2024-2025學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知直線方程為，則該直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.等差數(shù)列的首項為1，公差不為0，若，，成等比數(shù)列，則（）A.15 B.－15 C.－13 D.133.如果數(shù)列的前n項和滿足：，那么的值為（）A.38 B.39 C.40 D.414.設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則等于（）A. B. C.11 D.95.過點的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）A. B.C.或 D.或6.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，，則取最小值時，的值為（）A. B. C. D.或7.記為數(shù)列的前n項積，已知，則（）A.23 B.24 C.25 D.268.設(shè)等比數(shù)列前n項和為，且，，則的最大值為（）A.32 B.16 C.128 D.64二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分．部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.下列結(jié)論正確的有（）A.直線恒過定點B.直線的傾斜角的取值范圍是C.經(jīng)過點，直線方程均可用表示D.直線和都經(jīng)過點，則過兩點，的直線方程為10.已知等差數(shù)列和的前n項和分別為和，且，，則下列結(jié)論正確的有（）A.數(shù)列是遞增數(shù)列 B.C.使為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)為0 D.的最小值為11.數(shù)列an前n項和為，且滿足，，則（）A. B.C. D.數(shù)列前項和為三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.若平面內(nèi)三點，，共線，則實數(shù)______．13.已知是等差數(shù)列，是其前n項和，若，，則的值是______．14.如圖，將一個邊長為1的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖（2），如此繼續(xù)下去，得圖（3）…，記為第n個圖形的周長，記為第n個圖形的面積，則______，______．四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.設(shè)m為實數(shù)，直線在x軸、y軸上截距之和等于1，且與x軸的交點記作A．（1）求點A坐標(biāo)；（2）直線過點A且傾斜角是直線傾斜角的2倍，求直線的方程16.已知等差數(shù)列an的前項和為，且，（1）求數(shù)列an（2）設(shè)，求數(shù)列bn的前項和．17.設(shè)正項數(shù)列的前n項和為，且，當(dāng)時，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的前n項和.18已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，（1）求數(shù)列通項公式；（2）設(shè)，求；（3）對于（2）中的，若存在，使得成立，求實數(shù)k的最大值．19.記為數(shù)列的前n項和，已知，是公差為的等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：；（3）令，數(shù)列的前n項和為，設(shè)，記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前50項和．2024-2025學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知直線方程為，則該直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】把直線的一般式方程化為斜截式方程，然后根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系進行求解即可.【詳解】，由此可知該直線的斜率為，所以直線的傾斜角為，故選：A2.等差數(shù)列的首項為1，公差不為0，若，，成等比數(shù)列，則（）A.15 B.－15 C.－13 D.13【正確答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式進行求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，因為，，成等比數(shù)列，所以有，或舍去，，故選：C3.如果數(shù)列的前n項和滿足：，那么的值為（）A.38 B.39 C.40 D.41【正確答案】B【分析】根據(jù)與之間的關(guān)系進行求解即可.【詳解】因為，所以，故選：B4.設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則等于（）A. B. C.11 D.9【正確答案】C【分析】由定比數(shù)列的項之間的性質(zhì)求出的值，再用等比中項知道，從而計算出結(jié)果.【詳解】∵，∴，∴∴故選：C5.過點的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）A B.C.或 D.或【正確答案】D【分析】在用截距式求直線方程時需要討論解決是否為0，截距為0則過原點；截距不為0用截距式設(shè)出方程后帶點即可.【詳解】設(shè)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為：，，則①，則直線過原點，則直線方程為：②則，則設(shè)直線方程為：，即，則，∴直線方程為：綜上所述：該直線方程為或故選：D6.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，，則取最小值時，的值為（）A. B. C. D.或【正確答案】D【分析】由題意按等差數(shù)列的通項公式及求和公式列出含和的方程組，解出和，再利用求和公式寫出，進而求出取最小值時的值即可.【詳解】由題意知：，則，解得，所以，所以當(dāng)或時，取最小值.故選：D.7.記為數(shù)列的前n項積，已知，則（）A.23 B.24 C.25 D.26【正確答案】C【分析】當(dāng)時，由可得，進一步可得數(shù)列是等差數(shù)列，并求得其通項公式，即可求出；【詳解】因為為數(shù)列an的前n項積，當(dāng)時，，所以，∴，當(dāng)時，，所以，化簡可得：，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以.所以.故選：C.8.設(shè)等比數(shù)列前n項和為，且，，則的最大值為（）A.32 B.16 C.128 D.64【正確答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式，結(jié)合【詳解】設(shè)該等比數(shù)列的公比為，因為，所以，由，，即，顯然當(dāng)，或時，最大，最大值為，故選：D關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是要根據(jù)指數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進行求解.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分．部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.下列結(jié)論正確的有（）A.直線恒過定點B.直線的傾斜角的取值范圍是C.經(jīng)過點，的直線方程均可用表示D.直線和都經(jīng)過點，則過兩點，的直線方程為【正確答案】ACD【分析】對于A：將直線方程化為點斜式方程即可判斷；對于B：首先求出斜率范圍，進而得到傾斜角范圍；對于C：利用兩點式即可判斷；對于D：將點代入兩個方程分析兩個方程的即可判斷.【詳解】對于A，直線，即，直線恒過定點，故A正確；對于B，直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則,所以，故B錯誤；對于C，經(jīng)過點，的直線方程均可用表示，故C正確；對于D，直線和都經(jīng)過點，則所以點，的直線方程為上，故D正確.