方程，則，．5．（2024·海南·模擬預測）某海鮮餐廳在試營業(yè)期間，同時采用自助餐和團購套餐兩種營銷模式，其中自助餐模式是指顧客可隨意享用餐廳內(nèi)所有菜品，最長可用餐2小時；團購套餐是指顧客在APP上購買團購券后到店消費，只可享用套餐內(nèi)所包含的菜品，用餐時間不限.該餐廳為了了解這兩種營銷模式的受歡迎程度，現(xiàn)隨機調(diào)查了130位顧客對這兩種營銷模式的意見反饋，統(tǒng)計結(jié)果如下表：認為自助餐更有性價比認為團購套餐更有性價比男性顧客4020女性顧客3040(1)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷能否認為顧客對這兩種營銷模式的意見與顧客的性別有關；(2)店長統(tǒng)計了第，，，天自助餐的用餐人數(shù)，統(tǒng)計結(jié)果如下（已知）：（天）（用餐人數(shù)）32527395經(jīng)計算得經(jīng)驗回歸方程為，以樣本的相關系數(shù)為標準，對該經(jīng)驗回歸方程的擬合效果進行說明.附：（i）在經(jīng)驗回歸方程中，.（ii）相關系數(shù)若，可認為該模型擬合效果良好，反之，則認為該模型擬合效果不好.（iii），其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.8286．（2024·全國·模擬預測）氮氧化物是一種常見的大氣污染物，它是由氮和氧兩種元素組成的化合物，有多種不同的形式．下圖為我國2014年至2022年氮氧化物排放量（單位：萬噸）的折線圖，其中，年份代碼1～9分別對應年份2014～2022．計算得，，．(1)是否可用線性回歸模型擬合與的關系？請用折線圖和相關系數(shù)加以說明；(2)是否可用題中數(shù)據(jù)擬合得到的線性回歸模型預測2023年和2033年的氮氧化物排放量？請說明理由．附：相關系數(shù)，．考點八、概率統(tǒng)計與數(shù)列雜糅1．（2023·全國·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．2．（2024·遼寧·模擬預測）現(xiàn)有甲、乙兩個不透明的盒子，甲盒子裝有2個紅球和1個白球，乙盒中裝有1個紅球和1個白球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子中，重復次這樣的操作后，記甲盒子中紅球的個數(shù)為，甲盒中恰有1個紅球的概率為，恰有2個紅球的概率為（注：所有小球大小、形狀、質(zhì)地均相同）(1)求的值；(2)設，證明：；(3)求的數(shù)學期望的值．3．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）現(xiàn)有甲、乙兩個盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個紅球和1個黑球．從兩個盒子中各任取一個球交換，記為一次操作．重復進行次操作后，記甲盒子中黑球個數(shù)為，甲盒中恰有1個黑球的概率為，恰有2個黑球的概率為．(1)求隨機變量的分布列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)求證：．4．（2024·廣西南寧·三模）夏日天氣炎熱，學校為高三備考的同學準備了綠豆湯和銀耳羹兩種涼飲，某同學每天都會在兩種涼飲中選擇一種，已知該同學第1天選擇綠豆湯的概率是，若前一天選擇綠豆湯，后一天繼續(xù)選擇綠豆湯的概率為，而前一天選擇銀耳羹，后一天繼續(xù)選擇銀耳羹的概率為，如此往復．(1)求該同學第2天選擇綠豆湯的概率；(2)記該同學第天選擇綠豆湯的概率為，證明：為等比數(shù)列；(3)求從第1天到第10天中，該同學選擇綠豆湯的概率大于選擇銀耳羹概率的天數(shù)．5．（2024·安徽·模擬預測）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成平后，每球交換發(fā)球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發(fā)球時甲得分的概率為，乙發(fā)球時甲得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨立．在某局雙方平后，甲先發(fā)球，兩人又打了個球該局比賽結(jié)束．(1)求事件“且乙獲勝”的概率；(2)求；(3)記事件“且甲獲勝”的概率為，求證：．6．（2024·湖南衡陽·一模）學校教學樓的每兩層樓之間的上下樓梯有個臺階，從下至上記臺階所在位置為，同學甲在上樓的過程中，每一步等可能地跨或個臺階（位置或）.(1)記甲邁步后所在的位置為，寫出的分布列和期望值.(2)求甲步內(nèi)到過位置的概率；(3)求步之內(nèi)同時到過位置和的有多少種走法，及發(fā)生的概率.7．（2024·廣西南寧·二模）2023年10月7日，杭州第19屆亞運會女子排球中國隊以3：0戰(zhàn)勝日本隊奪得冠軍，這也是中國女排第9個亞運冠軍，她們用汗水詮釋了幾代女排人不屈不撓、不斷拼搏的女排精神，某校甲、乙、丙等7名女生深受女排精神鼓舞，組建了一支女子排球隊，其中主攻手2人，副攻手2人，接應手1人，二傳手1人，自由人1人．