專題6.12平行四邊形-存在性問題(專項練習(xí))

平行四邊形的存在性問題，尤其是坐標(biāo)系中平行四邊形的存在性問題，是

中考壓軸題的重要組成部分內(nèi)容之一，因此進入平行四邊形的學(xué)習(xí)后，引入平

行四邊形的存在性問題，充分利用數(shù)形結(jié)合的思想對學(xué)生的輔導(dǎo)，是十分必要

的，本專題訓(xùn)練匯集了一些典型的，?？碱}供老師和學(xué)生參考使用，對剛進入

平行四邊形的學(xué)習(xí)和準(zhǔn)備參加中考的考生來講進行鞏固練習(xí)都是十分必要的。

一、填空題

1.(2020?北京市順義區(qū)第五中學(xué)八年級期中)在平面直角坐標(biāo)系中，

A(-l,0)、8(4,0)、C(0,3),若以A、B、C、。為頂點的四邊形是平行四邊形，則。點

坐標(biāo)是.

2.(2020?內(nèi)蒙古九年級月考)在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)系原點，

A(—3,0)、3(—5,2)、。在坐標(biāo)平面內(nèi)，若以。A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊

形，則點C坐標(biāo)為.

3.(2020?陜西八年級期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,0為坐標(biāo)原點力(1,3),8(2,1),直角坐

標(biāo)系中存在點C使得。人,8,C四點構(gòu)成平行四邊形，則C點的坐標(biāo)為

二、解答題

4.(2020?北京四中八年級期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(-3,2),8(-1,

-2),C(1,1),若以A、8、C、。為頂點的四邊形是平行四邊形，求點。的坐標(biāo).(在

平面直角坐標(biāo)系中畫出平行四邊形并標(biāo)上點。的坐標(biāo).)

1

5.（2019?江蘇七年級期中）△ABC在平面直角坐標(biāo)系中如圖所示，

（1）SAABC—.

（2）X軸上是否存在點尸，使得若不存在，說明理由；若存在，求出P點

的坐標(biāo).

（3）請直接寫出：以A、B、C為頂點的平行四邊形的第四個頂點。的坐標(biāo).

6.（2019?內(nèi)蒙古八年級月考）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形紙片.把紙片ABCD折

疊，使點B恰好落在CD邊上，折痕為AF.且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm.

（1）求證：平行四邊形ABCD是矩形；

（2）如圖2,以點B為坐標(biāo)原點，水平方向、豎直方向為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系,

求直線AF的解析式；

（3）在（2）中的坐標(biāo)系內(nèi)是否存在這樣的點P,使得以點P、A、E、F為頂點的四邊形是

平行四邊形？若不存在，請說明理由；若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)。

2

7.（2019?廣西八年級期中）已知在平面直角坐標(biāo)系中有4、B、C三點，且A（3,0）、B

(0,3)、C(1,4)

（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由;

（2）在坐標(biāo)平面內(nèi)存在一點使以A、B、C、。為頂點的四邊形是平行四邊形，求點。

的坐標(biāo).（請直接寫出結(jié)果）

y4

5-

4-

3-

2-

1~

I1IIIII1)

-3-2-1012345x

-1-

-2-

8.（2018?山東八年級期末）如圖，0ABeD在平面直角坐標(biāo)系中，點4（-2,0）,點B

（2,0）,點。（0,3）,點C在第一象限.

（1）求直線AO的解析式；

（2）若E為y軸上的點，求△E8C周長的最小值；

（3）若點。在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點P在直線AO上，是否存在以。P,為鄰邊的菱形

DBQP?若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

3

9.(2019?山西八年級期末)綜合與探究

3

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=—x-3與坐標(biāo)軸交于A,B兩點.

4

(1)求A,B兩點的坐標(biāo)；

(2)以AB為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形ABC,求^ABC的面積；

(3)在平面內(nèi)是否存在點M,使得以M,O,A,B為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在,

直接寫出M點的坐標(biāo)：若不存在，說明理由.

