7.3定義、命題、定理人教(2024)版·初中數(shù)學(xué)·七年級(jí)下冊·第七章1．知道什么是定義、命題、定理；2．知道什么是真命題和假命題；會(huì)把一個(gè)命題改寫成“如果……那么……”的形式.學(xué)習(xí)目標(biāo)(1)規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫作數(shù)軸；(2)使方程左、右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫作方程的解；(3)從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫作這個(gè)角的平分線；(4)直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫作點(diǎn)到直線的距離新知引入觀察思考：定義：對(duì)一些數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行清晰、明確的描述稱為數(shù)學(xué)對(duì)象的定義.知識(shí)點(diǎn)1觀察思考上面的例句

下列四句話中，哪一句是對(duì)一件事情作出判斷的語句？

（1）七（12）的同學(xué)們你們好嗎?（2）大家今天都能認(rèn)真聽課嗎?（3）七（12）班的所有學(xué)生都是好學(xué)生（4）我們教室里有空調(diào)。觀察思考2.如果一個(gè)句子沒有對(duì)某一件事情作出任何判斷，那么它就不是命題。如：畫線段AB=CD。判斷一件事情的語句叫做命題注意：1.只要對(duì)一件事情作出了判斷，不管正確與否，都是命題。如：相等的角是對(duì)頂角。知識(shí)點(diǎn)2判斷下列語句是不是命題？（1）兩點(diǎn)之間，線段最短；（）（2）請畫出兩條互相平行的直線；（）（3）過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線；（）（4）如果兩個(gè)角的和是90o，那么這兩個(gè)角互余.（）像這樣判斷一件事情的語句，叫做命題（proposition）.

√××√（1）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；（2）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（3）如果兩個(gè)角的和是90°，那么這兩個(gè)角互余；（4）等式兩邊都加同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式．（5）兩點(diǎn)之間，線段最短．思考下列組命題是由幾部分組成的？命題的結(jié)構(gòu)命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成.

許多數(shù)學(xué)命題?？梢詫懗伞叭绻敲础钡男问剑叭绻?題設(shè)，“那么”+結(jié)論．已知事項(xiàng)由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)條件如：對(duì)頂角相等題設(shè)結(jié)論如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等題設(shè)結(jié)論下列語句是命題嗎？如果是，請將它們改寫

成“如果……，那么……”的形式.（1）兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（2）等式兩邊都加同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式；如果兩條直線被第三條直線所截，那么同旁內(nèi)角互補(bǔ).既學(xué)既練如果等式兩邊都加同一個(gè)數(shù)，那么結(jié)果仍是等式.如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)相加得0.

如果兩個(gè)角是同旁內(nèi)角，那么這兩個(gè)角互補(bǔ).如果兩個(gè)角互為對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等.（3）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0（4）同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（5）對(duì)頂角相等；

下面練習(xí)題中哪些命題是正確的，哪些命題是錯(cuò)誤的？（1）兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（2）等式兩邊都加同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式；（3）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；（4）同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（5）對(duì)頂角相等．思考√××√√命題的真假真命題：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做真命題．

假命題：如果題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做假命題．題設(shè)真，結(jié)論真，為真命題題設(shè)真，結(jié)論假，為假命題下列句子哪些是命題？是命題的，指出是真命題還是假命題？

1.豬有四只腳；2.內(nèi)錯(cuò)角相等；

3.畫一條直線；4.四邊形是正方形；

5.你的作業(yè)做完了嗎？

6.同位角相

等，兩直

線平行；

7.對(duì)頂角相等；

8.x＞2

9.同垂直于一直線的兩直線平行；

10.過點(diǎn)P畫線段MN的垂線；

1.

