第十五章分式

15.1分式

15.1.1從分?jǐn)?shù)到分式

遨學(xué)??

【知識與技能】

(1)以描述實際問題中的數(shù)量關(guān)系為背景，抽象出分式的概念，建立數(shù)學(xué)模型，并理解

分式的概念.

(2)能夠通過分式的定義理解和掌握分式有意義的條件.

【過程與方法】

能用分式表示現(xiàn)實情境中的數(shù)量關(guān)系，體會分式是表示現(xiàn)實世界中一類量的數(shù)學(xué)模型，

進一步發(fā)展符號意識.

【情感態(tài)度與價值觀】

讓學(xué)生通過探索，體會知識的發(fā)現(xiàn)過程，感受運用數(shù)學(xué)的樂趣.

述學(xué)8

理解分式有意義的條件及分式的值為0的條件.

逐學(xué)前

能熟練地求出分式有意義的條件及分式的值為0的條件.

、遨具命。

多媒體課件.

避課?后

教師引入：同學(xué)們，在小學(xué)，大家學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)，那么5+3可以寫成什么？

(教師出示投影)根據(jù)上面的問題，填空：

10

(1)長方形的面積為10cm)長為7cm,則寬為cm；長方形的面積為S,長為a,

S

則寬為―2_

(2)把體積為200cm，的水倒入底面積為33cn?的圓柱形容器中，則水面的高度為

200V

17S

--——cm；把體積為V的水倒入底面積為S的圓柱形容器中，則水面的高度為一：——

學(xué)生舉手回答，教師與學(xué)生一起及時糾正學(xué)生出現(xiàn)的錯誤，并將正確答案填入橫線中.

然后教師引入本節(jié)課題，并板書.

遵學(xué)??

探究1：分式的定義

讓學(xué)生觀察剛才的四個式子，看它們有什么相同點和不同點？

10S200V

亍了，藥亍

10200

學(xué)生根據(jù)自己的觀察，說出：,。是分?jǐn)?shù).

而另兩個式子，看它們有什么特點，讓學(xué)生自己總結(jié).

學(xué)生思考后回答：分母中有字母.

A

教師引導(dǎo)學(xué)生歸納：一般地，如果A,B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子〃

A

叫作分式.分式h中，A叫作分子，B叫作分母.

教師出示練習(xí)題：在下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

(1)L(2)泉;(3)生(4)浮.

x2x+y3

學(xué)生分析，得出：整式有(2)(4)；分式有(1)(3).

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)方法：判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，分母中含有字母的

代數(shù)式是分式.

接著教師出示投影：在下列整式中任選兩個，分別作為分子和分母，構(gòu)造出一個分式，

并賦予其實際意義.

3000,A:,a+6,40,am+bn,5x,0,x—y.

教師先舉例：選取k,a+b.實際意義：小明有a元，他想買k千克的蘋果還差b元，則

a+b

每千克蘋果是表元.

然后以小組為單位，編寫廣2個簡單的分式，結(jié)合實際生活，試著賦予分式實際意義,

并在組內(nèi)交流.

教師選取代表發(fā)言，并適時點評.

探究2：使分式有意義的條件

教師提出問題：分式中的分母應(yīng)滿足什么條件？即使分式有意義的條件是什么？

學(xué)生首先獨立思考問題，然后教師出示表格，讓學(xué)生自己選數(shù)填寫三個式子對應(yīng)的值,

并且分小組討論：

a???一2-1012???

2

T??????

1

??????

a2-1

a

??????

a+l

教師根據(jù)學(xué)生取值的情況，適時地進行講解.

師生共同總結(jié)：要使分式有意義，需要分母不為0.要使分式的值為0,既要分子等于0,

也要分母不為0.(教師板書)

教師：想一想，以下分式何時有意義？何時值為0?

學(xué)生先獨立思考，然后師生共同完成，教師板書解題步驟，最后師生共同總結(jié)：

分式有意義，需要分母不為0,需要解一個帶“片”的不等式.

分式的值為0,既要分子等于0,又要分母不為0.可以用方程和不等式表示上述條件.

接著，教師出示教材示28例1：

下列分式中的字母滿足什么條件時分式有意義？

(l)23x；(2)xx-1；(3)15-3b；(4)x+yx-y.

教師引導(dǎo)學(xué)生：要使分式有意義，必須且只需分母不等于0,然后引導(dǎo)學(xué)生逐一分析:

⑴3x#0,則xWO.⑵x-l#0,貝|xWl.⑶5-3b#0,則bW53.⑷x-y#O,則xWy.

