發(fā)車間隔、接送和扶梯問題

一、發(fā)車間隔

間隔發(fā)車問題，只靠空間理想象解稍顯困難，證明過程對快速解題沒有幫助，但是一旦掌握了3個

基本方法，一般問題都可以迎刃而解。

在班車里一一即柳卡問題

不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時間一一距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求數(shù)交

點個數(shù)即可完成。如果不畫圖，單憑想象似乎對于像我這樣的一般人兒來說不容易。

在班車外一一聯(lián)立3個基本公式好使

（1）汽車間距=（汽車速度+行人速度）X相遇事件時間間隔

（2）汽車間距二（汽車速度-行人速度）X追及事件時間間隔

（3）汽車間距:汽車速度X汽車發(fā)車時間間隔

綜上總結發(fā)車問題可以總結為如下技巧

（1）、一般間隔發(fā)車問題。用3個公式迅速作答；

（2）、求到達目的地后相遇和追及的公共汽車的輛數(shù)。

標準方法是：畫圖一一盡可能多的列3個好使公式一一結合s全程=vXt-結合植樹問題數(shù)數(shù)。

（3）當出現(xiàn)多次相遇和追及問題——柳卡

二、接送問題

校車問題一一行走過程描述

隊伍多，校車少，校車來同接送，隊伍不斷步行和坐車，最終同時到達目的地，即到達目的地的最短時間，

不要求證明。

常見接送問題類型

根據(jù)校車速度（來回不同）、班級速度（不同班不同速）、班數(shù)是否變化分類為四種常見題型：

（1）車速不變-班速不變-班數(shù)2個（最常見）

（2）車速不變-班速不變-班數(shù)多個

（3）車速不變-班速變-班數(shù)2個

（4）車速變一班速不變一班數(shù)2個

標準解法：

畫圖+列3個式子

1、總時間:一個隊伍坐車的時間+這個隊伍步行的時間；

2、班車走的總路程；

3、一個隊伍步行的時間二班車同時出發(fā)后回來接它的時間。

三、扶梯問題

1、當人順著扶梯的運動方向走臺階時，相當與流水行船中的“順水行駛”，這里的水速就是扶梯自身

的臺階運行速度。有：人的速度+扶梯速度二人在扶梯上的實際速度

扶梯靜止可見臺階總數(shù)=時間X人速+時間義扶梯速=人走的臺階數(shù)十扶梯自動運行的臺階數(shù)

2、當人沿著扶梯逆行時，有：人的速度-扶梯速度=人在扶梯上的實際速度

扶梯靜止可見臺階總數(shù)二時間X人速-時間X扶梯速二人走的臺階數(shù)-扶梯自動運行的臺階數(shù)。

(1)能夠熟練運用柳卡解題方法解多次相遇和追及問題；熟練應用三個公式解間隔問題

(2)對扶梯問題中順(逆)扶梯速度、扶梯速度、人的速度的理解。

(3)準確畫出接送問題的過程圖一標準：每個量在相同時間所走的路程要分清

(4)運用行程中的比例關系進行解題

一、發(fā)車間隔

【例1】倆兄弟要將兩車西瓜運到城里去賣，但由人來拉太累，雇拖拉機太貴，所以租了頭毛驢，兩兄

弟計劃先由哥哥拉車，弟弟趕毛驢拉另一輛車，然后在中途弟弟讓毛驢返回去幫哥哥拉車，自

個兒拉著車行走完最后一段路，已知兄弟倆人的拉車速度相同，毛驢拉車或行走的速度為人拉

車的速度的3倍，那么弟弟應該在哪兒將毛驢趕回去？

【考點】行程問題之發(fā)車間隔【難度】3星【題型】解答

【解析】毛驢的速度是人的速度的3倍，所以毛驢遇到先前拉車的哥斯時，毛驢走的路程是手導走的路程

的2倍，而毛驢與哥哥走的路程和相當于從出發(fā)點到毛驢折返點距離的兩倍，所以哥哥走的路程

等于從出發(fā)點到毛驢折返點距離的兩倍除以(3+1),毛驢應該在出發(fā)點和折返點的中點遇上哥哥

的，同樣的，毛驢折返后所走的路程是弟弟所走的路程的3倍，而毛驢在這段時間里與弟弟所走

的路程和相當于從毛驢與哥哥的相遇點到終點的距離的2倍，所以折返點是相遇點與終點的中點.

由此得到出發(fā)點到相遇點的花離等于相遇點到折返點的距離等亍折返點到終點的距離.因此弟弟

應該在總路程的羽路段將毛驢趕回來.