現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人參與傳球訓練(1)求抽到甲參與傳球訓練的概率；(2)記主攻手和自由人被抽到的總?cè)藬?shù)為，求的分布列及期望；(3)若恰好抽到甲，乙，丙3人參與傳球訓練，先從甲開始，甲傳給乙、丙的概率均為，當乙接到球時，乙傳給甲、丙的概率分別為，當丙接到球時，丙傳給甲、乙的概率分別為，假設球一直沒有掉地上，求經(jīng)過n次傳球后甲接到球的概率．8．（2024·山東泰安·模擬預測）在足球比賽中，有時需通過點球決定勝負．(1)撲點球的難度一般比較大，假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將(也稱為守門員)也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點球的個數(shù)的分布列和期望；(2)好成績的取得離不開平時的努力訓練，甲?乙?丙三名前鋒隊員在某次傳接球的訓練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外人中的人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外人中的人，如此不停地傳下去，假設傳出的球都能接?。浀诖蝹髑蛑扒蛟诩啄_下的概率為，易知．①試證明：為等比數(shù)列；②設第次傳球之前球在乙腳下的概率為，比較與的大小．考點九、概率統(tǒng)計與導數(shù)雜糅1．（2024·河北衡水·模擬預測）已知甲口袋有個紅球和2個白球，乙口袋有個紅球和2個白球，小明從甲口袋有放回地連續(xù)摸球2次，每次摸出一個球，然后再從乙口袋有放回地連續(xù)摸球2次，每次摸出一個球.(1)當時，（i）求小明4次摸球中，至少摸出1個白球的概率；（ii）設小明4次摸球中，摸出白球的個數(shù)為，求的數(shù)學期望；(2)當時，設小明4次摸球中，恰有3次摸出紅球的概率為，則當為何值時，最大？2．（2024·湖北襄陽·模擬預測）甲和乙兩個箱子中各裝有個大小、質(zhì)地均相同的小球，并且各箱中是紅球，是白球.(1)當時，從甲箱中隨機抽出2個球，求2個球的顏色不同的概率.(2)由概率學知識可知，當總量足夠多而抽出的個體足夠少時，超幾何分布近似為二項分布，現(xiàn)從甲箱中不放回地取3個小球，恰有2個白球的概率記作；從乙箱中有放回地取3個小球，恰有2個白球的概率記作.①求，.②當至少為多少時，我們可以在誤差不超過0.001（即）的前提下認為超幾何分布近似為二項分布？（參考數(shù)據(jù)：）.3．（2024·河南濮陽·模擬預測）現(xiàn)有一種不斷分裂的細胞，每個時間周期內(nèi)分裂一次，一個細胞每次分裂能生成一個或兩個新的細胞，每次分裂后原細胞消失．設每次分裂成一個新細胞的概率為，分裂成兩個新細胞的概率為；新細胞在下一個周期內(nèi)可以繼續(xù)分裂，每個細胞間相互獨立．設有一個初始的細胞，在第一個周期中開始分裂，其中．(1)設結(jié)束后，細胞的數(shù)量為，求的分布列和數(shù)學期望；(2)設結(jié)束后，細胞數(shù)量為的概率為．（?。┣?；（ⅱ）證明：．4．（2024·廣東廣州·模擬預測）甲、乙、丙三人進行傳球游戲，每次投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子決定傳球的方式：當球在甲手中時，若骰子點數(shù)大于3，則甲將球傳給乙，若點數(shù)不大于3，則甲將球保留繼續(xù)投擲骰子；當球在乙手中時，若骰子點數(shù)大于4，則乙將球傳給甲，若點數(shù)不大于4，則乙將球傳給丙；當球在丙手中時，若骰子點數(shù)大于3，則丙將球傳給甲，若骰子點數(shù)不大于3，則丙將球傳給乙.初始時，球在甲手中.(1)求三次投擲骰子后球在甲手中的概率；(2)投擲次骰子后，記球在乙手中的概率為，求數(shù)列的通項公式；(3)設，求證：.5．（2024·遼寧·模擬預測）甲、乙兩同學進行射擊比賽，已知甲射擊一次命中的概率為，乙射擊一次命中的概率為，比賽共進行n輪次，且每次射擊結(jié)果相互獨立，現(xiàn)有兩種比賽方案，方案一：射擊n次，每次命中得2分，未命中得0分；方案二：從第一次射擊開始，若本次命中，則得6分，并繼續(xù)射擊；若本次未命中，則得0分，并終止射擊.(1)設甲同學在方案一中射擊n輪次總得分為隨機變量是，求；(2)設乙同學選取方案二進行比賽，乙同學的總得分為隨機變量，求；(3)甲同學選取方案一、乙同學選取方案二進行比賽，試確定N的最小值，使得當時，甲的總得分期望大于乙.6．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）某校舉行籃球比賽，規(guī)則如下：甲、乙每人投3球，進球多的一方獲得勝利，勝利1次，則獲得一個積分，平局或者輸方不得分.已知甲和乙每次進球的概率分別是和，且每人進球與否互不影響.