教師板書(1)(2)的解答過程，學(xué)生獨立完成(3)(4).

22

3v3V

解：(1)要使分式有意義，則分母3xW0,即xWO.因此，當(dāng)xWO時，分式有意

義.

x-1X-1

(2)要使分式有意義，則分母X-1W0,即x#l.因此，當(dāng)xri時，分式有

意義.

1.1

5-365-31)

(3)要使分式有意義，則分母5-3b￥0,即bW53.因此，當(dāng)bW53時，分式

有意義.

■+yx+y

⑷要使分式L'有意義，則分母x-yWO,即xWy.因此，當(dāng)xWy時，分式「'有意

義.

教師強調(diào)：無特別說明時，本章中出現(xiàn)的分式都有意義.

最后教師進行歸納總結(jié)：對于分式的定義和成立的條件，要注意以下幾點：

(1)分式的形式與分?jǐn)?shù)類似，但它們是有區(qū)別的.分?jǐn)?shù)是整式，不是分式，分式是兩個整

式相除的商式，其根本區(qū)別如下表：

分式分?jǐn)?shù)整式

區(qū)別分母中含有字母分子、分母都不含有字母分母中不含有字母

(2)分式與分?jǐn)?shù)是相互聯(lián)系的，因為分式中的字母可以表示不同的數(shù)，所以分式比分?jǐn)?shù)

更具有一般性.分?jǐn)?shù)是分式中字母取值后的特殊情況.

(3)對于分母含“和可以約分的分式，容易判斷錯誤，如'符合分式的定義，是分式;

5

2^

不是分式，因為n不是字母，而是常數(shù).

(4)當(dāng)分式的值為0時，容易忽略分母不為0這個條件.

接著，教師讓學(xué)生獨立完成教材P128練習(xí)第廣3題，同桌之間互相檢查.

、魅堂。?

AA

1.一般地，如果A,B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子B叫作分式.分式B

中，A叫作分子，B叫作分母.

2.要使分式有意義，需要分母不為0.要使分式的值為0,既要分子等于0,也要分母不

為0.

15.1.1從分?jǐn)?shù)到分式

探究1：分式的定義.

投

影探究2：使分式有意義的條件.

區(qū)教材P128例1(1)(2)的解答過程

(要使分式有意義，需要分母不為Q要使分式的

值為0,既要分子等于0,也要分母不為0)

第十六章分式

15.1分式

15.1.2分式的基本性質(zhì)

課時1分式的基本性質(zhì)

遨浮謔嗑

【知識與技能】

(1)理解分式的基本性質(zhì)，能靈活運用分式的基本性質(zhì)進行分式的變形.

(2)會用分式的基本性質(zhì)處理分式變形中的符號問題.

【過程與方法】

由分?jǐn)?shù)到分式的基本性質(zhì)的類比，探索分式的基本性質(zhì).

【情感態(tài)度與價值觀】

通過研究解決問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識與探究精神.

國學(xué)(淘

理解并掌握分式的基本性質(zhì).

靈活運用分式的基本性質(zhì)進行分式的變形.

多媒體課件.

教師引入：上節(jié)課我們類比分?jǐn)?shù)的概念學(xué)習(xí)了分式的概念，今天我們來繼續(xù)學(xué)習(xí)分式的

相關(guān)知識.請看下面的問題：

問題1：如圖15-1.2-1(1),將面積為1的長方形平均分成4份，陰影部分的面積是多

少？

⑴⑵

圖15-1.2-1

問題2：如圖15-1.2-1(2),將面積為1的長方形平均分成2份，陰影部分的面積是多

少？

問題3：這兩個長方形中陰影部分的面積相等嗎？

J_2_2_

問題4：通過怎樣的變形可以由2得到4?通過怎樣的變形可以由4得到2?

問題5：上述變形的依據(jù)是什么呢？

教師提出問題，學(xué)生思考、回答，板書分?jǐn)?shù)的變形過程.

教師：下面我們來看看分式是否具有類似的性質(zhì).(教師板書課題)

探究1：分式的基本性質(zhì)

教師出示下面的問題：

1.填空.

