2024—2025年度第一學期初三年級期末考試數(shù)學試題一、選擇題（每題3分，共30分）1．未來將是一個可以預見的AI時代．AI一般指人工智能，它研究、開發(fā)用于模擬、延伸和擴展人的智能的理論、方法、技術及應用系統(tǒng)的一門新的技術科學．下列是世界著名人工智能品牌公司的圖標，其中是軸對稱圖形也是中心對稱圖形的是（）.A．B．C． D．2．已知⊙O的直徑為10，點P到點O的距離大于8，那么點P的位置（）.A.一定在⊙O的內(nèi)部B.一定在⊙O的外部C.一定在⊙O的上D.不能確定3.在同一時刻的陽光下，小明的影子比小強的影子長，那么在同一路燈下（）A.小明的影子比小強的長B.小明的影子比小強的短C.小明的影子和小強的一樣長D.無法判斷誰的影子長4．若△ABC∽△A′B′C′,相似比為1∶2,則△ABC與△A′B′C′的面積的比為（）.A.1∶2 B.2∶1 C.1∶4 D.4∶15．函數(shù)與（a≠0）在同一平面直角坐標系中的大致圖象可能().A． B． C． D．6.如圖，C為半圓內(nèi)一點，O為圓心，直徑AB長為2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，將△BOC繞圓心O逆時針旋轉(zhuǎn)至△B'OC'，點C'在OA上，則邊BC掃過區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為（）.D.C.B.A.D.C.B.A.7.如圖，A為反比例函數(shù)圖象上一點，AB垂直x軸于B點。若S△AOB＝5，則k的值為（）.A.10 B.-10 C.-5 D.(第6題圖）(第7題圖）8.已知關于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（）.A．k≥2 B．k≤2 C．﹣1≤k≤2 D．﹣1≤k≤2且9.已知：如圖，弦AB的垂直平分線交⊙O于點C、D，則下列說法中不正確的是().A.弦CD一定是⊙O的直徑B.點O到AC、BC的距離相等C.∠A與∠ABD互余D.∠A與∠CBD互補（第9題圖）（第10題圖）10如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點A（﹣2，0）和B（4，0），點C為拋物線的頂點，則下列結論：①abc＞0；②關于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集為﹣2＜x＜4；③3a+c＜0；④若△ABC是直角三角形，則點C的坐標為（1，﹣3）；⑤若m為任意實數(shù)，則am2+bm＞a+b．其中結論正確的個數(shù)是（）.A．2 B．3 C．4 D．5填空題（每題3分，共15分）11.等腰三角形的底和腰是方程的兩根，則這個三角形的周長為．12.如圖所示，在□ABCD中，點E是邊AD的中點，EC交對角線BD于點F，則EF︰FC等于．直徑為10cm的⊙O中，弦AB=5cm，則弦AB所對的圓周角是．14.如圖，點A在雙曲線上，點B在雙曲線上，且AB∥x軸，則△OAB的面積等于．15.如圖，我們把一個半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”，已知點A、B、C、D分別是“果圓”與坐標軸的交點，拋物線的解析式為y＝x2﹣4x﹣5，AB為半圓的直徑，M為圓心，則這個“果圓”被y軸截得的弦CD的長為．解答題（共7道題，共55分）寫出必要的解題過程；16．（5分）解方程：2（x﹣5）2＝5﹣x17.（7分）如圖，△ABC在平面直角坐標系中，點A（3，2）、B（0，2）、C（1，0）．解答問題：（1）請按要求對△ABC作如下變換：①將△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A1B1C1．②以點O為位似中心，位似比為2：1，將△ABC在位似中心的異側進行放大得到△A2B2C2；并寫出點A1，A2的坐標：，．（2）在△ABC內(nèi)，點P的坐標為（a，b），在△A1B1C1中與之對應的點為Q，在△A2B2C2中與之對應的點為R．則S△PQR＝．（用含a，b的代數(shù)式表示）18.（7分）一天晚上，李明和張龍利用燈光下的影子長來測量一路燈D的高度.如圖所示，當李明走到點A時，張龍測得李明直立時身高AM與其影子長AE正好相等；接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，到點B處時，李明直立時身高BN的影子恰好是線段AB，并測得AB＝1.25m.已知李明直立的身高為1.75m.求路燈的高度CD.（結果精確到0.1m）19.（8分）“讀書，使人思想活躍，聰穎智慧；使人增長見識，談吐不凡；使人目光遠大，志存高遠”．某校為響應我市全民閱讀活動，利用節(jié)假日面向社會開放學校圖書館．據(jù)統(tǒng)計，第一個月進館384人次，進館人次逐月增加，到第三個月末累計進館1824人次，若進館人次的月平均增長率相同．（1）求進館人次的月平均增長率；（2）因條件限制，學校圖書館每月接納能力不超過1350人次，在進館人次的月平均增長率不變的條件下，校圖書館能否接納第四個月的進館人次，并說明理由．20.（8分）如圖，一次函數(shù)y1＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A（3，n）、B（﹣1，﹣3）兩點．