(1)若，求乙在一輪比賽中獲得一個積分的概率；(2)若，且每輪比賽互不影響，乙要想至少獲得3個積分且每輪比賽至少要超甲2個球，從數(shù)學期望的角度分析，理論上至少要進行多少輪比新高考新結(jié)構命題下的概率統(tǒng)計解答題綜合訓練（9類核心考點精講精練）在新課標、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推進。這不僅僅是一場考試形式的變革，更是對教育模式和教育理念的全面革新。當前的高考試題設計，以“三維”減量增質(zhì)為核心理念，力求在減少題目數(shù)量的同時，提升題目的質(zhì)量和考查的深度。這具體體現(xiàn)在以下三個方面：三考題目設計著重考查學生的知識主干、學習能力和學科素養(yǎng)，確保試題能夠全面、客觀地反映學生的實際水平。三重強調(diào)對學生思維深度、創(chuàng)新精神和實際應用能力的考查，鼓勵學生不拘泥于傳統(tǒng)模式，展現(xiàn)個人的獨特見解和創(chuàng)造力。三突出試題特別突出對學生思維過程、思維方法和創(chuàng)新能力的考查，通過精心設計的題目，引導學生深入思考和探索，培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力。面對新高考新結(jié)構試卷的5個解答題，每個題目的考查焦點皆充滿變數(shù)，無法提前預知。概率統(tǒng)計版塊作為一個重要的考查領域，其身影可能悄然出現(xiàn)在第15題中，作為一道13分的題目，難度相對較為適中，易于學生入手。同樣不能忽視的是，概率統(tǒng)計版塊也可能被置于第18、19題這樣的壓軸大題中，此時的分值將提升至17分，挑戰(zhàn)學生的解題能力和思維深度，難度自然相應加大。面對如此多變的命題趨勢，教師在教學備考過程中必須與時俱進。不僅要深入掌握不同題目位置可能涉及的知識點及其命題方式，更要能夠靈活應對，根據(jù)試題的實際情況調(diào)整教學策略。本文基于新高考新結(jié)構試卷的特點，結(jié)合具體的概率統(tǒng)計解答題實例，旨在為廣大師生提供一份詳盡的概率統(tǒng)計解答題綜合訓練指南，以期在新高考中取得更好的成績?？键c一、條件概率1．（2024·江蘇·模擬預測）某設備由相互獨立的甲?乙兩個部件組成，若兩個部件同時出現(xiàn)故障，則設備停止運轉(zhuǎn)；若有且只有一個部件出現(xiàn)故障，則設備出現(xiàn)異常.在一個生產(chǎn)周期內(nèi)，甲部件出現(xiàn)故障的概率為，乙部件出現(xiàn)故障的概率為.甲部件出現(xiàn)故障，檢修費用為3千元；乙部件出現(xiàn)故障，檢修費用為2千元，在一個生產(chǎn)周期內(nèi)，甲?乙兩個部件至多各出現(xiàn)一次故障.(1)試估算一個生產(chǎn)周期內(nèi)的平均檢修費用；(2)求在設備出現(xiàn)異常的情況下，甲部件出現(xiàn)故障的概率.【答案】(1)千元(2)【分析】（1）由題意知，設一個周期內(nèi)檢修費用為，取值為，依次求出相應的概率，再利用期望公式計算，即可得到答案；（2）由條件概率公式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）一個周期內(nèi)檢修費用的所有可能取值為.一個周期內(nèi)的平均檢修費用千元.（2）記設備出現(xiàn)異常為事件，甲部件出現(xiàn)故障為事件.2．（2024·遼寧·一模）某植物園種植一種觀賞花卉，這種觀賞花卉的高度(單位：cm)介于之間，現(xiàn)對植物園部分該種觀賞花卉的高度進行測量，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示.(1)求的值;(2)以頻率估計概率，完成下列問題.(i)若從所有花卉中隨機抽株，記高度在內(nèi)的株數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望；(ii)若在所有花卉中隨機抽取3株，求至少有2株高度在的條件下，至多1株高度低于的概率.【答案】(1)(2)(i)分布列見解析，；(ii)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為得到方程，解得即可；（2）(i)依題意可得，根據(jù)二項分布的概率公式求出分布列與數(shù)學期望；(ii)利用條件概率的概率公式計算可得.【詳解】（1）依題意可得，解得；（2）(i)由（1）可得高度在的頻率為，所以，所以，，，，，所以的分布列為：所以；(ii)在歐陽花卉中隨機抽取株，記至少有株高度在為事件，至多株高度低于為事件，則，，所以.3．（2022·全國·高考真題）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣（衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R．（?。┳C明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)答案見解析(2)（i）證明見解析；(ii)；【分析】(1)由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異；(2)(i)根據(jù)定義結(jié)合條件概率公式即可完成證明；(ii)根據(jù)（i）結(jié)合已知數(shù)據(jù)求.