22x48

T=3X(ri2；

22?21

12=127(廠干

Q-1I幾2—幾

丁月彳一與一

2.你認(rèn)為分式/相等嗎？為什么？mn機呢？

282

學(xué)生獨立思考第（1）問，根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，V°的分子、分母同時乘4,可得1'24；1I2」

L

的分子、分母同時除以2,可得6.小組討論，類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)解決第（2）問.

教師追問：類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，你們能猜想出分式的基本性質(zhì)嗎？

學(xué)生嘗試歸納，相互補充，總結(jié)得出分式的基本性質(zhì)，教師板書：

分式的分子與分母乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式的值不變.

教師追問：你們能嘗試用符號語言表示分式的基本性質(zhì)嗎？

AA?CA4-rC

學(xué)生回答，用式子表示：BB?（：'BB-rC（c是不等于o的整式）.（教師板

書）

教師強調(diào)：A,B,C均為整式，CWO.

教師引導(dǎo)學(xué)生分析分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)與分式的基本性順的區(qū)別：在分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)中，

“數(shù)”是一個具體的、唯一確定的值.在分式的基本性質(zhì)中，“整式”的值隨整式中字母的

取值不同而變化.

接著，教師出示教材P129例2：

填空：

...x3（）3x2+3xyx+y

（1）=，/2=/\?

xyy6x（）

/x_!__（）2a-b（）\

（92）］—9,）—?（6聲0）.

aba~ba~a~b

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察等式的左邊和右邊各發(fā)生了什么變化，討論解題思路.

3

—I

師生共同分析：（1）因為給''的分母xy除以x才能化為y,所以為保證分式的值不變,

3%2+3xy

根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子(也要除以X.因為61的分子3x、3xy可以分解為

1

3x(x+y),除以3x才能化為x+y,所以分母6六也需要除以3x.(2)因為給'"的分母ab乘a

2a-b

2

才能化為a2b,所以為保證分式的值不變，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子1也要乘a.因為“

的分母不乘b才能化為a2b,所以分子2a-b也需要乘b.

教師板書答案：

22

/i\攵3(%)3x+3xyx+y

⑴反丁7m

(2)。=弟,組"鈣尹?"()).

aba~baa~b

最后，教師進行歸納總結(jié)：運用分式的基本性質(zhì)對分式進行變形時需要注意的問題：

(1)分子、分母應(yīng)同時做乘、除法中的同一種變換；

(2)所乘或除以的必須是同一個整式；

(3)所乘或除以的整式應(yīng)該不等于0.

分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母乘(或除以)同一個不等于0的整式,分式的值不變.

用式子表示為8B?C'B8+C(c是不等于o的整式).

邈4@?

15.1.2分式的基本性質(zhì)

課時?分式的基本性質(zhì)

(分?jǐn)?shù)的變形過程)

投

影探究:分式的基本性質(zhì)

(教材例的答案)

區(qū)P1292

(=；..〃二〃,；,(exo.其中4K是整式))

\/pJp,C15nvC/

第十七章分式

15.1分式

15.1.2分式的基本性質(zhì)

課時2分式約分和通分

邀堇?@

【知識與技能】

(1)類比分?jǐn)?shù)的約分、通分，理解分式約分、通分的意義，理解最簡公分母的概念.

(2)類比分?jǐn)?shù)的約分、通分，掌握分式約分、通分的方法與步驟.

【過程與方法】

通過對分式約分、通分的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

【情感態(tài)度與價值觀】

感悟知識間的相互聯(lián)系，體會知識的靈活運用，從中獲得成功的體驗.

運用分式的基本性質(zhì)正確地進行分式的約分與通分.

通分時最簡公分母的確定；運用通分法則將分式進行變形.

多媒體課件.

2-5

教師提出問題1：怎樣把分?jǐn)?shù)不,，-2一5,約分，做這些題目的依據(jù)是什么？

8m714m

Z7與

2mn"n相等嗎？為什么？

2-58m2n

學(xué)生將4'一25約分后，仿照分?jǐn)?shù)約分的方法，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，約去分式2“1〃一

4m

的分子與分母的公因式2mn,得到n.

8mI47n

教師點撥：分式2〃7n2化為"，這樣的分式變形過程就是分式的約分.

上上Q-

西了T^~d

接著，教師提出問題2：怎樣把通分？類似地，能把分式變成同分母的

分式嗎？

ac

學(xué)生嘗試把分式〃’d變成同分母的分式，教師適時引入：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把

幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母分式，我們把這樣的分式變形叫作分

式的通分.這就是我們今天要探討的兩個問題.（板書課題）

探究1：分式的約分

教師提出問題：怎樣進行分式的約分？分式約分的依據(jù)是什么？

然后讓學(xué)生帶著問題自學(xué)教材P130T31的內(nèi)容.