【鞏固】甲、乙兩站從上午6時開始每隔8分同時相向發(fā)出-一輛公共汽車，汽車單程運行需45分。有一

名乘客乘坐6點16分從甲站開出的汽車，途中他能遇到幾輛從乙站開往甲站的公共汽車？

【考點】行程問題之發(fā)車間隔【難度】2星【題型】解答

【解析】提示：這名乘客7點01分到達乙站時，乙站共開出8輛車。

【答案】8輛。

［例2］某人沿著電車道旁的便道以每小時45千米的速度步行，每7.2分鐘有一輛電車迎面開過，每12

分鐘有一輛電車從后面追過，如果電車按相等的時間間隔以同一速度不停地往返運行.問：電

車的速度是多少？電車之間的時間間隔是多少？

【考點】行程問題之發(fā)車間隔【難度】3星【題型】解答

【解析】設電車的速度為每分鐘/米.人的速度為每小時4.5千米，相當于每分鐘75米.根據(jù)題意可列方

程如下：(x+75)x7.2=(x-75)xl2,解得x=300,即電車的速度為每分鐘300米，相當于每小

時18千米.相同方向的兩輛電車之間的距離為：(300-75)x12=2700(米)，所以電車之間的時間

間隔為：2700+300=9(分鐘).

【答案】9分鐘

【鞏固】小明放學后，沿某路公共汽車路線以不變速度步行回家，該路公共汽車也以不變速度不停地運行。

每隔30分鐘就有輛公共汽車從后面超過他，每隔20分鐘就遇到迎面開來的一輛公共汽車。問：

該路公共汽車每隔多少分鐘發(fā)一次車？

【考點】行程問題之發(fā)車間隔【難度】3星【題型】解答

【解析】假設小明在路上向前行走了50(20、30的最小公倍數(shù))分鐘后，立即回頭再走60分鐘，回到原

地。這時在前60分鐘他迎面遇到60?20=3輛車，后60分鐘有60?30=2輛車追上他。那么在

兩個60分鐘里他共遇到朝同一方向開來的5輛車，所以發(fā)車的時間為60x2+(3+2)=24分鐘

【答案】24分鐘

【例3】在一條馬路上，小明騎車與小光同向而行，小明騎車速度是小光速度的3倍，每隔10分有一輛

公共汽車超過小光，每隔20分有一輛公共汽車超過小明。已知公共汽車從始發(fā)站每次間隔同樣

的時間發(fā)一輛車，問：相鄰兩車間隔幾分？

【考點】行程問題之發(fā)車間隔【難度】3星【題型】解答

【解析】解：設車速為a,小光的速度為b,則小明騎車的速度為3b。根據(jù)追及問題“追及時間x速度差=

追及距離”，可列方程

10(a-b)=20(a-3b),

解得a=5b,即車速是小光速度的5倍。小光走10分相當于車行2分，由每隔10分有一輛

車超過小光知，每隔8分發(fā)一輛車。

【答案】8分。

【鞏固】從電車總站每隔一定時間開出一輛電車。甲與乙兩人在一條街上沿著同一方向步行。甲每分鐘步

行82米，每隔10分鐘遇上一輛迎面開來的電車；乙每分鐘步行60米，每隔10分15秒遇上迎

面開來的一輛電車。那么電車總站每隔多少分鐘開出一輛電車？

【考點】行程問題之發(fā)車間隔【難度】3星【題型】解答

【解析】這類問題一般要求兩個基本量：相鄰兩電車間距離、電車的速度。甲與電車屬于相遇問題，他們

的路程和即為相鄰兩車間距離，根據(jù)公式得S=（%+吃）xl0min,

類似可得S=（%+%）x10.25min,

那么（％+%）xl0.25=（咚+%）xl0,即（60+%）xl0.25=（82+/）xl0,

解得V\=820米/分，因此發(fā)車間隔為9028820=11分鐘。

【答案】11分鐘

［例4］某人乘坐觀光游船沿順流方向從A港到B港。發(fā)現(xiàn)每隔40分鈾就有一艘貨船從后面追上游船，

每隔20分鐘就會有一艘貨船迎面開過，已知A、B兩港間貨船的發(fā)船間隔時間相同，且船在凈

水中的速度相同，均是水速的7倍，那么貨船發(fā)出的時間間隔是分鐘。

【考點】行程問題之發(fā)車間隔【難度】4星【題型】解答

【解析】由于間隔時間相同，設順水兩貨船之間的距離為"1”,逆水兩貨船之間的距離為（7-1）v（7+1）

=3/4。所以，貨船順水速度一游船順水速度=1/40,即貨船靜水速度一游船靜水速度=1/4,貨

