2.1測量誤差的基本概念

一、誤差的概念二、誤差的表示方法

三、測量儀器的容許誤差2.2測量誤差的來源

一、儀器誤差二、使用誤差

三、人身誤差

四、影響誤差

五、方法誤差2.3誤差的分類

一、系統(tǒng)誤差二、隨機(jī)誤差

三、粗大誤差

返回本章目錄下一頁前一頁第2-1頁2.5系統(tǒng)誤差分析

一、系統(tǒng)誤差的特性二、系統(tǒng)誤差的判斷

三、消除系統(tǒng)誤差的根源

四、消弱系統(tǒng)誤差的典型測量技術(shù)2.6系統(tǒng)誤差的合成

一、誤差的合成二、常用函數(shù)的合成誤差

三、系統(tǒng)的不確定度2.7測量數(shù)據(jù)的處理

一、有效數(shù)字的處理

二、等精度結(jié)果的處理(本章共130頁)P98P33P41點(diǎn)擊目錄中各節(jié)后頁碼即可打開該節(jié)第2章

測量誤差和測量誤差處理2.4隨機(jī)誤差分析

一、測量值的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差二、隨機(jī)誤差的正態(tài)分布三、有限次測量下測量結(jié)果的表達(dá)P118p52p76p2返回本章目錄下一頁前一頁第2-2頁2.1測量誤差和測量誤差處理一、誤差的概念(1)真值A(chǔ)0

一個(gè)物理量在一定條件下所呈現(xiàn)的客觀大小或真實(shí)數(shù)值稱做它的真值。要想得到真值，必須利用理想的量具或測量儀器進(jìn)行無誤差的測量。實(shí)際上是無法測得why?這是因?yàn)?，“理想”量具或測量儀器即測量過程的參考比較標(biāo)準(zhǔn)(或稱計(jì)量標(biāo)準(zhǔn))只是一個(gè)純理論值。例如電流的計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)安培，定義為“一恒定電流，若保持在處于真空中相距1米的兩根無限長而圓截面可忽略的平行直導(dǎo)線內(nèi)流動(dòng)，這兩條導(dǎo)線之間產(chǎn)生的力為每米長度上等于2×10-7牛頓，則該恒定電流的大小為1安培”。顯然，這樣的電流計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)是一個(gè)理想的而實(shí)際上無法實(shí)現(xiàn)的理論值，因而，某電流的真值我們無法實(shí)際測得。因?yàn)橐皇菦]有符合定義的可供實(shí)際使用的測量參考標(biāo)準(zhǔn)；二是，在測量過程中由于各種主觀、客觀因素的影響，做到無誤差的測量也是不可能的。1、測量中涉及的幾個(gè)量值返回本章目錄下一頁前一頁第2-3頁2.1測量誤差和測量誤差處理

(2)指定值A(chǔ)s

一般由國家設(shè)立各種盡可能維持不變的實(shí)物標(biāo)準(zhǔn)(或基準(zhǔn))，以法令的形式指定其所體現(xiàn)的量值作為計(jì)量單位的指定值。指定國家計(jì)量局保存的鉑銥合金圓柱體質(zhì)量原器的質(zhì)量為1kg;指定國家天文臺(tái)保存的銫鐘組所產(chǎn)生的特定條件下銫-133原子基態(tài)的兩個(gè)超精細(xì)能級(jí)之間躍遷所對(duì)應(yīng)輻射的9192631770個(gè)周期的持續(xù)時(shí)間為1s(秒);等等。例如說明:1)國際間通過互相比對(duì)來保持一定程度的一致。2)指定值也稱約定真值，一般用來代替真值。返回本章目錄下一頁前一頁第2-4頁2.1測量誤差和測量誤差處理

（3）實(shí)際值A(chǔ)

實(shí)際測量中，不可能都直接與國家基準(zhǔn)相比對(duì)，所以國家通過一系列各級(jí)實(shí)物計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)成量值傳遞網(wǎng)，把國家基準(zhǔn)所體現(xiàn)的計(jì)量單位逐級(jí)比較并傳遞到日常工作儀器或量具上。在每一級(jí)的比較中，都以上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)所體現(xiàn)的值當(dāng)作準(zhǔn)確無誤的值，通常稱為實(shí)際值，也稱做相對(duì)真值。比如，如果更高一級(jí)測量器具的誤差為本級(jí)測量器具誤差的1/3~1/10，就可以認(rèn)為更高一級(jí)測量器具的測量值(示值)為真值。在本節(jié)后面的敘述中，不再對(duì)實(shí)際值和真值加以區(qū)別。(4)標(biāo)稱值測量器具上標(biāo)定的數(shù)值稱為標(biāo)稱值例如標(biāo)準(zhǔn)砝碼上標(biāo)出的1kg;標(biāo)準(zhǔn)電阻上標(biāo)出的1Ω;標(biāo)準(zhǔn)電池上標(biāo)出的電動(dòng)勢1.0186V;標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)發(fā)生器刻度盤上標(biāo)出的輸出正弦波的頻率100kHz;等等。返回本章目錄下一頁前一頁第2-5頁2.1測量誤差和測量誤差處理

由于制造和測量精度不夠以及環(huán)境等因素的影響，標(biāo)稱值并不一定等于它的真值或?qū)嶋H值。為此，在標(biāo)出測量器具的標(biāo)稱值時(shí)，通常還要標(biāo)出它的誤差范圍或準(zhǔn)確度等級(jí)。例如某電阻標(biāo)稱值為1kΩ，誤差±1%，即意味著該電阻的實(shí)際值在990~1010Ω之間。

XD7低頻信號(hào)發(fā)生器頻率刻度的工作誤差≤±3%±1Hz，如果在額定工作條件下該儀器頻率刻度是100Hz，那么這就是它的標(biāo)稱值，而實(shí)際值是100±100×3%±1Hz，即實(shí)際值在96~104Hz之間。由測量器具指示的被測量量值稱為測量器具的示值，也稱測量值，它包括數(shù)值和單位。(5)示值明確:1)一般來說，示值與測量儀表的讀數(shù)有區(qū)別，讀數(shù)是儀器刻度盤上直接讀到的數(shù)字。例如以100分度表示50mA的電流表，當(dāng)指針指在刻度盤上的50處時(shí)，讀數(shù)是50，而值是25mA。2)為便于核查測量結(jié)果，在記錄測量數(shù)據(jù)時(shí)，一般應(yīng)記錄儀表量程、讀數(shù)和示值(當(dāng)然還要記載測量方法、連接圖、測量環(huán)境、測量用儀器及編號(hào)、測量者姓名、測量日期等)。3)對(duì)于數(shù)字顯示儀表，通常示值和讀數(shù)是統(tǒng)一的。返回本章目錄下一頁前一頁第2-6頁2.1測量誤差和測量誤差處理

(6)測量誤差測量儀器儀表的測得值與被測量真值之間的差異稱為測量誤差。在實(shí)際測量中由于測量器具不準(zhǔn)確測量手段不完善環(huán)境影響測量操作不熟練工作疏忽等都會(huì)導(dǎo)致測量結(jié)果與被測量真值不同。明確:1)測量誤差的存在具有必然性和普遍性，人們只能根據(jù)需要和可能將其限制在一定范圍內(nèi)，而不可能完全加以消除。2）人們進(jìn)行測量通常是為了獲得盡可能接近真值的測量結(jié)果，如果測量誤差超出一定限度，則測量工作及由測量結(jié)果所得出的結(jié)論就失去了意義。返回本章目錄下一頁前一頁第2-7頁2.1測量誤差和測量誤差處理

(7)單次測量和多次測量單次(一次)測量是用測量儀器對(duì)待測量進(jìn)行一次測量的過程。多次測量是用測量儀器對(duì)同一被測量進(jìn)行多次重復(fù)測量的過程。顯然，為了得知某一量的大小，必須至少進(jìn)行一次測量。在測量精度要求不高的場合，可以只進(jìn)行單次測量。單次測量不能反映測量結(jié)果的精密度，一般只能給出一個(gè)量的大致概念和規(guī)律。應(yīng)用場合依靠多次測量可以觀察測量結(jié)果一致性的好壞，即精密度。通常要求較高的精密測量都必須進(jìn)行多次測量，將多次測量的結(jié)果求和取均值，作為測量值。這樣測量的結(jié)果較準(zhǔn)確，更可信。返回本章目錄下一頁前一頁第2-8頁2.1測量誤差和測量誤差處理