學(xué)生交流，教師講解：（1）分式約分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì).（2）最簡分式：分子與分

母沒有公因式的分式叫作最簡分式.（3）約分：依據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子與分

母的公因式約去，叫作分式的約分.

接著，教師出示教材P131例3：

約分：

（1）-25?y；（2）.r-9

[5ab~c%-+6x+9

.?）6.』―12町+6）、

「）3x-3y.

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：①定符號：只把負(fù)號留給分式；②定分子與分母的公因式：各項系

數(shù)的最大公因數(shù)和相同因式的最低次曷的積;③分式約分的最后結(jié)果應(yīng)為最簡分式或整式，

叩分子、分母沒有公因式.

學(xué)生先練習(xí)，教師再根據(jù)情況指導(dǎo).

皿/!\-5abc?5ac~5ac'

解：⑴石區(qū)■:「MEL

(,)￡-9_(.+3)(一-3)_4-3

X2+6X+9(x+3)2x+3'

蟲笄量=譬其

3%-3y3(x-y)

教師總結(jié)方法：如果分子或分母是多項式，要先分解因式，再找出分子、分母的公因式,

最后根據(jù)分式的基本性質(zhì)進行約分.

接著教師讓學(xué)生獨立完成教材P132練習(xí)第1題，同桌之間互相檢查.

探究2：分式的通分

教師提出問題：我們用類比的方法學(xué)習(xí)了分式的約分，那么我們是否可以用類比的方法

來學(xué)習(xí)分式的通分呢？

學(xué)生先思考，教師再出示問題：

L與十

將分式“變?yōu)橥帜傅姆质剑罁?jù)是什么？

學(xué)生思考、討論、交流之后選出代表回答，然后教師總結(jié)通分的概念：

根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分

式，叫作分式的通分.

學(xué)生討論通分的關(guān)鍵是什么.

教師引導(dǎo)學(xué)生：通分的關(guān)鍵是確定分式各分母的最簡公分母.

并直接指出找最簡公分母的方法：

(1)取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；(2)單獨出現(xiàn)的字母，同它的指數(shù)作為最簡公分母的

一個因式；(3)相同字母的指數(shù)取次數(shù)最高的.

接著，教師出示教材P132例4：

通分：

⑴高與不？⑵口與不

教師引導(dǎo)學(xué)生討論，然后板書(1)的過程，學(xué)生獨立完成(2).

解：(1)最簡公分母是21氏.

3_3,be_3bea—b_(a—b),2a_2a2—2ab

2ab~2ab-bc~2a2b2cfab2c~ab2c?2a~2a262c

(2)最簡公分母是(x-5)(x+5).

2x2x(%+5)2/+l(h

二?二(4-5)(>+5)二d-25'

3x34(%-5)31-15?

x+5(*+5)(%-5)6-25

最后教師讓學(xué)生獨立完成教材P132練習(xí)第2題，同桌之間互相檢查.

L（1）分式約分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì).（2）最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式

叫作最簡分式.（3）約分：依據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫

作分式的約分.

2.把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分.

15.1.2分式的基本性質(zhì)

課時?分式的約分和通分

投探究1:分式的約分探究2：分式的通分

影

最簡分式通分

區(qū)

約分（教材P132例4（1）的解答過程）

第十五章分式

15.1分式

【預(yù)習(xí)速填】

1.分式的概念.分式有三個要素:①形如E的式子;②A,B都是—;③分母B中含有—.滿足

這三個條件的式子即為分式.區(qū)別整式和分式的唯一標(biāo)準(zhǔn)是看分母中是否含有字母，若分母

中含有字母，則式子就是分式,若分母中字母,則分子是整式.止匕外,在列分式表示實際問題中

的某個量時，一定要注量關(guān)系的轉(zhuǎn)化.

2.分式有（無）意義及分式值為0的條件.理解時注意以下幾點:①分式的分母表示除數(shù)，由于

除數(shù)不能為0,所以要確定分式是否有意義,就必須看分式的字母是為0.若分母為0,則分式

意義;若分母不為0,則分式_意義.而分式分母是含有字母的整式,它的值隨分式中字母取

值的變化而變化，所以對于分式,要確定其是否有意義,關(guān)鍵是分析分母中所含字母的取值;

②分式值為0條件是分母不為0且分子—.

aaacaa+u

3.分式的基本性質(zhì)一般地，對于任意一個分?jǐn)?shù)b,有b=bc,（cwo）其中a,b,c是數(shù)類

比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，我們能得出分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母乘（或除以）同一個不等

AA

于0的整式,分式的值用式子表示是8=,5=（c￥0）,其中A、B、C是整式.