船逆水速度+游船順水速度=3/4x1/20=3/80,即貨船鄢水速度+游船殍水速度=3/80,可以求

得貨船靜水速度是（1/40+3/80）4-2=1/32,貨船順水速度是l/32x（1+1/7）=1/28）,所以貨

船的發(fā)出間隔時間是1?1/28=28分鐘。

【答案】28分鐘

【鞏固】小明放學后，沿某路公共汽車路線以不變速度步行回家，該路公共汽車也以不變速度不停地運行。

每隔9分鐘就有輛公共汽車從后面超過他，每隔7分鐘就遇到迎面開來的一輛公共汽車。問：該

路公共汽車每隔多少分鐘發(fā)一次車？公共汽車的速度是小明步行速度的幾倍？

【考點】行程問題之發(fā)車間隔【難度】3星【題型】解答

【解析】假設小明在路上向前行走了63（9、7的最小公倍數(shù)）分鐘后，立即回頭再走63分鐘，回到原地。

這時在前63分鐘他迎面遇到63+7=9（輛）車，后63分鐘有63+9=7（輛）車追上他，那么在兩

7

個63分鐘里他共遇到朝同一方向開來的7+9=16輛車，所以發(fā)車的時間間隔為：63x2-5-16=7-

8

（分）。公共汽車的發(fā)車時間以及速度都是不變的，所以車與車之間的間隔也是固定不變的。根

據(jù)每隔9分鐘就有輛公共汽直從后面超過他，我們可以得到：

間隔=9x（車速-步速）；每隔7分鐘就遇到迎面開來的一輛公共汽車，我們可以得到：

間隔=7x（車速+步速），所以9x（車速一步速）=7x（車速+步速），化簡可得：車速

=8倍步速。

【答案】8倍

［例5］甲城的車站總是以20分鐘的時間間隔向乙城發(fā)車，甲乙兩城之間既有平路又有上坡和下坡，車

輛（包括自行車）上坡和下坡的速度分別是平路上的80%和120%,有一名學生從乙城騎車去甲

城，已知該學生平路上的騎車速度是汽車在平路上速度的四分之一，那么這位學生崎車的學生

在平路、上坡、下坡時每隔多少分鐘遇到一輛汽車？

【考點】行程問題之發(fā)車間隔【難度】3星【題型】解答

【解析】先看平路上的情況，汽車每分鐘行駛汽車平路上汽車間隔的3/20,那么每分鐘自行車在平路上行

駛汽車平路上間隔的通0,所以在平路上自行車與汽車每分鐘合走汽車平路上間隔的

l/20+iy80=l/16,所以該學生每隔16分鐘遇到一輛汽車，對于上坡、下坡的情況同樣用這種方法

考慮，三種情況中該學生都是每隔16分鐘遇到一輛汽車.

【答案】16分鐘

【鞏固】甲、乙兩地是電車始發(fā)站，每隔一定時間兩地同時各發(fā)出一輛電車，小張和小王分別騎車從甲、

乙兩地出發(fā)，相向而行.每輛電車都隔6分鐘遇到迎面開來的一輛電車；小張每隔8分鐘遇到迎

面開來的一輛電車；小王每隔9分鐘遇到迎面開來的一輛電車.已知電車行駛全程是45分鐘，

那么小張與小王在途中相遇時他們已行走了分鐘.

【考點】行程問題之發(fā)車間隔【難度】4星【題型】填空

【解析】由題意可知，兩輛電車之間的距離

=電車行12分鐘的路程

二電車行8分鐘的路程+小張行8分鐘的路程

=電車行9分鐘的路程+小王行9分鐘的路程

由此可得，小張速度是電車速度的乜Y=小王速度是電車速度的乜二2=!，小張與小王的

8293

速度和是電車速度的,+』=2,所以他們合走完全程所用的時間為電車行駛全程所用時間的9，

2365

即45x《=54分鐘，所以小張與小王在途中相遇時他們已行走了54分鐘.

【答案】54分鐘

二、接送問題

【例6】某校和某工廠之間有一條公路，該校下午2時派車去該廠接某勞模來做報告，往返需用1小時.這

位勞模在下午1時便離廠步行向學校走來，途中遇到接他的汽車，便立刻上車駛向學校，在下

午2時40分到達.問：汽車速度是勞模步行速度的幾倍？

【考點】行程問題之接送問題【難度】3星【題型】解答

【解析】年下午2時從學校出發(fā)，如圖，

工廠P學校

A-----------------1---------------------------------------\B

C

在C點與勞模相遇，再返回8點，共用時40分鐘，由此可知，在從B到C用了40+2=20分鐘，

也就是2時20分在C點與勞模相遇.此時勞模走了1小時20分，也就是80分鐘.

