2024-2025學(xué)年江蘇省泰州市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題注意事項1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將案寫在答題卡上指定位置上，在其他位置作答一律無效．3．本卷滿分150分，考試時間120分鐘．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知拋物線焦點為，點在上．若到直線的距離為5，則（）A.7 B.6 C.5 D.42.若是圓上任一點，則點到直線的距離的值不可能等于（）A.4 B.6 C. D.83.設(shè)橢圓的兩個焦點分別為、，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（）A. B. C. D.4.設(shè)A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（）A. B. C. D.5.過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）A.1 B. C. D.6.設(shè)為坐標(biāo)原點，直線過拋物線：的焦點，且與交于，兩點，為的準線，則（）A B.C.以為直徑的圓與相切 D.為等腰三角形7.對于一段曲線，若存在點，使得對于任意的，都存在，使得，則稱曲線為“自相關(guān)曲線”．現(xiàn)有如下兩個命題：①任何橢圓都是“自相關(guān)曲線”；②存在雙曲線是“自相關(guān)曲線”，則下列正確的是（）A.①成立②不成立 B.①不成立②成立C.①成立②成立 D.①不成立②不成立8.2024年3月，某科技公司啟用具備“超橢圓”數(shù)學(xué)之美的新logo．設(shè)計師的靈感來源于曲線C：．其中星形線E：常用于超輕材料的設(shè)計．則下列關(guān)于星形線說法錯誤的是（）A.E關(guān)于y軸對稱 B.E上的點到x軸、y軸的距離之積不超過C.曲線E所圍成圖形的面積小于2 D.E上的點到原點距離的最小值為二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知定圓，點A是圓M所在平面內(nèi)一定點，點P是圓M上的動點，若線段的中垂線交直線于點Q，則點Q的軌跡可能為（）A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓10.已知O為坐標(biāo)原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（）A.C的準線為 B.直線AB與C相切C. D.11.已知是圓上任意一點，過點向圓引斜率為的切線，切點為，點，則下列說法正確的是（）A時， B.C. D.的最小值是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值______．13.拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點出發(fā)的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸.過拋物線：上的點（不為原點）作的切線，過坐標(biāo)原點作，垂足為，直線（為拋物線的焦點）與直線交于點，點，則的取值范圍是______.14.天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點的距離之積為常數(shù)的點的軌跡是卡西尼卵形線（CassiniOval）．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)定點為，，點O為坐標(biāo)原點，動點滿足（且為常數(shù)），化簡得曲線E：．下列命題中正確序號是__________．①曲線E既是中心對稱又是軸對稱圖形；②的最小值為2a；③當(dāng)時，的最大值為；④面積不大于．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知雙曲線的左?右焦點分別為，離心率為，直線交于兩點，且.（1）求雙曲線的標(biāo)準方程；（2）若點，直線與軸分別相交于兩點，且為坐標(biāo)原點，證明：直線過定點.16.已知橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．（1）求橢圓的方程和離心率；（2）點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．17.已知拋物線，在上有一點位于第一象限，設(shè)的縱坐標(biāo)為.（1）若到拋物線準線的距離為3，求的值；（2）當(dāng)時，若軸上存在一點，使的中點在拋物線上，求到直線的距離；（3）直線，是第一象限內(nèi)上異于的動點，在直線上的投影為點，直線與直線的交點為.若在的位置變化過程中，恒成立，求的取值范圍.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線和點.點在上，且.（1）求的方程；（2）若過點作兩條直線與，與相交于，兩點，與相交于，兩點，線段和中點的連線的斜率為，直線，，，的斜率分別為，，，，證明：，且為定值.19.直線族是指具有某種共同性質(zhì)直線的全體，例如表示過點2,1且斜率存在的直線族，表示斜率為1的直線族.直線族的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.（1）若直線族的包絡(luò)曲線是圓，求滿足的關(guān)系式；（2）若點不在直線族的任意一條直線上，對于給定的實數(shù)，求的取值范圍和直線族的包絡(luò)曲線；（3）在（2）條件下，過直線上一個動點作曲線的兩條切線，切點分別為，求原點到直線距離的最大值.2024-2025學(xué)年江蘇省泰州市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題注意事項1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將案寫在答題卡上指定位置上，在其他位置作答一律無效．