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）求△AOB的面積；（3）當y1＞y2時，根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．21．（8分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，O是AB上一點，以OA為半徑的⊙O經(jīng)過點D，交AB于點E．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若BE＝2，BD＝4，求AB長．22.（12分）如圖1，若二次函數(shù)y＝ax2+bx+4的圖象與x軸交于點A（﹣1，0）、B（4，0），與y軸交于點C，連接AC、BC．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）若點P是拋物線在第一象限上一動點，連接PB、PC，當△PBC的面積最大時，求出點P的坐標；（3）如圖2，若點Q是拋物線上一動點，且滿足∠QBC＝45°﹣∠ACO，請直接寫出點Q坐標．2024—2025年度第一學期初三年級期末考試數(shù)學試題答案一、選擇題（每題3分，共30分）1．D2.B3.D4．C5.A6.B7.B8.C9.D10.C二．填空題（每題3分，共15分）11.1012.1：213.30°和150°14.15.三、解答題（共55分）寫出必要的解題過程16．（5分）解方程：2（x﹣5）2＝5﹣x．解：2（x﹣5）2＝5﹣x，2（x﹣5）2+（x﹣5）＝0，--------------------------------1分（x﹣5）[2（x﹣5）+1]＝0，----------------------------2分x﹣5＝0或2（x﹣5）+1＝0，---------------------------4分x1＝5，------------------------------------------------5分（7分）如圖，△ABC在平面直角坐標系中，點A（3，2）、B（0，2）、C（1，0）．解答問題：（1）請按要求對△ABC作如下變換：①將△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A1B1C1．②以點O為位似中心，位似比為2：1，將△ABC在位似中心的異側進行放大得到△A2B2C2；并寫出點A1，A2的坐標：，．（2）在△ABC內(nèi)，點P的坐標為（a，b），在△A1B1C1中與之對應的點為Q，在△A2B2C2中與之對應的點為R．則S△PQR＝．（用含a，b的代數(shù)式表示）解：（1）如圖，請按要求對△ABC作如下變換：①則△A1B1C1為所求②則△A2B2C2為所求--------------------------------------------2分點A1的坐標為（﹣2，3），點A2的坐標為（﹣6，﹣4）．---------------------------------4分故答案為（﹣2，3），（﹣6，﹣4）；（2）易得Q（﹣b，a），R（﹣2a，﹣2b），PR＝3，OQOQ⊥OP，-------------------------------5分∴S△PQRPR×QO3=（a2+b2）．---------------7分18.（7分）一天晚上，李明和張龍利用燈光下的影子長來測量一路燈D的高度.如圖所示，當李明走到點A時，張龍測得李明直立時身高AM與其影子長AE正好相等；接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，到點B處時，李明直立時身高BN的影子恰好是線段AB，并測得AB＝1.25m.已知李明直立的身高為1.75m.求路燈的高度CD.（結果精確到0.1m）解：設CD的長為xm.∵AM⊥EC,CD⊥EC,BN⊥EC,∴MA∥CD,BN∥CD.------2分又EA＝MA，∴EC=CD=.由BN∥CD可得△ABN∽△ACD---------------4分∴即，------------------6分解得=6.125≈6.1.∴路燈高CD約為6.1m.---------------------------7分19.（8分）“讀書，使人思想活躍，聰穎智慧；使人增長見識，談吐不凡；使人目光遠大，志存高遠”．某校為響應我市全民閱讀活動，利用節(jié)假日面向社會開放學校圖書館．據(jù)統(tǒng)計，第一個月進館384人次，進館人次逐月增加，到第三個月末累計進館1824人次，若進館人次的月平均增長率相同．（1）求進館人次的月平均增長率；（2）因條件限制，學校圖書館每月接納能力不超過1350人次，在進館人次的月平均增長率不變的條件下，校圖書館能否接納第四個月的進館人次，并說明理由．解：（1）設進館人次的月平均增長率為x，則由題意得：384+384（1+x）+384（1+x）2＝1824．化簡得：4x2+12x﹣7＝0．∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）．答：進館人次的月平均增長率為50%．---------------------4分（2）能，理由如下：------------------------------------------------5分∵進館人次的月平均增長率為50%，∴第四個月的進館人次為：384（1+50%）3＝3841296＜1350．