【詳解】（1）由已知，又，，所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異.（2）(i)因為，所以所以，(ii)由已知，，又，，所以4．（2024·廣東佛山·三模）隨著春季學期開學，某市市場監(jiān)管局加強了對學校食堂食品安全管理，助力推廣校園文明餐桌行動，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌”帶動“大文明”，同時踐行綠色發(fā)展理念．該市某中學有A，B兩個餐廳為老師與學生們提供午餐與晚餐服務，王同學、張老師兩人每天午餐和晚餐都在學校就餐，近一個月（30天）選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計如下：選擇餐廳情況（午餐，晚餐）王同學9天6天12天3天張老師6天6天6天12天假設王同學、張老師選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率．(1)估計一天中王同學午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；(2)記X為王同學、張老師在一天中就餐餐廳的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；(3)假設M表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學生去A餐廳就餐”，，已知推出優(yōu)惠套餐的情況下學生去該餐廳就餐的概率會比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明：．【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)證明見解析【分析】（1）運用古典概型求概率即可．（2）根據(jù)已知條件計算簡單離散型隨機變量的分布列及期望．（3）運用條件概率及概率加法公式計算可證明結(jié)果．【詳解】（1）設事件C為“一天中王同學午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐”，因為30天中王同學午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的天數(shù)為，所以．（2）由題意知，王同學午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率為0.3，王同學午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率為0.1，張老師午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率為0.2，張老師午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率為0.4，記X為王同學、張老師在一天中就餐餐廳的個數(shù)，則X的所有可能取值為1、2，所以，，所以X的分布列為X12P0.10.9所以X的數(shù)學期望（3）證明：由題知，所以，所以，所以，即：，所以，即.5．（2024·河南駐馬店·二模）某汽車銷售公司為了提升公司的業(yè)績，現(xiàn)將最近300個工作日每日的汽車銷售情況進行統(tǒng)計，如圖所示.

(1)求的值以及該公司這300個工作日每日汽車銷售量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)以頻率估計概率，若在所有工作日中隨機選擇4天，記汽車銷售量在區(qū)間內(nèi)的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望；(3)為增加銷售量，公司規(guī)定顧客每購買一輛汽車可以進行一次抽獎活動，規(guī)則如下：抽獎區(qū)有兩個盒子，其中盒中放有9張金卡?1張銀卡，盒中放有2張金卡?8張銀卡，顧客在不知情的情況下隨機選擇其中一個盒子進行抽獎，直到抽到金卡則抽獎結(jié)束（每次抽出一張卡，然后放回原來的盒中，再進行下次抽獎，中途可更換盒子），卡片結(jié)果的排列對應相應的禮品.已知顧客小明每次抽獎選擇兩個盒子的概率相同，求小明在首次抽獎抽出銀卡的條件下，第二次從另外一個盒子中抽獎抽出金卡的概率.【答案】(1)，150(2)分布列見解析，(3)【分析】（1）利用頻率分布直方圖中所有的矩形面積之和等于1求得值，根據(jù)平均數(shù)公式列式計算即得；（2）理解題意，判斷，分別計算的所有可能指的概率，列出分布列，計算數(shù)學期望即得；（3）根據(jù)條件概率的計算公式可求該概率.【詳解】（1）依題意得解得.所求平均數(shù)為.（2）因汽車銷售量在區(qū)間內(nèi)的概率為，在所有工作日中隨機選擇4天，相當于一個4重伯努利試驗，故，則，

