3.1從算式到方程

3.1.1一元一次方程

(共2個課時，第37課時)

教學

1.通過現(xiàn)實生活中的例子，體會方程的意義，領(lǐng)悟一元一次方程的概念，并會進行簡

單的辨別；(重點)

2.初步學會找實際問題中的等量關(guān)系，設出未知數(shù)，列出方程.(重點，難點)

鰭清昌

一、情境導入

問題：一輛客車和一輛卡車同時從1地出發(fā)沿同一公路同一方向行駛，客車的行駛速度

是70km/h,卡車的行駛速度是60km/h,客車比卡車早lh經(jīng)過6地，A,6兩地間的路程是

多少？

1.若用算術(shù)方法解決應怎樣列算式？

2.如果設46兩地相距Akm,那么客車從1地到9地的行駛時間為______,貨車從

力地到8地的行駛時間為.

3.客車與貨車行駛時間的關(guān)系是.

4.根據(jù)上述關(guān)系，可列方程為.

5.對于上面的問題，你還能列出其他方程嗎？如果能，你依據(jù)的是哪個相等關(guān)系？

二、合作探究

探究點一：方程的概念

頸I判斷下列各式是不是方程；若不是，請說明理由.

(1)4X5=3X7-1；(2)2x+5y=3；

x—3]

(3)9-4A->0；(4)^-=-；(5)2x+3.

/J

解析：根據(jù)方程的定義對各小題進行逐一分析即可.

解：(1)不是，因為不含有未知數(shù)；

(2)是方程;

(3)不是，因為不是等式；

(4)是方程；

(5)不是，因為不是等式.

方法總結(jié)：本題考查的是方程的概念，方程是含有未知數(shù)的等式，在這一概念中要抓住

方程定義的兩個要點①等式；②含有未知數(shù).

探究點二：一元一次方程的概念

［類型一］一元一次方程的辨別

下列方程中是一元一次方程的有()

A.x+3=y+2

B.1—3(1—2A)——2(5—3x)

y

D.-2=2y-7

o

解析：A.含有兩個未知數(shù)，不是一元一次方程，錯誤；B.化簡后含有未知數(shù)項可以消去，

不是方程，錯誤；C.分母中含有字母，不是一元一次方程，錯誤；D.符合一元一次方程的定

義，正確.故選D.

方法總結(jié)：判斷一元一次方程需滿足三個條件：(1)只含有一個未知數(shù)；(2)未知數(shù)的次

數(shù)是1;(3)是整式方程.

［類型二］利用一元一次方程的概念求字母次數(shù)的值

顫1方程E+1)』"+1=0是關(guān)于X的一元一次方程，則()

A.m—+1B.m=l

C./n——1D.而￥—1

解析：由一元一次方程的概念，一元一次方程必須滿足未知數(shù)的次數(shù)為1且系數(shù)不等于

l?l=l

0,所以，

/+1wo'

解得R=L故選B.

方法總結(jié)：解決此類問題要明確：若一個整式方程經(jīng)過化簡變形后，只含有一個未知數(shù)，

并且未知數(shù)的次數(shù)都是1且系數(shù)不為0,則這個方程是一元一次方程.據(jù)此可求方程中相關(guān)

字母的值.

探究點三：方程的解

而II下列方程中，解為*=2的方程是()

A.3x—2=3B.—x+6=2x

C.4-2(%-1)=1D.］x+l=O

解析：A.當x=2時，左邊=3X2—2=4W右邊，錯誤；B,當x=2時，左邊=-2+6

=4,右邊=2*2=4,左邊=右邊，即*=2是該方程的解，正確；C.當矛=2時，左邊=4

-2X(2-1)=2W右邊，錯誤；D.當x=2時，左邊=^X2+1=2W右邊，錯誤.故選B.

方法總結(jié)：檢驗一個數(shù)是否是方程的解，就是要看它能不能使方程的左、右兩邊相等.

探究點四：列方程

n某文具店一支鉛筆的售價為1.2元，一支圓珠筆的售價為2元.該店在“6?1”

兒童節(jié)舉行文具優(yōu)惠售賣活動，鉛筆按原價打8折出售，圓珠筆按原價打9折出售，結(jié)果兩

種筆共賣出60支，賣得金額87元.若設鉛筆賣出x支，則依題意可列得的一元一次方程為

()

A.1.2X0.8x+2X0.9(60+x)=87

B.1.2X0.8x+2X0.9(60—x)=87

C.2X0.9x+1.2X0.8（60+x）=87

D.2X0.9x+1.2X0.8（60-x）=87

解析：設鉛筆賣出x支，根據(jù)“鉛筆按原價打8折出售，圓珠筆按原價打9折出售，結(jié)

果兩種筆共賣出60支，賣得金額87元”，得出等量關(guān)系：x支鉛筆的售價+（60—矛）支圓

珠筆的售價=87,據(jù)此列出方程為1.2X0.8x+2X0.9（60—王）=87.故選B.

方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是正確理解題意，設出未知數(shù)，找到題目當中的等量關(guān)系，列方

程.

三、板書設計

1.方程的定義

2.一元一次方程：只含有一個未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1的整式方程叫做一元

一次方程.

