專題23銳角三角函數(shù)（共65題）

一、單選題

1.（2021?湖南中考真題）下列計算正確的是（）

A.（TT—3）0-1B.tan30°=—C.-y/4=+2D.a~?ci3=cib

【答案】A

【分析】

根據(jù)零指數(shù)累，特殊角三角函數(shù)值，算術(shù)平方根的定義，同底數(shù)基乘法的計算法則分別計算即可.

【解析】

解：A、（"一3）°=1,此選項正確；

B、tan30。=且，此選項錯誤；

3

C、74=2.此選項錯誤；

D、。2./=爐，此選項錯誤；

故選：A.

【小結(jié)】

本題考查零指數(shù)需，特殊角三角函數(shù)值，算術(shù)平方根的定義，同底數(shù)幕乘法，熟知相關(guān)計算法則即定義是

解決本題的關(guān)鍵.

2.（2021?福建中考真題）如圖，某研究性學(xué)習(xí)小組為測量學(xué)校A與河對岸工廠8之間的距離，在學(xué)校附近

選一點C,利用測量儀器測得NA=60o,NC=90o,AC=2km.據(jù)此，可求得學(xué)校與工廠之間的距離

等于（）

C.26kmD.4km

【答案】D

【分析】

解直角三角形，已知一條直角邊和一個銳角，求斜邊的長.

【解析】

ZA=60°,ZC=90°,AC=2km

.AC。。1

cosA=,cos60=—

AB2

「AC2?

AB=-------=—=4km

cosA■

2

故選D.

【小結(jié)】

本題考查解直角三角形應(yīng)用，掌握特殊銳角三角函數(shù)的值是解題關(guān)鍵.

3.（2021?浙江金華市?中考真題）如圖是一架人字梯，已知AB=AC=2米，AC與地面8c的夾角為a,

則兩梯腳之間的距離8（7為（）

BDC

4

A.4cosc米B.4sina米C.4tana米D.------米

cosa

【答案】A

【分析】

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到5D=￡>C=，5C,根據(jù)余弦的定義即可，得到答案.

2

【解析】

過點人作4?，3。，如圖所示:

A

VAB=AC,AD±BC,

:.BD=DC,

..zDC

.coa=----,

AC

DC-ACcosa=2cosa,

?*.BC=2DC=4cosa，

故選：A.

【小結(jié)】

本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，明確等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.(2021?湖北隨州市?中考真題)如圖，某梯子長10米，斜靠在豎直的墻面上，當梯子與水平地面所成角

為a時，梯子頂端靠在墻面上的點A處，底端落在水平地面的點3處，現(xiàn)將梯子底端向墻面靠近，使梯子

與地面所成角為夕，已知sina=cos/?=g,則梯子頂端上升了()

【答案】C

【分析】

根據(jù)梯子長分別利用三角函數(shù)的正弦定義求出CZ)=CEsinH與A6ABsina,兩線段作差即可.

【解析】

解：如圖所示標記字母，

根據(jù)題意得AB=CE=\O米,

?.?sin6=&cos2/=Jl_(|)

.,°CDCD4

在/?/△ECD中，sinB=---=----=—,

CE105

4

...C0=-xlO=8,

5

,,ADAD3

在Rt4ABD中，sina=---=----=一，

AB105

3

AA￡)=-xl0=6,

5

：.AC=CD-AD^S-6=2.

故選擇C.

【小結(jié)】

本題考查三角函數(shù)的定義，解直角三角形，掌握正弦與余弦的平方關(guān)系以及銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)

鍵.

5.(2021?湖南衡陽市?中考真題)如圖是某商場營業(yè)大廳自動扶梯的示意圖.自動扶梯A8的傾斜角為37。,

大廳兩層之間的距離BC為6米，則自動扶梯AB的長約為(sin37°?0.6,cos37°?0.8,tan37°?0.75)

().

D.10米

【答案】D

【分析】

結(jié)合題意，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)計算，即可得到答案.

【解析】

根據(jù)題意，得：sin37。=一上"（）.6

AB

,/8C=6米

，AB=^=f-=10米

0.60.6

故選：D.

【小結(jié)】

本題考查了三角函數(shù)的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解.

6.（2021?天津中考真題）tan30°的值等于（）

A6RV2「［?-

A?B?.1D.2

32

【答案】A

【分析】

根據(jù)30。的正切值直接求解即可.

