2024—2025年度第一學(xué)期初三年級(jí)期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題（每題3分，共30分）1．未來將是一個(gè)可以預(yù)見的AI時(shí)代．AI一般指人工智能，它研究、開發(fā)用于模擬、延伸和擴(kuò)展人的智能的理論、方法、技術(shù)及應(yīng)用系統(tǒng)的一門新的技術(shù)科學(xué)．下列是世界著名人工智能品牌公司的圖標(biāo)，其中是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形的是（）.A．B．C． D．2．已知⊙O的直徑為10，點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于8，那么點(diǎn)P的位置（）.A.一定在⊙O的內(nèi)部B.一定在⊙O的外部C.一定在⊙O的上D.不能確定3.在同一時(shí)刻的陽光下，小明的影子比小強(qiáng)的影子長，那么在同一路燈下（）A.小明的影子比小強(qiáng)的長B.小明的影子比小強(qiáng)的短C.小明的影子和小強(qiáng)的一樣長D.無法判斷誰的影子長4．若△ABC∽△A′B′C′,相似比為1∶2,則△ABC與△A′B′C′的面積的比為（）.A.1∶2 B.2∶1 C.1∶4 D.4∶15．函數(shù)與（a≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能().A． B． C． D．6.如圖，C為半圓內(nèi)一點(diǎn)，O為圓心，直徑AB長為2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，將△BOC繞圓心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△B'OC'，點(diǎn)C'在OA上，則邊BC掃過區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為（）.D.C.B.A.D.C.B.A.7.如圖，A為反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，AB垂直x軸于B點(diǎn)。若S△AOB＝5，則k的值為（）.A.10 B.-10 C.-5 D.(第6題圖）(第7題圖）8.已知關(guān)于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）.A．k≥2 B．k≤2 C．﹣1≤k≤2 D．﹣1≤k≤2且9.已知：如圖，弦AB的垂直平分線交⊙O于點(diǎn)C、D，則下列說法中不正確的是().A.弦CD一定是⊙O的直徑B.點(diǎn)O到AC、BC的距離相等C.∠A與∠ABD互余D.∠A與∠CBD互補(bǔ)（第9題圖）（第10題圖）10如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0）和B（4，0），點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)，則下列結(jié)論：①abc＞0；②關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集為﹣2＜x＜4；③3a+c＜0；④若△ABC是直角三角形，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，﹣3）；⑤若m為任意實(shí)數(shù)，則am2+bm＞a+b．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）.A．2 B．3 C．4 D．5填空題（每題3分，共15分）11.等腰三角形的底和腰是方程的兩根，則這個(gè)三角形的周長為．12.如圖所示，在□ABCD中，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，EC交對(duì)角線BD于點(diǎn)F，則EF︰FC等于．直徑為10cm的⊙O中，弦AB=5cm，則弦AB所對(duì)的圓周角是．14.如圖，點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)B在雙曲線上，且AB∥x軸，則△OAB的面積等于．15.如圖，我們把一個(gè)半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”，已知點(diǎn)A、B、C、D分別是“果圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，拋物線的解析式為y＝x2﹣4x﹣5，AB為半圓的直徑，M為圓心，則這個(gè)“果圓”被y軸截得的弦CD的長為．解答題（共7道題，共55分）寫出必要的解題過程；16．（5分）解方程：2（x﹣5）2＝5﹣x17.（7分）如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（3，2）、B（0，2）、C（1，0）．解答問題：（1）請(qǐng)按要求對(duì)△ABC作如下變換：①將△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A1B1C1．②以點(diǎn)O為位似中心，位似比為2：1，將△ABC在位似中心的異側(cè)進(jìn)行放大得到△A2B2C2；并寫出點(diǎn)A1，A2的坐標(biāo)：，．（2）在△ABC內(nèi)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），在△A1B1C1中與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Q，在△A2B2C2中與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為R．則S△PQR＝．（用含a，b的代數(shù)式表示）18.（7分）一天晚上，李明和張龍利用燈光下的影子長來測(cè)量一路燈D的高度.如圖所示，當(dāng)李明走到點(diǎn)A時(shí)，張龍測(cè)得李明直立時(shí)身高AM與其影子長AE正好相等；接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，到點(diǎn)B處時(shí)，李明直立時(shí)身高BN的影子恰好是線段AB，并測(cè)得AB＝1.25m.已知李明直立的身高為1.75m.求路燈的高度CD.（結(jié)果精確到0.1m）19.（8分）“讀書，使人思想活躍，聰穎智慧；使人增長見識(shí)，談吐不凡；使人目光遠(yuǎn)大，志存高遠(yuǎn)”．