第七單元高考熱難點(diǎn)(三)高考中的立體幾何熱點(diǎn)問題2023屆1《高考特訓(xùn)營(yíng)》·數(shù)學(xué)01考法102考法203考法3把一個(gè)平面圖形按某種要求折起，轉(zhuǎn)化為空間圖形，進(jìn)而研究圖形在位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系上的變化，這類問題被稱為平面圖形的翻折問題，在高考中圖形的翻折常與空間中的平行垂直及空間角相結(jié)合命題．考法1翻折問題典例1

(2022·山東泰安模擬)條件③：圖(2)中三棱錐A-BCD的體積最大．從以上三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在問題(2)中的橫線上，并加以解答．如圖(1)所示，在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝3，過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上，沿AD將△ABD折起，使∠BDC＝90°(如圖(2))，點(diǎn)E，M分別為棱BC，AC的中點(diǎn)．(1)求證：CD⊥ME.(2)已知________，試在棱CD上確定一點(diǎn)N，使得EN⊥BM，并求銳二面角M-BN-C的余弦值．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：(1)∵CD⊥AD，CD⊥BD，AD∩BD＝D，∴CD⊥平面ABD，∵AB?平面ABD，∴CD⊥AB.又∵M(jìn)，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，∴ME∥AB，∴CD⊥ME.

(1)求證：BC⊥平面ACD.(2)若點(diǎn)F在棱CD上，且滿足AD∥平面BEF，求幾何體F-BCE的體積．∠BAC＝∠ACD＝45°，AB＝4，∴在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2AC×AB×cos45°＝8，∴AB2＝AC2＋BC2＝16，∴AC⊥BC.∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC＝AC，∴BC⊥平面ACD.(2)∵AD∥平面BEF，AD?平面ACD，平面ACD∩平面BEF＝EF，∴AD∥EF，∵E為AC的中點(diǎn)，∴EF為△ACD的中位線，典例2

(2019·新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ卷)圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°，將其沿AB，BC折起，使得BE與BF重合，連接DG，如圖2.(1)證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE.(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大?。猓?1)由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG確定一個(gè)平面，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE.又因?yàn)锳B?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.

翻折問題的兩個(gè)解題策略確定翻折前后變與不變的關(guān)系畫好翻折前后的平面圖形與立體圖形，分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變．一般地，位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系會(huì)發(fā)生變化；對(duì)于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而對(duì)于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決

確定翻折后關(guān)鍵點(diǎn)的位置所謂的關(guān)鍵點(diǎn)，是指翻折過程中運(yùn)動(dòng)變化的點(diǎn)．因?yàn)檫@些點(diǎn)的位置移動(dòng)，會(huì)帶動(dòng)與其相關(guān)的其他的點(diǎn)、線、面的關(guān)系變化，以及其他點(diǎn)、線、面之間位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的變化．只有分析清楚關(guān)鍵點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，才能以此為參照點(diǎn)，確定其他點(diǎn)、線、面的位置，進(jìn)而進(jìn)行有關(guān)的證明與計(jì)算(1)求證：平面A1CP⊥平面A1BE.(2)求二面角B-A1P-D的正弦值．

∵A1P＝AP＝2，A1C＝4，∴A1P2＋PC2＝A1C2，∴PC⊥A1P.∵BP∩A1P＝P，∴PC⊥平面A1BE.∵PC?平面A1CP，∴平面A1CP⊥平面A1BE.(2)如圖4，以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，PB所在直線為x軸，PC所在直線為y軸，過P垂直于平面BCDE的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

對(duì)于存在判斷型問題，解題的一般策略為先假設(shè)存在，然后轉(zhuǎn)化為“封閉型”問題求解判斷，若不出現(xiàn)矛盾，則肯定存在，若出現(xiàn)矛盾，則否定存在．考法2立體幾何中的探索性問題

解：(1)證明：由題設(shè)知平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD.因?yàn)锽C⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，所以BC⊥DM.所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.因?yàn)镈M?平面AMD，所以平面AMD⊥平面BMC.(2)當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí)，MC∥平面PBD.證明如下：連接AC，交BD于O.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)．連接OP，因?yàn)镻為AM的中點(diǎn)，所以MC∥OP.又MC?平面PBD，OP?平面PBD，所以MC∥平面PBD.解決線面關(guān)系中存在性問題的策略對(duì)于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足，則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)．

(1)求證：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，則側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說明理由．解：(1)證明：如圖所示，連接BD，設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，則AC⊥BD.連接SO，則由題意知SO⊥平面ABCD.

解：(1)證明：因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，DE⊥AD，DE?平面ADEF，所以DE⊥平面ABCD.因?yàn)锳C?平面ABCD，所以DE⊥AC.又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AC⊥BD.因?yàn)镈E∩BD＝D，DE?平面BED，BD?平面BED，所以AC⊥平面BED.又因?yàn)锳C?平面ACE，所以平面ACE⊥平面BED.(2)因?yàn)镈A，DC，DE兩兩垂直，所以以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA，DC，DE分別為x軸，y軸，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，

空間角存在性問題的解題策略借助于空間直角坐標(biāo)系，把幾何對(duì)象上動(dòng)態(tài)點(diǎn)的坐標(biāo)用參數(shù)(變量)表示，將幾何對(duì)象坐標(biāo)化，這樣根據(jù)所要滿足的題設(shè)要求得到相應(yīng)的方程或方程組．若方程或方程組在題設(shè)范圍內(nèi)有解，則通過參數(shù)的值反過來確定幾何對(duì)象的位置；若方程或方程組在題設(shè)范圍內(nèi)無解，則表示滿足題設(shè)要求的幾何對(duì)象不存在．◎跟蹤訓(xùn)練◎如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2.(1)求證：當(dāng)點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)時(shí)，D1E⊥A1D.(2)在棱AB上是否存在點(diǎn)E，使二面角D1-EC-D的平面角為30°？若存在，求出AE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0，0)，C(0，2，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)．設(shè)E(1，y0，0)(0≤y0≤2)．

空間幾何體中的某些對(duì)象，如點(diǎn)、線、面，在約束條件下運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)相關(guān)的線段長(zhǎng)度、體積等發(fā)生變化，進(jìn)而就有了面積與體積的最值問題．考法3有關(guān)最值問題(1)證明：BC⊥平面ABD.(2)設(shè)E為棱AC的中點(diǎn)，當(dāng)四面體ABCD的體積取得最大值時(shí)，求平面BCD與平面BDE夾角的余弦值．解：(1)證明：因?yàn)?/p>

AD⊥AB，平面ABD⊥平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，AD?平面ABD，所以AD⊥平面ABC，因?yàn)锽C?平面ABC，所以AD⊥BC.所以AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC，因?yàn)锳D∩AB＝A，所以BC⊥平面ABD.

與體積、面積有關(guān)的最值問題的解題策略定性分析在空間幾何體的變化過程中，通過觀察運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的位置變化，確定其相關(guān)量的變化規(guī)律，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)相關(guān)面積或體積的變化規(guī)律，求得其最大值或最小值定量分析將所求問題轉(zhuǎn)化為某一個(gè)相關(guān)量的問題，即轉(zhuǎn)化為關(guān)于其中一個(gè)量的函數(shù)，求其最大值或最小值的問題．根據(jù)具體情況，有函數(shù)法、不等式法、三角函數(shù)法等多種方法可供選擇◎跟蹤訓(xùn)練◎現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍．(1)若AB＝6m，PO1＝2m，則倉庫的容積是多少？(2)若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6m，則當(dāng)PO1為多少時(shí)，