【解析】

解：由題意可知，tan30°=—.

3

故選：A.

【小結(jié)】

本題考查30。的三角函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題，熟記其正切值即可.

7.（2021?湖南株洲市?中考真題）某限高曲臂道路閘口如圖所示，A8垂直地面（于點A,座與水平線的

夾角為a（O°WaW9O。），EFIIlJIk,若AB=L4米，BE=2米，車輛的高度為力（單位：米），不考

慮閘口與車輛的寬度.

①當a=90。時，h小于3.3米的車輛均可以通過該閘口；

②當a=45°時，〃等于2.9米的車輛不可以通過該閘口；

③當a=60°時，力等于3.1米的車輛不可以通過該閘口.

則上述說法正確的個數(shù)為（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】C

【分析】

①AB,E三點共線，直接計算可得；

②做出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用特殊角的三角函數(shù)，求出

③方法同②.

【解析】

如圖過E點作石加_LA8交A8的延長線于點M,

EF//IJ/1,

ZMEB=a

則//=AM-AB+BExsina

①當a=90°時,4B,E三點共線，

/2=A￡=AB+5E=14+2=3.4>3.3

???力小于3.3米的車輛均可以通過該閘口，故①正確.

②當a=45°時，

h=AB+BExsin?=1.4+2x立^?1.4+1.41=2.81<2.9

???&等于2.9米的車輛不可以通過該閘口，故②正確.

③當a=60°時，

/z=^B+BExsina=1.4+2x—?1.4+1.73=3.13>3.1

2

力等于3.1米的車輛可以通過該閘口，故③錯誤.

綜上所述：說法正確的為：①②，共2個.

故選：C.

【小結(jié)】

本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，二次根式的估值，正確的作圖，計算和對比選項是解題關(guān)鍵.

8.（2021?重慶中考真題）如圖，在建筑物左側(cè)距樓底8點水平距離150米的C處有一山坡，斜坡CQ

的坡度（或坡比）為i=l:2.4,坡頂。到BC的垂直距離DE=50米（點A,B,C,D,E在同一平面內(nèi)），

在點。處測得建筑物頂A點的仰角為50。，則建筑物A3的高度約為（參考數(shù)據(jù)：sin50°?0.77；

cos50°?0.64；tan50°?1.19）

A.69.2米B.73.1米C.80.0米D.85.7米

【答案】D

【分析】

作于尸點，得到四邊形OEB尸為矩形，首先根據(jù)坡度的定義以及DE的長度，求出CE,8E的長

度，從而得到。尸=8E,再在心△AO尸中利用三角函數(shù)求解即可得出結(jié)論.

【解析】

如圖所示，作于尸點，則四邊形力E8尸為矩形，

:.DE=BF=50,

?.?斜坡CO的坡度（或坡比）為i=l:2.4,

.一,1DE5

??在CED中，tanNC——=-----=—,

2.4CE12

?；￡>￡=50,

/.CE=120,

/.=8=150—120=30,

，DF=30.

在R3AO尸中，ZADF=50°,

Ap

，tanNA0F=tan5O°=——=1.19,

DF

將DF=30代入解得：AF=35.7,

：.AB=AF+BF=35J+50=85.7米，

故選：D.

【小結(jié)】

本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用，理解坡度的定義，準確構(gòu)造直角三角形，熟練運用銳角三角函數(shù)是解

題關(guān)鍵.

9.（2021?浙江中考真題）如圖，已知在矩形ABC。中，AB=[BC=6,點P是邊上的一個動點,

連結(jié)3P,點C關(guān)于直線BP的對稱點為G，當點p運動時，點G也隨之運動.若點P從點A運動到點D,

則線段CC1掃過的區(qū)域的面積是（）

D.2萬

【答案】B

【分析】

先判斷出點。在以8c為直徑的圓弧上運動，再判斷出點Ci在以8為圓心，8c為直徑的圓弧上運動，找

到當點P與點A重合時，點P與點。重合時，點Ci運動的位置，利用扇形的面積公式及三角形的面積公

式求解即可.