某校為響應(yīng)我市全民閱讀活動(dòng)，利用節(jié)假日面向社會(huì)開放學(xué)校圖書館．據(jù)統(tǒng)計(jì)，第一個(gè)月進(jìn)館384人次，進(jìn)館人次逐月增加，到第三個(gè)月末累計(jì)進(jìn)館1824人次，若進(jìn)館人次的月平均增長率相同．（1）求進(jìn)館人次的月平均增長率；（2）因條件限制，學(xué)校圖書館每月接納能力不超過1350人次，在進(jìn)館人次的月平均增長率不變的條件下，校圖書館能否接納第四個(gè)月的進(jìn)館人次，并說明理由．20.（8分）如圖，一次函數(shù)y1＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A（3，n）、B（﹣1，﹣3）兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）求△AOB的面積；（3）當(dāng)y1＞y2時(shí)，根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．21．（8分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若BE＝2，BD＝4，求AB長．22.（12分）如圖1，若二次函數(shù)y＝ax2+bx+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC、BC．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)P是拋物線在第一象限上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC，當(dāng)△PBC的面積最大時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，若點(diǎn)Q是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠QBC＝45°﹣∠ACO，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q坐標(biāo)．2024—2025年度第一學(xué)期初三年級(jí)期末考試數(shù)學(xué)試題答案一、選擇題（每題3分，共30分）1．D2.B3.D4．C5.A6.B7.B8.C9.D10.C二．填空題（每題3分，共15分）11.1012.1：213.30°和150°14.15.三、解答題（共55分）寫出必要的解題過程16．（5分）解方程：2（x﹣5）2＝5﹣x．解：2（x﹣5）2＝5﹣x，2（x﹣5）2+（x﹣5）＝0，--------------------------------1分（x﹣5）[2（x﹣5）+1]＝0，----------------------------2分x﹣5＝0或2（x﹣5）+1＝0，---------------------------4分x1＝5，------------------------------------------------5分（7分）如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（3，2）、B（0，2）、C（1，0）．解答問題：（1）請(qǐng)按要求對(duì)△ABC作如下變換：①將△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A1B1C1．②以點(diǎn)O為位似中心，位似比為2：1，將△ABC在位似中心的異側(cè)進(jìn)行放大得到△A2B2C2；并寫出點(diǎn)A1，A2的坐標(biāo)：，．（2）在△ABC內(nèi)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），在△A1B1C1中與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Q，在△A2B2C2中與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為R．則S△PQR＝．（用含a，b的代數(shù)式表示）解：（1）如圖，請(qǐng)按要求對(duì)△ABC作如下變換：①則△A1B1C1為所求②則△A2B2C2為所求--------------------------------------------2分點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（﹣2，3），點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（﹣6，﹣4）．---------------------------------4分故答案為（﹣2，3），（﹣6，﹣4）；（2）易得Q（﹣b，a），R（﹣2a，﹣2b），PR＝3，OQOQ⊥OP，-------------------------------5分∴S△PQRPR×QO3=（a2+b2）．---------------7分18.（7分）一天晚上，李明和張龍利用燈光下的影子長來測(cè)量一路燈D的高度.如圖所示，當(dāng)李明走到點(diǎn)A時(shí)，張龍測(cè)得李明直立時(shí)身高AM與其影子長AE正好相等；接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，到點(diǎn)B處時(shí)，李明直立時(shí)身高BN的影子恰好是線段AB，并測(cè)得AB＝1.25m.已知李明直立的身高為1.75m.求路燈的高度CD.（結(jié)果精確到0.1m）解：設(shè)CD的長為xm.∵AM⊥EC,CD⊥EC,BN⊥EC,∴MA∥CD,BN∥CD.------2分又EA＝MA，∴EC=CD=.由BN∥CD可得△ABN∽△ACD---------------4分∴即，------------------6分解得=6.125≈6.1.∴路燈高CD約為6.1m.---------------------------7分19.（8分）“讀書，使人思想活躍，聰穎智慧；使人增長見識(shí)，談吐不凡；使人目光遠(yuǎn)大，志存高遠(yuǎn)”．某校為響應(yīng)我市全民閱讀活動(dòng)，利用節(jié)假日面向社會(huì)開放學(xué)校圖書館．據(jù)統(tǒng)計(jì)，第一個(gè)月進(jìn)館384人次，進(jìn)館人次逐月增加，到第三個(gè)月末累計(jì)進(jìn)館1824人次，若進(jìn)館人次的月平均增長率相同．