另一方面，汽車走兩個"需要1小時，也就是從8點走到A點需要30分鐘，而前面說走完3c

需要20分鐘，所以走完AC要10分鐘，也就是說5C=2AC.走完AC,勞模用了80分鐘：走

完8C,汽車用了20分鐘.勞模用時是汽車的4倍，而汽車行政距離是勞模的2倍，所以汽車

的速度是勞模速度的4x2=8倍.

【點撥】復雜的行程問題總要先分析清楚過程.我們不把本題看作是一道相遇問題，因為在路程和速度都

不知道的情況下，解相遇問題需要初中代數(shù)的知識.直接求出相遇點C到兩端A、8的長度關系，

再通過時間的倍數(shù)關系，就可以解出本題.解這道題，最重要的就是找出勞模和汽車間路程及所

有時間的倍數(shù)關系.通過汽左的用時推出

AC與的倍數(shù)關系，再得出答案.

如何避開運用分數(shù)和比例，方法有很多.對于這道題，如果認為學校與工廠間相距為3000米，則

做出這道題就更容易了：汽車1分鐘走3000?30=100米.相距1000米，勞模走了80分鐘，

所以勞模的速度是每分鐘走1000+80=12.5米，汽車速度是勞模的100?12.5=8倍.而實際上,3000

來這個附加條件對結果并不起作用，只是使解題人的思路更加清晰.

【答案】8倍

【鞏固】張工程師每天早上8點準時被司機從家接到廠里。一天，張工程師早上7點就出了門，開始步行

去廠里，在路上遇到了接他的汽車，于是，他就上車行完了剩下的路程，到廠時提前20分鐘。

這天，張工程師還是早上7點出門，但15分鐘后他發(fā)現(xiàn)有東西沒有帶，于是回家去取，再出門后

在路上遇到了接他的汽車，那么這次他比平常要提前分鐘到廠。

【考點】行程問題之接送問題【難度】3星【題型】解答

【解析】第一次提前20分鐘是因為張工程師自己走了一段路，從而導致汽車不需要走那段路的來回，所

以汽車開那段路的來回應該是20分鐘，走一個單程是10分鐘，而汽車每天8點到張工程師家里，

所以那天早上汽車是7點50接到工程師的，張工程師走了50分鐘，這段路如果是汽車開需要10分

鐘，所以汽車速度是張工程師步行速度的5倍，第二次，實際上相當于張工程師提前半小時出發(fā)，

時間是遇到汽車之后的5倍，則張工程師走了25分鐘時遇到司機，此時提前(30-25)x2=10(分

鐘)。

【答案】10分鐘

【例7】A、B兩個連隊同時分別從兩個營地出發(fā)前往個目的地進行演習，A連有卜車可以裝載正好

個連的人員，為了讓兩個連隊的士兵同時盡快到達目的地，A連士兵坐車出發(fā)一定時間后下車

讓卡車回去接B連的士兵，兩營的士兵恰好同時到達目的地，已知營地與目的地之間的距離為

32千米，士兵行軍速度為8千米/小時，卡車行駛速度為40千米每小時，求兩營士兵到達目的

地一共要多少時間？

【考點】行程問題之接送問題【難度】3星【題型】解答

【解析】由于卡車的速度為士兵行軍速度的5倍，因此卡車折回時已走的路程是B連士兵遇到卡車時已走

路程的3倍，而卡車折回所走的路程是B連士兵遇到卡車時已走路程的2倍，卡車接到B連士兵

后，還要行走3倍B連士兵遇到卡車時已走路程才能追上A連士兵，此時他們已經(jīng)到達了目的地,

國此總路程相當于4倍B連士兵遇到卡車時已走路程，所以B連士兵遇到卡車時已走路程為8千

米，而卡車的總行程為(3+2+3)x8=64千米，這一段路，卡車行駛了64?40=船小時，即1小時

36分鐘這也是兩營士兵到達目的地所花的時間.

【答案】1小時36分鐘

【鞏固】甲班與乙班學生同時從學校出發(fā)去公園，兩班的步行速度相等都是4千米/小時，學校有一輛汽車,

它的速度是每小時48千米，這輛汽車恰好能坐一個班的學生.為了使兩班學生在最短時間內到

達公園，設兩地相距150千米，那么各個班的步行距離是多少？

【考點】行程問題之接送問題【難度】3星【題型】解答

【解析】由于汽車速度是甲乙兩班步行速度的12倍，設乙班步行1份，汽車載甲班到A點開始返回到8點

相遇，這樣得出3。:84=1:[(12-1)+2]=1:5.5,汽車從A點返回最終與乙班同時到達C點，汽

車又行走了12份，所以總路程分成1+5.5+1=75份，所以每份=150+7.5=20千米，所以各個班

的步行距離為20千米.