(8)等精度“測量和非等精度測量在保持測量條件不變的情況下對(duì)同一被測量進(jìn)行的多次測量過程稱做等精度測量。在同一被測量的多次重復(fù)測量中，不是所有測量條件都維持不變,這樣的測量稱為非等精度測量或不等精度測量。這里所說的測量條件包括所有對(duì)測量結(jié)果產(chǎn)生影響的客觀和主觀因素，如測量儀器、方法、測量環(huán)境、操作者的操作步驟和細(xì)心程度等。注比如，改變了測量方法，或更換了測量儀器，或改變了連接方式，或測量環(huán)境發(fā)生了變化，或前后不是一個(gè)操作者，或同一操作者按不同的過程進(jìn)行操作，或操作過程中由于疲勞等原因而影響了細(xì)心專致程度等注說明：1）

等精度測量和非等精度測量在測量實(shí)踐中都有應(yīng)用，相比較而言，等精度測量的應(yīng)用更多一些。

2）有時(shí)為了驗(yàn)證某些結(jié)果或結(jié)論，研究新的測量方法或檢定不同的測量儀器，也要進(jìn)行非等精度測量。返回本章目錄下一頁前一頁第2-9頁2.1測量誤差和測量誤差處理二、誤差的表示方法1、絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差定義為Δx=x－A0

(2.1-1)式中

Δx為絕對(duì)誤差

x為測得值A(chǔ)0為被測量真值值真值A(chǔ)0一般無法得到，所以用實(shí)際值A(chǔ)代替A0

絕對(duì)誤差更有實(shí)際意義的定義是

Δx=x－A

（2.1-2）絕對(duì)誤差具有下面幾個(gè)特點(diǎn)：(1)絕對(duì)誤差是有單位的量，其單位與測得值和實(shí)際值相同。(2)絕對(duì)誤差是有符號(hào)的量，其符號(hào)表示出測得值與實(shí)際值的大小關(guān)系，若測得值較實(shí)際值大，則絕對(duì)誤差為正值，反之為負(fù)值。(3)測得值與被測量實(shí)際值間的偏離程度和方向通過絕對(duì)誤差來體現(xiàn)，但有時(shí)不能說明測量的質(zhì)量。例如返回本章目錄下一頁前一頁第2-10頁2.1測量誤差和測量誤差處理人體體溫在37℃左右，若測量絕對(duì)誤差為Δx=±1℃，這樣的測量質(zhì)量非常人所能容忍。但另說測量在1400℃左右爐窯的爐溫，絕對(duì)誤差能保持±1℃，那么這樣的測量精度就相當(dāng)令人滿意了。測量質(zhì)量差測量質(zhì)量好

為了表明測量結(jié)果的準(zhǔn)確程度，一種方法是將測得值與絕對(duì)誤差一起列出，如上面的例子可寫成37℃±1℃和1400℃±1℃；另類：對(duì)于信號(hào)源、穩(wěn)壓電源等供給量儀器，絕對(duì)誤差定義為:Δx=A－x

(2.1-3)式中

Δx為絕對(duì)誤差

x為供給量的指示值(標(biāo)稱值)A為實(shí)際值如果沒有特殊說明，本書中涉及的絕對(duì)誤差按式(2.1-2)計(jì)算。返回本章目錄下一頁前一頁第2-11頁2.1

測量誤差和測量誤差處理

與絕對(duì)誤差絕對(duì)值相等但符號(hào)相反的值稱為修正值，一般用符號(hào)c表示為c=－Δx=A－x(2.1-4)測量儀器的修正值可通過檢定由上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)給出，它可以是表格、曲線或函數(shù)表達(dá)式等。利用修正值和儀器示值可得到被測量的實(shí)際值：A=x+c

(2.1-5)

例如，由某電流表測得的電流示值為0.83mA，查該電流表檢定證書得知該電流表在0.8mA及其附近的修正值都為-0.02mA，則由上式易得被測電流的實(shí)際值為A=0.83+(－0.02)=0.81mA

智能儀器的優(yōu)點(diǎn)之一就是可利用內(nèi)部的微處理器存儲(chǔ)和處理修正值，直

接給出經(jīng)過修正的實(shí)際值，而不需要測量者再應(yīng)用式(2.1-5)進(jìn)行計(jì)算。返回本章目錄下一頁前一頁第2-12頁2.1測量誤差和測量誤差處理2、相對(duì)誤差實(shí)際中常用相對(duì)誤差來說明測量精度的高低，它可分為以下幾種。(1)實(shí)際相對(duì)

誤差定義為(2.1-6)(2)示值相對(duì)誤差(又稱標(biāo)稱值相對(duì)誤差)定義為(2.1-7)(3)滿度相對(duì)誤差定義為儀器量程內(nèi)最大絕對(duì)誤差Δxm與測量儀器滿度值(量程上限值)xm的百分比值(2.1-8)明確:1)如果測量誤差不大，則可用示值相對(duì)誤差γx代替實(shí)際誤差γA，但若γx和γA相差較大，則二者不可等同，應(yīng)加以區(qū)分。2)滿度相對(duì)誤差又稱為滿度誤差和引用誤差。滿度誤差實(shí)際上給出了儀表各量程內(nèi)絕對(duì)誤差的最大值返回本章目錄下一頁前一頁第2-13頁2.1測量誤差和測量誤差處理

Δxm=γm·xm

(2.1-9)

我國電工儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)s就是按滿度誤差γm分級(jí)的，按γm大小依次

劃分為0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5及5.0七級(jí)。比如某電壓表s=0.5，即表明它的準(zhǔn)確度等級(jí)為0.5級(jí)，它的滿度誤差不超過0.5%，即|γm|≤0.5%(習(xí)慣上也寫成γm=±0.5%)?！纠?】某電壓表s=1.5，試算出它在0~100V量程中的最大絕對(duì)誤差。解

在0~100V量程內(nèi)上限值xm=100V，由式（2.1-9)得Δxm=γm·xm=±

×100=±1.5V返回本章目錄下一頁前一頁第2-14頁2.1測量誤差和測量誤差處理

一般來講，測量儀器在同一量程不同示值處的絕對(duì)誤差實(shí)際上未必處處相等，但對(duì)使用者來講，在沒有修正值可利用的情況下，只能按最壞情況處理，即認(rèn)為儀器在同一量程各處的絕對(duì)誤差是一個(gè)常數(shù)且等于Δxm，人們把這種處理稱做誤差的整量化。

由式(2.1-7)和式(2.1-9)可以看出，為了減小測量中的示值誤差，在進(jìn)行量程選擇時(shí)應(yīng)盡可能使示值接近滿度值，一般以示值不小于滿度值的2/3為宜。【例2】某1.0級(jí)電流表的滿度值xm=100μA，求測量值分別為x1=100μA,x2=80μA，x3=20μA時(shí)的絕對(duì)誤差和示值相對(duì)誤差。返回本章目錄下一頁前一頁第2-15頁2.1測量誤差和測量誤差處理

解：

由式(2.1-9)得絕對(duì)誤差為Δxm=γm·xm=±

×100=±1μA絕對(duì)誤差是不隨測量值改變的測得值分別為100μA、80μA、20μA時(shí)的示值相對(duì)誤差各不相同，分別為由此例可見，在同一量程內(nèi)，測得值越小，示值相對(duì)誤差越大。返回本章目錄下一頁前一頁第2-16頁2.1測量誤差和測量誤差處理

該例還看到,測量中所用儀表的準(zhǔn)確度并不是測量結(jié)果的準(zhǔn)確度，只有在示值與滿度值相同時(shí)，二者才相等(不考慮其他因素造成的誤差，僅考慮儀器誤差)。一般測量值的準(zhǔn)確度數(shù)值將低于儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)。

上面由式(2.1-7)、式(2.1-9)得出的為減小示值誤差而使示值盡可能接近滿度值的結(jié)論，只適于正向刻度的一般電壓表、電流表等類型的儀表。對(duì)于測量電阻的普通型歐姆表(如普通萬用表電阻擋)，上述結(jié)論并不成立，因?yàn)檫@類歐姆表是反向刻度，且刻度是非線性的?！纠?】要測量100℃的溫度，現(xiàn)有0.5級(jí)、測量范圍為0~300℃和1.0級(jí)、測量范圍為0~100℃的兩種溫度計(jì)，試分析各自產(chǎn)生的示值誤差。返回本章目錄下一頁前一頁第2-17頁2.1測量誤差和測量誤差處理解：

對(duì)0.5級(jí)溫度計(jì)，可能產(chǎn)生的最大絕對(duì)誤差為Δxm1=γm1·xm1=·xm1=℃按照誤差整量化原則，認(rèn)為該量程內(nèi)絕對(duì)誤差Δx1=Δxm1=±1.5℃，因此示值相對(duì)誤差為同樣可算出用1.0級(jí)溫度計(jì)可能產(chǎn)生的絕對(duì)誤差和示值相對(duì)誤差為Δx2=Δxm2=γm2·xm2=×100=±1.0℃返回本章目錄下一頁前一頁第2-18頁2.1測量誤差和測量誤差處理