【解析】

解：設(shè)8/,與CG相交于。，則/BQC=90。,

.??當點P在線段A。運動時，點。在以8c為直徑的圓弧上運動,

延長C8到E,使BE=BC,連接EC,

VC.G關(guān)于P3對稱，

二NECC=N8QC=90。，

.?.點G在以8為圓心，8c為直徑的圓弧上運動，

當點P與點A重合時，點Ci與點E重合，

當點P與點D重合時，點G與點F重合，

/P8C=30。，

In3

/F8P=NPBC=30°,CQ^-BC=—.8Q=GCQ='，

222

/./FBE=180o-30°-30o=120°,S=-CC,x5(9=—x-=—,

BRCrPF2224

線段CC1掃過的區(qū)域的面積是⑵乃x（J3）_373.

360BCF4

故選：B.

【小結(jié)】

本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)以及扇形面積公式等知識；熟

練掌握矩形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.（2021?浙江麗水市?中考真題）如圖，A8是。。的直徑，弦C0J_Q4于點E,連結(jié)OCQD.若。

的半徑為九NAOD=Na,則下列結(jié)論一定成立的是（）

A.OE-mtanaB.CD=2m-sinaC.AE=m-cosaD.SCOD=m~-sina

【答案】B

【分析】

根據(jù)垂徑定理、銳角三角函數(shù)的定義進行判斷即可解答.

【解析】

解：是C。的直徑，弦COJ_Q4于點E,

DE=-CD

2

在RtAEDO111,OD=m，ZAOD=Za

DE

??tana=----

OE

.OE-DE=CD

故選項A錯誤，不符合題意;

tana2tana

一.DE

乂sina=----

OD

?*.DE=OD?sina

???CD=2OE=2wsina，故選項8正確，符合題意;

又cosa=%

OD

OE-OD?cosa-m.cosa

AO-DO=m

：.AE=AO-OE=m-nucosa,故選項C錯誤，不符合題意;

CD=2m?sina，OE=m?cosa

112

S.--CDxOE=—x2m?sinaxzn.cosa-m"sinof-coscu,故選項。錯誤，不符合題意;

rnn22

故選B.

【小結(jié)】

本題考查了垂徑定理，銳角三角函數(shù)的定義以及三角形面積公式的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是熟記垂徑定理和

銳角三角函數(shù)的定義.

11.（2021?浙江寧波市?中考真題）如圖，在A3C中，/3=45。,/。=60。,4。，3。于點0,

BD=6若E,尸分別為A3,的中點，則EP的長為（

A6B百

A.-----C.1D.1

322

【答案】C

【分析】

根據(jù)條件可知AA8D為等腰直角三角形，WJBD=AD,△ADC是30。、6（）。的直角三角形，可求出AC長，再

根據(jù)中位線定理可知EQ;-。

【解析】

解：因為A。垂直8C,

則4ABD和4ACZ）都是直角三角形,

又因為N8=45°,NC=60°,

所以=6,

因為sin/C=4^=1,

AC2

所以AC=2,

因為E尸為△ABC的中位線，

所以小——=1,

2

故選：C.

【小結(jié)】

本題主要考查了等腰直角三角形、銳角三角形函數(shù)值、中位線相關(guān)知識，根據(jù)條件分析利用定理推導(dǎo)，是

解決問題的關(guān)鍵.

12.（2021?云南中考真題）在A6C中，ZABC=90。,若AC=100,sinA=1,則A3的長是（）

500503

A.——B.——C.60D.80

35

【答案】D

【分析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義得到8c和AC的比值，求出BC,然后利用勾股定理即可求解.

【解析】

BC3

解：VZA/JC-9O0,sinNA=——=一，AC=100,

AC5

，8C=100x3+5=60,

???AB=1AC2_BC2=8（）,

故選D.

【小結(jié)】

本題主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

13.（2021?山東泰安市?中考真題）如圖，為了測量某建筑物的高度，小穎采用了如下的方法：先從與

建筑物底端B在同一水平線上的A點出發(fā)，沿斜坡AD行走13（）米至坡頂。處，再從O處沿水平方向繼續(xù)

前行若干米后至點E處，在E點測得該建筑物頂端C的仰角為60。，建筑物底端B的俯角為45。，點A、8、

C、D.E在同一平面內(nèi)，斜坡AD的坡度，=1:2.4.根據(jù)小穎的測量數(shù)據(jù)，計算出建筑物BC的高度約為

（）（參考數(shù)據(jù)：1.732）

A.136.6米B.86.7米C.186.7米D.86.6米

【答案】A

【分析】

作DFLAB于尸點，EGLBC于G點，根據(jù)坡度求出DF=50,AF=120,從而分別在△BEG和4CEG中求

解即可.