10.(2018?湖南明德華興中學(xué)八年級月考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形OABC

的兩個頂點A、B的坐標(biāo)分別4(-26,()),8(-26,2),/。4。=30°。

(I)求對角線AC所在的直線的函數(shù)表達式；

(2)把矩形OABC以AC所在的直線為對稱軸翻折，點O落在平面上的點D處，求點D

的坐標(biāo)；

(3)在平面內(nèi)是否存在點P,使得以A、0、D、P為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，

求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

11.(2020?江蘇八年級期中)如圖，平面直角坐標(biāo)系xO)'中，點。為坐標(biāo)原點，四邊形

OABC為矩形，

4

A(10,0),C(0,4),點。是OA的中點，點尸在邊BC上以每秒1個單位長的速度由

點C向點B運動.

(1)直接寫出坐標(biāo)：D(,)；

(2)當(dāng)四邊形POQB是平行四邊形時，求f的值;

(3)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點。，使得以0、P、。、。為頂點四邊形為菱形，若存

在，請直接寫出。點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

12.(2020?山東九年級期中)如圖，平行四邊形A8CD在平面直角坐標(biāo)系中，AD=6,若

。4,08的長是關(guān)于x的一元二次方程f一7x+12=0的兩個根，且OA>OB.

(1)若點E為x軸上的點，且ZAOE的面積為3.

3

求：①點E的坐標(biāo)：②證明：△AOEsADAO;

(2)若點用在平面直角坐標(biāo)系中，則在直線AB上是否存在點尸，使以A,C,￡M為頂點的

四邊形為菱形？若存在，請直接寫出尸點的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

13.(2020?重慶八年級期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x向下平移后與y軸交

于點A,且過點B(6,2).C為直線y=x上一動點.

(1)求直線AB的解析式；

(2)當(dāng)AC+BC最小時，在平面直角坐標(biāo)系中存在點D,使得以點A、B、C、D為頂點的

四邊形為平行四邊形，請直接寫出點D的坐標(biāo).

5

14.（2018?衡陽市逸夫中學(xué)八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線//：乃=-gx+6

分別與X軸、y軸交于點B、C,且與直線交于A.

（1）求出點A的坐標(biāo)

（2）當(dāng)必>當(dāng)時，直接寫出x的取值范圍.

（3）點。在x軸上，當(dāng)^CD4的周長最短時，求此時點D的坐標(biāo)

（4）在平面內(nèi)是否存在點。，使以0、C、A、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直

接寫出點。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

15.（2019?江門市第二中學(xué)七年級月考）在平面直角坐標(biāo)系中（單位長度為,已知

點M（0,m）,N（小0）,且%一〃+3+|2加一4=0.

（1）求機，”的值，并在如圖的平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)出M,N的位置

（2）在坐標(biāo)軸上是否存在若點尸，使得ZPMN的面積為6,若存在，求出點尸的坐標(biāo)；若

不存在，請說明理由.

6

16.(2019?黑龍江八年級期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，UQ4BC的頂點A在＞軸的

正半軸上，頂點3在x軸的正半軸上，對角線AC、交于點￡),且。4=4,AB=4后.

(1)求點。的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)解析式；

(2)在平面上是否存在點N,使以3、C,D、N為頂點四邊形為平行四邊形？若存在，請

直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

17.(2019?河北八年級期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+8分別交兩軸于點

點C的橫坐標(biāo)為4,點。在線段上，且4。=7.

(1)求點。的坐標(biāo)；

(2)求直線CD的解析式；

(3)在平面內(nèi)是否存在這樣的點F,使以A,C,D,尸為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在，請求出

點F的坐標(biāo)；若不存在，不必說明理由.

7

y

18.（2020?齊齊哈爾市昂昂溪區(qū)教師進修學(xué)校八年級期末）如圖，平行四邊形ABCD在直

角坐標(biāo)系中，點8、點。都在x軸上，其中Q4=4,OB=3,AD=6,E是線段。。的

中點.

（1）直接寫出點C,。的坐標(biāo)；

（2）平面內(nèi)是否存在一點N,使以A、D、E、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存

在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

19.（2020?深圳市龍崗區(qū)智民實驗學(xué)校九年級月考）已知，矩形OC84在平面直角坐標(biāo)系

中的位置如圖所示，點C在X軸的正半軸上，點A在y軸的正半軸上，已知點3的坐標(biāo)為

（2,4）,反比例函數(shù)y=：（x>0）的圖象經(jīng)過的中點。，且與6c交于點￡,順次連

接

（1）求線段OE的長；

（2）在線段。。上存在一點M,當(dāng)AMOE的面積等于時，求點用的坐標(biāo)；

（3）平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點N,使得。、。、E、N四點構(gòu)成平行四邊形？若存

在，請直接寫出N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

8

20.（2019?富順縣趙化中學(xué)校八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線

4：y=x+3分別交x軸、y軸于點AS,直線/2：y=-3x與直線4交于點C,點P為＞軸

上一動點.