3.列方程解決實際問題的步驟：

①設未知數(shù)（用字母）

②找等量關(guān)系（表示出相關(guān)的量）

③列出方程

第三章一元一次方程

3.1從算式到方程

3.1.2等式的性質(zhì)

(共2個課時，第39課時)

1.利用等式的基本性質(zhì)對等式進行變形.

2.會用等式的性質(zhì)解簡單的一元一次方程;

一、情境導入

同學們，你們玩過蹺蹺板嗎?它有什么特征？

翹翹板的兩邊增加的量之間到底滿足什么關(guān)系時，翹翹板才能保持平衡?

二、合作探究

探究點一：應用等式的性質(zhì)對等式進行變形.

例1：用適當?shù)臄?shù)或整式填空，使所得結(jié)果仍是等式.

(1)如果2x+7=10,那么2x=10-；

(2)如果-3x=8,那么x=；

22

(3)如果x—=y,那么x=；

33

(4)如果g=2,那么a=.

4

解析：(1)根據(jù)等式的基本性質(zhì)(1),在等式兩邊同時減去7可得2x=10-7；

o

(2)根據(jù)等式的基本性質(zhì)(2),在等式兩邊同時除以-3可得x=-一；

3

2

(3)根據(jù)等式的基本性質(zhì)(1),在等式兩邊同時加上一可得x=y；

3

(4)根據(jù)等式的基本性質(zhì)(2),在等式兩邊同時乘以4可得a=8.

故答案為：7,-83,y,8.

方法總結(jié)：運用等式的性質(zhì)，可以將等式進行變形，變形時等式兩邊必須同時進行完全

相同的四則運算，否則就會破壞原來的相等關(guān)系。

例2：已知mx=my,下列結(jié)論錯誤的是()

A.x=yB.a+mx=a+my

C.mx-y=my-yD.amx=amy

解析：A、等式的兩邊都除以m,根據(jù)等式性質(zhì)2,m#0,而A選項沒有說明，故A

錯誤；B、符合等式的性質(zhì)1,正確.C、符合等式的性質(zhì)1,正確.D、符合等式的性質(zhì)1,

正確.故選A.

方法總結(jié)：本題主要考查等式的基本性質(zhì).在等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或字

母，等式仍成立，這里的數(shù)或字母沒有條件限制，但是在等式的兩邊同時乘以或除以同一個

數(shù)或字母時，這里的數(shù)或字母必須不為0.

探究點二：利用等式的性質(zhì)解方程

例3：用等式的性質(zhì)解下列方程：

(1)4x+7=3；

(2)—X--x=4.

23

解析：(1)在等式的兩邊都加或都減7,再在等式的兩邊都除以4,可得答案；

(2)在等式的兩邊都乘以6,在合并同類項，可得答案.

解：(1)方程兩邊都減7,得4x=-4.

方程兩邊都除以4,得x=-l.

(2)方程兩邊都乘以6,得3x-2x=24,

x=24.

方法總結(jié)：解方程時，一般先將方程變形為2*=1?的形式，然后再變形為x=c的形式。

三、板書設計

1.等式的性質(zhì)1：等式的兩邊同時加(或減)同一個代數(shù)式，所得結(jié)果仍是等式.

即如果a=b,那么a±c=b土c.

2.等式的性質(zhì)2:等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍是等式.

ah

即如果a=b,那么ac二be；如果a=b(cW0),那么一=—.

cc

3.利用等式的基本性質(zhì)解一元一次方程

教齷題

本節(jié)課采用從生活中的蹺蹺板入手，激發(fā)學生學習興趣，采用類比等式性質(zhì)創(chuàng)設問題情

景的方法，引導學生的自主探究活動，教給學生類比、猜想、驗證等研究問題的方法，培養(yǎng)

學生善于動手、善于觀察、善于思考的學習習慣。利用學生的好奇心設疑、解疑，組織活潑

互動、有效的教學活動，學生積極參與，大膽猜想，使學生在自主探索和合作交流中理解和

掌握本節(jié)課的內(nèi)容。力求在整個探究學習的過程充滿師生之間、生生之間的交流和互動，體

現(xiàn)教師是教學活動的組織者、引導者、合作者，學生才是學習的主體。

3.2解一元一次方程(一)一一合并同類項與移項

第1課時用合并同類項的方法解一元一次方程

(共2個課時，第41課時)

顫

1.會利用合并同類項的方法解一元一次方程；(重點)

2.通過對實例的分析、體會一元一次方程作為實際問題的數(shù)學模型的作用.(難點)

一、情境導入

1.等式的基本性質(zhì)有哪些？

2.解方程：(1)工-9=8；(2)3%+1-4.

3.下列各題中的兩個項是不是同類項？

⑴3燈與一3燈；(2)0?2仍與0?2助；

(3)2abe與9be;(4)3mn與一nm；

(5)4燈z與4燈z;(6)6與x.

4.能把上題中的同類項合并成一項嗎？如何合并？

5.合并同類項的法則是什么？依據(jù)是什么？

二、合作探究

探究點一：利用合并同類項解簡單的一元一次方程

解下列方程：

⑴9x—5x=8；

(2)4x—6x—x=15.