【解析】

如圖，作。FJLAB于尸點，EGJ_8c于G點，

則四邊形OFBG為矩形，DF=BG,

???斜坡AO的坡度i=1:2.4,

tanZ.DAF——=—=----,

2.412AF

VA￡>=130,

：.DF=50,AF=12O,

:.BG=DF=53

由題意，ZC￡G=60°,NBEG=45。,

.?.△8EG為等腰直角三角形，BG=EG=50,

在/?/△CEG中，CG=百￡G=50百，

???BC=BG+CG=50+50鳳136.6米，

故選：A.

【小結(jié)】

本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用，正確理解坡度的定義，準確構(gòu)建合適的直角三角形是解題關(guān)鍵.

4

14.（2021?江蘇連云港市?中考真題）如圖，ABC中，BD±AB,BD、AC相交于點O,AD=-AC,

7

A5=2,NABC=150。，則△0BC的面積是（）

C

AB

A36R9G「3月n673

141477

【答案】A

【分析】

過點C作CEJLAB的延長線于點E，由等高三角形的面積性質(zhì)得到2族”5=3：7,再證明

\ADB:VACE，解得絲=&，分別求得4瓜CE長，最后根據(jù)，AC￡的面積公式解題.

AE7

【解析】

解：過點C作CE_LAB的延長線于點E，

?.匕。8。與△ADB是等高三角形，

43

S:SDRC=A.D\DC——AC\—AC=4:3

/\L/D77

?q?q-3-7

?.BDA.AB

/.VADB:NACE

7

AB_4

AE-7

AB=2

7

AE=—

2

73

:.BE=L—2=3

22

QZA6C=150°,

NCBE=180°-150°=30°

:.CE=tan300-BE=—

2

設(shè)SADB=4x,SDBC=3x

.q_49

一ACE_41

4917G

—X=-X——X-------

4222

,_V3

..X=—

14

14

故選：A.

【小結(jié)】

本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、正切等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

15.（2021?浙江紹興市?中考真題）如圖，RtABC中，ABAC=90°,cos5=-,點。是邊BC的中點,

4

CE

以AD為底邊在其右側(cè)作等腰三角形ADE,使NAD￡=N8,連結(jié)CE,則不的值為（）

AD

BDC

A.-B.73C.2/ilD.2

22

【答案】D

【分析】

由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得出AD=BD=CD=-BC,在結(jié)合題意可得

2

ZBAD=ZB=ZADE，即證明AB//OE,從而得出NB4￡>=N5=NAZ>E=NCDE.即易證

^ADE^CDE(SAS),得出A￡=CE.再由等腰三角形的性質(zhì)可知AE=CE=DE，

ZBAD=/B=ZADE=NDAE，即證明-AB。ADE，從而可間接推出一萬=花.最后由

cosB=—即可求出處的值，即空的值.

BC4ABAD

【解析】

:在RfABC中，點Q是邊8c的中點，

AD=BD=CD=-BC,

2

：.ZBAD=ZB=ZADE，

:.ABHDE.

：./BAD=NB=ZADE=Z.CDE,

AD=CD

：.在_ADE和ACDE中，,ZADE=ACDE,

DE=DE

：..ADE=..CDE(SAS),

AE=CE,

為等腰三角形，

；.AE=CE=DE,ABAD=/B=ZADE=/DAE，

；?&ABD—ADE,

.DEADCEBD

??,a即n=.

BDABADAB

八AB1

?cosB=——>

BC4

.AB1

..=一,

BD2

.CE_BDr

ADAB

故選D.

【小結(jié)】

本題考查直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，全等三角形與相似三角形的判定

和性質(zhì)以及解直角三角形.熟練掌握各知識點并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵.

16.（2021?重慶中考真題）如圖，相鄰兩個山坡上，分別有垂直于水平面的通信基站MA和/VD.甲在山腳

點C處測得通信基站頂端M的仰角為60。，測得點C距離通信基站M4的水平距離CB為30??；乙在另一

座山腳點尸處測得點尸距離通信基站的水平距離尸E為5（加，測得山坡。尸的坡度i=l：1.25.若

ND="E,點C,B,E,f在同一水平線上，則兩個通信基站頂端M與頂端N的高度差為（）（參

考數(shù)據(jù)：＞/2?1.41,73?1.73）

A.9.0/nB.12.8/HC.13.1/nD.22.7m

【答案】C

【分析】

分別解直角三角形Rt4Z）所和RtMBC,求出NE和MB的長度，作差即可.