（1）求點C的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)Q4+PC的值最小時，求此時P點的坐標(biāo)，并求P4+PC的最小值：

（3）在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點M,使以點A、O、C.M為頂點的四邊形是平行四

邊形，若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說出理由.

21.矩形AOBC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所置，己知點C的坐標(biāo)為（10,6）,點〃為

AC邊上一點，且MC=4M4.

（1）求直線AB的解析式；

（2）在x軸上是否存在點七，使得直線ME平分矩形AO8C的面積，若存在，請求出點E

的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

（3）若點p為矩形的中心，在平面直角坐標(biāo)系中存在點。，使得以A、0、P、。為頂

點的四邊形為平行四邊形，請直接寫出點。的坐標(biāo).

9

y

AA

Bx

圖1備用圖1備用圖2

22.(2019?廣西八年級期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。4=。8=8,。0=1,點C為

線段48的中點.

(1)直接寫出點C的坐標(biāo)，C

(2)求直線CD的解析式；

(3)在平面內(nèi)是否存在點F,使得以A、C、D、尸為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在,

請求出點尸的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.

23.(2009?黑龍江中考真題)如圖，DABCD在平面直角坐標(biāo)系中，AD=6,若。4、OB

的長是關(guān)于x的一元二次方程12一7%+12=0的兩個根，且。4>OB.

(1)求sinNABC的值.

(2)若E為x軸上的點，且SME=與，求經(jīng)過。、￡兩點的直線的解析式，并判斷口AOE

與口是否相似？

(3)若點加在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則在直線A3上是否存在點R使以A、C、F、M為

頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出產(chǎn)點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

10

24.（2019?黑龍江九年級期末）將矩形AOCB如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中，E為邊OC

上的一個動點，過點E作￡DJ_A￡交6C邊于點O,且。4，。。的長是方程

/-201+96=0的兩個實數(shù)根，且OC>Q4.

（1）設(shè)=CD=y,求>與x的函數(shù)關(guān)系（不求x的取值范圍）；

（2）當(dāng)。為8c的中點時，求直線4￡的解析式；

（3）在（2）的條件下，平面內(nèi)是否存在點尸，使得以A，D，B,b為頂點的四邊形為

平行四邊形？若存在，請直接寫出點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

25.（2020?江蘇八年級月考）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，CB//OA,NOCB=90。，CB=2,

OC=4,直線y=+2過A點，且與>軸交于。點.

<1）求點A、點B的坐標(biāo)；

（2）試說明：ADLBO-.

（3）若點”是直線AD上的一個動點，在x軸上是否存在另一個點N,使以。、B、M、

N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直談寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理

由.

11

26.（2019?福建九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是平行四邊形，

AD=6,若OA、OB的長是關(guān)于x的一元二次方程X?-7x+12=0的兩個根，且OA>OB.

（1）求A、B的坐標(biāo).

（2）求證：射線AO是NBAC的平分線.

（3）若點M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則在直線AB上是否存在點F,使以A、C、F、M為頂

27.（2017?上海八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線？=-之8》+4交y軸

3

于點A,交x軸于點B,以線段AB為邊作菱形ABCD（點C、D在第一象限），且點D的

縱坐標(biāo)為9.

（1）求點A、點B的坐標(biāo)；

（2）求直線DC的解析式；

（3）除點C外，在平面直角坐標(biāo)系xOy中是否還存在點P,使點A、B、D、P組成的四邊

形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

12

28.（2020.深圳市高級中學(xué)八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-gx

3

+彳與y=x相交于點A,與X軸交于點反

（1）求點A,B的坐標(biāo);

（2）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，是否存在一點C,使得以O(shè),A,B,C為頂點的四邊形是

平行四邊形？如果存在，試求出所有符合條件的點C的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；

（3）在直線OA上，是否存在一點￡>,使得△。。8是等腰三角形？如果存在，試求出所有

符合條件的點。的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由.