解析：先將方程左邊的同類項合并，再把未知數(shù)的系數(shù)化為1.

解：(D合并同類項，得4x=8.

系數(shù)化為1,得x=2.

(2)合并同類項，得-3x=15.

系數(shù)化為1，得x=-5.

方法總結(jié)：解方程的實質(zhì)就是利用等式的性質(zhì)把方程變形為x=a的形式.

探究點二：根據(jù)“總量=各部分量的和”列方程解決問題

順足球表面是由若干個黑色五邊形和白色六邊形皮塊圍成的，黑、白皮塊數(shù)目的比

為3：5,一個足球表面一共有32個皮塊，黑色皮塊和白色皮塊各有多少個？

解析：遇到比例問題時可設其中的每一份為x,本題中已知黑、白皮塊數(shù)目比為3：5,

可設黑色皮塊有3x個，則白色皮塊有5x個，然后利用相等關(guān)系“黑色皮塊數(shù)+白色皮塊數(shù)

第6頁共47頁

=32”列方程.

解：設黑色皮塊有3x個，則白色皮塊有5x個，

根據(jù)題意列方程3x+5x=32,

解得x=4,

則黑色皮塊有3x=12(個)，

白色皮塊有5x=20(個).

答：黑色皮塊有12個，白色皮塊有20個.

方法總結(jié)：解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的數(shù)量關(guān)系，

列出方程，再求解.此題的關(guān)鍵是要知道相等關(guān)系為：黑色皮塊數(shù)+白色皮塊數(shù)=32,并能

用x和比例關(guān)系把黑皮與白皮的數(shù)量表示出來.

三、板書設計

1.用合并同類項的方法解簡單的一元一次方程.

解方程的步驟：

(1)合并同類項；

(2)系數(shù)化為1(等式的基本性質(zhì)2).

2.找等量關(guān)系列一元一次方程.

列方程解應用題的步驟：

(1)設未知數(shù)；

(2)分析題意找出等量關(guān)系；

(3)根據(jù)等量關(guān)系列方程；

(4)解方程并作答.

本節(jié)從復習入手，幫助學生回顧合并同類項的相關(guān)知識，為學習用合并同類項解方程做

好鋪墊.教學中采用引導發(fā)現(xiàn)的方法，課堂訓練中鼓勵自己動手，體現(xiàn)學生在課堂上的主體

地位；整個教學過程中充分調(diào)動學生學習積極性，培養(yǎng)學生合作學習，主動探究的習慣.

第7頁共47頁

第2課時用移項的方法解一元一次方程

(共2個課時，第43課時)

1.掌握移項變號的基本原則；(重點)

2.會利用移項解一元一次方程；(重點)

3.會抓住實際問題中的數(shù)量關(guān)系列一元一次方程解決實際問題.(難點)

一、情境導入

上節(jié)課學習了一元一次方程，它們都有這樣的特點：一邊是含有未知數(shù)的項，一邊是常

數(shù)項.這樣的方程我們可以用合并同類項的方法解答.那么像3x+7=32-2x這樣的方程怎

么解呢？

二、合作探究

探究點一：移項法則

(1D通過移項將下列方程變形，正確的是()

A.由5x-7=2,得5x=2—7

B.由6x-3=x+4,得3-6x=4+x

C.由8—X—X—5,得一x—x=-5—8

D.由x+9=3x—1,得3x—x=-1+9

解析：A.由5%—7=2,得5/=2+7,故選項錯誤：B.由6x—3=x+4,得6x—x=3+4,

故選項錯誤；C.由8-x=x-5,得一*一X=一5—8,故選項正確；D.由x+9=3x-l,得

3x-x=9+l,故選項錯誤.故選C.

方法總結(jié)：①所移動的是方程中的項，并且是從方程的一邊移到另一邊，而不是在這個

方程的一邊變換兩項的位置.②移項時要變號，不變號不能移項.

探究點二：用移項解一元一次方程

解下列方程：

(1)—x—4=3x；(2)5x—1=9；

(3)-4x-8=4;(4)0.5x-0.7=6.5-L3x.

解析：通過移項、合并、系數(shù)化為1的方法解答即可.

解：(1)移項得一不—3x=4,

合并同類項得-4%=4,

系數(shù)化成1得x=-1;

(2)移項得5x=9+l,

合并同類項得5x=10,

系數(shù)化成1得x=2；

(3)移項得-4x=4+8,

合并同類項得一4片=12,

系數(shù)化成1得*=-3；

(4)移項得1.3x+0.5x=0.7+6.5,

第8頁共47頁

合并同類項得1.8x=7.2,

系數(shù)化成1得x=4.

方法總結(jié)：將所有含未知數(shù)的項移到方程的左邊，常數(shù)項移到方程的右邊，然后合并同

類項，最后將未知數(shù)的系數(shù)化為1.特別注意移項要變號.

探究點三：根據(jù)“表示同一個量的兩個不同的式子相等”列方程解決問題

mJ把一批圖書分給七年級（11）班的同學閱讀，若每人分3本，則剩余20本，若每人

分4本，則缺25本，這個班有多少學生？

解析：根據(jù)實際書的數(shù)量可得相應的等量關(guān)系：3X學生數(shù)量+20=4X學生數(shù)量一25,

把相關(guān)數(shù)值代入即可求解.