01234故.（3）設為“小明在首次抽獎抽出銀卡”，則，設為“小明第二次從另外一個盒子中抽獎抽出金卡”，則，故.【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查頻率分布直方圖，二項分布以及條件概率公式的應用，屬于較難題.解題關鍵在于根據(jù)題設條件，確定伯努利概型并進行計算，設出相應的事件，正確理解題意，利用條件概率公式計算.考點二、全概率公式與貝葉斯公式1．（2023·河南·三模）某學校安排甲、乙、丙三個班級同時到學校禮堂參加聯(lián)歡晚會，已知甲班藝術生占比8%，乙班藝術生占比6%，丙班藝術生占比5%．學生自由選擇座位，先到者先選．甲、乙、丙三個班人數(shù)分別占總?cè)藬?shù)的，，．若主持人隨機從場下學生中選一人參與互動．(1)求選到的學生是藝術生的概率；(2)如果選到的學生是藝術生，判斷其來自哪個班的可能性最大．【答案】(1)(2)來自丙班的可能性最大【分析】（1）依據(jù)題意根據(jù)全概率公式計算即可；（2）根據(jù)條件概率公式分別計算，即可判斷.【詳解】（1）設“任選一名學生恰好是藝術生”，“所選學生來自甲班”，“所選學生來自乙班”,“所選學生來自丙班”．由題可知：，，，，，

.（2）；

所以其來自丙班的可能性最高．2．（2024·福建廈門·模擬預測）甲箱裝有2個黑球和4個白球，乙箱裝有2個黑球和3個白球，這些球除顏色外完全相同.某人先從兩個箱子中任選一個箱子，再從中隨機摸出一球.(1)求摸出的球是黑球的概率；(2)若已知摸出的球是黑球，用概率公式判斷該球取自哪個箱子的可能性更大.【答案】(1)(2)該球取自乙箱的可能性更大【分析】（1）由條件概率的定義，分別求出從甲箱摸出的球是黑球的概率和從乙箱摸出的球是黑球的概率，然后由全概率公式，即可得答案.（2）根據(jù)貝葉斯公式，分別求出摸出的黑球是取自甲箱和取自乙箱的概率，比較其大小，即可得到答案.【詳解】（1）記事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，則，，，由全概率公式得：.（2）該球取自乙箱的可能性更大，理由如下：該球是取自甲箱的概率，該球取自乙箱的概率，因為，所以該球取自乙箱的可能性更大.3．（2024·新疆·二模）某人工智能研究實驗室開發(fā)出一款全新聊天機器人棋型，它能夠通過學習和理解人類的語言來進行對話．聊天機器人棋型的開發(fā)主要采用RLHF（人類反饋強化學習）技術，在測試它時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則它的回答被采納的概率為90%，當出現(xiàn)語法錯誤時，它的回答被采納的概率為.(1)在某次測試中輸入了7個問題，聊天機器人棋型的回答有5個被采納，現(xiàn)從這7個問題中抽取4個，以表示抽取的問題中回答被采納的問題個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；(2)設輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為，若聊天機器人棋型的回答被采納的概率為，求的值．【答案】(1)分布列見解析，E(2)【分析】（1）求出隨機變量的所有取值以及每一個值發(fā)生的概率即可得的分布列，再根據(jù)數(shù)學期望的公式即可計算得解的數(shù)學期望.（2）記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A，“輸入的問題有語法錯誤”為事件B，“回答被采納”為事件，進而由已知以及全概率公式PC=P【詳解】（1）由題可知的所有取值為2，3，4，且服從超幾何分布，Pξ=2=C52故的分布列為：234則Eξ（2）記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A，記“輸入的問題有語法錯誤”為事件B，記“回答被采納”為事件，由已知得，PC=0.8，PC|A=0.9，PC|B所以由全概率公式得PC解得．4．（23-24高二下·福建南平·階段練習）某運動隊為評估短跑運動員在接力賽中的作用，對運動員進行數(shù)據(jù)分析.運動員甲在接力賽中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四個位置，統(tǒng)計以往多場比賽，其出場率與出場時比賽獲勝率如下表所示.比賽位置第一棒第二棒第三棒第四棒出場率0.30.20.2.0.3比賽勝率0.60.80.70.7(1)當甲出場比賽時，求該運動隊獲勝的概率.(2)當甲出場比賽時，在該運動隊獲勝的條件下，求甲跑第一棒的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可得出答案.（2）根據(jù)條件概率的計算公式即可求解.【詳解】（1）記“甲跑第一棒”為事件，“甲跑第二棒”為事件，“甲跑第三棒”為事件，“甲跑第四棒”為事件，“運動隊獲勝”為事件，則，所以當甲出場比賽時，求該運動隊獲勝的概率為；（2），所以當甲出場比賽時，在該運動隊獲勝的條件下，甲跑第一棒的概率為.5．（2024·遼寧·三模）隨著中國科技的進步，涌現(xiàn)了一批高科技企業(yè)，也相應產(chǎn)生了一批高科技產(chǎn)品，在城市，生產(chǎn)某高科技產(chǎn)品的本地企業(yè)有甲?