圖1圖2

29.（2020?銀川市第十五中學(xué)九年級期中）如圖，在平面宜角坐標(biāo)系中，四邊形A3CD是

平行四邊形，A￡>=6,若。4,08的長是關(guān)于％的一元二次方程f一7x+12=0的兩個

根，且。4>OB.

（1）直接寫出：OA=,OB=；

⑵若點"，軸正半軸上的點，且心廣多

①求經(jīng)過O，E兩點的直線解析式；

②求證：^AOEU^DAO.

（3）若點“在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則在直線上是否存在點尸，使以A，C,F，M

13

為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出尸點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

30.(2019?深圳市福田區(qū)南華實驗學(xué)校九年級期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形

ABCD是平行四邊形，OB=OC=2,AB=713.

(1)求點D的坐標(biāo)，直線CD的函數(shù)表達式；

3

(2)已知點P是直線CD上一點，當(dāng)點P滿足SAPAO=」SAABO時，求點P的坐標(biāo)；

2

(3)若點M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則在直線AB上是否存在點F(不與A、B重合)，使以A、

14

參考答案

1.(-5,3)、(5,3)、(3,-3)

【分析】

作出圖形，分AB、BC、AC為對角線三種情況進行求解.

【詳解】

如圖所示，①AC為對角線時，AB=5,...點D的坐標(biāo)為(-5,3),

②BC為對角線時，AB=5,...點D的坐標(biāo)為(5,3),

③AB為對角線時，C平移至A的方式為向左平移1個單位，向下平移3個單位，...點B向

左平移1個單位，向下平移3個單位得到點D的坐標(biāo)為(3,-3),

綜上所述，點D的坐標(biāo)是(-5,3)、(5,3)、(3,-3).

故答案為：(-5,3)、(5,3)、(3,-3).

【點撥】

本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，根據(jù)題意作出圖形，注意要分情況進行

討論.

2.C(一2,2)或。(一8,2)或C(2,—2).

【分析】

根據(jù)要求畫出以A,6,0,C為頂點的平行四邊形即可解決問題.

【詳解】

解:在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描出A(—3,0),3(-5,2),。三點，利用平行四邊形的性質(zhì)描出C

15

點，得到：。(一2,2)或。(一8,2)或。(2,—2).

故答案為：C(—2,2)或C(—8,2)或C(2,—2).

【點撥】

本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)以及平面直角坐標(biāo)系等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

基本知識，屬于中考常考題型.

3.(3,4)或(1,-2)或(-1,2)

【分析】

由平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊平行且相等，即可求得點C的坐標(biāo)；注意三種情

況.

【詳解】

如圖所示：

?..以0、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，0(0,0),A(1,3),B(2,0),

,三種情況：

①當(dāng)AB為對角線時，點C的坐標(biāo)為(3,4)；

16

②當(dāng)OB為對角線時，點C的坐標(biāo)為（1,-2）；

③當(dāng)OA為對角線時，點C的坐標(biāo)為（-1,2）；

故答案是：（3,4）或（1,-2）或（-1,2）.

【點撥】

考查了平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊平行且相等.解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思

想的應(yīng)用.

4.點。的坐標(biāo)為：（-5,-1）或（-1,5）或（3,-3）.

【分析】

根據(jù)平行四邊形的判定即可得點D的坐標(biāo).

【詳解】

以A、B、C、。為頂點的四邊形是平行四邊形，

，點。的坐標(biāo)為：（-5,-1）或（-1,5）或（3,-3）.

【點撥】

本題主要考查平面直角坐標(biāo)系和平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)

鍵.

3232

5.（1）6.5；（2）存在；點P的坐標(biāo)為（一，0）或（——，0）；（3）點。的坐標(biāo)為

33

（-1,-2）或（1,8）或（5,2）.

【分析】

17

(1)由矩形的面積減去三個直角三角形的面積即可；

(2)求出CP的長，得出OP的長，即可得出結(jié)果；

(3)根據(jù)平行四邊形的判定，分三種情況即可得出結(jié)果.