分式的基本性質(zhì)是分式變形的理論依據(jù)，運用分式的基本性質(zhì)給分式變形時定要注意限制條

件“cWO”，同時還要注意隱含條件“bWO”.

4.分式的約分.分式約分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子與分母所有—約去，使

所得結(jié)果成為最簡分式或整式注意,約分不改變分式的值,在分子、分母是多項式時,要先將

分子、分母分解因式，再約分.

5.分式的通分.分式通分的依據(jù)同樣是分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化成與原

來的分式—的同分母的分式,通分的關(guān)鍵是確定各分式的最簡公分母，即各分母的所有因

式的最高次基的—.

【自我檢測】

1.如果分式四-中x與y的值同時擴大到原來的10倍,那么這個式的值（）

x+y

A.不變

B.擴大到原來的40倍

C.擴大到原來的10倍

1

D.縮小到原來的五倍

2.下列分式中是最簡分式是（）

A.

sT+3a

B.?:-9

C（f

（BTF）：

D.I

E3?1a-l3

3.下列各式:①c②豆③3匚④F-⑤丁⑥o⑦7x+y）.其中整式有—,分式有.（填

序號）

4.若（m+n）人完成一項工程需要m天,則n個人完成這項工程需要天.（假定每個人的

工作效率相同）

X

5.當(dāng)x時,分式L1,有意義；

I

6.當(dāng)b—時,分式A%無意義；

7.當(dāng)x—時，分式不的值為0.

2312

8.通分：（1）與奇；（2）貳與

參考答案

【預(yù)習(xí)速填】

1.【答案】整式，字母

2.【答案】無，有，為0

ACA+C

3.【答案】不變，府，由

4.【答案】公因式

5.【答案】相等，積

【自我檢測】

1.【解析】X和y同時擴大10倍后分式變?yōu)?*X"=膽-4=10X&L

10(x+y)10x+yx+y

【答案】C

2.【解析】不能再通過因式分解約分的分式是最簡分式.因此A選項不能再約分。

【答案】A

3.【解析】利用整式和分式的定義判斷即可。

【答案】④⑤⑥⑦，①②③

4.【解析】等量關(guān)系為這項工程的總量不變，因此可知+〃)大=〃?X,X=(二+“)用

s(B*n)

【答案】丁

5.【解析】要使分式有意義，分母不能為0,即x-IWO,x^l

【答案】#1

6.【解析】當(dāng)分母5-3b=0時，即b=s時，分式無意義。

5

【答案】j

7.【解析】分式的值為0,分子為0,分母不為0.

【答案】=1

224b8b

8.【解析】(1)最簡公分母是12a2b)三獲瓦=區(qū)后

33,3a9a

iab^-3a:b-3a_12a;b:

1g)(?-2)

(2)最簡公分母是(x+2)(x-2),遠"2)82)=口

2_2(x+2)_2x+4

x-2(x+2)(x-2)x2-4

第十八章分式

15.2分式的運算

15.2.1分式的乘除

課時1分式的乘除

【知識與技能】

(1)理解并掌握分式的乘除法則.

(2)運用分式的乘除法則進行運算，能解決一些與分式有關(guān)的實際問題.

【過程與方法】

經(jīng)歷分式乘除法的運算規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過程，培養(yǎng)學(xué)生自主探索、自主學(xué)習(xí)、自主歸納的能

力.

【情感態(tài)度與價值觀】

體驗充滿著探索性與創(chuàng)造的數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

掌握分式的乘除運算.

掌握分子、分母為多項式的分式乘除法運算.

多媒體課件.

教師分別出示兩個問題：

問題1：一個水平放置的長方體容器，其容積為V,底面的長為a,寬為b,當(dāng)容器內(nèi)的

m

水占容積的〃時，水面的高度為多少？

V

教師提出問題，學(xué)生思考?、交流，回答問題：長方體容器的高為水面的高度為

Vm

abn'

問題2：大拖拉機m天耕地ahm’，小拖拉機n天耕地bhm1大拖拉機的工作效率是小

拖拉機的工作效率的多少倍?