【解析】

解：；莊=50加，QF的坡度i=l：1.25,

/.DE:EF=1:1,25,解得。E=40m,

二ND=-DE=25m.

8

二NE=ND+DE=65m,

V=60°■BC=30m,

???MB=BC-tan60°=30鬲，

頂端M與頂端N的高度差為NE—MB=65—?13.1zn，

故選：c.

【小結(jié)】

本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用，掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵.

17.（2021?四川南充市?中考真題）如圖，在矩形A8CD中，AB=15,BC=20,把邊A8沿對角線80

平移，點A',9分別對應(yīng)點4,B.給出下列結(jié)論：①順次連接點A',B',C,。的圖形是平行四邊形；

②點C到它關(guān)于直線44的對稱點的距離為48；③A'C—6'C的最大值為15；④A'C+8'C的最小值為

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】

根據(jù)平移的性質(zhì)和平行四邊形的判定方法判斷①，再利用等積法得出點C到BD的距離，從而對②做出判

斷，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷③，如圖，作。關(guān)于A4'的對稱點W，DD交A4'于M,連接BD'，

過作。'NL3C于N,分別交AM,8。于K,”，證明Z7C是最小值時的位置，再利用勾股定理求解

D'C,對④做出判斷.

【解析】

解：由平移的性質(zhì)可得AB〃A9

iLAB=A'B'

???四邊形A8CO為矩形

：.AB//CD,AB=CD=\5

，4B//CZ）且AF=CZ）

，四邊形A'B'CD為平行四邊形，故①正確

在矩形ABCD中，BD=^AB2+AD'=>/152+202=25

過A作AM_L8￡),CN1.BD,則AM=CN

15x20

：.AM=CN=----------=12

25

.??點C到A4'的距離為24

.??點C到它關(guān)于直線AA的對稱點的距離為48

/.故②正確

二當A,B',C在一條直線時A'C-B'C最大,

此時8'與。重合

AC—B'C的最大值=48'=15

,故③正確，

如圖，作。關(guān)于AA的對稱點3交AA于M,連接BP',過次作DNJ.8C于N,分別交

AM,BD于K,H,

則AB//A'B'//KH,AB=KH=15,KM為一D'HD的中位線，BD上DU，

D'K=HK=15,

山cA'B'CO可得3'C=A'。，

B'C=A'D=A'D\

：.A'C+B'C=A'C+A'D'=D'C,此時最小,

由②同理可得：DMD'M^12,

小“DC153HN

tanNDBC------———

BC204fi/V

設(shè)HN=3x,則BN=4x,

由勾股定理可得：DD'2+BD2=BD'2=BN2+D'N2,

252+242=(30+3x)2+(4x)2,

整理得：25/+180X—301=0,

.-.(5x-7)(5x+43)=0,

743

解得：玉=二，無2=一彳（負根舍去）,

72171

NC=20-4x=（D'N=―,

D'C=

/.故④正確

故選D

【小結(jié)】

本題主要考查了平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)以及平移的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用等知識點，熟練掌握

相關(guān)的知識是解題的關(guān)鍵?

18.（2021?浙江溫州市?中考真題）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME）的會徽，在其主體圖案中選擇

兩個相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形Q46C.若AB=BC=1.ZAOB=a,

則oc-的值為（）

D.cos2a+1

【答案】A

【分析】

根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)求解.

【解析】

?.?在RfVtMB中，ZAOB=a,AB=\

sinesine

(IA21

在必二06。中，BC=1,OC2=OB2+BC2=------+12=—―+1

[sinaJsin'a

故選：A.

【小結(jié)】

本題主要考查勾股定理和三角函數(shù).如果直角三角形的兩條直角邊長分別是mb,斜邊長為c,那么

a2+b2^c2.

