第五章平面向量與復(fù)數(shù)

5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算

課程標(biāo)準(zhǔn)?有的放矢

1.通過(guò)對(duì)力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實(shí)際背景，理解平面向

量的意義和兩個(gè)向量相等的含義.

2.理解平面向量的幾何表示和基本要素.

3.借助實(shí)例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加、減運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則,

理解其幾何意義.

4.通過(guò)實(shí)例分析，掌握平面向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義.

理解兩個(gè)平面向量共線的含義

5.了解平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義.

必備知識(shí)溫故知新

【教材梳理】

1.向量的有關(guān)概念

名稱定義說(shuō)明

向量在數(shù)學(xué)中，我們把既有垃又有左包的量叫平面向量是自由向量

做向量

有向線段具有方向的線段叫做有向線段，向量可以用有向線段包含三個(gè)要素：起

有向線段表示，也可用字母Q力,C,...表示點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度

向量的模向量荏的大小稱為向量近的長(zhǎng)度（或稱向量的模是數(shù)量

模），記作畫

零向量長(zhǎng)度為止的而基叫做零向量，記作0

單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量,叫做單位向a是非零向量，則±合是單

旦lal

里位向量

平行向量（共線方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,規(guī)定：零向量與任意向量平

向量）平行向量也叫做共線向量行

相等向量長(zhǎng)度相等且方向蛔的向量叫做相等向量?jī)上蛄靠梢韵嗟纫部梢圆幌?/p>

等，但不能比較大小

相反向量與向量a長(zhǎng)度相等,方向相反的向量,叫做。的相反向量仍是o

a的相反向量，記作-a

2.向量的線性運(yùn)算

運(yùn)

定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律（性質(zhì)）

算

B

交換律：a+b=b+a,并規(guī)定：a+Q=

求兩個(gè)向

加0+a=a；結(jié)合律：a+（b+c）=

量和的運(yùn)

法（a+b）+c；\a+b\<\a\+\b\，當(dāng)且僅

算

當(dāng)a力方向相同時(shí)等號(hào)成立

平行四邊形法則

求兩個(gè)向

減

量差的運(yùn)a—b=a+(—b)

法

算

求實(shí)數(shù)aMa|=Bilal：設(shè)A,/ZGR,則

數(shù)與向量aA(jia)-；

其方向：240時(shí)，與a方向擔(dān)

乘的積的運(yùn)(A+g)a=(a+；

回；4V0時(shí)，與a方向相反;

算A(a+b)=Aa+Ab

4=0時(shí)，Aa=0

3.向量共線定理

向量a(aH0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)4,使b=/la.

【常用結(jié)論】

4,加法運(yùn)算的推廣

(1)加法運(yùn)算的推廣：溫+石羽+…+「…==瓦C.

(2)向量三角不等式：||a|-|b||<|a±b|<|a|+|b|.兩向量不共線時(shí),

可由“三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”知

“V”成立；兩向量共線時(shí)，可得出“二”成立(分同向、反向兩種不同情

形).

5.線性運(yùn)算重要結(jié)論

⑴若P為線段AB的中點(diǎn)，。為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則而=3瓦5+而).

(2)若G為△4BC的重心，則刀+林+元=0.

(3)若成=；1而+〃沆(人從為實(shí)數(shù))，則點(diǎn)力，B,C共線的充要條件

是4+〃=1.

(4)如圖，△4BC中,BO=m,CD=九,則而=」一而+2-彳？，特別地,。

m+nm+n

為BC的中點(diǎn)時(shí)(m=n),AD=^AB+^AC.

A

自主評(píng)價(jià)牛刀小試

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“J”，錯(cuò)誤的畫“X”.

（1）相等向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別相同.（義）

（2）|a|與網(wǎng)是否相等與a,b的方向無(wú)關(guān).（J）

（3）零向量與任一向量平行.（J）

（4）若向量荏與向量就是共線向量，則A,B,C,。四點(diǎn)在一條直線

上.（X）

（5）當(dāng)兩個(gè)向量a,b共線時(shí)，一定有b=/laQWR）,反之亦成立.（X）

2.（教材習(xí)題改編）下列說(shuō)法正確的是（D）

A.單位向量都相等B.若Q〃b,則|a|=|b|

C.若|a|=網(wǎng)，則a=bD.若a=Xbf^bH0）,貝

［解析I解：對(duì)于A,單位向量的模長(zhǎng)相等，但方向不一定相同，所以錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)Q〃b時(shí)，其模長(zhǎng)向與網(wǎng)不一定相等，所以錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)|a|=|b|時(shí)，不一定有。=6,因?yàn)閍=b需|a|=|可且a與。同

向，所以錯(cuò)誤；

對(duì)于D,a=。0）,則?！?，D正確.故選D.

3.【多選題】（教材題改編）對(duì)于向量Q力有下列表示，其中向量a,b一定共

線的有（ABC）

A.a=2e,b=-2eB.a=—e2=—2ex+2e2

21

C.a=—-e2,b=——e2D.a=+e2,b=2e1—2e2

［解析懈：對(duì)于A,a=-b.

