PAGE1-課時作業(yè)15橢圓、雙曲線、拋物線1．[2024·江西南昌一模]已知拋物線方程為x2＝－2y，則其準線方程為()A．y＝－1B．y＝1C．y＝eq\f(1,2)D．y＝－eq\f(1,2)解析：由題意得，拋物線的準線方程為y＝eq\f(1,2)，故選C.答案：C2．[2024·河南南陽期末]若雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,9)＝1(a>0)的一條漸近線與直線y＝eq\f(1,3)x垂直，則此雙曲線的實軸長為()A．2B．4C．18D．36解析：雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(a,3)x，由題意可得－eq\f(a,3)×eq\f(1,3)＝－1，得a＝9，∴2a＝18.故選C.答案：C3．[2024·安徽合肥二檢]已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，右頂點為A，上頂點為B，以線段F1A為直徑的圓交線段F1B的延長線于點P，若F2B∥AP，則該橢圓的離心率是()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(2),2)解析：如圖，由題意知，P為以F1A為直徑的圓上一點，所以F1P⊥AP，結合F2B∥AP知F1P⊥F2B.又|F1B|＝|F2B|，所以△BF1F2為等腰直角三角形，所以|OB|＝|OF2|，即b＝c，所以a2＝b2＋c2＝2c2，即a＝eq\r(2)c，所以橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，故選D.答案：D4．[2024·湖北六校聯(lián)考]已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，P為雙曲線上一點，PF2與x軸垂直，∠PF1F2＝30°，且虛軸長為2eq\r(2)，則該雙曲線的標準方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1B.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1D．x2－eq\f(y2,2)＝1解析：依題意得2b＝2eq\r(2)，tan60°＝eq\f(2c,\f(b2,a))＝eq\r(3)，于是b＝eq\r(2)，2c＝eq\r(3)×eq\f(2,a)，∴ac＝eq\r(3)，aeq\r(a2＋2)＝eq\r(3)，得a＝1，因此該雙曲線的標準方程為x2－eq\f(y2,2)＝1，故選D.答案：D5．[2024·湖南四校聯(lián)考]已知A，B，P是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上不同的三點，且A，B的連線經(jīng)過坐標原點，若直線PA，PB的斜率乘積kPA·kPB＝3，則該雙曲線的離心率為()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D．3解析：由雙曲線的對稱性知，點A，B關于原點對稱，設A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，P(x2，y2)，則eq\f(x\o\al(2,1),a2)－eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)－eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，又kPA＝eq\f(y2－y1,x2－x1)，kPB＝eq\f(y2＋y1,x2＋x1)，所以kPA·kPB＝eq\f(y\o\al(2,2)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1))＝eq\f(b2,a2)＝3，所以離心率e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝2，故選C.答案：C6．[2024·湖南長沙一模]已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,4)，a))(a>0)在C上，|AF|＝3.若直線AF與C交于另一點B，則|AB|＝()A．12B．10C．9D．4.5解析：由拋物線的定義知|AF|＝eq\f(p,4)＋eq\f(p,2)＝3，解得p＝4，所以拋物線C的方程為y2＝8x，A(1，a)(a＞0)，則a2＝8，解得a＝2eq\r(2)或a＝－2eq\r(2)(舍去)，所以A(1,2eq\r(2))．又焦點F(2,0)，所以直線AF的斜率為－2eq\r(2)，直線AF的方程為y＝－2eq\r(2)(x－2)，代入拋物線C的方程y2＝8x，得x2－5x＋4＝0，所以xA＋xB＝5，|AB|＝xA＋xB＋p＝5＋4＝9，故選C.答案：C7．[2024·湖南長沙模擬]已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，P是C上一點，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小內(nèi)角的大小為30°，則雙曲線C的漸近線方程是()A.eq\r(2)x±y＝0B．x±eq\r(2)y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0解析：由題意，不妨設|PF1|>|PF2|，則依據(jù)雙曲線的定義得，|PF1|－|PF2|＝2a.又|PF1|＋|PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，而c>a，所以|PF2|<|F1F2|，所以∠PF1F2＝30°，所以(2a)2＝(2c)2＋(4a)2－2·2c·4acos30°，得c＝eq\r(3)a，所以b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(2)a，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(2)x，即eq\r(2)x±y＝0，故選A.答案：A8．[2024·全國卷Ⅰ]設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點(－2,0)且斜率為eq\f(2,3)的直線與C交于M，N兩點，則eq\o(FM,\s\up10(→))·eq\o(FN,\s\up10(→))＝()A．5B．6C．7D．8解析：由題意知直線MN的方程為y＝eq\f(2,3)(x＋2)，聯(lián)立直線與拋物線的方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,3)x＋2，,y2＝4x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4.))不妨設M為(1,2)，N為(4,4)．又∵拋物線焦點為F(1,0)，∴eq\o(FM,\s\up10(→))＝(0,2)，eq\o(FN,\s\up10(→))＝(3,4)．∴eq\o(FM,\s\up10(→))·eq\o(FN,\s\up10(→))＝0×3＋2×4＝8.故選D.答案：D9．