【詳解】

I1I

(1)SAABC=3X5-—x2x3-—xlx5-—x2x3=6.5；

222

故答案為：6.5；

(2)存在；理由如下:

SABC『—CPX3=2SAABC=2*6.5=13，

2

，0P=CP+2=—或OP=CP-2=——，

33

二點P的坐標(biāo)為(一，0)或(——，0)：

33

(3)如圖：

y

2

O)

7/

1\

Oc/\

□/

\

/

:/\

之\

X2\/iD3

/1\Z

/

?

4-3-2r1C/\it，5€

?,

t

Di

當(dāng)以BC為對角線時，點。/的坐標(biāo)為(-1,-2)；

當(dāng)以A5為對角線時，點。2的坐標(biāo)為(1,8)；

當(dāng)以4c為對角線時，點。3坐標(biāo)為(5,2)；

綜上所述，點。的坐標(biāo)為：(-1,-2)或(1,8)或(5,2).

【點撥】

18

本題考查了平行四邊形的判定、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、三角形面積等知識；熟練掌握平行四邊形

的判定方法、運用數(shù)形結(jié)合的方法是解題的關(guān)鍵.

6.⑴見解析;(2)y=-2x+10(3)見解析.

【分析】

(1)根據(jù)翻折變換的對稱性可知AE=AB,在△ADE中，利用勾股定理逆定理證明三角形

為直角三角形，再根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明即可；

(2)設(shè)BF為x,分別表示出EF、EC、FC,然后在△EFC中利用勾股定理列式進行計算，

而后得出F點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解即可；

(3)分三種情況：①當(dāng)以AE為對角線時；②當(dāng)以AF為對角線時；③當(dāng)以EF為對角線時,

討論解答即可.

【詳解】

(1)證明：?.?把紙片ABCD折疊，使點B恰好落在CD邊上，

.?.AE=AB=10,AE2=102=100,

又?..AD2+DE2=82+62=100,

；.AD2+DE2=AE2,

...△ADE是直角三角形，且ND=90。，

又：四邊形ABCD為平行四邊形，

平行四邊形ABCD是矩形(有一個角是直角的平行四邊形是矩形)；

(2)解：設(shè)BF=x,則EF=BF=x,EC=CD-DE=10-6=4cm,FC=BC-BF=8-x,

在RSEFC中，EC2+FC2=EF2,

BP42+(8-x)2=x2.

解得x=5,

故BF=5cm：

AF(5,0),易求直線AF的解析式為：y=-2x+10;

(3)如圖所示:

19

由題意得:A(0,10),E(8,4),F(5.0)

①當(dāng)以AE為對角線時，

；四邊形AFE《為平行四邊形，,AF=EP]7AB?+BF?=5小,EF=A[=

y/FC2+CE2=7(8-5)2+42=5，：F(5,0),E(8,4),可以看作點F的坐標(biāo)向右平移3個單位,

再向上平移4個單位得到，由A(0,10)向右平移3個單位，再向上平移4個單位得到點《

(0+3,10+4),即耳(3,14);

②當(dāng)以AF為對角線時，

:四邊形AEFg為平行四邊形，AF=FP2,EF=A鳥.10),E(8,4),可以看作點E的坐標(biāo)

向左平移8個單位，向上平移6個單位，得到，，由F(5,0)向左平移8個單位，再向上平移

6個單位得到點P2(5-8Q+6),即P2(-3,6);

③當(dāng)以EF為對角線時，

???四邊形AE&F為平行四邊形，.??AF=FG.AF=E6「；A(0,10).E(8,4),可以看作點A的坐標(biāo)

向右平移8個單位，再向下平移6個單位得到，...由F(5,0)向右平移8個單位，再向下平

移6個單位得到點&(5+806),即乙(13,-6);

綜上所述：Pi(3,14),P2(-3,6),P3(13,-6)

【點撥】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，勾股定理，以及翻折變換前后的兩個圖形全等

的性質(zhì)，注意分類討論思想的運用.

7.(1)AABC是直角三角形；(2)點。坐標(biāo)為(4,I)或(-2,7)或(2,-1)

【解析】

【分析】

20

(1)由兩點距離公式可求AB=30,AC=2裾，BC=0,由勾股定理的逆定理可得△ABC

是直角三角形：

(2)分三種情況討論，由平行四邊形的對角線互相平分和中點坐標(biāo)公式，可得點D坐標(biāo).

