第一章

三角形的證明1.3線段的垂直平分線

第2課時(shí)

三角形三邊的垂直平分線學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握和證明三角形的三條邊的垂直平分線的性質(zhì)定理。（重點(diǎn)）2.已知底邊和底邊上的高，能用尺規(guī)作等腰三角形。（難點(diǎn)）

某區(qū)政府為了方便居民的生活，計(jì)劃在三個(gè)住宅小區(qū)A、B、C之間修建一個(gè)購物中心，試問該購物中心應(yīng)建于何處，才能使得它到三個(gè)小區(qū)的距離相等？ABC一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新知操作：剪一個(gè)三角形紙片，通過折疊（或尺規(guī)作圖）找出每條邊的垂直平分線，觀察這三條垂直平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么?QHNMFECBAP二、探究新知發(fā)現(xiàn)：三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)．這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．

怎樣證明這個(gè)結(jié)論呢?探究一：性質(zhì)定理

點(diǎn)撥：要證明三條直線相交于一點(diǎn)，只要證明其中兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上即可.口述證明過程l是AB的垂直平分線m是BC的垂直平分線PA=PBPB=PCPA=PC點(diǎn)P在AC的垂直平分線上思路可表示如下：BCAPlnm數(shù)學(xué)符號(hào)語言如下：定理三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.∵點(diǎn)P為△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴PA=PB=PC．ABCP稱點(diǎn)P為三角形的外心

1.分別作出直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三邊的垂直平分線，說明交點(diǎn)分別在什么位置.在三角形內(nèi)在斜邊中點(diǎn)在三角形外練習(xí)1選編第5題（課本26頁習(xí)題1.8第3題）2.選編第1題（課本26頁隨堂練習(xí))如圖，在△ABC中，BC=2，∠BAC＞90°，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)F，請(qǐng)找出圖中相等的線段，并求出△AEF的周長.ABCEF

解∵AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，

AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)F

∴AE=BE，AF=CF.（線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）

∴AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=2

做一做：（1）已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能作出三角形嗎?如果能，能作幾個(gè)?所作出的三角形都全等嗎?已知：三角形的一條邊a和這邊上的高h(yuǎn).求作：△ABC，使BC=a，BC邊上的高為h.A1DCBAah(D)CBAahA1DCBAahA1能作出無數(shù)個(gè)這樣的三角形，它們并不全等.探究二：尺規(guī)作圖（2）已知等腰三角形的底邊，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎？如果能，能畫出幾個(gè)？所畫出的三角形都全等嗎？可以畫出無數(shù)個(gè)三角形（2）已知等腰三角形的底及底邊上的高,你能用尺規(guī)作出滿足條件的等腰三角形嗎？能作幾個(gè)？這樣的等腰三角形只有兩個(gè)，并且它們是全等的，分別位于已知底邊的兩側(cè)．P●l(1)已知直線l和l上一點(diǎn)P,利用尺規(guī)作l的垂線,使它經(jīng)過點(diǎn)P(2)如果點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，那么怎樣用尺規(guī)作l的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)P呢？P●l尺規(guī)作圖(二)做一做：已知直線l和l上一點(diǎn)P，利用尺規(guī)作l的垂線,使它經(jīng)過點(diǎn)P.PlAB作法：（1）以點(diǎn)P為圓心，以任意長為半徑作弧，與直線l相交于點(diǎn)A和B．（2）作線段AB的垂直平分線PC．直線PC就是所求l的垂線．尺規(guī)作圖(二)思考：還有其他作圖思路嗎？CBA議一議：已知直線l和線外一點(diǎn)P，利用尺規(guī)作

l的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)P.作法1：(1)先以P為圓心，大于點(diǎn)P到直線l的垂直距離R為半徑作圓，交直線l于A，B.(2)分別以A、B為圓心，大于R的長為半徑作圓，相交于D點(diǎn).(3)過兩交點(diǎn)作直線

l'.此直線為l過P的垂線.P●DBA作法2：2.已知直線l和線外一點(diǎn)P，利用尺規(guī)作

l的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)P(1)先以P為圓心，大于點(diǎn)P到直線l的垂直距離R為半徑作圓，交直線l于A，B.(2)分別以A、B為圓心，大于R的長為半徑作圓，相交于C、D兩點(diǎn).(3)過兩交點(diǎn)作直線

l',此直線為l過P的垂線.P●CD1.（選編3題）如圖，已知線段a，求作以a為底邊、以a為高的等腰三角形，這個(gè)等腰三角形有什么特征？12ABCaa12解:如圖所示，△ABC即為所求.這是個(gè)等腰直角三角形a練習(xí)2：課本26頁習(xí)題1.8第1題、第2題.

定理定理:三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.尺規(guī)作圖已知等腰三角形的底邊和底邊上的高作等腰三角形.思想方法分類討論，逆向思維.文字語言-符號(hào)語言-圖形語言的互相轉(zhuǎn)化.推理證明的重要性.內(nèi)容2.如圖,點(diǎn)D是線段AB,BC垂直平分線的交點(diǎn).若∠B=60°,則∠DAC=

，∠ADC=

.ACBD1.已知△ABC(AC<AB<BC),用尺規(guī)在線段BC上確定一點(diǎn)P,使得PA+PC=BC,則符合要求的作圖痕跡是圖中的 (

)五、當(dāng)堂檢測D30°120°3．如圖，在△ABC中，作邊AB的垂直平分線MN，分別與邊AB和邊BC交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，作邊AC的垂直平分線PQ，分別與邊AC和邊BC交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，△AQN的周長為13，且QN＝2，則BC的長為（）A．8

B．9

C．10

D．11B4.如圖1，∠B=15°，∠C=25°，若MP和FN分別垂直平分AB和AC，則∠PAF等于（

）變式1:如圖2，∠B=35°，∠C=65°，若MN和QP分別垂直平分AB和AC，則∠QAN等于（

）變式2:如圖1，∠B=m°，∠C=n°，若MP和FN分別垂直平分AB和AC，則∠PAF等于（

）如圖2,若∠B=m°，∠C=n°,若MN和QP分別垂直平分AB和AC，則∠Q