3．本卷滿分150分，考試時間120分鐘．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為5，則（）A.7 B.6 C.5 D.4【正確答案】D【分析】利用拋物線的定義求解即可.【詳解】因為拋物線的焦點，準線方程為，點在上，所以到準線的距離為，又到直線的距離為，所以，故.故選：D.2.若是圓上任一點，則點到直線的距離的值不可能等于（）A.4 B.6 C. D.8【正確答案】D【分析】根據(jù)題意作出示意圖，判斷出直線過定點，進而求出圓心到直線距離的最大值，然后判斷各個答案.【詳解】如圖，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，直線過定點．由圖可知，圓心C到直線距離的最大值為，則點P到直線距離的最大值為；當(dāng)直線與圓有公共點時，點P到直線距離的最小值為0．即距離的范圍是.選項中僅D選項不在范圍內(nèi).故選：D.3.設(shè)橢圓的兩個焦點分別為、，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到三條邊的長度關(guān)于的表達式，再利用橢圓的定義求得的關(guān)系式，進而得到離心率.【詳解】依題意，設(shè)橢圓的長軸為，半焦距為，則，則，，于是，.故選：C.4.設(shè)A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)點差法分析可得，對于A、B、D：通過聯(lián)立方程判斷交點個數(shù)，逐項分析判斷；對于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.【詳解】設(shè)，則的中點，可得，因為在雙曲線上，則，兩式相減得，所以對于選項A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；對于選項B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；對于選項C：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；對于選項D：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確；故選：D.5.過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）A.1 B. C. D.【正確答案】B【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合倍角公式運算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合余弦定理運算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點到直線的距離公式可得，利用韋達定理結(jié)合夾角公式運算求解.【詳解】方法一：因為，即，可得圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，因為，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，連接，可得，則，因為且，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為x=0，則圓心到切點的距離，不合題意；若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，則，整理得，且設(shè)兩切線斜率分別為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得.故選：B.6.設(shè)為坐標(biāo)原點，直線過拋物線：的焦點，且與交于，兩點，為的準線，則（）A. B.C.以為直徑的圓與相切 D.為等腰三角形【正確答案】C【分析】由直線過拋物線的焦點，即可求得，進而判斷A；將直線方程代入拋物線方程，結(jié)合韋達定理得出，由焦半徑公式即可判斷B；由的中點的橫坐標(biāo)得出中點到拋物線的準線的距離，即可判斷C；分別求出兩點的坐標(biāo)，根據(jù)韋達定理即可判斷D．【詳解】對于A，直線過拋物線的焦點，可得，所以，故A錯誤；對于B，拋物線方程為：，與交于兩點，直線方程代入拋物線方程可得，，所以，所以，故B不正確；對于C，的中點的橫坐標(biāo)為，中點到拋物線的準線的距離為，所以以為直徑的圓與相切，故C正確；對于D，由B得，，解得或，不妨設(shè)，則，所以，，所以不是等腰三角形，故D錯誤；故選：C7.對于一段曲線，若存在點，使得對于任意的，都存在，使得，則稱曲線為“自相關(guān)曲線”．現(xiàn)有如下兩個命題：①任何橢圓都是“自相關(guān)曲線”；②存在雙曲線是“自相關(guān)曲線”，則下列正確的是（）A.①成立②不成立 B.①不成立②成立C.①成立②成立 D.①不成立②不成立【正確答案】A【分析】根據(jù)定義結(jié)合圖象，驗證是否恒成立即可．【詳解】由于橢圓是封閉的，則總可以找到滿足題意的點，使得成立，不妨設(shè)橢圓方程為，取點，由橢圓性質(zhì)可知，橢圓上的任意點P，總有，若，則，由，得，整理得，所以在橢圓上必存在點Q，使得成立，①成立；在雙曲線中，假定存在點，顯然的最大值趨于正無窮大，的最小值是定值，即的最小值是定值，設(shè)，則，由，顯然，不妨令，取，則，與矛盾，②不成立．故選：A8.2024年3月，某科技公司啟用具備“超橢圓”數(shù)學(xué)之美的新logo．設(shè)計師的靈感來源于曲線C：．其中星形線E：常用于超輕材料的設(shè)計．則下列關(guān)于星形線說法錯誤的是（）A.E關(guān)于y軸對稱 B.E上的點到x軸、y軸的距離之積不超過C.