【詳解】

解：⑴VA(3,0)、8(0,3)、C(1,4)

/AB=3>/4C=2^5?BC=5/2

?；482+8爛=20,9=20,

...AZf+BC^AC2,

ZXABC是直角三角形

(2)設(shè)點。坐標(biāo)(a,b)

若以AB,BC為邊,則

1+3。+0

,2

'4+0b+3

.2

6F=4,b=\

若以AC,AB為邊，則

1+03+Q

'4+3b+0

.*.67=-2,b=7

若以8C,AC為邊，則

0+31+。

'3+04+b

a=2,b=-\

???點。坐標(biāo)為(4,1)或(-2,7)或(2,-1)

【點撥】

本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，兩點距離公式，利用分類思想解

21

決問題是本題的關(guān)鍵.

3

8.(1)y=-x+3;(2)△EBC周長的最小值為36+岳；(3)滿足條件的點P坐標(biāo)

為(-2,0)或(2,6).

【解析】

【分析】

(1)設(shè)直線4。的解析式為丫="+從把小。兩點坐標(biāo)代入，把問題轉(zhuǎn)化為解方程組即可;

(2)因為A、8關(guān)于)，軸對稱，連接AC交)'軸于E,此時A8EC的周長最小；

(3)分兩種情形分別討論求解即可解決問題：

【詳解】

.解：(1)設(shè)直線AO的解析式為、=丘+6,

b=3

把4(-2,0),。(0,3)代入y=h+0,得到，，，

-2k+b=Q

k=一

解得｛2,

b=3

3

；?直線AD的解析式為y=—x+3.

(2)如圖1中，VA(-2,0),B(2,0),

...A、B關(guān)于y軸對稱，

周長的最小值=EB+EC+BC=EA+EC+BC=AC+BC,

VA(-2,0),C(4,3),B(2,0)，

，AC="+62=375,BC=V22+32=屈，

22

.,.△EBC周長的最小值為：3右+舊,

①當(dāng)點尸與4重合時，四邊形OPQ8是菱形，此時尸(-2,0),

②當(dāng)點P在A。的延長線上時，。9=A￡>,此時四邊形8QPQ是菱形，此時嚴(yán)(2,6).

綜上所述，滿足條件的點P坐標(biāo)為(-2,0)或(2,6)；

【點撥】

本題考查詼函數(shù)綜合題、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、軸對稱最短問題、待定

系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱解決最短問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問

題，屬于中考壓軸題.

25

9.(l)A(O,-3),B(4,0)；(2)50睦；(3)存在，(-4,-3)或(4,3)或(4,-3).

【解析】

【分析】

(1)當(dāng)x=0時，y=-3,當(dāng)y=0時，x=4,可求A,B兩點的坐標(biāo)；

(2)由勾股定理可求AB的長，即可求△ABC的面積；

(3)分兩種情況討論，由平行四邊形的性質(zhì)可求點M坐標(biāo).

【詳解】

3

(1)在y=-x—3中，令x=0,得y=-3

4

令y=0,得x=4

.?.A(0,-3),B(4,0)

(2)由⑴知:OA=3,0B=4

在RtAAOB中，由勾股定理得：AB=5.

如圖：過C作CD_LAB于點D,

23

則AD=BD=-

又AC=AB=5.

在RtAADC中，CD=.gA。=收+g)2=三上

FBC=；ABO=gx5xgG=?

(3)若AB為邊時，

?.?以M,O,A,B為頂點的四邊形是平行四邊形

，MO〃AB,MO=AB=5,

當(dāng)點M在OB下方時，AM=BO=4,AM/7OB

.?.點M(-4,-3)

當(dāng)點M在OB上方時，OA=BM=3,OA〃BM

.?.點M(4,3)

若AB為對角線時，

?.?以M,O,A,B為頂點的四邊形是平行四邊形

；.AM〃OB,BM〃OA,

二點M(4,-3)

綜上所述：點M坐標(biāo)為(-4,-3),(4,3),(4,-3).

【點撥】

考查/一次函數(shù)的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解決本

題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用.

24

10.(1)y=—x+2.