對(duì)于B,Q=--b.

2

對(duì)于C,a=4b.故A,B,C符合題意.

1=27

對(duì)于D,若a=2b,0盧2不共線，則一‘無(wú)解，不合題意.

（1=一2九

故選ABC.

4.（教材題改編）在等腰梯形ABCD中，AB=2DCfE.F分別為AD,BC的中

點(diǎn)，G為EF的中點(diǎn)，則彳5=（B）

A.-AB+-ADC.-AB+-ADD.-AB+-AD

84822448

［解析］解：由題意，AG=AE+EG=-AD+-EF=-AD+DC)=

2224'z

工而+?南.故選B.

28

核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破

考點(diǎn)一平面向量的基本概念

例1

（1）下列命題正確的是（B）

A.任一向量與它的相反向量都不相等

B.長(zhǎng)度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量

C.平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量

D.若a。b,則|a|。\b\

［解析I解：零向量與它的相反向量相等，A錯(cuò)；由相等向量的定義知，B正確;

兩個(gè)向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，例如，在平

行四邊形/8C。中，隔而,=\CD\,但宿工而，故C錯(cuò)；a*

b,可能兩個(gè)向量模相等而方向不同，D錯(cuò).故選B.

（2）在△ABC中，點(diǎn)。，E分別為邊AB,AC的中點(diǎn)，則如圖所示的向量

中，相等向量有（A）

A

A

BL------------

A.1組B.2組C.3組D.4組

［解析］解：由相等向量的定義可知，題圖中只有一組向量相等，即方=瓦5.故

選A.

【點(diǎn)撥】準(zhǔn)確理解向量的概念，請(qǐng)?zhí)貏e注意以下兒點(diǎn):①。〃力，有Q與b方

向相同或相反兩種情形;②向量的模與數(shù)的絕對(duì)值有所不同，如|a|=|b|#a=

土b;③零向量的方向是任意的，并不是沒(méi)有，零向量與任意向量平行;④對(duì)于任

意非零向量強(qiáng)是與。同向的單位向量，這也是求單位向量的方法:⑤向量平

|Q|

行，其所在直線不一定平行，兩向量還可能在一條直線上;⑥只要不改變向量a

的大小和方向，可以自由平移a,平移后的向量與a相等，所以線段共線與向

量共線是有區(qū)別的，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出線段共線，而向量

的共線與向量的平行是一致的.

變式1.

（1）下列命題正確的是（D）

A.若向量a〃b,則a與b的方向相同

B.若向量a〃b,b//c,則a〃c

C.若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等

D.若向量a=b,b=ct則a=c

［解析J解：對(duì)于A,向量?！╞,不能得到。與b的方向相同，故A錯(cuò)誤;對(duì)于

B,向量,b//c,可能b=0,此時(shí)不能得到a〃c,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,

兩個(gè)單位向量相互平行，可能方向相反，此時(shí)不能得到兩個(gè)向量相等，故C錯(cuò)

誤;對(duì)于D,根據(jù)向量相等的知識(shí)可知D正確.故選D.

（2）在如圖所示的向量Q力,c,d,e中（小正方形的邊長(zhǎng)為1）,分別寫出滿

足下列關(guān)系的向量：

（I）是共線向量的有a和d,e和力;

（II）方向相反的向量有a和d,b和e；

（III）模相等的向量有摳二.

［解析］（I）a//d,e//b,故Q和d,e和b是共線向量.（II）Q和d,b和e

是方向相反的向量.（Ill）由勾股定理可得，模相等的向量有a,c,d.故填（I）

a和d,e和b；（II）a和d,b和e；（HI）a,c,d.

考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算

例2

(1)「2022年新高考I卷1在△ABC中，點(diǎn)。在邊A8上，BD=2D4.記石？=

m,CD=nt則方=(B)

A.3m—2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

［解析］解：如圖，因?yàn)槎?褊+而=刀+：麗=已？+：(而一而)=g?+

(2)如圖，AB是圓。的一條直徑，C,D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則荏=

A.AC-ADB.2AC-2ADC.AD-ACD.2AD-2AC

［解析］解：因?yàn)镃,。是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以且48=

2CD,所以說(shuō)=2CD=2(AD-AC)=2AD-2AC.故選D.

(3)［2023屆廣東高三上開(kāi)學(xué)聯(lián)考］在平行四邊形A8CZ)中，點(diǎn)E,F分別滿足

DE=^EC,RF=|FD,若荏=a,AD=bf則加=(A)

A.-a--bB.-a--bC.-a--bD.-a--b

124124124124

［解析I解：如圖，因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛BC。中，點(diǎn)E,F分別滿足屁=］沅，

BF=-FD,

3

DE

所以麗=XF-AE=(AF+FF)-+DE),BF=^BD=：(而一而)=

：(b—CL)?所以EF=[a+](b—a)]—(b+[Q)=a—[力.故選A.

【點(diǎn)撥】進(jìn)行向量的線性運(yùn)算時(shí)，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形

中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)

算及數(shù)乘運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算.