解：設這個班有x個學生，根據(jù)題意得

3x+20=4x-25,

移項得3萬-4矛=-25—20

合并得一%=-45

解得x=45.

答：這個班有45人.

方法總結(jié)：列方程解應用題時，應抓住題目中的“相等"、“誰比誰多多少”等表示數(shù)量

關(guān)系的詞語，以便從中找出合適的等量關(guān)系列方程.

三、板書設計

1.移項的定義：

把等式一邊的某項變號后移到另一邊，叫做移項.

2.移項法則的依據(jù)：

移項法則的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)1.

3.用移項解一元一次方程.

4.列一元一次方程解決實際問題.

教蠲題

本節(jié)課先利用等式的基本性質(zhì)來解方程，從而引出了移項的概念，然后讓學生利用移項

的方法來解方程.學生在移項過程中，大致會遇到以下幾種比較常見的情況：①含未知數(shù)的

項不知道如何處理；②移項沒有變號；③沒移動的項也改變了符號；第一種情況在授課過程

中強調(diào)不夠，后面的兩種情況出現(xiàn)最多，因此在教學設計當中應給學生進行針對性訓練.引

導學生正確地解方程.

第9頁共47頁

3.3解一元一次方程(二)一一去括號與去分母

第1課時利用去括號解一元一次方程

(共2個課時，第45課時)

1.掌握用一元一次方程解決實際問題的方法，會用分配律去括號解含括號的一元一次

方程；(重點)

2.經(jīng)歷應用方程解決實際問題的過程，發(fā)展分析問題、解決問題的能力，進一步體會

方程模型的作用.(難點)

一、情境導入

復習提問：

1.解一元一次方程時，最終結(jié)果一般是化為哪種形式？

2.我們學了哪幾種一元一次方程的解法？

3.移項，合并同類項，系數(shù)化為1,要注意什么？

4.一艘船從甲碼頭到乙碼頭順水行駛用了2小時，從乙碼頭返回甲碼頭逆水行駛用了

2.5小時，水流速度是3千米/時，求船在靜水中的速度.

(1)題目中的等量關(guān)系是

(2)根據(jù)題意可列方程為.

你能解這個方程嗎？

二、合作探究

探究點一：利用去括號解一元一次方程

［類型一］用去括號的方法解方程

解下列方程：

(l)4x—3(5—x)=6；

(2)5(矛+8)—5=6(2%—7).

解析：先去括號，再移項，合并同類項，系數(shù)化為1即可求得答案.

解:(1)去括號得去一15+3x=6,

移項合并同類項得7x=21,

系數(shù)化為1得x=3；

(2)去括號得5x+40—5=12x—42,

移項、合并得一7犬=-77,

系數(shù)化為1得x=ll.

方法總結(jié)：解一元一次方程的步驟是去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為L在具體

解方程時，不論進行到哪一步，只要得出方程的解，下面的步驟就不用再進行了.

［類型二］根據(jù)已知方程的解求字母系數(shù)的值

第10頁共47頁

___Y

已知關(guān)于x的方程3a—x=]+3的解為2,求代數(shù)式（一a）?—2a+l的值.

解析：此題可將x=2代入方程，得出關(guān)于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值，

再把a的值代入所求代數(shù)式計算即可.

X

解：：x=2是方程3a—x=,+3的解，

，3a—2=1+3,

解得a—2,

二原式=3-2a+l=22-2X2+1=1.

方法總結(jié)：此題考查方程解的意義及代數(shù)式的求值.將未知數(shù)x的值代入方程，求出a

的值，然后將a的值代入整式即可解決此類問題.

探究點二：應用方程思想求值

H當x為何值時，代數(shù)式2（f-1）一_?的值比代數(shù)式/+3%-2的值大6.

解析：先列出方程，然后根據(jù)一元一次方程的解法，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)

化為1即可得解.

解:依題意得2（X2—1）—X—（f+3x—2）=6,

去括號得2/一2—3>+2=6,

移項、合并得一3x=6,

系數(shù)化為1得x=-2.

方法總結(jié)：先按要求列出方程，然后按照去括號，移項，把含未知數(shù)的項移到方程左邊，

不含未知數(shù)的項移到方程右邊，然后合并同類項，最后把未知數(shù)的系數(shù)化為1得到原方程的

解.

探究點三：去括號解方程的應用題

畫。今年5月，在中國東莞舉辦了蘇迪曼杯羽毛球團體賽.在17日的決賽中，中國隊

戰(zhàn)勝日本隊奪得了冠軍.某羽毛球協(xié)會組織一些會員到現(xiàn)場觀看了該場比賽.已知該協(xié)會購

買了每張300元和每張400元的兩種門票共8張，總費用為2700元.請問該協(xié)會購買了這

兩種門票各多少張？

解析：設每張300元的門票買了x張，則每張400元的門票買了（8—x）張，根據(jù)題意建

立方程，求出方程的解就可以得出結(jié)論.

