3.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義2/27/2025先來復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念

定義：2/27/2025練習(xí)：2/27/2025

瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s(t)對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù).是函數(shù)f(x)在以x0與x0+Δx為端點(diǎn)的區(qū)間[x0,x0+Δx](或[x0+Δx,x0])上的平均變化率,而導(dǎo)數(shù)則是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0

處的變化率,它反映了函數(shù)隨自變量變化而變化的快慢程度．如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0存在導(dǎo)數(shù),就說函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),如果極限不存在,就說函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo).2/27/2025由導(dǎo)數(shù)的意義可知,求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的基本方法是:注意:這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負(fù).

自變量的增量Δx的形式是多樣的,但不論Δx選擇哪種形式,Δy也必須選擇與之相對應(yīng)的形式.2/27/2025下面來看導(dǎo)數(shù)的幾何意義:

βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy

如圖,曲線C是函數(shù)y=f(x)的圖象,P(x0,y0)是曲線C上的任意一點(diǎn),Q(x0+Δx,y0+Δy)為P鄰近一點(diǎn),PQ為C的割線,PM//x軸,QM//y軸,β為PQ的傾斜角.斜率!2/27/2025PQoxyy=f(x)割線切線T請看當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線逐漸向點(diǎn)P接近時(shí),割線PQ繞著點(diǎn)P逐漸轉(zhuǎn)動的情況.2/27/2025我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無限接近點(diǎn)P即Δx→0時(shí),割線PQ有一個(gè)極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線.設(shè)切線的傾斜角為α,那么當(dāng)Δx→0時(shí),割線PQ的斜率,稱為曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率.即:

這個(gè)概念:①提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法;②切線斜率的本質(zhì)——函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù).2/27/2025例1:求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x.2/27/2025求切線方程的一般步驟：2/27/20252/27/20252/27/2025小結(jié)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的一般步驟2/27/2025練習(xí):如圖已知曲線,求:(1)點(diǎn)P處的切線的斜率;(2)點(diǎn)P處的切線方程.

yx-2-112-2-11234OP即點(diǎn)P處的切線的斜率等于4.

(2)在點(diǎn)P處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.2/27/2025在不致發(fā)生混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù)．什么是導(dǎo)函數(shù)?由函數(shù)f(x)在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當(dāng)時(shí),f’(x0)是一個(gè)確定的數(shù).那么,當(dāng)x變化時(shí),便是x的一個(gè)函數(shù),我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù).即:2/27/2025如何求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)?2/27/2025看一個(gè)例子:2/27/2025下面把前面知識小結(jié):a.導(dǎo)數(shù)是從眾多實(shí)際問題中抽象出來的具有相同的數(shù)學(xué)表達(dá)式的一個(gè)重要概念，要從它的幾何意義和物理意義了解認(rèn)識這一概念的實(shí)質(zhì)，學(xué)會用事物在全過程中的發(fā)展變化規(guī)律來確定它在某一時(shí)刻的狀態(tài)。b.要切實(shí)掌握求導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟：（1）求函數(shù)的增量；（2）求平均變化率；（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)。2/27/2025（3）函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在x=x0處的函數(shù)值，即。這也是求函數(shù)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。小結(jié):（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的,

就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)。（1）函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個(gè)常數(shù)，不是變數(shù)。c.弄清“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)”、“導(dǎo)函數(shù)”、“導(dǎo)數(shù)”之間的區(qū)別與聯(lián)系。2/27/2025（1）求出函數(shù)在點(diǎn)x0處的變化率，得到曲線在點(diǎn)(x0,f(x0)