高一數(shù)學(xué)試題2025.1主考學(xué)校：德州二中本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷1-2頁(yè)，第II卷3-4頁(yè)，共150分，測(cè)試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在測(cè)試卷上.第I卷選擇題（共58分）一、選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.）1.命題，的否定是（）A， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】將全稱(chēng)量詞命題否定為存在量詞命題即可.【詳解】命題，的否定是，.故選：D2.已知命題為銳角；命題且；則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析判斷即可.【詳解】當(dāng)為銳角時(shí)，且；當(dāng)且時(shí)，為第一象限的角，此時(shí)不一定為銳角，所以是充分不必要條件.故選：A3.已知函數(shù)（且）恒過(guò)定點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的冪函數(shù)經(jīng)過(guò)（）A.第一、二象限 B.第三、四象限 C.第一、三象限 D.第二、四象限【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出冪函數(shù)的解析式，然后根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得答案.【詳解】由，得，則，所以函數(shù)（且）恒過(guò)定點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的冪函數(shù)為，則，得，所以過(guò)點(diǎn)的冪函數(shù)為，此冪函數(shù)的圖象只經(jīng)過(guò)第一、二象限，故選：A4.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行比較即可.【詳解】，因?yàn)樵谏线f增，且，所以，所以，即，因?yàn)樵谏线f增，且，所以，所以，即，所以.故選：D5.我國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問(wèn)題：“今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何?”現(xiàn)有一類(lèi)似問(wèn)題：不確定大小的圓柱形木材，部分埋在墻壁中，其截面如圖所示.用鋸去鋸這木材，若，，則圖中弧與弦圍成的弓形的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知所求弓形的面積為扇形的面積減去等邊三角形的面積，所以根據(jù)已知條件求出扇形的面積和等邊三角形的面積即可.【詳解】因?yàn)?，，所以為等邊三角形，因?yàn)?，所以，所以弧與弦圍成的弓形的面積為.故選：B6.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，角與角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別是射線和射線，若射線與單位圓的交點(diǎn)為，射線與單位圓的交點(diǎn)為，且，則的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)題意求出，再根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式求出的值，然后代入計(jì)算即可.【詳解】由題意得，且，解得，所以，所以，因?yàn)椋?，所?故選：A7.教室通風(fēng)的目的是通過(guò)空氣的流動(dòng)，排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微生物，降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度，送進(jìn)室外的新鮮空氣.按照國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，教室內(nèi)空氣中二氧化碳最高容許濃度為0.15%.經(jīng)測(cè)定，剛下課時(shí)，空氣中含有0.35%的二氧化碳，若開(kāi)窗通風(fēng)后教室內(nèi)二氧化碳的濃度為，且隨時(shí)間（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數(shù)描述，又測(cè)定，當(dāng)時(shí)，教室內(nèi)空氣中含有0.2%的二氧化碳，則該教室內(nèi)從剛下課時(shí)的二氧化碳濃度達(dá)到國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，所需要時(shí)間（單位：分鐘）的最小整數(shù)值為（參考數(shù)據(jù)，）（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】由題意可知當(dāng)時(shí)，，代入函數(shù)中可求出的值，當(dāng)時(shí)，，代入函數(shù)中可求出的值，從而可求出函數(shù)解析式，然后將代入函數(shù)求出即可.【詳解】由題意可知當(dāng)時(shí)，，所以，得，所以，當(dāng)時(shí)，，則，所以，得，所以，，得，所以，當(dāng)時(shí)，，得，所以，，得，所以所求時(shí)間的最小整數(shù)值為8.故選：C8.定義不超過(guò)的最大整數(shù)稱(chēng)為的整數(shù)部分，記作，為的小數(shù)部分，記作，稱(chēng)為小數(shù)函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.B.小數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增C.為奇函數(shù)D.的所有零點(diǎn)之和為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，依次分析各選項(xiàng)否正確，綜合可得出答案.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)題意，，，當(dāng)時(shí)，，，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，所以，小數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)不是單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，因?yàn)椋?，所以，所以不是奇函?shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的零點(diǎn)，即方程的根顯然不是方程的根；當(dāng)，方程化為，作出兩函數(shù)與的圖像如圖：由圖知，兩函數(shù)的交點(diǎn)除之外，其余的交點(diǎn)關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為，故D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的新定義、函數(shù)圖像及其性質(zhì)和函數(shù)零點(diǎn)的求解，為函數(shù)的綜合問(wèn)題.考查運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力和數(shù)形結(jié)合思想，把函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題是關(guān)鍵.