乙兩個，城市的高科技產(chǎn)品的企業(yè)市場占有率和指標的優(yōu)秀率如下表：市場占有率指標的優(yōu)秀率企業(yè)甲企業(yè)乙其它(1)從城市的高科技產(chǎn)品的市場中隨機選一件產(chǎn)品，求所選產(chǎn)品的指標為優(yōu)秀的概率；(2)從城市的高科技產(chǎn)品的市場中隨機選一件產(chǎn)品，若已知所選產(chǎn)品的指標為優(yōu)秀，求該產(chǎn)品是產(chǎn)自企業(yè)甲的概率；(3)從城市的高科技產(chǎn)品的市場中依次取出6件指標為優(yōu)秀的產(chǎn)品，若已知6件產(chǎn)品中恰有4件產(chǎn)品產(chǎn)自企業(yè)甲，記離散型隨機變量表示這6件產(chǎn)品中產(chǎn)自企業(yè)乙的件數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.【答案】(1)(2)(3)分布列見解析，【分析】（1）利用全概率公式計算可得；（2）利用條件概率的概率公式計算可得；（3）首先求出，，依題意可得的可能取值為、、，求出所對應的概率，即可得到分布列與數(shù)學期望.【詳解】（1）記事件、、分別為所選產(chǎn)品來自企業(yè)甲、企業(yè)乙、其它，記事件表示所選產(chǎn)品的指標為優(yōu)秀，則，即所選產(chǎn)品的指標為優(yōu)秀的概率.（2）由（1）可得，即若已知所選產(chǎn)品的指標為優(yōu)秀，則該產(chǎn)品是產(chǎn)自企業(yè)甲的概率為.（3）由（1）可知，，，依題意的可能取值為、、，所以，，，所以的分布列為：所以.6．（2024·安徽·模擬預測）現(xiàn)需要抽取甲?乙兩個箱子的商品，檢驗其是否合格.其中甲箱中有9個正品和1個次品；乙箱中有8個正品和2個次品.從這兩個箱子中隨機選擇一個箱子，再從該箱中等可能抽出一個商品，稱為首次檢驗.將首次檢驗的商品放回原來的箱子，再進行二次檢驗，若兩次檢驗都為正品，則通過檢驗.首次檢驗選到甲箱或乙箱的概率均為.(1)求首次檢驗抽到合格產(chǎn)品的概率；(2)在首次檢驗抽到合格產(chǎn)品的條件下，求首次檢驗選到的箱子為甲箱的概率；(3)將首次檢驗抽出的合格產(chǎn)品放回原來的箱子，繼續(xù)進行二次檢驗時有如下兩種方案：方案一，從首次檢驗選到的箱子中抽??；方案二，從另外一個箱子中抽取.比較兩個方案，哪個方案檢驗通過的概率大.【答案】(1)(2)(3)方案一【分析】（1）按照條件概率的計算公式即可得出答案；（2）按照貝葉斯逆向概率公式代入即可求解；（3）由前面的小問得出的結(jié)論分別計算兩種方案在二次檢驗抽到合格品的概率，比較大小，從而選擇決策方案.【詳解】（1）將首次檢驗選到甲箱記為事件，選到乙箱記為事件，首次檢驗抽到合格品記為事件.則首次檢驗抽到合格品的概率.（2）在首次抽到合格品的條件下，首次抽到甲箱的概率.（3）將二次檢驗抽到合格品記為事件.由上一小問可知，在首次抽到合格品的條件下，首次抽到甲箱的概率，則在首次抽到合格品的條件下，首次抽到乙箱的概率..從而，在首次檢驗通過，即事件發(fā)生的條件下：①若選擇方案一，則，.故此條件下在二次檢驗抽到合格品的概率.所以在方案一下，檢驗通過的概率；②若選擇方案二，則，.故此條件下在二次檢驗抽到合格品的概率.所以在方案二下，檢驗通過的概率.而，故選擇方案一檢驗通過的概率更大.考點三、二項分布1．（2024·山東棗莊·模擬預測）在一個袋子中有若干紅球和白球（除顏色外均相同），袋中紅球數(shù)占總球數(shù)的比例為．(1)若有放回摸球，摸到紅球時停止．在第次沒有摸到紅球的條件下，求第3次也沒有摸到紅球的概率；(2)某同學不知道比例，為估計的值，設計了如下兩種方案：方案一：從袋中進行有放回摸球，摸出紅球或摸球次停止．方案二：從袋中進行有放回摸球次．分別求兩個方案紅球出現(xiàn)頻率的數(shù)學期望，并以數(shù)學期望為依據(jù)，分析哪個方案估計的值更合理．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）設事件“第2次沒有摸到紅球”，事件“第3次也沒有摸到紅球”，根據(jù)條件概率公式計算可得；（2）記“方案一”中紅球出現(xiàn)的頻率用隨機變量表示，的可能取值為，求出所對應的概率，即可得到分布列與數(shù)學期望，“方案二”中紅球出現(xiàn)的頻率用隨機變量表示，則，由二項分布的概率公式得到分布列，即可求出期望，再判斷即可.【詳解】（1）設事件“第2次沒有摸到紅球”，事件“第3次也沒有摸到紅球”，則，，所以；（2）“方案一”中紅球出現(xiàn)的頻率用隨機變量表示，則的可能取值為：，且，，，，，，所以的分布列為：01則，“方案二”中紅球出現(xiàn)的頻率用隨機變量表示，因為，所以的分布列為：，即的分布列為：01所以，則，因為，，所以“方案二”估計的值更合理.2．（2024·安徽·模擬預測）某學校組織一場由老師與學生進行的智力問題比賽，最終由小明同學和唐老師入圍決賽，決賽規(guī)則如下：①學生：回答n個問題，每個問題小明回答正確的概率均為；若小明回答錯誤，可以行使學生權益，即可以進行場外求助，由場外同學小亮幫助答題，且小亮每個問題回答正確的概率均為.②教師：回答個問題，每個問題唐老師回答正確的概率均為.假設每道題目答對與否相互獨立，最終答對題目多的一方獲勝.