學(xué)生討論，先分別得出大拖拉機的工作效率是mhm7天，小拖拉機的工作效率是

hm?/天，進一步得出大拖拉機的工作效率是小拖拉機的工作效率的mn倍.

教師引入：從上面的問題可知，為討論數(shù)量關(guān)系，有時需要進行分式的乘除運算，那么

接下來我們就來探究分式的乘除運算.（教師板書課題）

探究：分式的乘除運算法則

教師：我們先從分?jǐn)?shù)的乘除法入手，看看能否類比得出分式的乘除法法則.

教師出示下列運算：

15915x91351292104

645-6x45-270-2'510—59-9,

bd

先讓學(xué)生觀察，再猜一猜：（1）”

學(xué)生思考后在小組內(nèi)交流.經(jīng)觀察、類比發(fā)現(xiàn):

cbe

教師從而進一步歸納分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的

積作為積的分母.

分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.

教師適時板書，并引導(dǎo)學(xué)生用符號表示.

然后教師說明：（1）分式乘除法運算按從左到右的順序進行，結(jié)果若不是最簡分式，則

要進行約分.（2）根據(jù)分式的乘法法則得：①分式與分式相乘時，如果分子與分母是多項式，

那么先應(yīng)分解因式，能約分的先約分，再相乘；②整式與分式相乘時，可以直接把整式看成

分母是1的代數(shù)式，再與分式相乘；③分式的乘法實質(zhì)就是約分，所以計算結(jié)果如能約分，

必須約分，或通過因式分解后能約分的也要約分，必須把結(jié)果化為最簡分式或整式.(3)根據(jù)

法則我們知道，分式的除法需轉(zhuǎn)化為乘法，轉(zhuǎn)化的過程實際上是“一變一倒”的過程，即除

號變乘號，除式的分子和分母顛倒位置.

接著教師分別出示教材P136例1、例2、例3：

例1計算：

⑴寺.六;(2)齡智.

3y2x2c4cd

1b?d—b—^d―b二d=b=cbe■

教師引導(dǎo)學(xué)生分析：運用acac'aca(l””計算，并且教

師強調(diào)計算結(jié)果應(yīng)化為最簡分式或整式.

師生共同解答，教師板書：

解：⑴蜉_4、丁_2

2/6x3y3x2

y

⑵這「5a甯二支.4cd=_4abcd=_2bd

2c24a/2c2-5a2/?10a262c25ac

例2計算:

.a2-4a+41

卦2)

a2-2a+l49-zn-m~-Im

教師引導(dǎo)學(xué)生分析：當(dāng)分子、分母是多項式時，通常先分解因式，再運用

bd_bdbd_bcbe

acac'acadad計算

學(xué)生獨立完成練習(xí)，教師關(guān)注學(xué)生能否準(zhǔn)確、熟練地進行計算，適時加以指導(dǎo).

a'-4M+4a—1(a-2)-a-1

解:(1)

a'-2a+1a~—4(a-1)2(a-2)(a+2)

(a—2)'(a—1)_a—2

(a-l)2(a-2)(a+2)=(a-l)(a+2)

111/2?,\m[m-l)

------#，-=不---7,(m-7m)=----ZT-----

49THm-7m49-zn(zn+7)(m-7)

m

~m+7"

最后教師進行總結(jié)：(D進行分式的乘除運算時，如果分子與分母是多項式，通常是先

分解因式，再進行計算.

(2)分式的除法運算，抓住“一變一倒”，即變除法為乘法，把除式的分子、分母的位

置顛倒.如果除式是整式，應(yīng)把它的分母看作“1”.

例3如圖15-2.1-1,“豐收1號”小麥的試驗田是邊長為am(a>l)的正方形去掉一個

邊長為1m的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號”小麥的試驗田是邊長為(aT)m的

正方形，兩塊試驗田的小麥都收獲了500kg.

(1)哪種小麥的單位面積產(chǎn)量高？

(2)高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍？

圖15-2.1-1

學(xué)生先獨立思考，分小組討論，再交流.教師提示：因為。>1,所以(a-1)2-

(a2-l)=(a2-2a+l)-(a2-l)=-2(a-l)<0,t!P(a-l)2<a2-l.

解：（1）“豐收1號”小麥的試驗田面積是（。2_1）0?,單位面積產(chǎn)量是

普kg/m2；“豐收2號”小麥的試驗田面積是（a-1）2m2,單位面積產(chǎn)量

曰500-2

是;一[TTkg/n「

（a-1）

Va>l，:.（a-1）2>0,a2-l>0.