由此例可見，用1.0級(jí)低量程溫度計(jì)測量所產(chǎn)生的示值相對(duì)誤差反而小一些，因此選1.0級(jí)溫度計(jì)較為合適。

在實(shí)際測量時(shí)，一般為防止測量值因超量程太多而損壞儀表，應(yīng)先在大量程下測得被測量的大致數(shù)值，而后選擇合適的量程進(jìn)行測量，以盡可能地減小相對(duì)誤差。(4)相對(duì)誤差還有第4種形式即在電子測量中還常用到的分貝誤差。

分貝誤差是用對(duì)數(shù)表示誤差的一種形式，單位為分貝(dB)。分貝誤差廣泛用于增益(衰減)量的測量中。下面以電壓增益測量為例，引出分貝誤差的表示形式。返回本章目錄下一頁前一頁第2-19頁2.1測量誤差和測量誤差處理

設(shè)雙口網(wǎng)絡(luò)(如放大器、衰減器等)輸入、輸出電壓的測量值分別為Ui和Uo，則電壓增益Au的測量值為(2.1-10)用對(duì)數(shù)表示為Gx=20lgAu(dB)(2.1-11)Gx稱為增益測量值的分貝值。設(shè)A為電壓增益實(shí)際值，其分貝值G=20lgA，由式(2.1-2)及式(2.1-11)可得Au=A+Δx=A－A0+x=ΔA+x|x=A=A+ΔA(2.1-12)返回本章目錄下一頁前一頁第2-20頁2.1測量誤差和測量誤差處理

Gx=20lg(A+ΔA)=20lg

=20lgA+20lg

=G+γdB式中，G=20lgA。由此得到(2.1-13)γdB=Gx－G(dB)(2.1-14)(2.1-15)dB

顯然，式(2.1-15)中γdB與增益的相對(duì)誤差有關(guān)，可看成相對(duì)誤差的對(duì)數(shù)表現(xiàn)形式，稱之為分貝誤差。若令

則式(2.1-15)可改寫成：并設(shè)γA≈γx,γdB=20lg(1+γx)(dB)(2.1-16)返回本章目錄下一頁前一頁第2-21頁2.1測量誤差和測量誤差處理

式(2.1-16)即為分貝誤差的一般定義式。

若測量的是功率增益，則因?yàn)楣β逝c電壓呈平方關(guān)系，并考慮對(duì)數(shù)運(yùn)算規(guī)則，所以這時(shí)的分貝誤差定義為γdB=10lg(1+γx)(dB)

(2.1-17)【例4】某電壓放大器，當(dāng)輸入端電壓Ui=1.2mV時(shí)，測得輸出電壓Uo=6000mV，設(shè)Ui誤差可忽略，Uo的測量誤差γ2=±3%。求放大器電壓放大倍數(shù)的絕對(duì)誤差ΔA、相對(duì)誤差γx及分貝誤差γdB。解：

電壓放大倍數(shù)為電壓分貝增益為Gx=20lgAu=20lg5000=74dB返回本章目錄下一頁前一頁第2-22頁2.1測量誤差和測量誤差處理輸出電壓絕對(duì)誤差為ΔUo=6000×(±3%)=±180mV因忽略Ui誤差，故電壓增益的絕對(duì)誤差為電壓增益的相對(duì)誤差為電壓增益的分貝誤差為γdB=20lg(1+γx)=20lg(1±0.03)=±0.26dB返回本章目錄下一頁前一頁第2-23頁2.1測量誤差和測量誤差處理實(shí)際電壓的分貝增益為G=74±0.26dB

當(dāng)γx值很小時(shí)，分貝增益定義式(2.1-16)和式(2.1-17)中的γdB可分別利用下面近似式得到：γdB≈8.69γxdB(電壓、電流類增益)

(2.1-18)γdB≈4.34γxdB(功率類增益)

(2.1-19)

如果在測量中使用的儀器是用分貝作單位的，則分貝誤差直接按Δx=x－A計(jì)算。例如，某衰減器的標(biāo)稱值為20dB，經(jīng)檢定為20.5dB，則其分貝誤差為Δx=20－20.5=－0.5dB返回本章目錄下一頁前一頁第2-24頁2.1測量誤差和測量誤差處理

三、容許誤差

測量儀器的誤差是產(chǎn)生測量誤差的主要因素。為了保證測量結(jié)果的準(zhǔn)確可靠，必須對(duì)測量儀器本身的誤差有一定要求。容許誤差是指測量儀器在規(guī)定使用條件下可能產(chǎn)生的最大誤差范圍。容許誤差有時(shí)稱做儀器誤差，它是恒量電子測量儀器質(zhì)量的最重要指標(biāo)。電子測量儀器的精度和穩(wěn)定性等都可用儀器的容許誤差來表征。

我國部頒標(biāo)準(zhǔn)SJ943-82《電子測量儀器誤差的一般規(guī)定》中指出：用工作誤差、固有誤差、影響誤差和穩(wěn)定誤差四項(xiàng)指標(biāo)來描述電子測量儀器的容許誤差。

為了保證測量儀器示值的準(zhǔn)確，儀器出廠前必須由檢驗(yàn)部門對(duì)其誤差指標(biāo)進(jìn)行檢驗(yàn)，在使用期間必須定期進(jìn)行校準(zhǔn)檢定，凡各項(xiàng)誤差指標(biāo)在容許誤差范圍之內(nèi)的，視為合格儀器，否則，不能算做合格的儀器，其測量結(jié)果就失去了可靠性而只能作為參考。

儀器的容許誤差的表示方法可以用絕對(duì)誤差，也可以用相對(duì)誤差。返回本章目錄下一頁前一頁第2-25頁2.1測量誤差和測量誤差處理1、工作誤差工作誤差是指在額定工作條件下儀器誤差的極限值，即來自儀器外部的各種影響量和儀器內(nèi)部的影響特性為任意可能的組合時(shí)，儀器誤差的最大極限值。這種表示方法的優(yōu)點(diǎn)是：對(duì)使用者非常方便，可以利用工作誤差直接估計(jì)測量結(jié)果誤差的最大范圍。缺點(diǎn)是：工作誤差是在最不利的組合條件下給出的，而實(shí)際使用中構(gòu)成最不利組合的可能性并不大。因此，用儀器的工作誤差來估計(jì)測量結(jié)果的誤差會(huì)偏大。2、固有誤差固有誤差是當(dāng)儀器的各種影響量和影響特性處于基準(zhǔn)條件時(shí)儀器所具有的誤差?；鶞?zhǔn)條件如表2.1-1所示返回本章目錄下一頁前一頁第2-26頁2.1測量誤差和測量誤差處理

返回本章目錄下一頁前一頁第2-27頁2.1測量誤差和測量誤差處理

這些基準(zhǔn)條件是比較嚴(yán)格的，所以這種誤差能夠更準(zhǔn)確地反映儀器所固有的性能，便于在相同條件下，對(duì)同類儀器進(jìn)行比較和校準(zhǔn)。

3、影響誤差影響誤差是指當(dāng)一個(gè)影響量在其額定使用范圍內(nèi)取任一值，而其他影響量和影響特性均處于基準(zhǔn)條件時(shí)所測得的誤差，例如溫度誤差、頻率誤差等。

只有當(dāng)某一影響量在工作誤差中起重要作用時(shí)才給出，它是一種誤差的極限。4、穩(wěn)定誤差

穩(wěn)定誤差是儀器的標(biāo)稱值在其他影響量和影響特性保持恒定的情況下，在規(guī)定時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的誤差極限。常以相對(duì)誤差形式給出或者注明最長連續(xù)工作時(shí)間。返回本章目錄下一頁前一頁第2-28頁2.1測量誤差和測量誤差處理

例如，DS-33型交流數(shù)字電壓表就是用上述四種誤差標(biāo)注的工作誤差：

50Hz~1MHz,1mV~1V量程為±1.5%±滿量程的0.5%。固有誤差：

1kHz,1V時(shí)為讀數(shù)的0.4%±1個(gè)字；溫度影響誤差:1kHz,1V時(shí)的溫度系數(shù)為10－4/C。影響誤差：

50Hz~1MHz為±0.5%±滿量程的0.1%。穩(wěn)定誤差：在溫度為－10~+40℃，相對(duì)濕度為80%以下，大氣壓為650~800mmHg的環(huán)境內(nèi)，連續(xù)工作7小時(shí)。

如同DS-33型交流數(shù)字電壓表一樣，許多測量儀器(尤其是較為精密的儀器和數(shù)字式儀器)的容許誤差常用誤差的絕對(duì)數(shù)值和相對(duì)數(shù)值相結(jié)合來表示。返回本章目錄下一頁前一頁第2-29頁2.1測量誤差和測量誤差處理

例如,國產(chǎn)SX1842型四位半顯示直流數(shù)字電壓表，在2V擋的容許誤差(工作誤差)為±0.025%±1個(gè)字，其含義是該電壓表在2V擋的最大絕對(duì)誤差為Δx=±0.025%×(測量值)±1×