(1)若，，記小明同學答對問題（含場外求助答對題數(shù)）的數(shù)量為X，求X的分布列及數(shù)學期望：(2)若，且小明同學獲勝的概率不小于，求p的最小值.【答案】(1)分布列見解析，；(2).【分析】（1）求出小明答每個問題，回答正確的概率，再利用二項分布求出分布列及期望.（2）求出小明答對1個、2個試題的概率，唐老師答對0個、1個試題的概率，再把小明獲勝的事件分拆成互斥事件的和，即可求出概率.【詳解】（1）小明同學答每個問題，回答正確的概率，的所有可能取值為，顯然，則，，，，則的分布列為0123數(shù)學期望.（2）記事件為小明同學答對了道題，事件為唐老師答對了道題，，，其中小明同學答對某道題的概率為，答錯某道題的概率為，則，，，，所以小明同學獲勝的概率為，解得，所以的最小值為.3．（2024·河北·三模）某學校的數(shù)學興趣小組對學校學生的冰雪運動情況進行調(diào)研，發(fā)現(xiàn)約有的學生喜歡滑雪運動．從這些被調(diào)研的學生中隨機抽取3人進行調(diào)查，假設每個學生被選到的可能性相等．(1)記表示喜歡滑雪運動的人數(shù)，求的數(shù)學期望．(2)若該數(shù)學興趣小組計劃在全校學生中抽選一名喜歡滑雪運動的學生進行訪談．抽選規(guī)則如下：在全校學生中隨機抽選一名學生，如果該學生喜歡滑雪運動，就不再抽選其他學生，結(jié)束抽選活動；如果該學生不喜歡滑雪運動，則繼續(xù)隨機抽選，直到抽選到一名喜歡滑雪運動的學生為止，結(jié)束抽選活動．并且規(guī)定抽取的次數(shù)不超過次，其中小于當次調(diào)查的總?cè)藬?shù)．設在抽選活動結(jié)束時，抽到不喜歡滑雪運動的學生的人數(shù)為，求抽到名學生不喜歡滑雪運動的概率．【答案】(1)．(2)【分析】（1）由題意服從二項分布，由二項分布期望公式直接可得解；（2）由題意可知，時，前次取到是不愛好滑雪的人，第次取到愛好滑雪得的人，利用獨立事件的乘法公式求解，當時，取到的所以人都不愛好滑雪，活動結(jié)束.【詳解】（1）由題意，，，.（2）由題意，的可能取值為，，，，，，，綜上，.4．（2024·北京西城·三模）根據(jù)2024城市魅力排行榜，一線城市4個，分別為：上海、北京、深圳、廣州；新一線城市15個，分別為：成都、杭州、重慶、蘇州、武漢、西安、南京、長沙、天津、鄭州、東莞、無錫、寧波、青島、合肥.其中城區(qū)常住人口超過一千萬的超大城市10個，分別為：上海、北京、深圳、重慶、廣州、成都、天津、東莞、武漢、杭州.(1)從10個超大城市中隨機抽取一座城市，求該城市是一線城市的概率；(2)從10個超大城市按不可放回抽樣的方式隨機抽取3個城市，隨機變量X表示新一線城市的數(shù)量，求隨機變量X的分布列和期望；(3)從10個超大城市中按可放回抽樣的方式隨機抽取3個城市，隨機變量Y表示新一線城市的數(shù)量，比較E（X）與E（Y）的大小關系.（直接寫出結(jié)果）【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)【分析】（1）根據(jù)古典概型直接求概率；（2）根據(jù)超幾何分布求得X取值對應的概率，得到分布列和期望；（3），運用二項分布期望公式求得，即可得到二者相等.【詳解】（1）10個超大城市中包含4個一線城市，所以從10個超大城市中隨機抽取一座城市，該城市是一線城市的概率為.（2）10個超大城市中包含6個新一線城市，X所有可能的取值為：.；；；.所以X的分布列為：X0123P.（3）理由如下：從10個超大城市中按可放回抽樣的方式隨機抽取3個城市，隨機變量，，所以.5．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）甲、乙兩同學進行射擊比賽，已知甲射擊一次命中的概率為，乙射擊一次命中的概率為，比賽共進行輪次，且每次射擊結(jié)果相互獨立，現(xiàn)有兩種比賽方案，方案一：射擊次，每次命中得2分，未命中得0分；方案二：從第一次射擊開始，若本次命中，則得6分，并繼續(xù)射擊；若本次未命中，則得0分，并終止射擊．(1)設甲同學在方案一中射擊輪次總得分為隨機變量是，求；(2)甲、乙同學分別選取方案一、方案二進行比賽，試確定的最小值，使得當時，甲的總得分期望大于乙．【答案】(1)20(2)12【分析】（1）由已知設，則服從二項分布，根據(jù)二項分布期望的公式和期望的性質(zhì)求解即可；（2）設乙同學的總得分為隨機變量，寫出的所有可能取值，并計算相應的概率，并求解，利用設，求解的最小值即可.【詳解】（1）設，故，所以，故；（2）由（1）知，設乙同學的總得分為隨機變量，的所有可能取值為，，，，，所以，，，，，，，所以，設，則，故，即，代入，故，設，易知，當時，，且，則滿足題意的最小為12.【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查概率的綜合問題，方案一利用二項分布求期望，方案二的期望表達式與數(shù)列知識結(jié)合，通過變形轉(zhuǎn)化為錯位相減法求和問題，再利用作差法求解.6．（2024·河南駐馬店·二模）某汽車銷售公司為了提升公司的業(yè)績，現(xiàn)將最近300個工作日每日的汽車銷售情況進行統(tǒng)計，如圖所示.