由圖15-2.1-2可得（a-l）2<a2_]

500500

???——<--------7.

???“豐收2號”小麥的單位面積產(chǎn)量高.

500.500500“'I(a+1)(a-1)。+1

(2)

(4—1廠a~—1(a—1)~500a-1

???“豐收2號”小麥的單位面積產(chǎn)量是“豐收I號”小麥的單位面積產(chǎn)量的

a-1

接著教師讓學(xué)生獨立完成教材P137練習(xí)第1題，同桌之間互相檢查.

I.分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母.

b.±_bd

符號表示：ac~ac'

2.分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.

bd__b_cbe

符號表示：a?c-ad~ad'

15.2.1分式的乘除

課時?分式的乘除

1.分式的乘法法則:分式乘分式，用分子的積作為

積的分子，分母的積作為積的分母.

探究:分式的乘除運算法則.

投用符號表示:上?&="

影

區(qū)acac（教材P136例1的解答過程）

2.分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分

子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.

用符號表示:'且=在?:與

acaaad

第十九章分式

15.2分式的運算

15.2.1分式的乘除

課時2分式的乘方與乘除混合運算

【知識與技能】

(1)進一步熟悉分式的乘除法法則，會進行分式的乘除混合運算.

(2)理解分式乘方的原理，掌握乘方的規(guī)律，并能運用乘方的規(guī)律進行分式的乘方運算.

【過程與方法】

經(jīng)歷分式乘方法則的探究過程，采用自主探索與合作交流的方式，經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”的過

程，培養(yǎng)探究數(shù)學(xué)問題的能力.

【情感態(tài)度與價值觀】

體驗充滿著探索性與創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

分式的乘方運算，分式的乘除法、乘方混合運算.

分式的乘除法、乘方混合運算，以及分式乘除法、乘方運算中符號的確定.

多媒體課件.

讓學(xué)生口答：

1.分式的乘除法運算法則；

2.乘方的意義.

教師根據(jù)學(xué)生回答情況歸納.

然后教師引入：我們本節(jié)課將學(xué)習(xí)分式的乘方與乘除法混合運算.(板書課題)

探究1：分式的乘除混合運算

2x3x

-------r---------?------.

教師出示投影：計算5125廣-9八+3

師生共同分析：乘除混合運算可以統(tǒng)一為乘法運算，然后分解因式，最后運用

—h?—d——bd—b二—d——b?—c——be'

0c-4'a.c-a「C血計算.學(xué)生板演：

2v(5.v-3)(5x+3)A

教師總結(jié)分式乘除混合運算的步驟：分式乘除混合運算，先統(tǒng)一成乘法運算，再把分子、

分母中能進行因式分解的多項式分解因式，進行約分.注意最后的計算結(jié)果是最簡分式或整

式.

探究2：分式的乘方與乘除混合運算

教師出示投影：根據(jù)乘方的意義和分式乘法的法則填空.

學(xué)生思考、交流，回答問題.

然后師生共同推導(dǎo)：

教師歸納并板書分式的乘方法則：分式乘方要把分子、分母分別乘方.

接著教師出示教材P139例5：

計算:

2

-2a2b

(1);(2)

(3c

教師先讓學(xué)生獨立完成(1),再讓一名學(xué)生板演.然后教師著重講解(2),師生共同分析

解答，教師板書:

abl/2ac2

=可『而

_a'b'd3/

_?363

二一才

然后教師總結(jié)：(1)在一個算式中同時含有分式的乘方、乘法、除法時，應(yīng)先算乘方,

再算乘法、除法.有多項式時應(yīng)先分解因式.(2)在分式乘方時，要首先確定乘方結(jié)果的符號.

負(fù)數(shù)的偶次方為正，負(fù)數(shù)的奇次方為負(fù).

l)H寫成

教師強調(diào)：在分式乘方時，一定要把分式加上括號，不要把(f)=

\b'‘J還應(yīng)把分子、分母分別看作一個整體，如‘b1，~.

接著讓學(xué)生獨立完成教材P139練習(xí)第1,2題，同桌之間互相檢查.