曲線E所圍成圖形的面積小于2 D.E上的點到原點距離的最小值為【正確答案】ABC【分析】A選項點與點都在曲線上即可判斷；B選項應(yīng)用基本不等式即可判斷；C選項根據(jù)與圖形的位置關(guān)系即判斷；D選項由，結(jié)合立方和公式及B選項的結(jié)論即可判斷.【詳解】對于A，若在星形線E上，則也在E上，故E關(guān)于軸對稱，A正確；對于B，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，B正確；對于C，曲線E過點，在所圍成的區(qū)域內(nèi)部，而所圍成的面積為2，故曲線E所圍成的面積小于2，C選項正確；對于D，由，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故上的點到原點的距離最小值為，故D選項錯誤.故選：ABC二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知定圓，點A是圓M所在平面內(nèi)一定點，點P是圓M上的動點，若線段的中垂線交直線于點Q，則點Q的軌跡可能為（）A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓【正確答案】ABD【分析】是線段的中垂線上的點，可得．對點的位置分類討論，利用線段垂直平分線的定義與性質(zhì)、圓錐曲線的定義即可判斷出結(jié)論．【詳解】因為是線段的中垂線上的點，，若在圓內(nèi)部，且不為圓心，則，，所以點軌跡是以，為焦點的橢圓，故A正確；若在圓外部，則，，所以點軌跡是以，為焦點的雙曲線，故B正確；若在圓上，則的中垂線恒過圓心，即的軌跡為點．若為圓的圓心，即與重合時，為半徑的中點，所以點軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，故D正確，不存在軌跡為拋物線的可能，故C錯誤，故選：ABD10.已知O為坐標(biāo)原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（）A.C的準線為 B.直線AB與C相切C. D.【正確答案】BCD【分析】求出拋物線方程可判斷A，聯(lián)立AB與拋物線的方程求交點可判斷B，利用距離公式及弦長公式可判斷C、D.【詳解】將點的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準線方程為，A錯誤；，所以直線的方程為，聯(lián)立，可得，解得，故B正確；設(shè)過的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，所以，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，聯(lián)立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正確；因為，，所以，而，故D正確.故選：BCD11.已知是圓上任意一點，過點向圓引斜率為的切線，切點為，點，則下列說法正確的是（）A.時， B.C. D.的最小值是【正確答案】BCD【分析】對于A，直接由直線與圓相切，列方程驗算斜率即可；對于B，首先由直線與圓相切，聯(lián)立方程組得判別式為0，由此可得，進一步解方程得切點坐標(biāo)即可判斷；對于C，首先得，通過構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可判斷；對于D，由結(jié)合三角形三邊關(guān)系即可求解.【詳解】當(dāng)時，圓的方程為，圓心為，半徑為，過點向圓引切線，根據(jù)題意可知，切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，由點到直線的距離公式可得，又因為，所以，故A不正確；設(shè)直線，由，得，由，即，又因為，所以，所以，所以，故B正確；因為，令，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，因為，而，所以，即，故C正確；設(shè)，此時，故而，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)在上，故D正確.故選：BCD.關(guān)鍵點睛：關(guān)鍵是由直線和圓的位置關(guān)系得關(guān)于的表達式，由此即可順利求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值______．【正確答案】（中任意一個皆可以）【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長，以及點到直線的距離，結(jié)合面積公式即可解出．【詳解】設(shè)點到直線的距離為，由弦長公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故（中任意一個皆可以）．13.拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點出發(fā)的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸.過拋物線：上的點（不為原點）作的切線，過坐標(biāo)原點作，垂足為，直線（為拋物線的焦點）與直線交于點，點，則的取值范圍是______.【正確答案】【分析】設(shè)點，切線的方程為，可求得切線的斜率，由可求得的方程，與直線聯(lián)立可求得點的坐標(biāo)，消參可求得點的軌跡方程，結(jié)合圖形可求得的范圍.【詳解】因為點為拋物線：上的點（不為原點），所以可設(shè)點，且F0,1，當(dāng)切線的斜率不存在時，不合題意；當(dāng)切線的斜率存在時，可設(shè)為，聯(lián)立，消去可得，化簡可得，令，可得，化簡可得，即，又，所以的斜率，所以的方程，因為點，F(xiàn)0,1，所以的斜率為，則的方程為，聯(lián)立，解得，即，由兩式相除可得，即，由，可得，再代入，可得，化簡可得，可得，可知點軌跡為半徑為的圓，圓心為F0,1，結(jié)合圖形可知，又，，則.故答案為.