解：設每張300元的門票買了“張，則每張400元的門票買了（8一力張，由題意得

300x+400X（8-%）=2700,

解得x=5,

...買400元每張的門票張數(shù)為：8—5=3（張）.

答：每張300元的門票買了5張，每張400元的門票買了3張.

方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是熟練掌握列方程解應用題的一般步驟：①根據(jù)題意找出等量關(guān)

系；②列出方程；③解方程；④作答.

三、板書設計

解一元一次方程一一去括號：

1.去括號的順序：先去小括號，再去中括號，最后去大括號.簡單地說，由內(nèi)向外去

括號，也可以由外向內(nèi)去括號.

2.去括號的規(guī)律：（1）將括號外的因數(shù)連同它前面的符號看成一個整體，利用分配律將

它與括號內(nèi)的項相乘，即a（b+d）=ab+ac；（2）如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括

號內(nèi)各項的符號與原來的符號相同；如果括號外的因數(shù)是負數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符

第11頁共47頁

號與原來的符號相反.

本節(jié)課的教學先讓學生回顧上一節(jié)所學的知識，復習鞏固方程的解法，讓學生進一步明

白解方程的步驟是逐漸發(fā)展的，后面的步驟是在前面步驟的基礎上發(fā)展而成.然后通過一個

實際問題，列出一個有括號的方程，大膽放手讓學生去探索、猜想各種方法，去嘗試各種解

題的途徑，啟發(fā)學生探索新的解題方法.

第12頁共47頁

第2課時利用去分母解一元一次方程

(共2個課時，第47課時)

i.掌握含有以常數(shù)為分母的一元一次方程的解法；(重點)

2.加深學生對一元一次方程概念的理解，并總結(jié)出解一元一次方程的步驟.(難點)

一、情境導入

1.等式的基本性質(zhì)2是怎樣敘述的呢？

2.求下列幾組數(shù)的最小公倍數(shù)：

(1)2,3；(2)2,4,5.

3.通過上幾節(jié)課的探討，總結(jié)一下解一元一次方程的一般步驟是什么？

4.如果未知數(shù)的系數(shù)是分數(shù)時，怎樣來解這種類型的方程呢？那么這一節(jié)課我們來共

同解決這樣的問題.

二、合作探究

探究點一：用去分母解一元一次方程

［類型—］用去分母解方程

x~2_2x—5

@D⑴X~5~=33；

/\矛一3x+11

⑵F3-=6'

解析：(1)先方程兩邊同時乘以分母的最小公倍數(shù)15去分母，方程變?yōu)?5%一3(*—2)

=5(2%—5)—45,再去括號，移項、合并同類項、化系數(shù)為1解方程.

(2)先方程兩邊同時乘以分母的最小公倍數(shù)6去分母，方程變?yōu)?(x-3)—2(x+l)=6,

再去括號，移項、合并同類項、化系數(shù)為1解方程.

x~22x~5

解:(l)x-T----3,

50

去分母得15x-3(x-2)=5(2x-5)-45,

去括號得15x-3x+6=10x—25-45,

移項得15x-3x-10x=-25-45-6,

合并同類項得2x=-76,

把x的系數(shù)化為1得x=-38.

(力二_也」

')23-6

去分母得3(k3)一2(x+l)=6,

去括號得3x—9—2x—2=6,

移項得3x—2x=1+9+2,

合并同類項得x=12.

第13頁共47頁

方法總結(jié)：解方程應注意以下兩點：①去分母時，方程兩端同乘各分母的最小公倍數(shù)時，

不要漏乘沒有分母的項，同時要把分子(如果是一個多項式)作為一個整體加上括號.②去括

號，移項時要注意符號的變化.

［類型二］兩個方程解相同，求字母的值

1-OILTy11Oy16y用n

已知方程3片與關(guān)于x的方程3x的解相同，求

63436

a的值.

解析：求出第一個方程的解，把求出的x的值代入第二個方程，求出所得關(guān)于a的方程

的解即可.

._1—2x,x+12x~1

解:-+—=1--

2(1—2A)+4(x+1)—12—3(2x—1)

2—4x+4x+4=12—6x+3

6x=9,

3

%=T.

『3八、、,&x—aa

把x=5代入---=g—3%,

39-aa9

丁飛一亍

9+18-25=5-27,

-3a=-54,

a=18.

方法總結(jié):此類問題的思路是根據(jù)某數(shù)是方程的解，則可把已知解代入方程的未知數(shù)中,

使未知數(shù)轉(zhuǎn)化為已知數(shù)，從而建立起未知系數(shù)的方程求解.

探究點二：應用方程思想求值

(1)當〃取何值時，代數(shù)式中的值比一;一的值小1?

O/

L-4-13Z-4-1

(2)當左取何值時，代數(shù)式亨與圣產(chǎn)的值互為相反數(shù)？

解析：根據(jù)題意列出方程，然后解方程即可.

解：(1)根據(jù)題意可得后——「=1，

乙O

去分母得3(34+1)—2(衣+1)=6,

去括號得94+3-24一2=6,

移項得9k—2A=6+2—3,

合并得7A?nS,

系數(shù)化為1得仁,；

什1,3A+1

(2)根據(jù)題意可得

3~=0,

去分母得2(4+1)+3(34+1)=0,

去括號得24+2+94+3=0,

第14頁共47頁

移項得2A'+94=-3—2,

合并得114=—5,

5

系數(shù)化為1得4=一五.

