PAGE1-1．1.2集合的基本關(guān)系考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)子集、真子集的概念理解子集、真子集的概念，會(huì)用列舉法求有限集的全部子集數(shù)學(xué)抽象集合關(guān)系的判定能用符號(hào)和維恩圖表達(dá)集合間的關(guān)系，會(huì)推斷兩個(gè)集合間的關(guān)系數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理集合關(guān)系的應(yīng)用能依據(jù)集合的關(guān)系解決簡(jiǎn)潔的求參問(wèn)題邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P9－P13，思索以下問(wèn)題：1．集合與集合之間的關(guān)系有哪幾種？如何用符號(hào)表示這些關(guān)系？2．集合的子集是什么？真子集又是什么？如何用符號(hào)表示？3．集合相等的概念是什么？1．子集(1)概念：一般地，假如集合A的隨意一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A稱(chēng)為集合B的子集．(2)記法：A?B(或B?A)(3)讀法：A包含于B(或“B包含A”)(4)假如A不是B的子集，記作A?B(或B?A)，讀作“A不包含于B”(或“B不包含A”)．(5)性質(zhì)：A?A；??A.■名師點(diǎn)撥“集合A是集合B的子集”可以表述為：若x∈A，則x∈B.2．真子集(1)概念：一般地，假如集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A，那么集合A稱(chēng)為集合B的真子集．(2)記法：AB(或BA)(3)讀法：A真包含于B(或“B真包含A”)(4)性質(zhì)：對(duì)于集合A，B，C，①假如A?B，B?C，則A?C；②假如AB，BC，則AC.■名師點(diǎn)撥在真子集的定義中，AB首先要滿(mǎn)意A?B，其次至少有一個(gè)x∈B，但x?A.3．維恩圖假如用平面上一條封閉曲線(xiàn)的內(nèi)部來(lái)表示集合，這種示意圖通常稱(chēng)為維恩圖．■名師點(diǎn)撥表示集合的維恩圖的邊界是封閉曲線(xiàn)，它可以是圓、矩形，也可以是其他封閉曲線(xiàn)．4．集合的相等與子集的關(guān)系(1)一般地，假如集合A和集合B的元素完全相同，則稱(chēng)集合A與集合B相等，記作A＝B，讀作“A等于B”．(2)由集合相等以及子集的定義可知：假如A?B且B?A，則A＝B；反之，假如A＝B，則A?B且B?A．■名師點(diǎn)撥若兩集合相等，則兩集合所含元素完全相同，與元素的排列依次無(wú)關(guān)．推斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)“∈”“?”的意義是一樣的．()(2)空集是任何集合的真子集．()(3)若集合A是集合B的真子集，則集合B中必定存在元素不在集合A中．()(4)若a∈A，集合A是集合B的子集，則必定有a∈B.()(5){1，2，3}＝{3，2，1}．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√已知集合M＝{1}，N＝{1，2，3}，能夠精確表示集合M與N之間關(guān)系的是()A．M<N B．M∈NC．N?M D．MN答案：D已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等邊三角形}，則()A．A?B B．C?BC．D?C D．A?D解析：選B.因?yàn)榈妊苯侨切伪貫榈妊切?，所以C?B.已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，且A?B，則a＝________．解析：因?yàn)锳?B，所以a＋3＝1，即a＝－2.答案：－2集合間關(guān)系的推斷指出下列各對(duì)集合之間的關(guān)系：(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；(2)A＝(－1，4)，B＝(－∞，5)；(3)A＝{x|x是等邊三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．【解】(1)集合A的代表元素是數(shù)，集合B的代表元素是有序?qū)崝?shù)對(duì)，故A與B之間無(wú)包含關(guān)系．(2)用數(shù)軸表示區(qū)間A，B，如圖所示，由圖可知AB.(3)等邊三角形是三邊相等的三角形，等腰三角形是兩邊相等的三角形，故AB.(4)兩個(gè)集合都表示正奇數(shù)組成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.eq\a\vs4\al()1．能正確表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}關(guān)系的維恩圖是()解析：選B.解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得NM，其對(duì)應(yīng)的維恩圖如選項(xiàng)B所示．2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空：(1)A________B；(2)A________C；(3){2}________C；(4)2________C.解析：集合A為方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1，2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故(1)A＝B；(2)AC；(3){2}C；(4)2∈C.