【答案】20千米

【例8】甲、乙、丙三個班的學生一起去郊外活動，他們租了一輛大巴，但大巴只夠一個班的學生坐，

于是他們計劃先讓甲班的學生步行，乙丙兩班的學生步行，甲班學生搭乘大巴一段路后，下車

步行，然后大巴車回頭去接乙班學生，并追趕上步行的甲班學生，再回頭載上丙班學生后一直

駛到終點，此時甲、乙兩班也恰好趕到終點，己知學生步行的速度為5千米/小時，大巴車的行

駛速度為55千米/小時，出發(fā)地到終點之間的距離為8千米，求這些學生到達終點一共所花的

時間.

【考點】行程問題之接送問題【難度】3星【題型】解答

【解析】如圖所示：

ADEF

八--

甲

乙

丙

虛線為學生步行部分，實線為大巴車行駛路段，由于大巴車的速度是學生的11倍，所以大巴車

第一次折返點到出發(fā)點的距離是乙班學生搭車前步行距離的6倍，如果將乙班學生搭車前步行距

離看作是一份的話，大巴車第一次折返點到出發(fā)點的距離為6份，大巴車第一次折返到接到乙班

學生又行駛了5分距離，......如此大巴車一共行駛了6+5+6+5+6=28份距離，而A到F的總距離為

8份，所以大巴車共行駛了28千米，所花的總時間為2的5小時.

【答案】2跪5小時

【鞏固】海淀區(qū)勞動技術學校有名學生到離學校33千米的郊區(qū)參加興摘活動，學校只有一輛限乘25

人的中型面包車.為了讓全體學生盡快地到達目的地.決定采取步行與乘車相結合的辦法.已知

學生步行的速度是每小時5二米，汽車行駛的速度是每小時55千米.請你設計一個方案，使全體

學生都能到達目的地的最短時間是多少小時？

6份1份

I份「?

—〒-------------------------------------I份

1份1--------------------------------------------------T>

I份

【考點】行程問題之接送問題【難度】3星【題型】解答

【解析】由于100名學生要分4次乘車，分別命名為甲、乙、丙、丁四組，且汽車的速度是步行速度的11倍，

乙組步行1份路程，則汽車載甲組行駛6份，放下甲組開始返回與乙組的學生相遇，汽車載乙組

追上甲組，把乙組放下再返回，甲組也步行了1份，丙組、丁組步行的路程和乙組相同，如圖所

示，所以全程為6+1+1+1=9份，恰好是33千米，其中汽車行駛了33+9x6=22千米，共步行

了33-22=11千米，所以全沐學生到達目的地的最短時間為22?55+11+5=2.6(小時)

【答案】2.6小時

【例9】甲班與乙班學生同時從學校出發(fā)去公園，甲班步行的速度是每小時4千米，乙班步行的速度是

每小時3千米。學校有一輛汽車，它的速度是每小時48千米，這輛汽車恰好能坐一個班的學生。

為了使兩班學生在最短時間內到達公園，那么甲班學生與乙班學生需要步行的距離之比是多少

千米？

【考點】行程問題之攙送問題【難度】3星【題叩】解答

【解析】方法一：不妨設乙班學生先步行，汽車將甲班學生送至A地后返回，在B處接到乙班學生，最后

汽車與乙班學生同時到達公園，如圖：

CBAD

學校公園

%:喔=1:12,Y乙:勺=1:16o乙班從C至B時，汽車從C~A~B,則兩者路程之比為1:16,

不妨設CB=1,則C~A~B=16,CA=(1+16)+2=8.5,則有CB:BA=1:7.5：類似設AD=1,分析可

得AD:BA=1:5.S,綜合得CB:BA:AD=22:165:30,說明甲乙兩班步行的距離之比是15:lie

方法二：如圖，假設實線代表汽車行駛的路線，虛線代表甲班和乙班行走的路線，假設乙班行駛

1份到達C點，則汽車行駛16份到達E點，汽車與乙班共行駛15份在Z)點相遇，其中乙班步行

了15x」一=身份，同時甲班步行了身x±二型份，此時汽車與甲班相差16-1一"+型=153

1+161717317171717

份，這樣甲班還需步行15，+(48-4><4=(1$份，所以甲班與乙班步行的路程比為

20鼻\_

77__l7_lJ_20x11+15<17b2」：

1+1511x17+15x11-TT

17

方法三：由于汽車速度是甲班速度的12倍，是乙班速度的16倍，設乙班步行1份，則汽車載甲班

學生到E點返回與乙班相遇，共行16份，所以AD:OE=1:[(16-1)+2]=1:7.5=2:15,類似的設

甲班步行1份，則汽車從E點返回到。點又與甲班同時到達8點，所

以,?！耆?[(12-1)+2]:1=5.5:1=11:2,所以68=22:(15x11):30,所以甲班與乙班步

行的路程比為30:22=15:11

【答案】15:11

【鞏固】甲、乙兩班同學到42千米外的少年宮參加活動，但只有一輛汽車，且一次只能坐一個班的同學,

已知學生步行速度相同為5二米/小時，汽車載人速度是45千米/小時，空車速度是75千米/小

時.如果要使兩班同學同時到達，且到達時間最短，那么這個最短時間是多少？

【考點】行程問題之接送問題【難度】3星【題型】解答

【解析】

乙丁---------------

行車路線如圖所示，設甲、乙兩班步行的路程為1,車開出x后返回接乙班.