故選：ACD.10.已知等差數(shù)列和的前n項和分別為和，且，，則下列結(jié)論正確的有（）A.數(shù)列是遞增數(shù)列 B.C.使為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)為0 D.的最小值為【正確答案】ACD【分析】化簡已知等式由函數(shù)的單調(diào)性可得A正確；取反例結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可得B錯誤；化簡已知等式可得C正確；結(jié)合等差數(shù)列的求和公式判斷為遞增數(shù)列，再討論的取值可得D正確；【詳解】對于A，，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故A正確；對于B，若，則，，所以，故B錯誤；對于C，由可知無整數(shù)，故C正確；對于D，因為an和bn是等差數(shù)列，且前n項和分別為和，所以為遞增，所以也為遞增，所以最小值為時，為，故D正確；故選：ACD.11.數(shù)列an前n項和為，且滿足，，則（）A. B.C. D.數(shù)列的前項和為【正確答案】ABD【分析】A選項直接由遞推關(guān)系式即可求出；B選項由即可判斷；C,D選項由分組求和及等比數(shù)列求和公式即可判斷.【詳解】對于A：，正確；對于B:，有，兩式相加，得，又，所以，為偶數(shù)由，得：，也即，為奇數(shù)，所以，正確；對于C:由B可知：，則，錯誤對于D：數(shù)列的前項和記為，，正確故選：ABD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.若平面內(nèi)三點，，共線，則實數(shù)______．【正確答案】-1或0或3【分析】由向量共線的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】，，因為三點，，共線，所以,解得：，或，或故-1或0或313.已知是等差數(shù)列，是其前n項和，若，，則的值是______．【正確答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式列式求解首項和公差，然后代入通項公式求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題意可得，解得，則故14.如圖，將一個邊長為1的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖（2），如此繼續(xù)下去，得圖（3）…，記為第n個圖形的周長，記為第n個圖形的面積，則______，______．【正確答案】①.②.【分析】根據(jù)等邊三角形的面積公式，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式進行求解即可.【詳解】設(shè)第個圖形的邊長為由題意知，從第2個圖形開始，每一個圖形邊長均為上一圖形邊長的，即，bn是一個以1為首項，為公比的等比數(shù)列從第2個圖形開始，每一個圖形的邊數(shù)都是上一個圖形邊數(shù)的4倍，第個圖形邊數(shù)為：，設(shè)第個圖形的周長為：；（2）設(shè)第個圖形的面積為，則故第個圖形的面積為.故；關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是從邊數(shù)的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的前項和公式進行求解.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.設(shè)m為實數(shù)，直線在x軸、y軸上截距之和等于1，且與x軸的交點記作A．（1）求點A的坐標(biāo)；（2）直線過點A且傾斜角是直線傾斜角的2倍，求直線的方程【正確答案】（1）（2）【分析】（1）把直線一般式化為截距式方程，結(jié)合題意進行求解即可；（2）根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合二倍角的正切公式、直線的點斜式方程進行求解即可.【小問1詳解】因為，所以由，由題意可知：，因為，所以點A的坐標(biāo)為；【小問2詳解】由（1）可知，所以有直線，設(shè)直線傾斜角為，則有，所以直線的傾斜角為，設(shè)直線的斜率為，則有，所以直線直線的方程為.16.已知等差數(shù)列an的前項和為，且，（1）求數(shù)列an（2）設(shè)，求數(shù)列bn的前項和．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由，求得，再由，得到，求得，進而求得數(shù)列an的通項公式；（2）由（1），利用等差數(shù)列的求和公式，求得,令，得到時，，時，，根據(jù)，分類討論，即可求解.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為，因為，可得，所以，又因為，所以，所以，所以數(shù)列an的通項公式為.【小問2詳解】解：由（1）知，，可得,令，即，解得，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，因為，且數(shù)列bn的前項和，當(dāng)時，；當(dāng)時，，綜上可得，數(shù)列bn的前項和.17.設(shè)正項數(shù)列的前n項和為，且，當(dāng)時，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的前n項和.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）先由題中條件，得到，推出數(shù)列是等差數(shù)列，得出，進而可求出數(shù)列的通項公式；（2）先由（1）的結(jié)果，結(jié)合（2）中條件，得到，利用等比數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，因為為正項數(shù)列的前n項和，且，所以，，因此，所以數(shù)列是以為首項，公差為1的等差數(shù)列，所以，則有，當(dāng)時，，又也適合，故數(shù)列的通項公式為；（2）當(dāng)時，得，所以；當(dāng)時，由①，得②，①②得，則有，可得數(shù)列的通項公式為所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，(符合上式)，故.關(guān)鍵點點睛：求解本題的關(guān)鍵在于利用題中條件，確定是等差數(shù)列，求出，利用與之間關(guān)系，即可求解.（求解時，要注意的范圍）.18.已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求；（3）對于（2）中的，若存在，使得成立，求實數(shù)k的最大值．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）通過取倒數(shù)法，利用構(gòu)造法，結(jié)合等比數(shù)列的定義進行求解即可；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，利用等比數(shù)列的前項和公式進行求解即可；（3）結(jié)合（2）條件，結(jié)合作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性，利用單調(diào)性進行求解即可.【小問1詳解】因為函數(shù)，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公比等比數(shù)列，則有；【小問2詳解】由（1）可知：，所以【小問3詳解】由（2）可知：，所以由，因為，所以由，設(shè)，由，由二次函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)時，函數(shù)是減函數(shù)，，，于是有時，，所以，，因此，存在，使得成立，則有，因此實數(shù)k的最大值.關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵利用作差法判斷函數(shù)的單調(diào)性進行求解.19.記為數(shù)列的前n項和，已知，是公差為的等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：；（3）令，數(shù)列前n項和為，設(shè)，記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前50項和．【正確答案】（1）