關(guān)鍵點睛：本題難點在于如何求出點的軌跡方程，可借助參數(shù)得出兩直線的方程，聯(lián)立后用參數(shù)表示該交點坐標(biāo)，借助交點坐標(biāo)消去參數(shù)，即可求得該點的軌跡方程.14.天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點的距離之積為常數(shù)的點的軌跡是卡西尼卵形線（CassiniOval）．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)定點為，，點O為坐標(biāo)原點，動點滿足（且為常數(shù)），化簡得曲線E：．下列命題中正確序號是__________．①曲線E既是中心對稱又是軸對稱圖形；②的最小值為2a；③當(dāng)時，的最大值為；④面積不大于．【正確答案】①③④【分析】①：以代x，以代y，同時以代x，以代y判斷；②：分和判斷；③：由，化簡得到，代入求解判斷；④：由面積為判斷.【詳解】①：以代x，得：，所以曲線關(guān)于縱軸對稱；以代y，得：，所以曲線關(guān)于橫軸對稱；同時以代x，以代y得：，所以曲線關(guān)于原點對稱，所以曲線E既是中心對稱又是軸對稱圖形，故正確；②：因為，所以當(dāng)時，有，當(dāng)時，顯然P與，中一點重合，故此時，故錯誤；③：當(dāng)時，由，化簡得，因此有，所以，故正確；④：面積為：，當(dāng)時，面積的最大值為，故正確.故①③④四、解答題：本題共5小題，共77分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知雙曲線的左?右焦點分別為，離心率為，直線交于兩點，且.（1）求雙曲線的標(biāo)準方程；（2）若點，直線與軸分別相交于兩點，且為坐標(biāo)原點，證明：直線過定點.【正確答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合離心率得，，進而得答案；（2）設(shè)，則，進而求出直線，的方程，并與橢圓聯(lián)立方方程解得，進而得直線的方程為，并整理得即可證明結(jié)論.【小問1詳解】解：因為，所以，解得，設(shè)雙曲線的半焦距為，因為離心率為，所以，解得，則，所以雙曲線的標(biāo)準方程為.【小問2詳解】證明：設(shè)，則，，直線的方程為，直線的方程為.聯(lián)立方程消去并整理得顯然，即所以，，聯(lián)立方程消去并整理得，顯然，即，，即當(dāng)時，直線的方程為，將上面求得的的解析式代入得，整理得，所以直線過定點.16.已知橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．（1）求橢圓的方程和離心率；（2）點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．【正確答案】（1）橢圓的方程為，離心率為.（2）.【分析】（1）由解得，從而求出，代入橢圓方程即可求方程，再代入離心率公式即求離心率.（2）先設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去，再由韋達定理可得，從而得到點和點坐標(biāo).由得，即可得到關(guān)于的方程，解出，代入直線的方程即可得到答案.【小問1詳解】如圖，由題意得，解得，所以，所以橢圓的方程為，離心率為.【小問2詳解】由題意得，直線斜率存在，由橢圓的方程為可得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去整理得：，由韋達定理得，所以，所以，.所以,,，所以，所以，即，解得，所以直線的方程為.17.已知拋物線，在上有一點位于第一象限，設(shè)的縱坐標(biāo)為.（1）若到拋物線準線的距離為3，求的值；（2）當(dāng)時，若軸上存在一點，使的中點在拋物線上，求到直線的距離；（3）直線，是第一象限內(nèi)上異于的動點，在直線上的投影為點，直線與直線的交點為.若在的位置變化過程中，恒成立，求的取值范圍.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）先求出點的橫坐標(biāo)，代入拋物線方程即可求解；（2）先通過中點在拋物線上求出點的坐標(biāo)，進一步求出直線方程，利用點到直線距離公式求解即可；（3）設(shè)，聯(lián)立方程求出點Q的坐標(biāo)，根據(jù)恒成立，結(jié)合基本不等式即可求解.【小問1詳解】拋物線的準線為，由于到拋物線準線的距離為3，則點的橫坐標(biāo)為2，則，解得；【小問2詳解】當(dāng)時，點的橫坐標(biāo)為，則，設(shè)，則中點為，由題意可得，解得，所以，則，由點斜式可得，直線的方程為，即，所以原點到直線的距離為；【小問3詳解】如圖，設(shè)，則，故直線的方程為，令，可得，即，則，依題意，恒成立，又，則最小值為，即，即，則，解得，又當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，而，即當(dāng)時，也符合題意.故實數(shù)的取值范圍為.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線和點.點在上，且.（1）求的方程；（2）若過點作兩條直線與，與相交于，兩點，與相交于，兩點，線段和中點的連線的斜率為，直線，，，的斜率分別為，，，，證明：，且為定值.【正確答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）由已知，根據(jù)點坐標(biāo)，借助可表示出點坐標(biāo)，然后帶入拋物線方程，即可完成方程的求解；（2）由已知，分別設(shè)出四點坐標(biāo)，然后利用坐標(biāo)分別表示出直線，，，的斜率,即可證得，設(shè)和的中點分別為，，分別聯(lián)立與拋物線方程，求得，的坐標(biāo)，利用斜率公式表示，化簡計算即可得出結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)點Px0,y0，則，因為所以，，所以點，代入方程中，得