由車與乙相遇的過程可知：1=—+—,解得x=6,

54575

因此，車開出42X"-=36千米后，放下甲班回去接乙班，甲生需步行42x」一=6千米，共用

6+16+1

366_.

-----F—=2小時.

455

【答案】2小時

【例10］有兩個班的小學生要到少年宮參加活動，但只有一輛車接送，第一班的學生坐車從學校出發(fā)的

同時，第二班學生開始步行；車到途中某處，讓第一班學生下車步行，車立刻返回接第二班學

生上車并直接開往少年宮，學生步行速度為每小時4公里，載學生時車速每小時40公里，空車

時車速為每小時50公里.問：要使兩班學生同時到達少年宮，第一班學生要步行全程的幾分之

幾？

【考點】行程問題之接送問題【難度】5星【題型】解答

【解析】由于兩個班的同學都是一段路步行一段路乘車，而乘車的速度比步行快，中間又沒有停留，因此

要同時到達少年宮，兩個班的同學步行的路程一定要一樣長.如圖所示，

AED—B

圖中A是學校，B是少年宮，C是第一班學生下車的地點，D是第二班學生上車的地點.由上所

述AD和CB一樣長，設第一班同學下車時，第二班同學走到E處.由于載學生時車速為每小時

40公里，而步行的速度為每小時4公里，是車速的1/10,因而AE是AC的1/10.在第一班學生下

車后，汽車從C處迎著第二班學生開，車速是每小時50公里，而第二班學生從E處以每小時4

公里的速度向前走，汽車和第二班學生在D點相遇.這是普通的行程問題，不難算出ED是EC的

419491

—.由于EC是AC的1--=一,葉見ED是AC的——X—=—.這樣AD就是AC的

541010541015

-+—=又AD=CB,AD就是AB的2+(1+!)=」，故第一班學生步行了全程的上.

101566677

【答案】-

7

【鞏固】(2008年臺灣小學數(shù)學競賽選拔賽決賽)甲、乙二人由A地同時出發(fā)朝向8地前進，A、8兩

地之距離為36千米.甲步行之速度為每小時4千米，乙步行之速度為每小時5千米.現(xiàn)有一輛自

行車，甲騎車速度為每小時1。千米，乙騎車的速度為每小時8千米.出發(fā)時由甲先騎車，乙步行,

為了要使兩人都盡快抵達目的地，騎自行車在前面的人可以將自行車留置在途中供后面的人繼續(xù)

騎.請問他們從出發(fā)到最后一人抵達目的地最少需要多少小時？

【考點】行程問題之接送問題【難度】3星【題型】解答

【解析】設甲騎車至禹A地x千米處后停車，且剩余(36-%)千米改為步行，則乙步行了x千米后，剩余

(36-x)千米改為騎車.因要求同時出發(fā)且盡速抵達目的地，故花費的時間應該相同，

因此可得：二+為+第=，解得x=20.

10458

故共花費了型+至二型=6小時.

104

【答案】6小時

【例11](第八屆全國“華羅庚金杯〃少年數(shù)學邀請賽)A、8兩地相距120千米，已知人的步行速度是每小

時5千米，摩托車的行駛速度是每小時50千米，摩托車后座可帶一人.問：有三人并配備一輛

摩托車從A地到8地最少需要多少小時？(保留一位小數(shù))

【考點】行程問題之接送問題【難度】3星【題型】解答

【解析】本題實際上是一個接送問題，要想使所用的時間最少，三人應同時到達.假設這三人分別為甲、

乙、丙.由于摩托車只可同時帶兩個人，所以可安排甲一直騎摩托車，甲先帶乙到某一處，丙則

先步行，甲將乙?guī)У胶笤僬刍厝ソ颖?，乙開始步行，最后三人同時到達.要想同時到達，則乙與

丙步行的路程和乘車的路程都應相等.如下圖所示.

甲------------------------------------------------------力--------A

丙--------A|<?.