(1)求的值以及該公司這300個工作日每日汽車銷售量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)以頻率估計概率，若在所有工作日中隨機選擇4天，記汽車銷售量在區(qū)間內(nèi)的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望；(3)為增加銷售量，公司規(guī)定顧客每購買一輛汽車可以進行一次抽獎活動，規(guī)則如下：抽獎區(qū)有兩個盒子，其中盒中放有9張金卡?1張銀卡，盒中放有2張金卡?8張銀卡，顧客在不知情的情況下隨機選擇其中一個盒子進行抽獎，直到抽到金卡則抽獎結(jié)束（每次抽出一張卡，然后放回原來的盒中，再進行下次抽獎，中途可更換盒子），卡片結(jié)果的排列對應相應的禮品.已知顧客小明每次抽獎選擇兩個盒子的概率相同，求小明在首次抽獎抽出銀卡的條件下，第二次從另外一個盒子中抽獎抽出金卡的概率.【答案】(1)，150(2)分布列見解析，(3)【分析】（1）利用頻率分布直方圖中所有的矩形面積之和等于1求得值，根據(jù)平均數(shù)公式列式計算即得；（2）理解題意，判斷，分別計算的所有可能指的概率，列出分布列，計算數(shù)學期望即得；（3）根據(jù)條件概率的計算公式可求該概率.【詳解】（1）依題意得解得.所求平均數(shù)為.（2）因汽車銷售量在區(qū)間內(nèi)的概率為，在所有工作日中隨機選擇4天，相當于一個4重伯努利試驗，故，則，

01234故.（3）設為“小明在首次抽獎抽出銀卡”，則，設為“小明第二次從另外一個盒子中抽獎抽出金卡”，則，故.【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查頻率分布直方圖，二項分布以及條件概率公式的應用，屬于較難題.解題關鍵在于根據(jù)題設條件，確定伯努利概型并進行計算，設出相應的事件，正確理解題意，利用條件概率公式計算.考點四、超幾何分布1．（2024·上海長寧·二模）盒子中裝有大小和質(zhì)地相同的6個紅球和3個白球；(1)從盒子中隨機抽取出1個球，觀察其顏色后放回，并同時放入與其顏色相同的球3個，然后再從盒子隨機取出1個球，求第二次取出的球是紅球的概率；(2)從盒子中不放回地依次隨機取出2個球，設2個球中紅球的個數(shù)為，求的分布、期望與方差；【答案】(1)(2)分布見解析，期望【分析】（1）由獨立乘法公式、互斥加法公式即可運算求解古典概型概率；（2）的所有可能取值為0，1，2，它服從超幾何分布，結(jié)合超幾何分布概率的求法求得相應的概率進而可得的分布，結(jié)合期望、方差計算公式即可求解.【詳解】（1）第一次取出紅球的概率為，取出白球的概率為，第一次取出紅球，第二次取出紅球的概率為，第一次取出白球，第二次取出紅球的概率為，所有第二次取出的球是紅球的概率為；（2）的所有可能取值為0，1，2，，所以的分布為，它的期望為，它的方差為.2．（2023·陜西榆林·模擬預測）某校體育節(jié)組織比賽，需要志愿者參加服務的項目有：60米袋鼠跳、100米、200米、1500米、3000米、4×100米接力．(1)志愿者小明同學可以在6個項目中選擇3個項目參加服務，求小明在選擇60米袋鼠跳服務的條件下，選擇3000米服務的概率；(2)為了調(diào)查志愿者選擇服務項目的情況，從志愿者中抽取了15名同學，其中有9名首選100米，6名首選4×100米接力．現(xiàn)從這15名同學中再選3名同學做進一步調(diào)查．將其中首選4×100米接力的人數(shù)記作X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．【答案】(1)；(2)分布列見詳解，.【分析】（1）小明選擇60米袋鼠跳服務為事件，小明選擇3000米服務為事件，利用組合知識和古典概型概率公式求出，然后由條件概率公式可得；（2）根據(jù)超幾何分布概率公式計算可得分布列，再由期望公式可得數(shù)學期望.【詳解】（1）記小明選擇60米袋鼠跳服務為事件，小明選擇3000米服務為事件，則，，所以，即小明在選擇60米袋鼠跳服務的條件下，選擇3000米服務的概率為.（2）由題知，的所有可能取值為，由超幾何分布概率公式得：，.得隨機變量X的分布列為：0123所以.3．（2024·河南信陽·模擬預測）袋中有8個除顏色外完全相同的小球，其中1個黑球，3個白球，4個紅球.(1)若從袋中一次性取出兩個小球，即取到的紅球個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；(2)若從袋中不放回的取3