3

(2)(-5/3.3).

(3)(G，3)或(-73--3)或(-3JL3).

【解析】

【分析】

(1)求出點C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的函數(shù)表達式；

(2)過點D作DEJ_OA于點E,利用三角函數(shù)的知識，求出DE及OE的長度，即可得出

點D的坐標(biāo).

(3)找到點P的可能位置，利用平行四邊形對邊相等的性質(zhì)即可得出點P的坐標(biāo).

【詳解】

解：(1)由題意得，OA=2j§\ZCAO=30°,

則OC=OAtanZCAO=2,

即點C的坐標(biāo)為(0,2),

設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b,將點A及點C的坐標(biāo)代入得：1-2限+”=°,

(b=2

,顯

解得：\3，

b=2

故直線AC的函數(shù)表達式為：y=^x+2.

3

(2)過點D作DE±OA于點E,

25

VZCAO=30°,

NDAE=60。，

乂?.?AD=A0=25

；.DE=3,AE=6，

，OE=5

故點D的坐標(biāo)為（-、后，3）.

①當(dāng)AD為平行四邊形的一邊時，點P的位置有兩個，分別為Pi、P2,

當(dāng)點P位于Pi位置時，DP尸AO,

此時可得點P的坐標(biāo)為（石，3）;

當(dāng)點P位于P2位置時，

；OD=AD,AAOD是等邊三角形，

...點P2與點D關(guān)于x軸對稱，

此時可得點P的坐標(biāo)為（-、石，-3）；

②當(dāng)AD為平行四邊形的對角線時，點P的位置有一個，在P3的位置,

此時DP3=AO,

故可得點P的坐標(biāo)為（363）.

綜上可得存在點P的坐標(biāo)，使得以A、0、D、P為頂點的四邊形為平行四邊形，點P的坐

標(biāo)為（有，3）或（-73.-3）或（-3有，3）.

【點撥】

本題考查了一次函數(shù)的綜合，涉及知識點較多，解答本題的第一問的關(guān)鍵是熟練掌握待定系

26

數(shù)法，第二問要求我們能熟練解直角三角形，第三問要求我們具備分類討論的能力，另外要

熟練掌握平行四邊形的性質(zhì).

11.(1)5,0；(2)f=5：(3)滿足條件的點。的坐標(biāo)為：(8,4)、(-3,4)、(3,

4)、(2.5,-4).

【分析】

(I)根據(jù)中點的定義求出的長即可解決問題；

(2)利用平行四邊形的性質(zhì)求出PC=5即可解決問題；

(3)分四種情形：當(dāng)PiO=OZ)=5或尸2。=生。或23。=。。=5或時，分別

求解即可.

【詳解】

解：(1)VA(10,0),OD=DA,

：.OA=lO,OD=DA=5,

：.D(5,0).

故答案為5,0.

(2)?.?四邊形PODB是平行四邊形，

:.PB=OD=5,

：.PC=5,

.,.t=5.

(3)當(dāng)乃。=0。=5時，由勾股定理可以求得PC=3,可得Q(8,4)

當(dāng)「2。=22。時，作P2E_LOA,

OE=ED=2.5,可得Q2(2.5,-4),

當(dāng)尸3。=0。=5時，作力尸_LBC,由勾股定理，得BF=3,

3c=2,可得。3(-3,4),

當(dāng)凡。=。。=5時，作RGLOA,由勾股定理，得。G=3,

；.OG=8,可得Q4(3,4),

27

綜上所述，滿足條件的點。的坐標(biāo)為：（8,4）、（-3,4）、（3,4）、（2.5,-4）.

【點撥】

本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性順，等腰三角形的性質(zhì)，平行

四邊形的判定及性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)，勾股定理的運用.解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平

行四邊形和菱形的判定方法.

QQ

12.（1）①（1,0）或（-■!，（））；②詳見解析；⑵

￡（一3,0）山（3,8），4哈,一答居卜||,打

【分析】

（1）①解一元二次方程求出OA,OB的長度，根據(jù)三角形的面積求出點E的坐標(biāo).

②分別求出兩三角形夾直角的兩對應(yīng)邊的比，如果相等，則兩三角形相似，否則不相似；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，分AC與AF是鄰邊并且點F在射線AB上與射線BA上兩種情況,

以及AC與AF分別是對角線的情況分別進行求解計算.