A。CB

由于丙從A從走到。的時間內甲從A到C再回到。，相同的時間內二者所行的路程之比等于速

度的比，而兩者的速度比為50:5=10:1,所以OC=&【AO=4.5AD,全程

2

AB=（4.5+1+1）AD=6.5AD,所以從A地到8地所用的時間為：

155372

I20x——4-5+120X—-50=—?5.7(d'Bt).

6.56.565

【答案】5.7小時

【鞏固】兩輛同一型號的汽車從同一地點同時出發(fā)，沿同一方向同速直線前進，每車最多能帶20桶汽油

（連同油箱內的油）。每桶汽油可以使一輛汽車前進60千米，兩車都必須返回出發(fā)地點，兩輛車

均可借對方的油，為了使一輛車盡可能地遠離出發(fā)點，那么這輛車最遠可達到離出發(fā)點多少千米

遠的地方？

【考點】行程問題之接送問題【難度】3星【題型】解答

【解析】甲乙兩車從同一地點同時出發(fā)，沿同一方向同速直線前進，每車最多能帶20桶汽油（連同油箱

內的油）。每桶汽油可以使一輛汽車前進60千米，兩車都必須返回出發(fā)地點。為了使一輛車（例

如甲車）盡可能地遠離出發(fā)點，則甲、乙車同行，各耗掉a桶油時，乙車停下，并把甲車加滿油

（恰好加a桶），還需留下2a桶油供甲車返回到此地時補給甲（a桶）和自己（a桶）供返回原

地時用所以乙車20桶=4a,a=5桶即甲車共向乙車最多借2a=10桶油所以甲車最遠可達到禹出發(fā)

點（10+20）*60/2=900千米遠的地方必須返回

【答案】900千米

三、扶梯問題

【例12】小明站著不動乘電動扶梯上樓需30秒，如果在乘電動扶梯的同時小明繼續(xù)向上走需12秒，那

么電動扶梯不動時，小明徒步沿扶梯上樓需多少秒？

【考點】行程問題之扶梯問題【難度】3星【題型】解答

【解析】電梯每秒完成L,電梯加小明徒步上樓每秒完成」?，小明徒步上樓每秒完成所

3012123020

以小明徒步上樓需1$=20（秒）.

【答案】20秒

【鞏固】如果在乘電動扶梯的同時小明繼續(xù)向上走需12秒到達樓上，如果在乘電動扶梯的同時小明逆著

向下走需24秒到達樓下（千萬別模仿?。敲措妱臃鎏莶粍訒r，小明徒步沿扶梯上樓需多少秒？

【考點】行程問題之扶梯問題【難度】3星【題型】解答

【解析】小明徒步走的速度是（上+'_）+2=上，所以小明徒步上樓需1號工=16（秒）.

12241616

【答案】16秒

【例13】在地鐵車站中，從站臺到地面有一架向上的自動扶梯.小強乘坐扶梯時，如果每秒向上邁一級

臺階，那么他走過2。級臺階后到達地面；如果每秒向上邁兩級臺階，那么走過3。級臺階到達地

面.從站臺到地面有級臺階.

【考點】行程問題之扶梯問題【難度】3星【題型】填空

【解析】小強每秒走一階，需要20+1=20秒；每秒走2階，需要30+2=15秒.

設電梯每秒鐘需要走K階，由電梯長度可得：20x（l+x）=15x（2+x）,解得x=2.

那么扶梯長度為20x（l+2）=60（階）.

本題非常類似于“牛吃草問題〃，如將題目改為：

“在地鐵車站中，從站臺到地面有一架向上的自動扶梯.小強乘坐扶梯時，如果每秒向上邁一級

臺階，那么他走過20秒后到達地面；如果每秒向上邁兩級臺階，那么走過15秒到達地面.問：

從站臺到地面有多少級臺階？”

采用牛吃草問題的方法，電梯20-15=5秒內所走的階數(shù)等于小強多走的階數(shù)：2x15-1x20=10

階，電梯的速度為10+5=2階/秒，扶梯長度為20x（l+2）=60（階）.

【答案】60階

【鞏固】小丁在捷運站搭一座電扶梯下樓.如果他向下走14階，則需時30秒即可由電扶梯頂?shù)竭_底部；

如果他向下走28階，則需時18秒即可由電扶梯頂?shù)竭_底部.請問這座電扶梯有幾階？

【考點】行程問題之扶梯問題【難度】4星【題型】解答

【關鍵詞】2008年，臺灣小學數(shù)學競賽，決賽

【解析】首先從題中可以看出兩種情況下小丁的速度是不相同的，否則兩次走過的階數(shù)之比為1:2,時間

之比也應該為1:2才對.