19.（2021?四川南充市?中考真題）如圖，在菱形A5C。中，ZA=60°,點E,尸分別在邊43,5c上,

AE=M=2,...。砂的周長為36，則4。的長為（）

15

A.展B.2GC.V3+1D.273-1

【答案】C

【分析】

連接8D,過點E作可得例E=6,AM=1,再證明△BQF絲△△￡>￡可得八。石尸是等邊三角形,

從而得。族迷，進而即可求解.

【解析】

連接8￡>,過點E作￡M_LAD,

"；AE=BF=2,ZA=60°.

ME=AExsin60°=2x且=Q,AM=71EXCOS60O=2X—=1,

22

D

???在菱形ABC。中，

；.AD=AB=BC=CD,ZC=ZA=60°,

...△/18。和48CC均為等邊三角形，

二2。8/=/4=60。，BD=AD,

又：AE=BF=2,

：.^BDF^/\ADE,

:.NBDF=NADE,DE=DF,

：.ZADE+ZBD￡=60°=ZBDF+ZBDE,即：ZEDF=60°,

二—O七廠是等邊三角形，

所的周長為3#，

x3#=指，

DM—=y/3<

：.AD^AM+DM=l+y/3.

故選C.

【小結(jié)】

本題主要考查菱形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形和直角三角形，是

解題的關(guān)鍵.

20.（2021?湖北荊州市?中考真題）如圖，在菱形ABC。中，Z￡>=60°,43=2,以8為圓心、BC長為

半徑畫AC，點尸為菱形內(nèi)一點，連接B4，PB,PC.當△8PC為等腰直角三角形時，圖中陰影部分

的面積為（）

【答案】A

【分析】

以點8為原點，8c邊所在直線為x軸，以過點8且與8C垂直的直線為y軸建立平面直角坐標系，判斷出

ZPBC<90°,再根據(jù)/BCG90。和/BPC=90。兩種情況判斷出點P的位置，啟動改革免費進行求解即可.

【解析】

解：以點8為原點，2c邊所在直線為x軸，以過點8且與8c垂直的直線為y軸建立平面直角坐標系，如

圖，

,：/\BPC為等腰直角三角形，且點P在菱形A8C。的內(nèi)部,

很顯然，ZPBC<90°

①若N8CP=90°,則C片BC=2

這C作CEJ_AD交AD于點E,

:四邊形A8co是菱形

：.AB=BC=CD=DA=2,ZD=ZABC=60°

：.CE=CDsinZ￡)=2x—=73<2

2

點P在菱形A8C。的外部，

???與題設(shè)相矛盾，故此種情況不存在；

②NBPC=90。

過P作PF1BC交BC于點F,

*：XBPC是等腰直角三角形，

:.PF=BF=LBC=1

2

F(l,0)

過點A作AGLBC于點G,

在RtAABG中,ZABG=60°

：./8AG=30。

.?.8G=；AB=1,AG=^BG=6

?"(1,6),G(l,0)

點F與點G重合

.?.點A、P、P三點共線

???AP=AF-PF=y/3-l

S^BP=gxlx(G—l)=當-!■

SABPC=]X2xl=l

_60〃x2?_2乃

扇形8ACQzioQ

.SY&&_2兀A/3-12萬V3+1

d1-

"?陰影—?扇形BAC-）A4BP-ABPC-《QqQ-

故選:A.

【小結(jié)】

此題主要考查了菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及求不規(guī)則圖形的面積等知識,

正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵.

21.（2021?吉林長春市?中考真題）如圖是凈月潭國家森林公園一段索道的示意圖.已知4、8兩點間的距

離為30米，NA=a,則纜車從A點到達8點，上升的高度（BC的長）為（）

3030

A.30sina米B.-------米C.30cosa米D.--------米

sinacosa

【答案】A

【分析】

在放△A8C中，已知N3AC和斜邊A5,求N8AC的對邊，選擇/B4C的正弦，列出等式即可表示出來.

【解析】

在/?/△ABC中，

sinABAC---,

AB

即sina==30gdna,

故選：A.

【小結(jié)】

本題考查解直角三角形，解題關(guān)鍵是根據(jù)解三角函數(shù)的定義，列出方程.