指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論并指出是什么命題：（1）如果AB⊥CD，垂足為O，那么∠AOC=90°.題設(shè)：如果AB⊥CD，垂足為O，結(jié)論：∠AOC=90°.既學(xué)既練（2）如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3.（3）兩直線平行，同位角相等.題設(shè)：如果∠1=∠2，∠2=∠3，結(jié)論：∠1=∠3.題設(shè)：如果兩條直線平行，結(jié)論：同位角相等.2.判斷下列命題哪些是真命題？哪些是假命題？（1）在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的

一條，那么也垂直于另一條；（2）如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么它們是鄰補(bǔ)角；（3）如果|a|=|b|，那么

a=b；（4）經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行；（5）兩點(diǎn)確定一條直線．真命題假命題假命題真命題真命題正確性經(jīng)過推理證實(shí)的真命題叫做定理．

定理也可以作為繼續(xù)推理的依據(jù)．你能寫出幾個(gè)學(xué)過的定理嗎？

知識(shí)點(diǎn)3定理與證明在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過推理，才能作出判斷，這個(gè)推理過程叫做證明（proof）.證明：

∵a⊥b（已知），

∴∠1=90o（垂直的定義）.又∵b//c（已知），∴∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）.∴∠2=∠1=90o（等量代換）.∴a⊥c（垂直的定義）.1b2ca例如圖，已知：直線b//c，a⊥b.求證：a⊥c.歸納證明中的每一步推理都要有根據(jù)，這些根據(jù)可以是已知條件，也可以是定義、基本事實(shí)、定理.1.在下面的括號(hào)內(nèi)，填上推理的根據(jù).如圖，∠A+∠B=180°，求證:∠C+∠D=180°.證明：∵∠A+∠B=180°，∴AD∥BC()∴∠C+∠D=180°

()同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)既學(xué)既練2.如圖，已知A、O、B三點(diǎn)在一條直線上，OD、OE分別是∠AOC、∠BOC的平分錢，求證：OD⊥OE.證明：∵OD是∠AOC的平分線（已知），∴∠1=∠AOC（角平分線的定義）.同理：∠2=∠BOC.∴∠1+∠2=（∠AOC+∠BOC），∵點(diǎn)A、O、B在同一條直線上，∴∠AOC+∠BOC=180°（平角的定義），∴∠1+∠2=90°，∴OD⊥OE（垂直的定義）.如何由已知條件推理出結(jié)果，如何將自己的思維有條理的表達(dá)出來語言要規(guī)范?；镜耐评矸椒ú捎靡蚬P(guān)系的表述形式，常用符號(hào)語言∵，∴來表達(dá)，“∵……（），∴……（）．”注意，括號(hào)中每一步都要有根有據(jù)由幾何圖形的性質(zhì)決定因果關(guān)系可分為：①一因一果型；②一因多果型；③多因一果型．?dāng)?shù)學(xué)是“思維的體操”幾何證明，規(guī)范的書寫，是數(shù)學(xué)符號(hào)感，空間感，語言表達(dá)，推理能力的全方位展現(xiàn)。1、格式要規(guī)范。比如，符號(hào)上下要對(duì)齊，書寫整齊，看起來賞心悅目。2、步驟要規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)，思路清晰，上下因果關(guān)系明確，條理清晰，步驟完整，不顛三倒四。3、作輔助線時(shí)，幾何語言描述要規(guī)范。如，延長AB到點(diǎn)D使AB=BD注意,證明等幾何題要從條件寫起,比如條件是AD⊥EC,你必須先寫

∵AD⊥EC（）

∴∠ADE＝90°（）

而不能直接寫

∵∠ADE＝90°

∴.證明兩角的余角或補(bǔ)角相等∵∠1+∠2＝90°（）∠3+∠2＝90°（）

∴∠1＝∠3（）證明部分重合的線段（角）相等的書寫：如圖：已知：AB=CD，求證:AC=BD∵AB=CD（）

∴AB+BC=CD+BC（）即AC=BD（）∵∠1+∠2＝90°（）∠3+∠4＝90°（）又∵∠1＝∠3（）

∴∠2＝∠4（）幾何書寫要求3.判斷下列命題的真假.若

a=b，b=c，則a=c.（）若a>b，b>c，則a>c.（）若a//b，b//c，則a//c.（）若a⊥b，b⊥c，則a⊥c.（）真真真假若ac=bc，則a=b.（）若,則a=b.（）同位角相等.（）銳角與鈍角一定互補(bǔ).（）假假假假4．如圖，完成下列推理過程．已知：DE⊥AO于E，BO⊥AO，∠CFB＝∠EDO.求證：CF//DO.證明：∵DE⊥AO，BO⊥AO(已知)∴∠DEA＝∠BOA＝90°(垂直的定義)