既然小丁的速度有變化，那么應該考慮其中的不變量，也就是電扶梯的速度不變.假設這座電扶

梯有x階，那么在第一種情況下也扶梯走了（工-14）階，第二種情況下電扶梯走了。-28）階，根

據(jù)電扶梯的速度相同可得直二3=土二生，解得八=49.

3018

即這座電扶梯有49階.

【答案】49階

【例14】在商場里，小明從正在向上移動的自動樓梯頂部下120級臺階到達底部，然后從底部上90級臺

階回到頂部.自動樓梯從底部到頂部的臺階數(shù)是不變的，假設小明單位時間內下的臺階數(shù)是他

上的臺階數(shù)的2倍.則該自動樓梯從底到頂?shù)呐_階數(shù)為

【考點】行程問題之扶梯問題【難度】4星【題型】解答

【解析】本題要知道向上與向下的時間之比（即是電梯運行時間的比），可用量化思

想.與：?=60:90=2:3,設該自動樓梯從底到頂?shù)呐_階數(shù)為x級，自動樓梯的速度為y級/單

r+2V=120Iy=108

''一,解得".即該自動樓梯從底到頂?shù)呐_階數(shù)為108級.

{x-3y=90=6

【答案】108級

【鞏固】自動扶梯以均勻的速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓，已知男孩每分走2。級,

女孩每分走15級，結果男孩用了5分到達樓上，女孩用了6分到達樓上.問該扶梯露在外面的部

分共有多少級？

【考點】行程問題之扶梯問題【難度】4星【題型】解答

【解析】男孩每分鐘比女孩每分鐘多行扶梯級藪的■!■—4=」_,相差20-15=5級，因此自動扶梯露在外面

5630

的部分共有5+」-=15。級.

30

【答案】150級

【例15】小淘氣乘正在下降的自動扶梯下樓，如果他一級一級的走下去，從扶梯的上端走到下端需要走

36級.如果小淘氣沿原自動扶梯從下端走到上端（很危險哦，不要效仿!），需要用下樓時5倍的

速度走60級才能走到上端.請問這個自動扶梯在靜止不動時有多少級？

【考點】行程問題之扶梯問題【難度】4星【題型】解答

【解析】小淘氣上樓走60級的時間，下樓只能走60+5=12（級）.而下樓走了36級，所以下樓用的時間是

上樓時間的36+12=3（倍）.

設小淘氣上樓的時間自動扶梯走了x級，則下樓的時間內自動扶梯走了3x級.

根據(jù)自動扶梯的級數(shù)可列方程：36+3x=60-x,解得x=6（級），

自動扶梯有60-工=54（級）.

【答案】54級

【鞏固】甲在商場中乘自動扶梯從一層到二層，并在順扶梯運行方向向上走，同時乙站在速度相等的并排

扶梯從二層到一層.當甲乙處于同一高度時，甲反身向下走，結果他走了60級到達一層,如果

他到了頂端再從“上行扶梯”返回，則要往下走80級.那么，自動扶梯不動時甲從下到上要走

多少級？

【考點】行程問題之扶梯問題【難度】4星【題型】解答

【解析】首先，由于第一種情況下甲往下走時走的總臺階數(shù)是第二種情況下的60+80=2,也就是說在相

4

1a

同時間內，自動扶梯由上往下走了兩層高度的上，而甲和自動扶梯共同走了兩層高度的巳，說明

44

第一種情況下，甲乙相遇時甲的高度是兩層之間高度的士.那么可知甲和自動扶梯的速度和與自

4

動扶梯的速度之比是=,說明甲走動的速度是扶梯速度的2倍.

如果甲沿著扶梯向下走，那么整體的速度就和自動扶梯的速度一樣，是整體向上走時速度的1,

3

所用的時間就是向上走所用時間的3倍，那么甲所走的臺階數(shù)就是向上時所走臺階數(shù)的3倍.因

此甲向上走時實際走了80+3=四級臺階.甲走四級臺階的同時自動扶擲向上移動了竺級臺階,

333

因此如果扶梯不動，甲從下到上要走絲+竺=40級臺階.

【答案】40級

爆菖觸觸

【隨練1】小明騎自行車到朋友家聚會，一路上他注意到每隔12分鐘就有一輛公交車從后邊追上小樂，小

明騎著埼著突然車胎爆了，小明只好以原來騎車三分之一的速度推著車往回走，這時他發(fā)現(xiàn)公

交車以每隔4分鐘一輛的頻率迎面開過來，公交車站發(fā)車的間隔時間到底為多少？

【考點】行程問題之發(fā)車間隔【難度】4星【題型】解答

【解析】設公交車之間的間距為一個單位距離，設自行車的速度為x,汽車的速度為y,根據(jù)汽車空間和

時間間距與車輛速度的關系得到關系式：12x