(V)

(2.1-20)式中第一項(xiàng)±0.025%是以相對(duì)形式給出的誤差；第二項(xiàng)是以絕對(duì)形式給出的誤差。±1個(gè)字的是指顯示數(shù)字的最低位1個(gè)字所表示的數(shù)值，因此該項(xiàng)也稱為±1個(gè)字誤差。SX1842是4即四位半顯示，其含義是數(shù)字顯示共五位，最高位只能是0或者1，后四位每一位取值均可為0~9，因此最大顯示為19999，現(xiàn)為2V擋，返回本章目錄下一頁前一頁第2-30頁2.1測量誤差和測量誤差處理

所以最低位為1時(shí)所代表的數(shù)值是1×

≈0.1mV如果用該表測量某電壓時(shí)的測量值是1.5000V，則僅由儀器誤差造成的測量相對(duì)誤差為

應(yīng)當(dāng)注意，儀器的容許誤差和用該儀器進(jìn)行測量時(shí)的實(shí)際誤差并不相等，本節(jié)【例2】已有說明，使用同一儀器，即使在同一量程內(nèi)，測量值大小不同，其相對(duì)誤差也不相同?！纠?】用4位數(shù)字電壓表2V擋和200V擋測量1V電壓，該電壓表各擋容許誤差均為±0.03%±1個(gè)字，試分析用上述兩擋分別測量時(shí)的相對(duì)誤差。返回本章目錄下一頁前一頁第2-31頁2.1測量誤差和測量誤差處理

解：

(1)用2V擋測量，仿照式(2.1-20)，絕對(duì)誤差為

Δx1=±0.03%×1±

×1

=±3×10－4±1×10－4

=±4×10－4(V)

為了便于觀察，式中前一項(xiàng)是容許誤差的相對(duì)值部分，后一項(xiàng)是絕對(duì)值部分，即±1個(gè)字誤差，此時(shí)后者影響較小，測量數(shù)值(顯示值)為0.9996~1.0004V時(shí)，有效顯示數(shù)字是四位到五位。相對(duì)誤差為γx1=

×100%=±0.04%(2)用200V擋測量，絕對(duì)誤差為返回本章目錄下一頁前一頁第2-32頁2.1測量誤差和測量誤差處理

Δx2=±0.03%×1±

×1

=±3×10－4±100×10－4

=±103×10－4(V)可見，此時(shí)±1個(gè)字誤差占了誤差的絕大部分(為了便于觀察，100×10－4未按科學(xué)計(jì)數(shù)法的規(guī)定寫成1.0×10－2)，

由于此時(shí)最末位1個(gè)字誤差或最末位為1時(shí)代表的數(shù)值是10mV或0.01V，因此此時(shí)電壓表顯示為0.99~1.01V，顯示有效數(shù)字為二到三位。相對(duì)誤差為γx=

=±1%可見，此時(shí)相對(duì)誤差很大，沒有充分發(fā)揮4位數(shù)字電壓表的較高準(zhǔn)確度的優(yōu)勢。由此說明，當(dāng)我們選用數(shù)字顯示式測量儀表時(shí)，應(yīng)盡可能使它顯示的位數(shù)多一些，以減小測量誤差。這和前面敘述的測量儀器量程的選擇原則是一致的。返回本章目錄下一頁前一頁第2-33頁2.2測量誤差的來源

為了減小測量誤差，提高測量結(jié)果的準(zhǔn)確度，必須明確測量誤差的主要來源，以便估算測量誤差并采取相應(yīng)措施減小測量誤差。一、儀器誤差儀器誤差又稱設(shè)備誤差，是由于設(shè)計(jì)、制造、裝配、檢定等的不完善以及儀器使用過程中元器件老化，機(jī)械部件磨損，疲勞等而使測量儀器設(shè)備帶有的誤差。儀器誤差還可細(xì)分為：讀數(shù)誤差:包括出廠校準(zhǔn)定度不準(zhǔn)確產(chǎn)生的校準(zhǔn)誤差、刻度誤差、讀數(shù)分辨力有限而造成的讀數(shù)誤差及數(shù)字式儀表的量化誤差(±1個(gè)字誤差)；儀器內(nèi)部噪聲引起的內(nèi)部噪聲誤差；元器件疲勞、老化及周圍環(huán)境變化造成的穩(wěn)定誤差；儀器響應(yīng)的滯后現(xiàn)象造成的動(dòng)態(tài)誤差；探頭等輔助設(shè)備帶來的其他方面的誤差。返回本章目錄下一頁前一頁第2-34頁2.2測量誤差的來源

減小儀器誤差的主要途徑是1）根據(jù)具體測量任務(wù)，正確地選擇測量方法和使用測量儀器（包括要檢查所使用的儀器是否具備出廠合格證及檢定合格證）。2）在額定工作條件下按使用要求進(jìn)行正確操作等。3）量化誤差是數(shù)字儀器特有的一種誤差，減小由它帶給測量結(jié)果準(zhǔn)確度的影響的辦法是設(shè)法使顯示器顯示盡可能多的有效數(shù)字。二、使用誤差使用誤差又稱操作誤差，是由于對(duì)測量設(shè)備操作不當(dāng)而造成的誤差。比如有的設(shè)備要求正式測量前進(jìn)行預(yù)熱而未預(yù)熱；有的設(shè)備要求水平放置而傾斜或垂直放置；有的測量設(shè)備要求實(shí)際測量前必須進(jìn)行校準(zhǔn)而未校準(zhǔn)。例如，普通萬用表測電阻時(shí)應(yīng)校零，用示波器觀測信號(hào)的幅度前應(yīng)進(jìn)行幅度校準(zhǔn)等返回本章目錄下一頁前一頁第2-35頁2.2測量誤差的來源

減小使用誤差的最有效途徑是提高測量操作技能，嚴(yán)格按照儀器使用說明書中規(guī)定的方法和步驟進(jìn)行操作。三、人身誤差

人身誤差主要指由于測量者感官的分辨能力、視覺疲勞、固有習(xí)慣等對(duì)測量實(shí)驗(yàn)中的現(xiàn)象與結(jié)果判斷不準(zhǔn)確而造成的誤差。比如指針式儀表刻度的讀??；

諧振法測量L、C、

Q時(shí)諧振點(diǎn)的判斷；等等。都很容易產(chǎn)生誤差。減小人身誤差的主要途徑有：提高測量者的操作技能和工作責(zé)任心；采用更合適的測量方法(比如用交叉讀數(shù)法代替?zhèn)鹘y(tǒng)的諧振點(diǎn)判斷法）；采用數(shù)字式顯示的客觀讀數(shù)以避免指針式儀表的讀數(shù)視差等。返回本章目錄下一頁前一頁第2-36頁2.2測量誤差的來源

四、影響誤差影響誤差是指各種環(huán)境因素與要求條件不一致而造成的誤差。

最主要的影響因素環(huán)境溫度電源電壓電磁干擾等當(dāng)環(huán)境條件符合要求時(shí)，影響誤差通?？刹挥杩紤]。

但在精密測量及計(jì)量中，需根據(jù)測量現(xiàn)場的溫度、濕度、電源電壓等影響數(shù)值求出各項(xiàng)影響誤差，以便根據(jù)需要做進(jìn)一步的數(shù)據(jù)處理。五、方法誤差

顧名思義，方法誤差是指所使用的測量方法不當(dāng)，或測量所依據(jù)的理論不嚴(yán)密，或?qū)y量計(jì)算公式不適當(dāng)簡化等原因造成的誤差。方法誤差也稱做理論誤差。返回本章目錄下一頁前一頁第2-37頁2.2測量誤差的來源

例如當(dāng)用平均值檢波器測量交流電壓時(shí)，平均值檢波器的輸出正比于被測正弦電壓的平均值，而交流電壓表通常以有效值U定度，兩者間理論上應(yīng)有下述關(guān)系：(2.2-1)式中，KF=π/2，稱為定度系數(shù)。由于π和均為無理數(shù)，因此當(dāng)用有效值定度時(shí)，只好取近似公式：U≈.1.11

(2.2-2)

顯然，兩者相比就產(chǎn)生了誤差，這種由于計(jì)算公式的簡化或近似造成的誤差就是一種理論誤差。返回本章目錄下一頁前一頁第2-38頁2.2測量誤差的來源

方法誤差通常以系統(tǒng)誤差(主要是恒值系統(tǒng)誤差，見2.3節(jié))形式表現(xiàn)出來。因?yàn)楫a(chǎn)生的原因是方法、理論、公式不當(dāng)或過于簡化等，因而在掌握了具體原因及有關(guān)量值后，原則上都可以通過理論分析和計(jì)算或改變測量方法來加以消除或修正。對(duì)于內(nèi)部帶有微處理器的智能儀器，要做到這一點(diǎn)是不難的?！纠?】1.4節(jié)及圖1.4-2曾提及測量儀表的負(fù)載效應(yīng)，現(xiàn)重畫于圖2.2-1中。圖中虛框代表一臺(tái)內(nèi)電阻RV=10MΩ，儀器工作誤差(也稱不確定度)為“±0.005%讀數(shù)±2個(gè)字”的數(shù)字電壓表，讀數(shù)Uo=10.0025V。試分析儀器誤差和方法誤差。返回本章目錄下一頁前一頁第2-39頁2.2測量誤差的來源