22.（2021?湖北黃岡市?中考真題）如圖，AC為矩形A8CD的對角線，已知AD=3,CD=4.點尸沿

折線C-A-。以每秒1個單位長度的速度運動（運動到D點停止），過點尸作PE上BC于點E,則XCPE

的面積y與點尸運動的路程x間的函數(shù)圖象大致是（）

D0_______C

【答案】D

【分析】

先根據(jù)矩形的性質(zhì)、勾股定理可得AC=5,再分0W無K5和5<xW8兩種情況，解直角三角形分別求出

的長，利用直角三角形的面積公式可得y與x間的函數(shù)關(guān)系式，由此即可得出答案.

【解析】

解：［四邊形ABC。是矩形，AZ）=3，CD=4,

.-.AB=4,BC=3,AC=yjAD2+CD2=5,ZB=90°.

AC+AD-S,

由題意，分以下兩種情況：

（1）當點P在C4上，即0WxW5時，

ADA3

在RtABC中，sinZACB--------,cosZACB-----=一，

"AC5AC5

;在RtACPE中,CP=x,PE工BC，

34

:.CE=CPcosNPCE=-x,PE=CP-sinZPCE=-x,

55

（2）如圖，當點P在AD上，即5<xK8時,

四邊形ABC。是矩形，PE1BC,

..?四邊形CEPD是矩形,

：.PE^CD^4,CE=DP^AC+AD-(AC+AP)^S-x,

y=—CE-PE=-2x+16,

—k（04x45）

綜上，V與％間的函數(shù)關(guān)系式為y=J25,

一2尤+16（5<x<8）

觀察四個選項可知，只有選項D的圖象符合，

故選：D.

【小結(jié)】

本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象，正確分兩種情況討論是解題

關(guān)鍵.

23.（2021?四川達州市?中考真題）在平面直角坐標系中，等邊AAO3如圖放置，點A的坐標為（1,0）,每一

次將AAO8繞著點。逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°,同時每邊擴大為原來的2倍，第一次旋轉(zhuǎn)后得到A40反，第二

次旋轉(zhuǎn)后得到小^。與，…，依次類推，則點A2021的坐標為（）

打

A.(-22020,-V3X22020)B.(22021,一Gx22°2i)

c.(22020,-V3x22020)D.(-220",-V3X22021)

【答案】C

【分析】

由題意，點A每6次繞原點循環(huán)一周，利用每邊擴大為原來的2倍即可解決問題.

【解析】

解：由題意，點A每6次繞原點循環(huán)一周，

20214-6=371……5,

.?.&⑼點在第四象限，04021=22021,Nx。42tm=60。，

???點與20的橫坐標為gX22⑼=22必，縱坐標為一3X22%-6X2?儂,

■.^(2^,-6x22ra°),

故選：C.

【小結(jié)】

本題考查坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會探究規(guī)律的方法，屬于中考

?？碱}型.

24.(2021?湖北十堰市?中考真題)如圖，小明利用一個銳角是30。的三角板測量操場旗桿的高度，已知他與

旗桿之間的水平距離BC為15m,AB為1.5m(即小明的眼睛與地面的距離)，那么旗桿的高度是()

.4rr<30°.___________D

B'--------------------'c

A.115/+g]mB.55/3mC.150mD.^5>/3+-|jm

【答案】D

【分析】

先根據(jù)題意得出AD的長，在Rt4AED中利用銳角三角函數(shù)的定義求出ED的長，由CE=CD+DE即可得

出結(jié)論.

【解析】

解："：AB1.BC,DEIBC,AD//BC,

.??四邊形ABC。是矩形，

VBC=15m,AB=1.5m,

.".AD=BC=15m,DC=AB=\.5m,

在Rt4AED中,

\'ZEAD=30°,AD=\5m,

：.ED=AD.tan30°=15x2^1=5,

3

C￡=CD+DE=^5V3+1m.

故選：D.

【小結(jié)】

本題考查的是解直角三角形在實際生活中的應(yīng)用，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵，屬于基本

知識的考查.

25.（2021?浙江臺州市?中考真題）如圖，將長、寬分別為12cm,3cm的長方形紙片分別沿A5,AC折疊,

點M,N恰好重合于點P.若Na=60。，則折疊后的圖案（陰影部分）面積為（）

MAjif

A.(36—6-\/3)cm2B.(36—126)cm2C.24cmD.36cm

【答案】A

【分析】

過點C作CVLMN,過點8作BE_LMN，根據(jù)折疊的性質(zhì)求出NP4C=Na=60°，

ZEAB=ZPAB=3O°,分別解直角三角形求出A8和AC的長度，即可求解.