[2024·云南昆明診斷]已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，B為C的短軸的一個端點，直線BF1與C的另一個交點為A，若△BAF2為等腰三角形，則eq\f(|AF1|,|AF2|)＝()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D．3解析：如圖，不妨設點B在y軸的正半軸上，依據(jù)橢圓的定義，得|BF1|＋|BF2|＝2a，|AF1|＋|AF2|＝2a，由題意知|AB|＝|AF2|，|BF1|＝|BF2|＝a，所以|AF1|＝eq\f(a,2)，|AF2|＝eq\f(3a,2).所以eq\f(|AF1|,|AF2|)＝eq\f(1,3).故選A.答案：A10．[2024·廣東仲元中學模擬]已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，直線l與橢圓C交于A，B兩點，且線段AB的中點為M(－2,1)，則直線l的斜率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2)D．1解析：由eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，得eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(3,4)，∴a2＝4b2，則橢圓C的方程為x2＋4y2＝4b2.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，把A，B的坐標代入橢圓方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋4y\o\al(2,1)＝4b2，①,x\o\al(2,2)＋4y\o\al(2,2)＝4b2，②))①－②，得(x1－x2)(x1＋x2)＝－4(y1－y2)(y1＋y2)，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(x1＋x2,4y1＋y2)＝－eq\f(－4,4×2)＝eq\f(1,2).∴直線l的斜率為eq\f(1,2).故選C.答案：C11．[2024·河北衡水中學五調(diào)]已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1作圓x2＋y2＝a2的切線，交雙曲線右支于點M，若∠F1MF2＝45°，則雙曲線的漸近線方程為()A．y＝±eq\r(2)xB．y＝±eq\r(3)xC．y＝±xD．y＝±2x解析：如圖，作OA⊥F1M于點A，F(xiàn)2B⊥F1M于點B，∵F1M與圓x2＋y2＝a2相切，∠F1MF2＝45°，∴|OA|＝a，|F2B|＝|BM|＝2a，|F2M|＝2eq\r(2)a，|∴|F1M|－|F2M|＝2a＋2b－2eq\r(2)a＝2a，整理，得b＝eq\r(2)a，∴eq\f(b,a)＝eq\r(2)，∴雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(2)x，故選A.答案：A12．[2024·重慶七校聯(lián)考]已知橢圓和雙曲線有共同的焦點F1，F(xiàn)2，P是它們的一個交點，且∠F1PF2＝eq\f(2π,3)，記橢圓和雙曲線的離心率分別為e1，e2，則eq\f(3,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝()A．4B．2eq\r(3)C．2D．3解析：設橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的實半軸長為a2，不妨設焦點在x軸上且點P與點F2在y軸同一側，依據(jù)橢圓和雙曲線的定義，得|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，所以|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a又|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝eq\f(2π,3)，所以在△F1PF2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，即4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)coseq\f(2π,3)，化簡得3aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＝4c2，兩邊同除以c2，得eq\f(3,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝4.故選A.答案：A13．[2024·吉林長春質(zhì)檢]若橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1，則其離心率為________．解析：解法一由已知可得a＝2，c＝1，故橢圓C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).解法二由已知得橢圓C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\r(1－\f(3,4))＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)14．[2024·河南鄭州一中摸底測試]從拋物線y＝eq\f(1,4)x2上一點P引拋物線準線的垂線，垂足為M，且|PM|＝5.設拋物線的焦點為F，則△MPF的面積為________．解析：由題意，得x2＝4y，則拋物線的準線方程為y＝－1.設P(x0，y0)，則由拋物線的定義知|PM|＝y(tǒng)0＋1，所以y0＝4，所以|x0|＝4，所以S△MPF＝eq\f(1,2)×|PM|×|x0|＝eq\f(1,2)×5×4＝10.答案：1015．[2024·河南安陽二模]已知拋物線C1：y＝ax2(a>0)的焦點F也是橢圓C2：eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,b2)＝1(b>0)的一個焦點，點M，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，1))分別為C1，C2上的點，則|MP|＋|MF|的最小值為________．解析：將Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，1))代入eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,b2)＝1，可得eq\f(1,4)＋eq\f(9,4b2)＝1，∴b＝eq\r(3)，∴c＝1，∴拋物線C1的焦點F的坐標為(0,1)，∴拋物線C1的方程為x2＝4y，準線為直線y＝－1.設點M在準線上的射影為D，依據(jù)拋物線的定義可知|MF|＝|MD|，∴要求|MP|＋|MF|的最小值，即求|MP|＋|MD|的最小值．易知當D，M，P三點共線時，|MP|＋|MD|最小，最小值為1－(－1)＝2.答案：216．[2024·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考]已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點A為雙曲線C虛軸的一個端點，若線段AF2與雙曲線右支交于點B，且|AF1||BF1||BF2|＝341，則雙曲線C的離心率為________．解析：由雙曲