圖2.2-1方法誤差示例(2.2-3)分析:(2.2-4)即比值Rs/RV愈大，示值相對(duì)誤差也愈大，這是一種方法誤差。將RV=10MΩ,Rs=10kΩ代入式(2.2-4)，得方法誤差：γV=－=－0.1%電壓表本身的儀器誤差:可見，這里的方法誤差較儀器誤差大得多。返回本章目錄下一頁前一頁第2-40頁2.2測量誤差的來源

不過，由式(2.2-3)可以看出，測量值Uo與實(shí)際值Us間有確定的函數(shù)關(guān)系，只要知道Rs、RV和Uo，那么這里的方法誤差就可以得到修正。實(shí)際上由式(2.2-3)可以得到：(2.2-5)利用式(2.2-5)修正公式和有關(guān)數(shù)據(jù)得到：

如果我們不用上面的偏差法原理測量Uo，而改用第1章中提到的零位法或微差法測量，則將基本避免方法誤差(見2.5節(jié))。當(dāng)然，偏差法測量在測量操作實(shí)施上要比后兩種方法方便得多。返回本章目錄下一頁前一頁第2-41頁2.3誤差的分類

雖然產(chǎn)生誤差的原因多種多樣，但按其基本性質(zhì)和特點(diǎn)，誤差可分為三種：系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差。一、系統(tǒng)誤差在多次等精度測量同一量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或當(dāng)條件改變時(shí)誤差按某種規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差，簡稱系差。

如果系差的大小、符號(hào)不變而保持恒定，則稱為恒定系差，否則稱為變值系差。又分為恆定與變值系差變值系差又可分為累進(jìn)性系差周期性系差按復(fù)雜規(guī)律變化的系差圖2.3-1描述了幾種不同系差的變化規(guī)律。返回本章目錄下一頁前一頁第2-42頁2.3誤差的分類圖2.3-1系統(tǒng)誤差的特征圖中直線a表示恒定系差；直線b是變值系差中的累進(jìn)性系差，這是表示系差遞增的情況，也有遞減系差；曲線c表示周期性系差，在整個(gè)測量過程中，系差值成周期性變化；曲線d為按復(fù)雜規(guī)律變化的系差。系統(tǒng)誤差的主要特點(diǎn)是：而當(dāng)條件改變時(shí)，誤差也隨之遵循某種確定的規(guī)律而變化，具有可重復(fù)性。只要測量條件不變，誤差即為確切的數(shù)值，用多次測量取平均值的辦法不能改變或消除系差。返回本章目錄下一頁前一頁第2-43頁2.3誤差的分類

例如，標(biāo)準(zhǔn)電池的電動(dòng)勢隨環(huán)境溫度變化而變化，因而實(shí)際值和標(biāo)稱值間產(chǎn)生一定的誤差ΔE，它遵循下面的規(guī)律：ΔE=E20－Et

=［39.94(t－20)+0.929(t－20)2－0.0092(t－20)3

+0.00006(t－20)4］×10－6(V)式中，E20和Et分別為環(huán)境溫度為+20℃和t℃時(shí)標(biāo)準(zhǔn)電池的電動(dòng)勢。

又如，在2.2節(jié)中用均值檢波電壓表測量正弦電壓有效值采用近似公式(2.2-2)代替理論公式(2.2-1)，因而帶來理論誤差，用提高均值檢波器的準(zhǔn)確度或用多次測量取平均值等方法都無法加以消除，只有用修正公式的辦法來減小誤差。正是由于這類誤差具有規(guī)律性，因此把理論誤差歸入系統(tǒng)誤差一類中。返回本章目錄下一頁前一頁第2-44頁2.3誤差的分類歸納起來，產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的主要原因如下：

(1)測量儀器設(shè)計(jì)原理及制作上的缺陷。例如刻度偏差，刻度盤或指針安裝偏心，使用過程中零點(diǎn)漂移，安放位置不當(dāng)?shù)取?2)測量時(shí)的環(huán)境條件(如溫度、濕度及電源電壓等)與儀器使用要求不一致等。

(3)采用近似的測量方法或近似的計(jì)算公式等。(4)測量人員估計(jì)讀數(shù)時(shí)習(xí)慣偏于某一方向等原因所引起的誤差。用系統(tǒng)誤差可表征測量的正確度，系統(tǒng)誤差小，表明測量的正確度高。二、隨機(jī)誤差

隨機(jī)誤差又稱偶然誤差，是指對(duì)同一量值進(jìn)行多次等精度測量時(shí)，其絕對(duì)值和符號(hào)均以不可預(yù)測的方式無規(guī)則變化的誤差。返回本章目錄下一頁前一頁第2-45頁2.3誤差的分類

就單次測量而言，隨機(jī)誤差沒有規(guī)律，其大小和方向完全不可預(yù)測，但當(dāng)測量次數(shù)足夠多時(shí)，其總體服從統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律，多數(shù)情況下接近正態(tài)分布。隨機(jī)誤差的特點(diǎn)是：

在多次測量中誤差絕對(duì)值的波動(dòng)有一定的界限，即具有有界性；

當(dāng)測量次數(shù)足夠多時(shí)，正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)幾乎相同，即具有對(duì)稱性；隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨于零，即具有抵償性。

由于隨機(jī)誤差具有上述特點(diǎn)，因此可以通過對(duì)多次測量取平均值的辦法來減小隨機(jī)誤差對(duì)測量結(jié)果的影響，或者用其他數(shù)理統(tǒng)計(jì)的辦法對(duì)隨機(jī)誤差加以處理。表2.3-1是對(duì)某電阻進(jìn)行15次等精度測量的結(jié)果。返回本章目錄下一頁前一頁第2-46頁2.3誤差的分類

回本章返目錄下一頁前一頁第2-47頁2.3誤差的分類

表中Ri為第i次測量值；

為測量值的算術(shù)平均值；vi=Ri－，定義為殘差。由于電阻的真值R無法測得，因此我們用代替R，用vi表示隨機(jī)誤差的性質(zhì)。為了更直觀地考慮測量值的分布規(guī)律，用圖2.3-2表示測量結(jié)果的分布情況，圖中小黑點(diǎn)代表各次測量值。圖2.3-2電阻測量值的隨機(jī)誤差返回本章目錄下一頁前一頁第2-48頁2.3誤差的分類

由表2.3-1和圖2.3-2可以看出以下幾點(diǎn)：(1)正誤差出現(xiàn)了7次，負(fù)誤差出現(xiàn)了6次，兩者基本相等，正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率基本相等，反映了隨機(jī)誤差的對(duì)稱性。(2)誤差的絕對(duì)值介于(0,0.1)、（0.1,0.2)、(0.2,0.3)、(0.3,0.4)、(0.4,0.5)區(qū)間和大于0.5的個(gè)數(shù)分別為6、3、2、1、2、1，反映了絕對(duì)值小的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率大，絕對(duì)值大的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率小。(3)∑vi=0，正負(fù)誤差之和為零，反映了隨機(jī)誤差的抵償性。

(4)所有隨機(jī)誤差的絕對(duì)值都沒有超過某一界限，反映了隨機(jī)誤差的有界性。

這雖然僅是一個(gè)例子，但也基本反映出隨機(jī)誤差的一般特性。返回本章目錄下一頁前一頁第2-49頁2.3誤差的分類

產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因包括：(1)測量儀器元器件產(chǎn)生噪聲，零部件配合的不穩(wěn)定、摩擦、接觸不良等。

(2)溫度及電源電壓的無規(guī)則波動(dòng)、電磁干擾、地基振動(dòng)等。(3)測量人員感覺器官的無規(guī)則變化而造成的讀數(shù)不穩(wěn)定等。用隨機(jī)誤差可表征多次測量的精密度，隨機(jī)誤差小，則精密度高。三、粗大誤差

在一定的測量條件下，測量值明顯地偏離實(shí)際值所形成的誤差稱為粗大誤差，也稱為疏失誤差，簡稱粗差。確認(rèn)含有粗差的測量值稱為壞值，應(yīng)當(dāng)剔除不用，因?yàn)閴闹挡荒芊从潮粶y量的真實(shí)數(shù)值。產(chǎn)生粗差的主要原因包括：(1)測量方法不當(dāng)或錯(cuò)誤。例如用普通萬用表電壓擋直接測量高內(nèi)阻電源的開路電壓，用普通萬用表交流電壓擋測量高頻交流信號(hào)的幅值等。返回本章目錄下一頁前一頁第2-50頁2.3誤差的分類