-----------------7分答：校圖書館能接納第四個月的進館人次．------------------------------------------------8分20.(8分）如圖，一次函數(shù)y1＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2=mx的圖象交于A（3，（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）求△AOB的面積；（3）當y1＞y2時，根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．解：（1）將B（﹣1，﹣3）代入中，得解得m＝3，∴反比例函數(shù)解析式為：---------------------------------------2分∵點A（3，n）在反比例函數(shù)上，∴n＝1，將A（3，1）、B（﹣1，﹣3）代入y1＝kx+b，得1=3k+b?3=?k+b解得k=1b=?2∴一次函數(shù)的解析式為：y1＝x﹣2．----------------------------------------4分（2）由（1）得，直線AB的解析式為：y＝x﹣2，令x＝0，則y＝﹣2，令y＝0，則x＝2，∴此函數(shù)圖象與x軸交點坐標為（2，0），與y軸交點坐標為（0，﹣2），--------------5分∴S△AOB=（3）∵一次函數(shù)和反比例函數(shù)交于A（3，1），B（﹣1，﹣3）兩點，∴A、B橫坐標分別為3、﹣1，-------------------------------------------------------------7分∵y1＞y2∴一次函數(shù)圖象要位于反比例函數(shù)圖象上方，即在點A的右側，點B的左側，∴﹣1＜x＜0或x＞3．---------------------------------------------------8分21.（8分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，O是AB上一點，以OA為半徑的⊙O經(jīng)過點D，交AB于點E．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若BE＝2，BD＝4，求AB長．（1）證明：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠DAC＝∠OAD，∴∠DAC＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠BDO＝∠C＝90°，----------------------------------------------4分∵OD是半徑，------------------------------------------------------5分∴BC是⊙O的切線；（2）解：設⊙O的半徑為r，則OD＝OE＝OA＝r，OB＝2+r，AB＝2+2r，由勾股定理得，OB2﹣OD2＝BD2，即（2+r）2﹣r2＝42，--------------------------6分解得，r＝3，------------------------------------------------------------------------7分∴AB＝2+2×3＝8，∴AB的長為8．------------------------------------------------------------------------8分22．（12分）如圖1，若二次函數(shù)y＝ax2+bx+4的圖象與x軸交于點A（﹣1，0）、B（4，0），與y軸交于點C，連接AC、BC．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）若點P是拋物線在第一象限上一動點，連接PB、PC，當△PBC的面積最大時，求出點P的坐標；（3）如圖2，若點Q是拋物線上一動點，且滿足∠QBC＝45°﹣∠ACO，請直接寫出點Q坐標．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+4的圖象與x軸交于點A（﹣1，0）、B（4，0），∴a?b+4=016a+4b+4=0解得a=?1b=3∴y＝﹣x2+3x+4；----------------------------------------------------3分（2）如圖，過點P作x軸的垂線，交BC于點N，在y＝﹣x2+3x+4中，當x＝0時，y＝4，∴C（0，4），---------------------------------------------------------------------------4分設直線BC的解析式為y＝kx+4，將點B（4，0）代入y＝kx+4，得4k+4＝0，∴k＝﹣1，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4，----------------------------------------------------5分設P（x，﹣x2+3x+4），則N（x，﹣x+4），∴PN＝﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2