方法總結(jié)：先按要求列出方程，然后按照去分母，去括號，移項，合并同類項，最后把

未知數(shù)的系數(shù)化為1得到原方程的解.

探究點三：列一元一次方程解應用題

畫。某單位計劃“五一”期間組織職工到東江湖旅游，如果單獨租用40座的客車若干

輛剛好坐滿；如果租用50座的客車則可以少租一輛，并且有40個剩余座位.

(1)該單位參加旅游的職工有多少人？

(2)如同時租用這兩種客車若干輛，問有無可能使每輛車剛好坐滿？如有可能，兩種車

各租多少輛？(此間可只寫結(jié)果，不寫分析過程)

解析：(1)先設該單位參加旅游的職工有x人，利用人數(shù)不變，車的輛數(shù)相差1,可列

出一元一次方程求解；

(2)可根據(jù)租用兩種汽車時，利用假設一種車的數(shù)量，進而得出另一種車的數(shù)量求出即

可.

xy-l-40

解：(1)設該單位參加旅游的職工有X人，由題意得方程：——解得x=360.

4UDU

答：該單位參加旅游的職工有360人；

(2)有可能，因為租用4輛40座的客車、4輛50座的客車剛好可以坐360人，正好坐

滿.

方法總結(jié)：解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，

列出方程再求解.

三、板書設計

解含有分母的一元一次方程

(1)去分母；

(2)去括號；

(3)移項，合并同類項；

(4)系數(shù)化為1.

第15頁共47頁

___________________________

3.4實際問題與一元一次方程

第1課時產(chǎn)品配套問題和工程問題

（共2個課時，第49課時）

BK

i.以“探究”的形式討論如何用一元一次方程解決實際問題；（重點，難點）

2.體會一元一次方程與實際生活的密切聯(lián)系，加強數(shù)學建模思想的應用意識；（重點）

3.培養(yǎng)運用一元一次方程分析和解決實際問題的能力.（重點）

一、情境導入

近來我們市要修一條公路，公路大約長120千米，今天一早，有兩個工程隊找到了局長,

甲工程隊說：“包給我們，保證30天完成"：乙工程隊說:“包給我們，保證20天就完成”.如

果你是局長，會怎么辦呢？

二、合作探究

探究點一：產(chǎn)品配套問題

頸1某車間有工人660名，生產(chǎn)一種由一個螺栓和兩個螺母組成的配套產(chǎn)品，每人每

天平均生產(chǎn)螺栓14個或螺母20個.如果你是這個車間的車間主任，你應分配多少人生產(chǎn)螺

栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套？

解析：本題找出等量關(guān)系為：生產(chǎn)的螺栓數(shù)乂2=生產(chǎn)的螺母數(shù)，把相關(guān)的代數(shù)式代入

即可列方程.

解：設分配x人生產(chǎn)螺栓，（660—x）人生產(chǎn)螺母，

依題意得14*X2=（660-x）X20,

解得x=275,

A660-x=385.

答：應分配385人生產(chǎn)螺母，275人生產(chǎn)螺栓.

方法總結(jié)：此題考查了一元一次方程的應用，得到螺栓和螺母數(shù)量的等量關(guān)系是解決本

題的關(guān)鍵.

探究點二：工程問題

頌一個道路工程，甲隊單獨施工9天完成，乙隊單獨做24天完成.現(xiàn)在甲乙兩隊共

同施工3天，因甲另有任務，剩下的工程由乙隊完成，問乙隊還需幾天才能完成？

解析：首先設乙隊還需*天才能完成，由題意可得等量關(guān)系：甲隊干三天的工作量+乙

第16頁共47頁

隊干(x+3)天的工作量=1,根據(jù)等量關(guān)系列出方程，求解即可.

解：設乙隊還需x天才能完成，由題意得

93+/(3+x)=1,

解得x=13.

答：乙隊還需13天才能完成.

方法總結(jié)：找到等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.本題主要考查的等量關(guān)系為：工作效率X

工作時間=工作總量，當題中沒有一些必須的量時，為了簡便，應設其為1.

三、板書設計

1.配套問題：找出等量關(guān)系

2.工程問題：

(1)工程總量=效率X時間.

(2)各部分的工程和=工作總量=1.

皴暮雕

本節(jié)課以生活中常見的一個問題展開，提高學生的興趣，讓學生們認識到數(shù)學知識與我

們的實際生活息息相關(guān).然后通過例題教學，為學生提供了探索空間，通過猜測、驗證、質(zhì)

疑、討論、解疑等一系列活動，充分調(diào)動學生學習的積極性.讓學生在實踐中獲得解決問題

的方法，得到學習的樂趣.

第17頁共47頁

第2課時銷售中的盈虧

（共2個課時，第51課時）

i.理解商品銷售中的進價、售價、標價、折扣、利潤、利潤率等數(shù)量之間的關(guān)系；（重

點）

2.根據(jù)“實際售價=進價+利潤”等數(shù)量關(guān)系列一元一次方程解決與打折銷售有關(guān)的

實際問題.（難點）

鰭速H

一、情境導入

1.展現(xiàn)日常生活中的銷售實例，學生回憶知識.打折后的商品售價=商品的原標價X

折扣數(shù).