(2)測量操作疏忽和失誤。例如未按規(guī)程操作，讀錯(cuò)讀數(shù)或單位，記錄及計(jì)算錯(cuò)誤等。(3)測量條件的突然變化。例如電源電壓突然增高或降低、雷電干擾、機(jī)械沖擊等引起測量儀器示值劇烈變化等。這類變化雖然也帶有隨機(jī)性，但由于它造成的示值明顯偏離實(shí)際值，因此將其列入粗差范疇。上述對(duì)誤差按其性質(zhì)進(jìn)行的劃分具有相對(duì)性，某些情況可互相轉(zhuǎn)化。

例如，較大的系差或隨機(jī)誤差可視為粗差；當(dāng)電磁干擾引起的誤差數(shù)值較小時(shí)，可按隨機(jī)誤差取平均值的辦法加以處理，而當(dāng)其影響較大又有規(guī)律可循時(shí)，可按系統(tǒng)誤差引入修正值的辦法加以處理。返回本章目錄下一頁前一頁第2-51頁2.3誤差的分類

又如，后面將要敘述的諧振法測量時(shí)的誤差是一種系統(tǒng)誤差，但實(shí)際調(diào)諧時(shí)，即使同一個(gè)人用同等的細(xì)心程度進(jìn)行多次操作，每次調(diào)諧結(jié)果也往往不同，從而使誤差表現(xiàn)出隨機(jī)性。

最后指出，除粗差較易判斷和處理外，在任何一次測量中，系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差一般都是同時(shí)存在的，需根據(jù)各自對(duì)測量結(jié)果的影響程度，作不同的處理。

(1)系統(tǒng)誤差遠(yuǎn)大于隨機(jī)誤差的影響，此時(shí)可基本上按純粹系差處理，而忽略隨機(jī)誤差。(2)系差極小或已得到修正時(shí)，基本上可按純粹隨機(jī)誤差處理。(3)系差和隨機(jī)誤差相差不大且二者均不可忽略時(shí)，應(yīng)分別按不同的辦法來處理，然后估計(jì)其最終的綜合影響。返回本章目錄下一頁前一頁第2-52頁2.4隨機(jī)誤差分析

如前所述，多次等精度測量時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)誤差及測量值服從統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律。本節(jié)從工程應(yīng)用角度，利用概率統(tǒng)計(jì)的一些基本結(jié)論，研究隨機(jī)誤差的表征及對(duì)含有隨機(jī)誤差的測量數(shù)據(jù)的處理方法。一、測量值的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差1、

數(shù)學(xué)期望設(shè)對(duì)被測量x進(jìn)行n次等精度測量，得到n個(gè)測量值：

x1,x2,x3,…,xn由于隨機(jī)誤差的存在，這些測量值也是隨機(jī)變量。n個(gè)測量值(隨機(jī)變量)的算術(shù)平均值為(2.4-1)式中，也稱做樣本平均值。當(dāng)測量次數(shù)n→∞時(shí)，樣本平均值的極限定義為測量值的數(shù)學(xué)期望：返回本章目錄下一頁前一頁第2-53頁2.4隨機(jī)誤差分析

(2.4-2)式中，Ex也稱做總體平均值。假設(shè)上面的測量值中不含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，則第i次測量得到的測量值xi與真值A(chǔ)(前已敘述，由于真值A(chǔ)0一般無法得知，因此通常以實(shí)際值A(chǔ)代替)間的絕對(duì)誤差就等于隨機(jī)誤差，即Δxi=δi=xi－A

(2.4-3)式中，Δxi、δi分別表示絕對(duì)誤差和隨機(jī)誤差。隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值為返回本章目錄下一頁前一頁第2-54頁2.3隨機(jī)誤差分析

當(dāng)n→∞時(shí)，右式中第一項(xiàng)即為測得值的數(shù)學(xué)期望Ex，所以=Ex－A

(n→∞)

(2.4-4)由于隨機(jī)誤差具有低償性，因此當(dāng)測量次數(shù)n趨于無限大時(shí)，趨于零，即(2.4-5)即隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望等于零。由式(2.4-4)和式(2.4-5)可得Ex=A(2.4-6)即測量值的數(shù)學(xué)期望等于被測量真值A(chǔ)。返回本章目錄下一頁前一頁第2-55頁2.4隨機(jī)誤差分析

實(shí)際上不可能做到無限多次的測量，對(duì)于有限次測量，當(dāng)測量次數(shù)足夠多時(shí)近似認(rèn)為(2.4-7)(2.4-8)由上述分析我們得出，在實(shí)際測量工作中，當(dāng)基本消除系統(tǒng)誤差且剔除粗大誤差后，雖然仍有隨機(jī)誤差存在，但多次測得值的算術(shù)平均值很接近被測量真值，因此就將它作為最后的測量結(jié)果，并稱之為被測量的最佳估值或最可信賴值。返回本章目錄下一頁前一頁第2-56頁2.4隨機(jī)誤差分析

2、剩余誤差

當(dāng)進(jìn)行有限次測量時(shí)，各次測得值與算術(shù)平均值之差稱為剩余誤差或殘差，其定義為vi=xi－(2.4-9)對(duì)式(2.4-9)兩邊分別求和，有(2.4-10)式(2.4-10)表明，當(dāng)n足夠大時(shí)，殘差的代數(shù)和等于零，這一性質(zhì)可用來檢驗(yàn)計(jì)算的算術(shù)平均值是否正確。當(dāng)n→∞時(shí)，→Ex，此時(shí)殘差等于隨機(jī)誤差δi。3、方差與標(biāo)準(zhǔn)差由于隨機(jī)誤差具有抵償性，因此不能用它的算術(shù)平均值來估計(jì)測量的精密度，而應(yīng)使用方差進(jìn)行描述。方差定義為：當(dāng)n→∞時(shí)測量值與期望值之差的平方的統(tǒng)計(jì)平均值，即返回本章目錄下一頁前一頁第2-57頁2.4隨機(jī)誤差分析

(2.4-11)因?yàn)殡S機(jī)誤差δi=xi－Ex，所以(2.4-12)式中：σ2稱為測量值的樣本方差，簡稱方差。δi取平方的目的是，不論δi是正是負(fù)，其平方總是正的，相加的和不會(huì)等于零，從而可以用來描述隨機(jī)誤差的分散程度。這樣在計(jì)算過程中就不必考慮δi的符號(hào)，從而帶來了方便。求和再平均后，使個(gè)別較大的誤差在式中所占的比例也較大，使得方差對(duì)較大的隨機(jī)誤差反映較靈敏。返回本章目錄下一頁前一頁第2-58頁2.4隨機(jī)誤差分析

由于實(shí)際測量中δi都帶有單位(mV、μA等)，因而方差σ2是相應(yīng)單位的平方，使用不甚方便。為了與隨機(jī)誤差δi單位一致，將式(2.4-12)兩邊開方，取正平方根，得(2.4-13)

σ稱為測量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差或均方根誤差也稱標(biāo)準(zhǔn)偏差，簡稱標(biāo)準(zhǔn)差。σ反映了測量的精密度，σ小表示精密度高，測量值集中；σ大表示精密度低，測量值分散。有時(shí)還會(huì)用到平均誤差，其定義為(2.4-14)返回本章目錄下一頁前一頁第2-59頁2.4隨機(jī)誤差分析

二、隨機(jī)誤差的正態(tài)分布

1、正態(tài)分布隨機(jī)誤差的大小、符號(hào)雖然顯得雜亂無章，事先無法確定，但當(dāng)進(jìn)行大量等精度測量時(shí)，隨機(jī)誤差服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律。理論和測量實(shí)踐都證明:測量值xi與隨機(jī)誤差δi都按一定的概率出現(xiàn)。在大多數(shù)情況下，測量值在其期望值上出現(xiàn)的概率最大，隨著對(duì)期望值偏離的增大，出現(xiàn)的概率急劇減小。表現(xiàn)在隨機(jī)誤差上，等于零的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率最大，隨著隨機(jī)誤差絕對(duì)值的加大，出現(xiàn)的概率急劇減小。測量值和隨機(jī)誤差的這種統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律稱為正態(tài)分布，如圖2.4-1和圖2.4-2所示。返回本章目錄下一頁前一頁第2-60頁2.4隨機(jī)誤差分析

圖2.4-1

xi的正態(tài)分布曲線圖2.4-2

δi的正態(tài)分布曲線設(shè)測量值xi在x~x+dx范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率為P，它正比于dx，并與x值有關(guān)，即P{x<xi<x+dx}=φ(x)dx