答案：(1)＝(2)(3)(4)∈子集、真子集的個(gè)數(shù)問(wèn)題(1)(2024·安慶檢測(cè))已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0<x<5}，則滿(mǎn)意條件ACB的集合C的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4(2)已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集個(gè)數(shù)為2的a的值為()A．－2 B．4C．0 D．以上答案都不是(3)若集合A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，則集合B的非空真子集的個(gè)數(shù)為()A．3 B．6C．7 D．8【解析】(1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}．由題意知B＝{1，2，3，4}，所以滿(mǎn)意條件的C可為{1，2，3}，{1，2，4}．(2)由題意知，集合A中只有1個(gè)元素，必有x2＝a只有一個(gè)解；若方程x2＝a只有一個(gè)解，必有a＝0.(3)由題意A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，可知B＝{6，8，12}，所以集合B的非空真子集的個(gè)數(shù)為23－2＝6.【答案】(1)B(2)C(3)B(變條件)若將本例(1)的條件改為{2，3}?C?{1，2，3，4，5}，試寫(xiě)出集合C的全部可能．解：當(dāng)C中含有兩個(gè)元素時(shí)，C為{2，3}；當(dāng)C中含有三個(gè)元素時(shí)，C為{2，3，1}，{2，3，4}，{2，3，5}；當(dāng)C中含有四個(gè)元素時(shí)，C為{2，3，1，4}，{2，3，1，5}，{2，3，4，5}；當(dāng)C中含有五個(gè)元素時(shí)，C為{2，3，1，4，5}，所以滿(mǎn)意條件的集合C為{2，3}，{2，3，1}{2，3，4}，{2，3，5}，{2，3，1，4}，{2，3，1，5}，{2，3，4，5}，{2，3，1，4，5}．eq\a\vs4\al()(1)求集合子集、真子集個(gè)數(shù)的3個(gè)步驟(2)與子集、真子集個(gè)數(shù)有關(guān)的4個(gè)結(jié)論假設(shè)集合A中含有n個(gè)元素，則有①A的子集的個(gè)數(shù)有2n個(gè)；②A的非空子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)；③A的真子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)；④A的非空真子集的個(gè)數(shù)有2n－2個(gè)．若集合A{1，2，3}，且A中至少含有一個(gè)奇數(shù)，則這樣的集合有________個(gè)．解析：若A中含有一個(gè)奇數(shù)，則A可能為{1}，{3}，{1，2}，{3，2}；若A中含有兩個(gè)奇數(shù)，則A＝{1，3}．答案：5集合相等(1)給出以下5組集合：①M(fèi)＝{(－5，3)}，N＝{－5，3}；②M＝{1，－3}，N＝{3，－1}；③M＝?，N＝{0}；④M＝{π}，N＝{3.1415}；⑤M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0}．其中是相等集合的有()A．1組 B．2組C．3組 D．4組(2)設(shè)集合M＝{1，x，y}，N＝{x，x2，xy}，且M＝N，則x2019＋y2018＝________．【解析】(1)對(duì)于①，M＝{(－5，3)}中只有一個(gè)元素(－5，3)，N＝{－5，3}中有兩個(gè)元素－5，3，故M，N不是相等集合；對(duì)于②，M＝{1，－3}，N＝{3，－1}，集合M和集合N中的元素不同，故M，N不是相等集合；對(duì)于③，M＝?，N＝{0}，M是空集，N中有一個(gè)元素0，故M，N不是相等集合；對(duì)于④，M＝{π}，N＝{3.1415}，M和N中各有一個(gè)元素，但元素不相同，故M，N不是相等集合；對(duì)于⑤，M和N都只有兩個(gè)元素1，2，所以M和N是相等集合．故選A.(2)因?yàn)镸＝N，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝1，,xy＝y(tǒng)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝y(tǒng)，,xy＝1.))由集合中元素的互異性，可知x≠1，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0))所以x2019＋y2018＝－1.【答案】(1)A(2)－1eq\a\vs4\al()(1)兩個(gè)集合是否相等，不能只從集合的形式上看，應(yīng)當(dāng)先確定這兩個(gè)集合的全部元素，再依據(jù)集合相等的定義進(jìn)行推斷．(2)依據(jù)集合相等求系數(shù)，應(yīng)從集合相等的概念入手，找尋兩個(gè)集合中元素之間的關(guān)系．首先分析一個(gè)集合中元素與另一個(gè)集合中哪個(gè)元素相等，共有幾種狀況，然后通過(guò)列方程(組)求解．當(dāng)集合中未知元素不止一個(gè)時(shí)，往往要分類(lèi)探討．求出參數(shù)值后要留意檢驗(yàn)是否滿(mǎn)意集合中元素的互異性．