2.展示常用數(shù)量關(guān)系：①利潤=售價一進價；②利潤率=利潤/進價X100脹③利潤=

進價X利潤率；④售價=進價+利潤=進價+進價X利潤率.

二,合作探究

探究點一：打折銷售問題

圓D某商品的零售價是900元，為適應競爭，商店按零售價打9折（即原價的90%）,

并再讓利40元銷售，仍可獲利10%,求該商品的進價.

解析：實際售價是（900X90%—40）元，設該商品進價為每件x元，根據(jù)實際售價（不同

表示法）相等列方程求解.

解：設該商品的進價為每件x元，依題意，得900X0.9—40=10/x+x,解得x=700.

答：該商品的進價為700元.

方法總結(jié)：（1）在解決實際問題時，要認真審題，如不打折時，售價=標價，打折時，

售價=標價X打折率；（2）在以上公式中，只要知道其中的兩個量，便能求出另一個量.

探究點二：商品利潤

某天，一蔬菜經(jīng)營戶用114元從蔬菜批發(fā)市場購進黃瓜和土豆共40kg到菜市場去

賣，黃瓜和土豆這天的批發(fā)價和零售價（單位：元/kg）如下表所示:

第18頁共47頁

(1)他當天購進黃瓜和土豆各多少千克？

(2)如果黃瓜和土豆全部賣完，他能賺多少錢？

解析：(1)設他當天購進黃瓜x千克，則土豆為(40—x)千克，根據(jù)黃瓜的批發(fā)價是2.4

元，土豆批發(fā)價是3元，共花了114元，列出方程，求出x的值，即可求出答案；

(2)根據(jù)(1)得出的黃瓜和土豆的千克數(shù)，再求出每千克黃瓜和土豆賺的錢數(shù)，即可求出

總的賺的錢數(shù).

解：(1)設他當天購進黃瓜x千克，則土豆為(40—x)千克，根據(jù)題意得2.4x+3(40—

x)=114,解得x=10,則土豆為40-10=30(千克).

答：他當天購進黃瓜10千克，土豆30千克；

(2)根據(jù)題意得(4—2.4)X10+(5—3)X30=16+60=76(兀).

答：黃瓜和土豆全部賣完，他能賺76元.

方法總結(jié)：本題考查了一元一次方程的應用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目

給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解.用到的知識點是：單價X數(shù)量=總

價，售價一進價=利潤.

三、板書設計

銷售問題中的兩個基本關(guān)系式：

(1)利潤=售價一進價；

利潤

⑵利潤率=麗礪*1°0%.

(1)式中等式左邊的“利潤”若為正，就是盈利；若為負，就是虧損.

(2)式還可以變形為利潤率X進價=售價一進價.

本節(jié)課從和我們的生活息息相關(guān)的利潤問題入手，讓學生在具體情境中感受到數(shù)學在生

活實際中的應用，從而激發(fā)他們學習數(shù)學的興趣.根據(jù)“實際售價=進價+利潤”等數(shù)量關(guān)

系列一元一次方程解決與打折銷售有關(guān)的實際問題.審清題意，找出等量關(guān)系是解決問題的

關(guān)鍵.另外，商品經(jīng)濟問題的題型很多，讓學生觸類旁通，達到舉一反三，靈活的運用有關(guān)

的公式解決實際問題，提高學生的解題能力.

第19頁共47頁

第3課時球賽積分表問題

（共2個課時，第53課時）

1.學會解決信息圖表問題的方法；（難點）

2.經(jīng)歷探索球賽積分中數(shù)量關(guān)系的過程，進一步體會方程是解決實際問題的數(shù)學模

型.（重點，難點）

一、情境導入

某次男籃聯(lián)賽常規(guī)賽最終積分榜:

隊員比賽場次勝場負場積分

前進1410424

東方1410424

光明149523

藍天149523

雄鷹147721

遠大147721

衛(wèi)星1441018

鋼鐵1401414

問題1從這張表格中，你能得到什么信息？

問題2這張表格中的數(shù)據(jù)之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系？

問題3請你說出積分規(guī)則.（既勝一場得幾分？負一場得幾分？）你是怎樣知道這個比

賽的積分規(guī)則的？

二、合作探究

探究點一：比賽積分問題

［類型一］球類比賽中的積分問題

下面是某次籃球聯(lián)賽積分表，請同學們認真觀察后回答問題.

隊名比賽場次）勝場負場積分

A1612428

B1612428

C1610626

D1610626

E168824

F168824

G1641220

111601616

（1）用式子表示總積分與勝、負場數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）某隊的勝場總積分能等于它的負場總積分嗎？并說明理由.

第20頁共47頁

解析：（1）如果一個隊勝x場，根據(jù)比賽場次為16次，從而可得出負（16—x）場，再根

據(jù)積分=勝場積分+負場的積分即可求解；

（2）根據(jù)等量關(guān)系：某隊的勝場總積分能等于它的負場總積分得出方程，解出x的值后

結(jié)合實際進行判斷即可.

