2025屆高三二輪復(fù)習(xí)選填39講第12講二項式定理知識點解析知識點解析1.型步驟1：利用二項式定理展開，化簡得展開式.步驟2：令展開式次數(shù)等于題目所求次數(shù)，求.步驟3：將代入展開式得系數(shù).2.型步驟1：利用二項式定理展開，化簡得展開式.步驟2：分類討論，令展開式與的次數(shù)分別等于題目所求次數(shù)，分別求.步驟3：分別將代入展開式與得系數(shù).3.型方法一：利用二項式定理展開，令展開式次數(shù)等于題目所求次數(shù)，求與，代入展開式得系數(shù).方法二：將題目所求次數(shù)依次分配給、、，再利用二項式定理展開.4.二項展開式各項的系數(shù)和已知=1\*GB3①令，得；=2\*GB3②令，得；=3\*GB3③令，得；=4\*GB3④令，得；=5\*GB3⑤令，得；=6\*GB3⑥令，得；=7\*GB3⑦令，.5.二項式定理的性質(zhì)=1\*GB3①若已知所有二項式系數(shù)之和為，則令，此時；=2\*GB3②若已知所有奇（偶）次項二項式系數(shù)之和為，則令，此時；=3\*GB3③若已知所有系數(shù)之和為，則，求解得；=4\*GB3④若已知第項和第項和二項式系數(shù)相等，則，此時；=5\*GB3⑤若已知只有第項的二項式系數(shù)最大，則最大，此時前后各有項，；=6\*GB3⑥若已知第項的二項式系數(shù)最大，則需分為只有第項的二項式系數(shù)最大、第項和第項的二項式系數(shù)最大、第項和第項的二項式系數(shù)最大三種情況分類討論；=7\*GB3⑦，.6.最大項問題考向一：若求二項式系數(shù)的最大值，可利用二項式定理的性質(zhì)進(jìn)行解決.考向二：若求系數(shù)的最大值，可先寫出系數(shù)的表達(dá)式，利用作差法或作商法求表達(dá)式的單調(diào)性，進(jìn)而得到系數(shù)的最大值.

真題真題速遞1．（2024·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】的二項展開式為，令，解得，故所求即為.故選：A.2．（2023·北京·高考真題）在的展開式中，x的系數(shù)為（

）A． B．40 C． D．80【答案】D【詳解】的展開式的通項為，令，解得所以的展開式中的系數(shù)為.故選：D.3．（2024·天津·高考真題）在的展開式中，常數(shù)項為．【答案】20【詳解】因為的展開式的通項為，令，可得，所以常數(shù)項為.故答案為：20.4．（2024·全國甲卷·高考真題）的展開式中，各項系數(shù)中的最大值為．【答案】5【詳解】由題展開式通項公式為，且，設(shè)展開式中第項系數(shù)最大，則，，即，又，故，所以展開式中系數(shù)最大的項是第9項，且該項系數(shù)為.故答案為：5.5．（2023·天津·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為．【答案】【詳解】展開式的通項公式，令可得，，則項的系數(shù)為.故答案為：60.

實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練1．（2425高三上·北京通州·期末）在二項式的展開式中，常數(shù)項為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】的通項公式為，常數(shù)項時，則，所以常數(shù)項為，故選：D.2．（2425高三上·北京·期中）二項式的展開式中的常數(shù)項為（

）A．60 B． C．64 D．【答案】A【詳解】設(shè)二項式的展開式中的通項為，，令，可得，,故選：A.3．（2425高三上·山東濱州·期末）的展開式中的系數(shù)為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【詳解】，含的項為，所以展開式中的系數(shù)為.故選：C．4．（2425高二上·甘肅白銀·期末）若的展開式中含的系數(shù)為15，則實數(shù)（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【詳解】的展開式的通項，所以的展開式中含的系數(shù)為，令，即，解得．故選：D5．（2425高三上·山東威?！るA段練習(xí)）的展開式中，含的項的系數(shù)為（

）A．240 B． C．560 D．360【答案】B【詳解】因為展開式的通項為，當(dāng)，即時，展開式中會出現(xiàn)，此時，對于，通項為，要想得到，則需，此時，即含的項的系數(shù)為，故選：B.6．（2425高三上·河北·階段練習(xí)）關(guān)于的展開式，下列判斷正確的是（

）A．該展開式各項的系數(shù)之和為B．該展開式各項系數(shù)的絕對值之和為720C．該展開式中含的各項系數(shù)之和為D．該展開式中不含字母的各項系數(shù)之和為64【答案】C【詳解】對于A，取，得展開式各項的系數(shù)之和為1，A錯誤；對于B，展開式的通項公式為，，當(dāng)時，展開式的通項公式為，此時，的系數(shù)為，的系數(shù)為，的系數(shù)為，的系數(shù)為，的系數(shù)為，的系數(shù)為，展開式各項系數(shù)的絕對值之和為，B錯誤；對于C，展開式中含的各項系數(shù)之和為，C正確；對于D，展開式中不含字母的各項即展開式的各項，取，得展開式的各項系數(shù)和為0，D錯誤.故選：C7．（2425高三上·湖北·期中）若正整數(shù)a，b滿足等式，且，則（

）A．1 B．2 C．2022 D．2023【答案】D【詳解】∵，∴.故選：D.8．（2324高二下·江蘇南京·期中·多選）若，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．C．D．【答案】AC【詳解】令，則，故A正確，令可得，故，故B錯誤，令可得，故，故C正確，令可得，，故D錯誤，故選：AC9．（2425高三上·甘肅·期末·多選）若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】令，得，令，得，所以，所以A正確；B正確；令，則，所以，因為二項式的展開式的通項公式為，，所以，故C不正確；令，得，所以，故D正確.故選：ABD.10．（2425高三上·湖南長沙·階段練習(xí)·多選）若，則下列正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【詳解】對于A：令，則，故A錯誤；對于B：令，則，故B正確；對于C：令，則，故C正確；對于D，由，兩邊同時求導(dǎo)得，令，則，故D錯誤.故選：BC.11．（2425高三上·廣西河池·期末）被15除所得余數(shù)為．【答案】1【詳解】，而是15的倍數(shù)，所以被15除所得余數(shù)為1.故答案為：112．（2425高三上·山東臨沂·階段練習(xí)）若的二項展開式中含有常數(shù)項，則的最小值是.【答案】10【詳解】易知，顯然展開式中的第項為，若展開式中含有常數(shù)項可知有解，即，顯然當(dāng)時，取得最小值為10.故答案為：1013．（2425高三上·海南?？凇て谀┱归_式的常數(shù)項為.【答案】60【詳解】的常數(shù)項為,故答案為：14．（2025·廣東佛山·一模）的展開式中的系數(shù)是．【答案】【詳解】的展開式的通項公式為，的展開式的通項公式為，令，則的展開式中的系數(shù)為，的展開式中的系數(shù)為，故的展開式中的