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列計(jì)算正確的有（）A.B.C.若，，則D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算判斷A，應(yīng)用指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)求值判斷B，應(yīng)用換底公式及對(duì)數(shù)運(yùn)算判斷C，應(yīng)用指數(shù)運(yùn)算計(jì)算判斷D.【詳解】，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，B選項(xiàng)正確；若，，則，C選項(xiàng)正確；若，則，所以，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.10.已知角滿足，則（）A.0 B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由已知條件可得，然后利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，再化簡(jiǎn)計(jì)算即可得答案【詳解】由，得，所以，則，化簡(jiǎn)整理得，所以，或，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故選：ACD11.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)B.若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則C.關(guān)于的方程有5個(gè)不等實(shí)數(shù)根D.若關(guān)于的方程有3個(gè)不等實(shí)根時(shí)，實(shí)根之和為，有4個(gè)不等實(shí)根時(shí)，實(shí)根之和為，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)圖象即可判斷A正確；利用函數(shù)與方程的思想結(jié)合圖象可知B錯(cuò)誤；由整體換元法令可知有三個(gè)零點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的值共有5個(gè)，可得C正確；由圖象對(duì)稱(chēng)性可得，而或，可判斷D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，由函數(shù)解析式可畫(huà)出函數(shù)圖象如下：顯然函數(shù)圖象與軸僅有三個(gè)交點(diǎn)，可得A正確；對(duì)于B，若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，可得函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，可得或，因此B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，由可得，易知；結(jié)合圖象可知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，不妨取，結(jié)合圖象可知兩個(gè)零點(diǎn)在拋物線對(duì)稱(chēng)軸的兩側(cè)，且在函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，即可得；易知與函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，與函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，與函數(shù)的圖象有0個(gè)交點(diǎn)；因此關(guān)于的方程有5個(gè)不等實(shí)數(shù)根，即C正確；對(duì)于D，若關(guān)于的方程有3個(gè)不等實(shí)根時(shí)，可得或當(dāng)，利用對(duì)稱(chēng)性可知實(shí)根之和為，當(dāng)，實(shí)根之和為，當(dāng)有4個(gè)不等實(shí)根時(shí)，可得，實(shí)根之和為，即可能或，可得D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)經(jīng)常通過(guò)畫(huà)出函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)與方程的思想將零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，再利用對(duì)稱(chēng)性求出所有零點(diǎn)之和.第II卷非選擇題（共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則_____.【答案】8【解析】【分析】由題意可得，且，則可求出的值，從而可求出冪函數(shù)的解析式，進(jìn)而可求出.【詳解】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以，得，，解得或，因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，得，所以，所以，所以.故答案為：813.定義，已知，，記函數(shù)，則的最大值是_____.【答案】##【解析】【分析】先根據(jù)題意求出解析式，然后求出每一段上函數(shù)的值域，從而可求出的值域，進(jìn)而可求出的最大值.【詳解】由，得，化簡(jiǎn)得，解得或，所以，在上遞增，所以，在上遞減，所以，在上遞減，所以，得，綜上，，所以的最大值是.故答案為：14.已知函數(shù)，若，則的最小值為_(kāi)____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷在不同區(qū)間的符號(hào)，在結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得為該二次函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合恒成立列不等式求參數(shù)最值，即可求解；【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，而，，，要使，則二次函數(shù)，在上，在上，所以為該二次函數(shù)在上的唯一一個(gè)零點(diǎn)，易得，又，且開(kāi)口向上，所以，只需，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15.已知函數(shù).（1）若關(guān)于的不等式的解集為，求、；（2）當(dāng)時(shí)，①若關(guān)于的不等式解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍；②若、，求的最小值.【答案】（1），.（2）①；②.【解析】【分析】（1）分析可知、是方程的兩根，利用韋達(dá)定理可求得、的值；（2）由已知條件得出，①由題意可得，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；②將代數(shù)式與相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求得的最小值.【小問(wèn)1詳解】由題意可知、是方程的兩根，則，解得，【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，則，可得，則，則，①因?yàn)殛P(guān)于的不等式解集為，則，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；②因?yàn)?