【詳解】

⑴f-7x+12=0,

(JC-3)(A-4)=0,

.r-4=0,

解得玉=3,X2=4,

'：OA>OBf

：.OA=4f08=3,

,**SAUOFt.=—2OE,OA~,SAUOFt.=—3?

28

16

-x40E

2T

8

0E=

3

?.?點E在x軸上

；.E點的坐標(biāo)為或

②在△40￡：與4DA0<V,AD=6,

OA_4_3

OE-i-2;

3

AO_6_3

---————f

OA42

.OAAD

?.=,

OEOA

又ZAOE=ZOAD=90°,

.?.△AOESZ\￡>AO；

(2)根據(jù)計算的數(shù)據(jù)，OB=OC=3,

，A。平分N8AC,

①AC、AF是鄰邊，點尸在射線48上時，AF=AC=5,

所以點尸與B重合，

即F(-3,0),

②AC、AF是鄰邊，點尸在射線6A上時，M應(yīng)在直線AD上,且FC垂直平分AM,

點尸(3,8).

4直線工過(之,且充值

③AC是對角線時，做AC垂直平分線MC解析式為y=——XT4,2),

2

3

為一(平面內(nèi)互相垂直的兩條直線k值乘積為T),

4

37

L解析式為曠=—X+—，聯(lián)立直線￡與直線AB求交點，

48

29

24

@AF是對角線時，過C做AB垂線,垂足為N,根據(jù)等積法求出CN=—,勾股定理得出2

14

=行,過尸做y軸垂線，垂足為G,

綜上所述，滿足條件的點有四個：耳(一3,0),外(3,8),居一五，一亍，,

【點撥】

考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解一元二次方程-因式分解法,平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性

質(zhì)等，注意分類討論思想在解題中的應(yīng)用.

13.⑴y=x-4；(2)(5,-3)或(7,7)或(-5,-5)

【分析】

(1)設(shè)直線AB解析式為：y=x+b,將點B坐標(biāo)代入可求解；

(2)先求出點C坐標(biāo)，再分三種情況討論，利用平行四邊形的性質(zhì)和中點坐標(biāo)公式可求解.

【詳解】

(1)設(shè)直線AB解析式為：y=x+b,過點B(6,2),

，2=6+b,

；.b=-4,

.??直線AB的解析式為：y=x-4；

(2)如圖，作點A關(guān)于直線y=x的對稱點A，，

30

.??直線AB與y軸交于點A,

???點A(0,-4),

???點A關(guān)于直線y=x的對稱點A'(-4,0),

，設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+n,

0=-4k+n

2=6%+〃

14

??.直線AB的解析式為：y=-x+y,

y=x

聯(lián)立方程組得：\14

y=_x+-

x=l

解得《小

[y=i

點C坐標(biāo)為(1,1),

設(shè)點D(x,y),

6+01+x

22

若AB為對角線,則〈

-4+21+2

22

/.x=5,y=-3,

，點D(5,-3),

31

6+10+x

22

若BC為對角線,則《

2+1_-4+y

I22

，x=7,y=7,

...點D(7,7),

0+16+x

22

若AC為對角線,則〈

-4+1_2+y

22

，x=-5,y=-5,

...點D(-5,-5),

綜上所述：點D坐標(biāo)為：(5,-3)或(7,7)或(-5,-5).

【點撥】

本題是一次函數(shù)綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì),

中點坐標(biāo)公式等知識，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵.

14.(1)(6,3)；(2)%<6；(3)(0,0)；(4)(6,9)或(6,-3)或(-6,3).

【分析】

(1)直接聯(lián)立兩直線解析式，即可得到點A的坐標(biāo);

(2)直接在圖象上找到%>必時，x的取值范圍;

(3)過點A作AE_LOB交點為E即可得出點D與點O重合的時候，△CD4的周長最短,

即可得出點D的坐標(biāo);

(4)分三種情況考慮：當(dāng)四邊形OAQ/C為平行四邊形時；當(dāng)四邊形OQ24c為平行四邊形

時：當(dāng)四邊形OACQ3為平行四邊形時，分別求出點Q的坐標(biāo)即可.

【詳解】