設(shè)a，b∈R，若集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，則a－b＝________．解析：因?yàn)閧1，a＋b，a}中含有元素0，a≠0，所以a＋b＝0，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))＝{0，－1，b}．由已知{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，得{1，0，a}＝{0，－1，b}，所以a＝－1，b＝1，所以a－b＝－2.答案：－2由集合間的包含關(guān)系求參數(shù)已知區(qū)間A＝[－3，4]，B＝(1，m)(m>1)，且B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．【解析】由于B?A，結(jié)合數(shù)軸分析可知，m≤4，又m>1，所以1<m≤4.【答案】1<m≤41．(變條件)本例若將“B＝(1，m)(m>1)”改為“B＝(1，m)”，其他條件不變，則實(shí)數(shù)m的取值范圍又是什么？解：若m≤1，則B＝?，滿(mǎn)意B?A.若m>1，則由例題解析可知1<m≤4.綜上可知m≤4.2．(變條件)本例若將“B＝(1，m)(m>1)”改為“B＝(2m－1，m＋1)”，其他條件不變，則實(shí)數(shù)m的取值范圍又是什么？解：因?yàn)锽?A，(1)當(dāng)B＝?時(shí)，m＋1≤2m－1，解得m≥2.(2)當(dāng)B≠?時(shí)，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3≤2m－1，,m＋1≤4，,2m－1＜m＋1，))解得－1≤m<2.綜上得m≥－1.eq\a\vs4\al()由集合間的包含關(guān)系求參數(shù)的方法(1)當(dāng)集合為不連續(xù)數(shù)集時(shí)，常依據(jù)集合包含關(guān)系的意義，建立方程求解，此時(shí)應(yīng)留意分類(lèi)探討；(2)當(dāng)集合為連續(xù)數(shù)集時(shí)，常借助數(shù)軸來(lái)建立不等關(guān)系求解，應(yīng)留意端點(diǎn)處是實(shí)點(diǎn)還是虛點(diǎn)．[留意](1)不能忽視集合為?的情形．(2)當(dāng)集合中含有字母參數(shù)時(shí)，一般須要分類(lèi)探討．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，BA，求m的值．解：A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}．因?yàn)锽A，所以B＝{－3}或B＝{2}或B＝?.當(dāng)B＝{－3}時(shí)，由m·(－3)＋1＝0，得m＝eq\f(1,3).當(dāng)B＝{2}時(shí)，由m·2＋1＝0，得m＝－eq\f(1,2).當(dāng)B＝?時(shí)，m＝0.綜上所述，m＝eq\f(1,3)或m＝－eq\f(1,2)或m＝0.1．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，則A與B之間的最適合的關(guān)系是()A．A?B B．A?BC．AB D．AB解析：選D.集合A是能被3整除的整數(shù)組成的集合，集合B是能被6整除的整數(shù)組成的集合，所以BA.2．滿(mǎn)意{a}?M{a，b，c，d}的集合M共有()A．6個(gè) B．7個(gè)C．8個(gè) D．15個(gè)解析：選B.依題意a∈M，且M{a，b，c，d}，因此M中必含有元素a，且可含有元素b，c，d中的0個(gè)、1個(gè)或2個(gè)，即M的個(gè)數(shù)等于集合{b，c，d}的真子集的個(gè)數(shù)，有23－1＝7(個(gè))．3．設(shè)集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，則實(shí)數(shù)x的值為_(kāi)_______，y的值為_(kāi)_______．解析：因?yàn)榧螦＝B，則x＝0或y＝0.①當(dāng)x＝0時(shí)，x2＝0，則B＝{0，0}，不滿(mǎn)意集合中元素的互異性，故舍去；②當(dāng)y＝0時(shí)，x＝x2，解得x＝0或x＝1，由①知x＝0應(yīng)舍去，故x＝1.綜上可知，x＝1，y＝0.答案：104．設(shè)集合A＝{1，3，a}，B＝{1，1－2a}，且B?A，則a的值為_(kāi)_______．解析：由題意得1－2a＝3或1－2a＝a，解得a＝－1或a＝eq\f(1,3).當(dāng)a＝－1時(shí)，A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}，符合條件．當(dāng)a＝eq\f(1,3)時(shí)，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，3，\f(1,3)))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,3)))，符合條件．所以a的值為－1或eq\f(1,3).答案：－1或eq\f(1,3)[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．(2024·衡水檢測(cè))已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{3，4，5，X}，若B?A，則X可以取的值為()A．1，2，3，4，5，6 B．1，2，3，4，6C．1，2，3，6 D．1，2，6解析：選D.由B?A和集合元素的互異性可知，X可以取的值為1，2，6.2．