(2.4-15)式中，φ(x)定義為測量值xi的分布密度函數(shù)或概率分布函數(shù)，顯然有返回本章目錄下一頁前一頁第2-61頁2.4

隨機(jī)誤差分析

P{－∞<xi<∞}=

(2.4-16)對(duì)于正態(tài)分布的xi，其概率密度函數(shù)為(2.4-17)同樣，對(duì)于正態(tài)分布的隨機(jī)誤差δi，有(2.4-18)由圖2.4-2可以看到如下特征：返回本章目錄下一頁前一頁第2-62頁2.4隨機(jī)誤差分析

(1)δ愈小，(δ)愈大，說明絕對(duì)值小的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率大；相反，絕對(duì)值大的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概論小，隨著δ的增大，(δ)很快趨于零，即超過一定界限的隨機(jī)誤差實(shí)際上幾乎不出現(xiàn)(隨機(jī)誤差的有界性)。(2)大小相等、符號(hào)相反的誤差出現(xiàn)的概率相等(隨機(jī)誤差的對(duì)稱性和抵償性)。(3)σ愈小，正態(tài)分布曲線愈尖銳，表明測得值愈集中，精密度高；反之，σ愈大，曲線愈平坦，表明測得值分散，精密度低。

正態(tài)分布又稱高斯分布，在誤差理論中占有重要的地位。由眾多相互獨(dú)立的因素的隨機(jī)微小變化所造成的隨機(jī)誤差大多遵從正態(tài)分布，例如信號(hào)源的輸出幅度、輸出頻率等都具有這一特性。返回本章目錄下一頁前一頁第2-63頁2.4隨機(jī)誤差分析

2、均勻分布在測量實(shí)踐中，還有其他形式的概率密度分布形式，其中，均勻分布是僅次于正態(tài)分布的一種重要分布，如圖2.4-3所示。圖2.4-3均勻分布的概率密度均勻分布的特點(diǎn)是：

在誤差范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相同。在電子測量中常見的有下列幾種情況：(1)儀表度盤刻度誤差。儀表分辨力決定的某一范圍內(nèi)，所有的測量值可以認(rèn)為是一個(gè)值。例如，用500V量程交流電壓表測得值是220V，實(shí)際上由于分辨不清，實(shí)際值可能是219~221V之間的任何一個(gè)值，在該范圍內(nèi)可認(rèn)為有相同的誤差概率。返回本章目錄下一頁前一頁第2-64頁2.4隨機(jī)誤差分析

(2)數(shù)字顯示儀表的最低位“±1(或幾個(gè)字)”的誤差。例如末位顯示為5，實(shí)際值可能是4~6間的任一值，也認(rèn)為在此范圍內(nèi)具有相同的誤差概率。數(shù)字式電壓表或數(shù)字式頻率計(jì)中都有這種現(xiàn)象。(3)由于舍入引起的誤差。去掉的或進(jìn)位的低位數(shù)字的概率是相同的。例如被舍掉的可能是5、4、3、2或1，被進(jìn)位的可以認(rèn)為是5、6、7、8、9中的任何一個(gè)。在圖2.4-3所示的均勻分布中，概率密度為

(2.4-19)第2-65頁返回本章目錄下一頁前一頁2.4隨機(jī)誤差分析

可以證明，式(2.4-19)所示的均勻分布的數(shù)學(xué)期望為(2.4-20)方差為(2.4-21)標(biāo)準(zhǔn)差為(2.4-22)3、極限誤差Δ

對(duì)于正態(tài)分布的隨機(jī)誤差，根據(jù)式(2.4-18)可以算出隨機(jī)誤差落在［－σ,+σ］區(qū)間的概率為(2.4-23)

P{|δi|≤σ}=返回本章目錄下一頁前一頁第2-66頁2.4

隨機(jī)誤差分析

該結(jié)果的含義可理解為：在進(jìn)行大量等精度測量時(shí)，隨機(jī)誤差δi落在［－σ,+σ］區(qū)間的測得值的數(shù)目占測量總數(shù)目的68.3%，或者說，測得值落在［Ex－σ,Ex+σ］范圍(該范圍在概率論中稱為置信區(qū)間)內(nèi)的概率(在概率論中稱為置信概率)為0.683。同樣可以求得隨機(jī)誤差落在±2σ或±3σ范圍內(nèi)的概率為(2.4-24)(2.4-25)返回本章目錄下一頁前一頁第2-67頁2.4隨機(jī)誤差分析

即當(dāng)測得值xi的置信區(qū)間為［Ex－2σ,Ex+2σ］和［Ex－3σ,Ex+3σ］時(shí)的置信概率分別為0.954和0.997。

由式(2.4-25)可見，隨機(jī)誤差絕對(duì)值大于3σ的概率(可能性)僅為0.003或0.3%，實(shí)際上出現(xiàn)的可能極小，因此定義

Δ=3σ

(2.4-26)為極限誤差，或稱最大誤差，也稱做隨機(jī)不確定度。

如果在測量次數(shù)較多的等精度測量中，出現(xiàn)了|δi|>Δ=3σ的情況，則必須予以仔細(xì)考慮，通常將|vi|≈|δi|>3σ的測量值判為壞值，應(yīng)予以剔除。

當(dāng)然，剔除壞值時(shí)應(yīng)當(dāng)仔

細(xì)核查和分析，區(qū)別是新的現(xiàn)象還是確屬壞值。返回本章目錄下一頁前一頁第2-68頁2.4隨機(jī)誤差分析

提醒：

按照|vi|>3σ來判斷壞值是在進(jìn)行大量等精度測量、測量數(shù)據(jù)屬于正態(tài)分布的前提下得出的，通常將這個(gè)原則稱為萊特準(zhǔn)則。如果測量次數(shù)較少，測量結(jié)果不屬于正態(tài)分布，則必須根據(jù)具體的概率分布和測量次數(shù)以及置信概率引用其他的判斷準(zhǔn)則。本書都假定滿足使用萊特準(zhǔn)則的條件。4、貝塞爾公式

隨機(jī)誤差δi=xi－Ex=xi－A，其中xi為i次測量值，A為真值，Ex為xi的數(shù)學(xué)期望，且在這種前提下，我們用測量值數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)差σ來表征測量值的分散程度，并有前一頁第2-69頁返回本章目錄下一頁2.4隨機(jī)誤差分析

實(shí)際上不可能做到n→∞的無限次測量。當(dāng)n為有限值時(shí)，我們用殘差vi=xi－來近似或代替真正的隨機(jī)誤差δi，用表示有限次測量時(shí)標(biāo)準(zhǔn)誤差的最佳估計(jì)值，可以證明：(2.4-27)式(2.4-27)稱為貝塞爾公式。式中，n≠1。若n=1，則

值不定，表明測量的數(shù)據(jù)不可靠。標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估計(jì)值還可以用式(2.4-28)求出：(2.4-28)這是貝塞爾公式的另一種表達(dá)形式。有時(shí)簡稱為標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值。返回本章目錄下一頁前一頁第2-70頁2.4隨機(jī)誤差分析仍以表2.3-1為例，可以算出：

5、算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差

如果在相同條件下將同一被測量分成m組，每組重復(fù)n次測量，則每組測得值都有一個(gè)平均值。由于隨機(jī)誤差的存在，這些算術(shù)平均值也不相同，而是圍繞真值有一定的分散性，即算術(shù)平均值與真值間也存在著隨機(jī)誤差。

我們用來表示算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，由概率論中方差運(yùn)算法則可以求出：(2.4-29)返回本章目錄下一頁前一頁第2-71頁2.4隨機(jī)誤差分析同樣定義=3為算術(shù)平均值的極限誤差，與真值間的誤差超過這一范圍的概率極小，因此，測量結(jié)果可以表示為x=算術(shù)平均值±算術(shù)平均值的極限誤差

=

±

=

±3

(2.4-30)在有限次測量中，以表示算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估值，有(2.4-31)因?yàn)閷?shí)際測量中n只能是有限值，所以有時(shí)就將和

稱做測量值的標(biāo)準(zhǔn)差和測量平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，從而將式(2.4-27)和式(2.4-31)直接寫成返回本章目錄前一頁第2-72頁下一頁2.4隨機(jī)誤差分析

(2.4-32)(2.4-33)二、有限次測量下測量結(jié)果的表達(dá)

由于實(shí)際上只可能做到有限次等精度測量，因而我們分別用式(2.4-32)和式(2.4-33)來計(jì)算測量值的標(biāo)準(zhǔn)差和算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，如前所述，實(shí)際上是兩種標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估值。

由式(2.4-33)可以看到，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差隨測量次數(shù)n的增大而減小，但減小速度要比n的增長慢得多，即僅靠單純?cè)黾訙y量次數(shù)來減小標(biāo)準(zhǔn)差收效不大，因而實(shí)際測量中n的取值并不很大，一般在10~20之間。返回本章目錄下一頁前一頁第2-73頁2.4隨機(jī)誤差分析