本節(jié)課學(xué)習(xí)了分式的乘除混合運算、分式乘方的法則、分式的乘方和分式的乘除法運算,

同時要注意以下幾點：

(1)在分式的乘除混合運算中，由于乘除屬于同一級運算，因此應(yīng)按從左到右的順序逐

步運算.一般在計算除法時，將除法變?yōu)槌朔?，再按乘法法則計算.

(2)計算乘方時要先確定符號.

15.2.1分式的乘除

課時?分式的乘方與乘除混合運算

投分式的乘方法則：分式乘方要把分

影探究1：分式的乘除混合運算.

區(qū)子、分母分別乘方.

探究2:分式的乘方與乘除混合運算.

〔教材P139例5(2)的解答過程〕

第二十章分式

15.2分式的運算

15.2.2分式的加減

課時1分式的加減

【知識與技能】

理解并掌握分式的加減法法則，并會運用它們進行分式的加減運算.

【過程與方法】

通過經(jīng)歷分式加減法的運算規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過程，培養(yǎng)學(xué)生自主探索、自主學(xué)習(xí)、自主歸納

的能力.

【情感態(tài)度與價值觀】

學(xué)生自己體驗通過實例運算總結(jié)法則的過程，在體驗中不斷提出問題、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決

問題，在主動學(xué)習(xí)中培養(yǎng)自信心.

運用分式的加減運算法則進行運算.

異分母分式加減法的運算.

多媒體課件.

教師直接引入：以前我們學(xué)習(xí)過分?jǐn)?shù)的加減法，我們一起來回顧一-下：

什么叫通分?通分的關(guān)鍵是什么?什么叫最簡公分母?通分的作用是什么？

學(xué)生回憶，教師引出課題，并板書課題.

探究：分式的加減運算

教師分別出示教材P139問題3和問題4：

問題3：甲工程隊完成一項工程需n天，乙工程隊要比甲隊多用3天才能完成這項工程,

兩隊共同工作一天完成這項工程的幾分之幾？

教師引導(dǎo)分析，學(xué)生思考、交流.

J_J

解：甲工程隊一天完成這項工程的“，乙工程隊一天完成這項工程的“',兩隊共同

（5?

工作一天完成這項工程的〃〃+-”

問題4：2009年、2010年、2011年某地的森林面積（單位：媼）分別是SLS2,S3,2011

年與2010年相比，森林面積增長率提高了多少？

教師引導(dǎo)學(xué)生思考解題過程.

解：2011年的森林面積增長率是2,2010年的森林面積增長率是、，2011

,S3-S2S2-Sl

年與2010年相比，森林面積增長率提高了、」

教師：從上面兩個問題可知，在討論實際問題的數(shù)量關(guān)系時，有時需要進行分式的加減

運算.

然后教師出示教材P140“思考”：

觀察下列分?jǐn)?shù)加減運算的式子：

12__3_J_j__3_2__5_3_2_J_

T+T=5-,T"5'='y,T+T=6-+6-=:yT2"6",

你能將它推廣，得出分式的加減法法則嗎？

學(xué)生小組討論，在組內(nèi)交流，發(fā)現(xiàn)：分式的加減法與分?jǐn)?shù)的加減法類似，它們的實質(zhì)相

同,從而得到分式的加減法法則.

教師根據(jù)學(xué)生歸納的情況，適當(dāng)點評，并板書.

同分母的分式加減法法則：同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減.

aba±b

—土---=-----

用式子表示為cC

異分母分式加減法法則：異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減.

acadbead±bc

用式子表示為"dIxlIxll)d

接著教師出示教材P140例6：

計算：

5.v+3v2,v

(1)22

%—-廣

1

(2)2p+3q+2p-3q

教師引導(dǎo)學(xué)生分析:先看分式的加減屬于同分母還是異分母？再運用色土

ba±l)acadbead±be、在匕一、上心

丁=丁?，鏟7=諼良=RM■計算.

教師板書(1),學(xué)生板演(2),師生共同點評:

解：(1)空斗--^7

x~-yx~-y

5x+3y-2x

=9?

3%+3y

=——

化_一r

3

*??

x-y

2P+3q2p-3(/

2P_3q__________2P+3q

(2p+3q)(2p-3q)+(2p+3q)(2p-3q)

2P-3q+2P+3q

(2p+3g)(2p-3g)

二4P

4P2-9q‘

教師

在解題時強調(diào)分式計算的結(jié)果必須化為最簡分式.可以向?qū)W生簡單介紹最簡分式的有關(guān)知

識，可與最簡分?jǐn)?shù)進行類比.提醒：(2)的