【解析】

解：如圖，過點C作。91MV，過點8作

MEAFN

???長方形紙片分別沿4B,AC折疊，點M,N恰好重合于點P,

.?.如C=/a=60。，

ZEAB=ZPAB=30°^

BECFr-

ZBAC=90°.AB=------------=6cm,AC=——=20cm,

sinZ.EABsina

SABC=gAB-AC=6\/3,

2

S陰=S矩形-SABC=12x3-6百=^36-65/3jcm,

故選:A.

【小結(jié)】

本題考查折疊的性質(zhì)、解直角三角形，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

26.（2021?湖南懷化市?中考真題）如圖，菱形A5CZ）的四個頂點均在坐標軸上，對角線AC、30交于原點

O,AEJ_BC于E點,交3“于M點，反比例函數(shù)y=y2（x>0）的圖象經(jīng)過線段。C的中點N,若即=4,

則ME的長為（）

54

A.ME=-B.ME=-

33

C.ME=\D.ME、

【答案】D

【分析】

A

根據(jù)菱形的性質(zhì)得出。點的坐標，利用反比例函數(shù)y=y2（x>0）的圖象經(jīng)過線段。C的中點N,求出C

3x

點的坐標，進而得出NO。。=30°；根據(jù)菱形的性質(zhì)可得/A5C=/ADC=2/OQC=60。，AB=BC，

可判定,ABC是等邊三角形；最后找到用心AM.AE.08之間的數(shù)量關(guān)系求解.

【解析】

???菱形ABC。，BD=4

OD=OB=2

二。點的坐標為（0,2）

設(shè)C點坐標為（年,0）

?.?線段OC的中點N

...設(shè)N點坐標為（土，1）

2

77

乂,/反比例函數(shù)）=m（x>0）的圖象經(jīng)過線段DC的中點N

3x

即C點坐標為（W二，0）,0C=tE

33

在HODC中，,/c”O(jiān)C方~6

tanZ.ODC==---=——

OD23

???ZO￡>C=30°

?菱形ABC。

/.ZABC=ZADC=2ZODC=60°.AB=BC-ZOBC=ZODC=3>Q°

；?,ABC是等邊三角形

又A￡_L3c于E點，3O_LOC于。點

；.AE=0B=2,AO=BE

?;AO=BE，ZAOB=ZAEB=90°，ZAMO=/BME

：..AOM=.BEM(AAS)

■-AM=BM

MF

又?：在RtBME中,嬴=5m30。

ME.…1

二--=sin30=—

AM2

ME=-AE=-x2=-

333

故選：D.

【小結(jié)】

本題考查菱形的性質(zhì)、等邊二角形的判定和特殊角30。的三角函數(shù).菱形的性質(zhì)，四邊相等，對角相等,

對角線互相垂直且平分一組對角.等邊三角形的判定，有一個角為60°角的等腰二角形是等邊三角形.特

殊角30。的三角函數(shù)，sin30°=-,cos30°=—-tan30°=—

223

27.（2021?湖北十堰市?中考真題）如圖，ABC內(nèi)接于0,/84。=120。,4?=4。,3。是。的直徑,

若AD=3,則3C=()

A.2gB.373C.3D.4

【答案】C

【分析】

首先過點。作OF_L8C于F,由垂徑定理可得3F=CF=LBC,然后由NBAC=120。，AB=AC,利用等

2

邊對等角與三角形內(nèi)角和定理，即可求得NC與NBAC的度數(shù)，由5。為（DO的直徑，即可求得/BAZ）與

NO的度數(shù)，又由AO=3,即可求得8。的長，繼而求得8c的長.

【解析】

解：過點。作OFL3C于F,

1

:?BF=CF=—BC,

2

\'AB=AC,ZBAC=\20°r

：.ZC=ZABC=(180°-ZBAC)^2=30°,

???NC與ND是同弧所對的圓周角，

AZD=ZC=30°,

???8。為。。的直徑，

：.ZBAD=90°,

：.N/WQ=60。，

??.ZOBC=ZABD-ZABC=30°,

???A￡)=3,

AAD-?cos30°=3^2^1=273，

：.OB=^-BD=y]3,

BF=OB?cos30°=y/3x,

：.BC=3.

故選：C.

【小結(jié)】

此題考查了圓周角定理、垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的