對(duì)于精密測量，常需進(jìn)行多次等精度測量，在基本消除系統(tǒng)誤差并從測量結(jié)果中剔除壞值后，測量結(jié)果的處理可按下述步驟進(jìn)行。(1)列出測量數(shù)據(jù)表。

(2)計(jì)算算術(shù)平均值、殘差vi及v2i。(3)按式(2.4-32)、式(2.4-33)計(jì)算σ和。(4)給出最終測量結(jié)果表達(dá)式：x=±3

【例1】用電壓表對(duì)某一電壓測量10次，設(shè)已消除系統(tǒng)誤差及粗大誤差，測得數(shù)據(jù)及有關(guān)計(jì)算值如表2.4-1所示，試給出最終測量結(jié)果表達(dá)式。返回本章目錄下一頁前一頁第2-74頁2.4隨機(jī)誤差分析返回本章目錄下一頁前一頁第2-75頁2.4隨機(jī)誤差分析解：

計(jì)算得到∑vi=0，表示的計(jì)算正確。進(jìn)一步計(jì)算得到因此,該電壓的最終測量結(jié)果為x=75.045±0.029(V)返回本章目錄下一頁前一頁第2-76頁2.5系統(tǒng)誤差分析一、系統(tǒng)誤差的特性剔除粗差后，測量誤差等于隨機(jī)誤差δi和系統(tǒng)誤差εi的代數(shù)和，即Δxi=εi+δi=xi－A(2.5-1)

假設(shè)進(jìn)行n次等精度測量，并設(shè)系差為恒值系差或其變化非常緩慢，即εi=ε，則Δxi的算術(shù)平均值為(2.5-2)

當(dāng)n足夠大時(shí)，由于隨機(jī)誤差的抵償性，δi的算術(shù)平均值趨于零，于是由式(2.5-2)得到(2.5-3)返回本章目錄第2-77頁下一頁前一頁2.5系統(tǒng)誤差分析

可見，當(dāng)系差與隨機(jī)誤差同時(shí)存在時(shí)，若測量次數(shù)足夠多，則各次測量絕對(duì)誤差的算術(shù)平均值等于系差ε。

這說明：1）測量結(jié)果的準(zhǔn)確度不僅與隨機(jī)誤差有關(guān)，更與系統(tǒng)誤差有關(guān)。由于系差不易被發(fā)現(xiàn)，因此更需重視。由于它不具備抵償性，因此取平均值對(duì)它無效。2）又由于系差產(chǎn)生的原因復(fù)雜，因此處理起來比隨機(jī)誤差還要困難。欲削弱或消除系差的影響，必須仔細(xì)分析其產(chǎn)生的原因，根據(jù)所研究問題的特殊規(guī)律，依靠測量者的學(xué)識(shí)、經(jīng)驗(yàn)，采取不同的處理方法。

研究系統(tǒng)誤差有利于判斷測量的正確性和可靠性，有時(shí)還能啟發(fā)人們發(fā)現(xiàn)新事物和新規(guī)律。返回本章目錄下一頁前一頁第2-78頁2.5系統(tǒng)誤差分析

歷史上雷萊曾利用不同的來源和方法制取氮?dú)?，測得氮?dú)獾钠骄芏群蜆?biāo)準(zhǔn)偏差如下：化學(xué)法提?。?2.29971,σ1=0.00041。大氣中提?。?2.31022,σ2=0.00019。平均值之差：－=0.01051。標(biāo)準(zhǔn)偏差：

σ=

=0.00045。

兩平均值之差值理論上應(yīng)為零，現(xiàn)已超過其標(biāo)準(zhǔn)偏差的20倍以上，可見兩種方法間存在著系統(tǒng)誤差。經(jīng)過進(jìn)一步深入研究，雷萊發(fā)現(xiàn)了空氣中的惰性氣體。二、系統(tǒng)誤差的判斷

實(shí)際測量中產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因多種多樣，系統(tǒng)誤差的表現(xiàn)形式也不盡相同，但仍有一些辦法可用來發(fā)現(xiàn)和判斷系統(tǒng)誤差。返回本章目錄下一頁前一頁第2-79頁2.5系統(tǒng)誤差分析1、理論分析法

凡屬由于測量方法或測量原理引入的系差，不難通過對(duì)測量方法的定性和定量分析發(fā)現(xiàn)系差，甚至計(jì)算出系差的大小。2.2節(jié)【例1】中用內(nèi)阻不高的電壓表測量高內(nèi)阻電源電壓就是一例。2、校準(zhǔn)和比對(duì)法

當(dāng)懷疑測量結(jié)果可能會(huì)有系差時(shí)，可用準(zhǔn)確度更高的測量儀器進(jìn)行重復(fù)測量以發(fā)現(xiàn)系差。測量儀器定期進(jìn)行校準(zhǔn)或檢定并在檢定證書中給出修正值，目的就是發(fā)現(xiàn)和減小使用被檢儀器進(jìn)行測量時(shí)的系統(tǒng)誤差。返回本章目錄下一頁前一頁第2-80頁2.5系統(tǒng)誤差分析

3、改變測量條件法

系差常與測量條件有關(guān)，如果能改變測量條件，比如更換測量人員、測量環(huán)境、測量方法等，則根據(jù)對(duì)分組測量數(shù)據(jù)的比較來發(fā)現(xiàn)系差。

校準(zhǔn)和比對(duì)法、改變測量條件法都屬于實(shí)驗(yàn)對(duì)比法，一般用來發(fā)現(xiàn)恒值系差。4、剩余誤差觀察法

剩余誤差觀察法是根據(jù)測量數(shù)據(jù)數(shù)列各個(gè)剩余誤差的大小、符號(hào)的變化規(guī)律，以判斷有無系差及系差類型。

為了直觀，通常將剩余誤差制成曲線，如圖2.5-1所示。返回本章目錄下一頁前一頁第2-81頁2.5系統(tǒng)誤差分析

圖2.5-1系統(tǒng)誤差的判斷其中：圖(a)表示剩余誤差vi大體上正負(fù)相同，無明顯變化規(guī)律，可以認(rèn)為不存在系差；圖(b)呈現(xiàn)線性遞增規(guī)律，可認(rèn)為存在累進(jìn)性系差；圖(c)中vi的大小和符號(hào)大體呈現(xiàn)周期性，可認(rèn)為存在周期性系差；圖(d)變化規(guī)律復(fù)雜，大體上可認(rèn)為同時(shí)存在線性遞增的累進(jìn)性系統(tǒng)誤差和周期性系統(tǒng)誤差。剩余誤差法主要用來發(fā)現(xiàn)變值系統(tǒng)誤差。返回本章目錄下一頁前一頁第2-82頁2.5

系統(tǒng)誤差分析

四、削弱系統(tǒng)誤差的典型測量技術(shù)

1、零示法零示法是在測量中，將待測量與已知標(biāo)準(zhǔn)量相比較，當(dāng)二者的效應(yīng)互相抵消時(shí)，零示器示值為零，此時(shí)已知標(biāo)準(zhǔn)量的數(shù)值就是被測量的數(shù)值。零示法原理如圖2.5-2所示圖2.5-2零示法原理圖圖中x為被測量，s為同類可調(diào)節(jié)已知標(biāo)準(zhǔn)量，P為零示器。零示器的種類有光電檢流計(jì)、電流表、電壓表、示波器、調(diào)諧指示器、耳機(jī)等。

只要零示器的靈敏度足夠高，測量的準(zhǔn)確度基本上就等于標(biāo)準(zhǔn)量的準(zhǔn)確度，而與零示器的準(zhǔn)確度無關(guān)，從而可消除由于零示器不準(zhǔn)所帶來的系統(tǒng)誤差。2.5

系統(tǒng)誤差分析

返回本章目錄下一頁前一頁第2-83頁

電位差計(jì)是采用零示法的典型例子。圖2.5-3是電位差計(jì)的原理圖。圖2.5-3電位差計(jì)原理圖其中，Es為標(biāo)準(zhǔn)電壓源；Rs為標(biāo)準(zhǔn)電阻；Ux為待測電壓；P為零示器，一般用檢流計(jì)。調(diào)Rs使IP=0，則被測電壓Ux=Us，即(2.5-4)

由式(2.5-4)可以看到，被測量Ux的數(shù)值僅與標(biāo)準(zhǔn)電壓源Es及標(biāo)準(zhǔn)電阻R2、R1有關(guān)，只要標(biāo)準(zhǔn)量的準(zhǔn)確度很高，被測量的測量準(zhǔn)確度也就很高。2.5系統(tǒng)誤差分析

返回本章目錄下一頁前一頁第2-84頁2、替代法