、，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)，時(shí)，的最小值為.16.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于第四象限內(nèi)的點(diǎn).（1）若，求及的值；（2）若，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，，結(jié)合求出，然后根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求出，再對(duì)所求的式子化簡(jiǎn)變形，然后代值計(jì)算即可；（2）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系對(duì)已知條件化簡(jiǎn)可求出，然后由可求得答案.【小問(wèn)1詳解】由已知角的終邊與單位圓交于第四象限內(nèi)的點(diǎn)，則，，，，由，得，則，再由誘導(dǎo)公式可得.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，又是第四象限角，所以，，即?7.已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù).（1）若集合，，求；（2）設(shè)，且在上的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可得可求出，然后再驗(yàn)證即可求出的解析式，再解不等式求出集合，從而可求出；（2）令，則將轉(zhuǎn)化為，，然后分和兩種情況結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最小值，然后列方程可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，可得，當(dāng)時(shí)，，所以，，所以為奇函數(shù)，所以；由，得，即，因?yàn)?，所以，所以，即?所以【小問(wèn)2詳解】令，因?yàn)楹驮谏线f增，所以在上遞增，所以時(shí)，，可化為，，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以或,又，所以合題意.當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù),，解得不合題意，舍去,綜上可知.18.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若，滿足成立，則稱(chēng)函數(shù)是“任意漂移函數(shù)”；若，滿足成立，則稱(chēng)函數(shù)是“存在漂移函數(shù)”.（1）若函數(shù)是定義在的“存在漂移函數(shù)”，求出的值；（2）若函數(shù)是定義在“任意漂移函數(shù)”，且，，解關(guān)于的不等式；（3）若函數(shù)是定義在的“存在漂移函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由漂移函數(shù)的定義列出方程求解即可；（2）先確定在是單調(diào)遞增函數(shù)，再通過(guò)賦值令，，得到，由單調(diào)性即可求解；（3）由新定義得到，化簡(jiǎn)得在有解，再構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)，，討論即可；【小問(wèn)1詳解】函數(shù)是“存在漂移函數(shù)”，則在有解，即，化簡(jiǎn)得，令，則，即，解得【小問(wèn)2詳解】，設(shè)，則，得，即，所以在是單調(diào)遞增函數(shù)令，得，解得不等式可轉(zhuǎn)化為，從而解得或，所以不等式的解是【小問(wèn)3詳解】由函數(shù)為“存在漂移函數(shù)”則滿足，即化簡(jiǎn)得，整理得即在有解令①當(dāng)時(shí)，在無(wú)解，不合題意；②當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸，與軸的交點(diǎn)為在軸的上半軸，因此在無(wú)解，不合題意；③當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸，需，解得，又，則綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)由函數(shù)為“存在漂移函數(shù)”得到在有解，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)的零點(diǎn)存在問(wèn)題.19.低碳環(huán)保的新能源汽車(chē)逐漸走進(jìn)千家萬(wàn)戶，電動(dòng)汽車(chē)正成為人們購(gòu)車(chē)的熱門(mén)選擇.新能源電動(dòng)汽車(chē)主要采用電能作為動(dòng)力來(lái)源，目前比較常見(jiàn)的主要有兩種：混合動(dòng)力汽車(chē)、純電動(dòng)汽車(chē).有關(guān)部門(mén)在國(guó)道上對(duì)某型號(hào)純電動(dòng)汽車(chē)進(jìn)行測(cè)試，國(guó)道限速.經(jīng)數(shù)次測(cè)試，得到該純電動(dòng)汽車(chē)每小時(shí)耗電量（單位：wh）與速度（單位：km/h）的數(shù)據(jù)如下表所示：020408001800560021600若該純電動(dòng)汽車(chē)國(guó)道上行駛時(shí)每小時(shí)耗電量與速度的關(guān)系，可用表示.（1）請(qǐng)求出函數(shù)的表達(dá)式；（2）現(xiàn)有一輛同型號(hào)純電動(dòng)汽車(chē)從甲地出發(fā)經(jīng)高速公路（最低限速，最高限速）勻速行駛到距離為的乙地，已知該電動(dòng)車(chē)在高速公路上行駛時(shí)每小時(shí)耗電量（單位：wh），出發(fā)前汽車(chē)電池存量為35000wh，汽車(chē)到達(dá)乙地后至少要保留的保障電量（假設(shè)該電動(dòng)汽車(chē)從靜止加速到速度為的過(guò)程中消耗的電量與行駛的路程都忽略不計(jì)）.（i）若出發(fā)前和行駛路途中都不充電，該電動(dòng)汽車(chē)能否到達(dá)乙地？請(qǐng)說(shuō)明理由；（ii）已知該高速公路上服務(wù)區(qū)有功率為的充電樁（充電量充電功率充電時(shí)間），求該電動(dòng)汽車(chē)從甲地到達(dá)乙地所用時(shí)間的最小值（若不需充電，即求行駛時(shí)間的最小值；若需要充電，即求行駛時(shí)間與充電時(shí)間之和的最小值）.【答案】（1）（2）（i）該車(chē)若不充電不能到達(dá)乙地，理由見(jiàn)解析；（ii）4.33小時(shí).【解析】【分析】（1）由題意將和代入函數(shù)中，解方程組可求出，從而可求出函數(shù)的表達(dá)式；（2）（i）設(shè)耗電量為，根據(jù)題意求出，然后利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷出函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，從而可求出其最小值，與電池存量減去保障電量比較大小可得結(jié)論；（ii）設(shè)行駛時(shí)間與充電時(shí)間分別為，，總和為，則有，解得，然后表示出，利用基本不等式可求出其最小值.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，解得，故；【小問(wèn)2詳解】，設(shè)耗電量為，則；（i）任取