解：（1）由〃隊得分可知，負一場積1分，再根據(jù)表中其他隊比分可知勝一場積2分，

如果一個隊勝x場，則負（16一力場，勝場積分為2x分，負場積分為（16—x）分，總積分為

2x+（16—x）=（16+x）分.故總積分與勝、負場數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系為：2x+（16—x）=16+x；

（2）設某隊勝x場時勝場總積分等于它的負場總積分.根據(jù)題意得2*=16—x,3x=16,

x=￥，不是正整數(shù)，則某隊的勝場總積分不能等于它的負場總積分.

方法總結(jié)：解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)表格得出勝一場、負一場各自所得的積分.

［類型二］學習競賽中的積分問題

畫。某次知識競賽共20道題，每答對一題得8分，答錯或不答要扣3分.某選手在這

次競賽中共得116分，那么他答對幾道題？

解析：設選手答對了x道題，則有（20—才）道題答錯或不答，根據(jù)答對題目的得分減去

答錯或不答題目的扣分是116分，即可得到一個關(guān)于x的方程，解方程即可.

解：設答對了x道題，則有（20—x）道題答錯或不答，由題意得：8x-（20—0X3=116,

8x+3x=116+60,llx=176,x—16.

答：他答對16道題.

方法總結(jié)：解這類題關(guān)鍵是找準相等關(guān)系，設一個未知數(shù)為x,另一個未知數(shù)用含”的

式子來表示，進而列方程求解.

探究點二：其他圖表類問題

顫J有一批貨物需要從/地運往8地，貨主準備租用甲、乙兩種貨車，已知過去兩次

租用這兩種貨車運貨情況如下表.現(xiàn)租用3輛甲種貨車和5輛乙種貨車，一次剛好運完這批

貨物，如果按每噸付50元計算，問貨主應付運費多少元？

次數(shù)第一次第二次

甲種貨車輛數(shù)15

乙種貨車輛數(shù)36

合計運貨噸數(shù)11.535

解析：設乙種貨車每輛每次運x噸，則甲種貨車每輛每次運（11.5—3入）噸，根據(jù)現(xiàn)

租用3輛甲種貨車和5輛乙種貨車，一次剛好運完這批貨物，如果按每噸付50元計算可列

方程求解.

解：設乙種貨車每輛每次運*噸，則甲種貨車每輛每次運（11.5—3才）噸，6*+5X（11.5

-3*）=35,x=2.5,11.5—3矛=4（噸），3X4+5X2.5=24.5（噸）.50X24.5=1225（元）.

答：貨主應付運費1225元.

方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是讀懂表格，找到相應的等量關(guān)系列出方程.

三、板書設計

1.球類比賽中的積分問題

2.表格信息類問題

投卷底息

本節(jié)課主要是借球賽積分表問題學習數(shù)學知識的應用.由于本節(jié)問題的背景和表達都比

較貼近實際，因為其中的有些數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，所以在探究過程中正確建立方程是難點，

第21頁共47頁

教師要恰當?shù)囊龑В寣W生弄清問題背景，分析清楚有關(guān)數(shù)量關(guān)系，找出可作為方程依據(jù)的

主要相等關(guān)系，但教師不要代替學生的思考.要鼓勵學生自主探究.

第22頁共47頁

第4課時電話計費問題

(共2個課時，第55課時)

1.體驗建立方程模型解決問題的一般過程；(重點)

2.體會分類思想和方程思想，增強應用意識和應用能力.

一、情境導入

在科技迅猛發(fā)展的今天，移動電話成為了人們生活中非常普及的通訊工具，選擇經(jīng)濟實

惠的資費方式成為了我們所關(guān)心而且具有實際意義的問題，你知道你的家人都選擇了哪種資

費嗎？

探究點一：方案選擇性問題

圓D某商場銷售一種西裝和領(lǐng)帶，西裝每套定價1000元，領(lǐng)帶每條定價200元.“國

慶節(jié)”期間商場決定開展促銷活動，活動期間向客戶提供兩種優(yōu)惠方案.

方案一：買一套西裝送一條領(lǐng)帶；

方案二：西裝和領(lǐng)帶都按定價的90%付款.

現(xiàn)某客戶要到該商場購買西裝20套，領(lǐng)帶x條(x>20).

(D若該客戶按方案一購買，需付款元.若該客戶按方案二購買，需付款

;(用含x的代數(shù)式表示)

(2)若x=30,通過計算說明此時按哪種方案購買較為合算？

(3)當x=30時，你能給出一種更為省錢的購買方案嗎？試寫出你的購買方法.

解析：(1)根據(jù)題目提供的兩種不同的付款方式列出代數(shù)式即可；

(2)將x=30代入求得的代數(shù)式中即可得到費用，然后比較即可得到選擇哪種方案更合

(3)根據(jù)題意可以得到先按方案一購買20套西裝獲贈送20條領(lǐng)帶，再按方案二購買10

條領(lǐng)帶更合算.

解：(1)客戶要到該商場購買西裝20套，領(lǐng)帶x條(x>20).

方案一費用：200%+16000,

方案二費用：180^+18000；

(2)當*=