已知集合A＝{x|x2－9＝0}，則下列式子表示正確的有()①3∈A；②{－3}∈A；③??A；④{3，－3}?A.A．4個(gè) B．3個(gè)C．2個(gè) D．1個(gè)解析：選B.依據(jù)題意，集合A＝{x|x2－9＝0}＝{－3，3}，依次分析4個(gè)式子：對(duì)于①3∈A，3是集合A的元素，正確；②{－3}∈A，{－3}是集合，有{－3}?A，錯(cuò)誤；③??A，空集是任何集合的子集，正確；④{3，－3}?A，任何集合都是其本身的子集，正確．共有3個(gè)正確．3．已知a為給定的實(shí)數(shù)，那么集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，x∈R}的子集的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．4 D．不確定解析：選C.方程x2－3x－a2＋2＝0的根的判別式Δ＝1＋4a2>0，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以集合M有2個(gè)元素，所以集合M有22＝4個(gè)子集．4．已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,2)＋\f(1,4)，k∈Z))，N＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,4)＋\f(1,2)，))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(k∈Z)))，則()A．M＝NB．MNC．MND．M與N沒(méi)有相同元素解析：選C.因?yàn)閑q\f(k,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)(2k＋1)，eq\f(k,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)(k＋2)，當(dāng)k∈Z時(shí)，2k＋1是奇數(shù)，k＋2是整數(shù)，又奇數(shù)都是整數(shù)，且整數(shù)不都是奇數(shù)，所以MN.故選C.5．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q?P，則a的值是()A．1 B．－1C．1或－1 D．0，1或－1解析：選D.由題意，當(dāng)Q為空集時(shí)，a＝0，符合題意；當(dāng)Q不是空集時(shí)，由Q?P，得a＝1或a＝－1.所以a的值為0，1或－1.6．設(shè)集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M與P的關(guān)系為_(kāi)_______．解析：因?yàn)閤y>0，所以x，y同號(hào)，又x＋y<0，所以x<0，y<0，即集合M表示第三象限內(nèi)的點(diǎn)，而集合P也表示第三象限內(nèi)的點(diǎn)，故M＝P.答案：M＝P7．已知?{x|x2＋x＋a＝0}，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：因?yàn)?{x|x2＋x＋a＝0}，所以方程x2＋x＋a＝0有實(shí)數(shù)根，即Δ＝1－4a≥0，a≤eq\f(1,4).答案：a≤eq\f(1,4)8．設(shè)區(qū)間A＝(－1，3]，B＝(a，＋∞)，若AB，則a的取值范圍是________．解析：區(qū)間A，B在數(shù)軸上表示如圖，由AB可求得a≤－1，留意端點(diǎn)能否取到是正確求解的關(guān)鍵．答案：a≤－19．推斷下列集合間的關(guān)系：(1)A＝{－1，1}，B＝{x∈N|x2＝1}；(2)P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}；(3)A＝{x|x－3>2}，B＝{x|2x－5≥0}；(4)A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}．解：(1)用列舉法表示集合B＝{1}，故BA.(2)因?yàn)镼中n∈Z，所以n－1∈Z，Q與P都表示偶數(shù)集，所以P＝Q.(3)因?yàn)锳＝{x|x－3>2}＝{x|x>5}，B＝{x|2x－5≥0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥\f(5,2)))))，利用數(shù)軸推斷A，B的關(guān)系．如圖所示，AB.(4)因?yàn)锳＝{x|x＝a2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，所以A＝B.10．(2024·葫蘆島檢測(cè))已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x|1<x－1<4}．(1)若A＝B，求y的值；(2)若A?C，求a的取值范圍．解：(1)若a＝2，則A＝{1，2}，所以y＝1.若a－1＝2，則a＝3，A＝{2，3}，所以y＝3，綜上，y的值為1或3.(2)因?yàn)镃＝{x|2<x<5}，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2<a<5，,2<a－1<5.))所以3<a<5.[B實(shí)力提升]11．已知集合A＝{0，1}，B＝{x|x?A}，則下列關(guān)于集合A與B的關(guān)系正確的是()A．A?B B．ABC．BA D．A∈B解析：選D.因?yàn)閤?A，所以B＝{?，{0}，{1}，{0，1}}，則集合A＝{0，1}是集合B中的元素，所以A∈B，故選D.12．已知集合A＝{x|x<－2或x>3}，B