（1）求進(jìn)館人次的月平均增長率；（2）因條件限制，學(xué)校圖書館每月接納能力不超過1350人次，在進(jìn)館人次的月平均增長率不變的條件下，校圖書館能否接納第四個(gè)月的進(jìn)館人次，并說明理由．解：（1）設(shè)進(jìn)館人次的月平均增長率為x，則由題意得：384+384（1+x）+384（1+x）2＝1824．化簡(jiǎn)得：4x2+12x﹣7＝0．∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）．答：進(jìn)館人次的月平均增長率為50%．---------------------4分（2）能，理由如下：------------------------------------------------5分∵進(jìn)館人次的月平均增長率為50%，∴第四個(gè)月的進(jìn)館人次為：384（1+50%）3＝3841296＜1350．-----------------7分答：校圖書館能接納第四個(gè)月的進(jìn)館人次．------------------------------------------------8分20.(8分）如圖，一次函數(shù)y1＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2=mx的圖象交于A（3，（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）求△AOB的面積；（3）當(dāng)y1＞y2時(shí)，根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．解：（1）將B（﹣1，﹣3）代入中，得解得m＝3，∴反比例函數(shù)解析式為：---------------------------------------2分∵點(diǎn)A（3，n）在反比例函數(shù)上，∴n＝1，將A（3，1）、B（﹣1，﹣3）代入y1＝kx+b，得1=3k+b?3=?k+b解得k=1b=?2∴一次函數(shù)的解析式為：y1＝x﹣2．----------------------------------------4分（2）由（1）得，直線AB的解析式為：y＝x﹣2，令x＝0，則y＝﹣2，令y＝0，則x＝2，∴此函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣2），--------------5分∴S△AOB=（3）∵一次函數(shù)和反比例函數(shù)交于A（3，1），B（﹣1，﹣3）兩點(diǎn)，∴A、B橫坐標(biāo)分別為3、﹣1，-------------------------------------------------------------7分∵y1＞y2∴一次函數(shù)圖象要位于反比例函數(shù)圖象上方，即在點(diǎn)A的右側(cè)，點(diǎn)B的左側(cè)，∴﹣1＜x＜0或x＞3．---------------------------------------------------8分21.（8分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若BE＝2，BD＝4，求AB長．（1）證明：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠DAC＝∠OAD，∴∠DAC＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠BDO＝∠C＝90°，----------------------------------------------4分∵OD是半徑，------------------------------------------------------5分∴BC是⊙O的切線；（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r，則OD＝OE＝OA＝r，OB＝2+r，AB＝2+2r，由勾股定理得，OB2﹣OD2＝BD2，即（2+r）2﹣r2＝42，--------------------------6分解得，r＝3，------------------------------------------------------------------------7分∴AB＝2+2×3＝8，∴AB的長為8．------------------------------------------------------------------------8分22．（12分）如圖1，若二次函數(shù)y＝ax2+bx+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC、BC．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)P是拋物線在第一象限上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC，當(dāng)△PBC的面積最大時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，若點(diǎn)Q是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠QBC＝45°﹣∠ACO，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（4，0），∴a?b+4=016a+4b+4=0解得a=?1b=3∴y＝﹣x2+3x+4；----------------------------------------------------3分（2）如圖，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交BC于點(diǎn)N，在y＝﹣x2+3x+4中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，∴C（0，4），---------------------------------------------------------------------------4分設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+4，將點(diǎn)B（4，0）代入y＝kx+4，得4k+4＝0，∴k＝﹣1，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4，----------------------------------------------------5分設(shè)P（x，﹣x2+3x+4），則N（x，﹣x+4），∴PN＝﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2