變式2.

(1)[2020年新高考II卷]在△ABC中，。是月8邊上的中點(diǎn)，貝1」而=(C)

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

[解析I解：CB=CA+AB=CA+2AD=CA+2(CD-~CA)=2CD-CA.故選

C.

(2)【多選題】如圖，在梯形A80C中，AB//CD,\AB\=2\CD\,AD^BC

相交于點(diǎn)0,則下列結(jié)論正確的是(ABC)

A.AD-AC=-ABB.AB+BC+'CD+DA=0

2

C.\0A+20D\=0D.OA=|DC+/

[解析J解:對(duì)于A,而一而=而=g何，所以A正確；

對(duì)于B,荏+正+而+石5=0正確，所以B正確；

對(duì)于Cq?△0B4,所以竺二竺=工，即歷=一工瓦5,所以

ABOA22

\6A+20D\=|aX-o7|=|o|=o,所以c正確；

對(duì)于D,耐=|礪=：(而+/)=：(而+2沆)=|DF+IDC,故D不正

確.故選ABC.

(3)如圖，在平行四邊形4BCD中，荏=4FC,BE=2EC,AE=aAB+

［解析］解：由題意可得，荏=而+而=而+：尻=前+：而=荏+

2（彳7+2瓦5）=乙而+2而，所以。=工，b=-,所以Q—b=—工.故選B.

3\4/23236

考點(diǎn)三向量共線定理及其應(yīng)用

命題角度1向量共線問(wèn)題

例3［2022屆江西南昌月考］已知向量a力不共線，若ka—b與a+2b共線，

則實(shí)數(shù)k的值為（B）

A.-1B.--C.1D.2

2

［解析］解：因?yàn)閗Q—b與g+2。共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)4,使ka—b=

A（a+2b）,

所以解得k=2=-1故選B.

【點(diǎn)撥】a//boa=Ab（bH0）是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù)，注意待

定系數(shù)法和方程思想的應(yīng)用；若a與b不共線且4a=曲，則入=〃=0.對(duì)于兩

個(gè)向量共線定理（a（a豐0）與b共線=存在唯一實(shí)數(shù);I使得。=/la）中條件

“a。?！钡睦斫猓孩佼?dāng)a=0時(shí)，a與任一向量。都是共線的；②當(dāng)a=0且

時(shí)，b=4a是不成立的，但a與b共線.因此，為了更具一般性，且使充

分性和必要性都成立，我們要求aH0.換句話說(shuō)，如果不加條件“aH0”，

“a與b共線”是“存在唯一實(shí)數(shù)2使得b=Aa”的必要不充分條件.

變式3.已知向量a,b,c中任意兩個(gè)都不共線，但Q+b與c共線，且b+c

與a共線，則向量a+b+c=Q.

［解析］解：依題意，設(shè)a+b=/nc,b+c=na,則有（a+b）—（b+c）=

me-na,即a—c=me—九a.又Q與c不共線，于是有m=-1,n=-1,

a+b=-c，a+b+c=0.故填0.

命題角度2三點(diǎn)共線問(wèn)題

例4設(shè)a,b是不共線的兩個(gè)平面向量，已知所=Q+kb,而=2a—b.若

P,Q，R三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值為(A)

A.--B.-C.-2D.2

22

［解析］解：若P,Q,R三點(diǎn)共線，則訪=/l漉=a+kb=；l(2a—b)=

［二■所以k=一(故選A.

【點(diǎn)撥】三點(diǎn)共線問(wèn)題可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共

線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得到三點(diǎn)共線.

變式4.設(shè)a力是不共線的兩個(gè)向量，已知瓦5=a+2b^BC=4a-4b,CD=

一Q+2b,則(D)

A.A,B,。三點(diǎn)共線B.B,C,。三點(diǎn)共線

C.A,B,C三點(diǎn)共線D.A,C,D三點(diǎn)共線

［解析I解：因?yàn)橥?=a+2b,BC=4a-4b,CD=-a+2b,所以n=

AB-}-BC=3a-6b=-3(-a4-2b)=-3CD,所以品，而共線，又前與

前有公共點(diǎn)C,所以4,C,。三點(diǎn)共線.故選D.

考點(diǎn)四向量共線性質(zhì)的應(yīng)用

例5

(1)已知刀=；而+亡正，若A,B,C三點(diǎn)共線，則黑為(C)

3\AC\

221

A.-B.-C.-D.2

352

［解析懈：因?yàn)橥撸?|而+tPC,且A,B,C三點(diǎn)共線，則|+￡=1,解得

t=-,即西=2而+三而，即2(百一而)=白(無(wú)一百)，即2瓦？=元，

33333

嚼H?故選。

(2)如圖，平行四邊形A8CD的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。的直線與4B,AD

所在直線分別交于點(diǎn)M,N,若而=加折，AN=nAD(m>Ofn>0),則:

的最大值為(B)

［解析］解：因?yàn)槎?：存+：而，又而=根而？，AN=nADf故可得而=

-AM+-AN,又O,M,N三點(diǎn)共線，故可得”+工=1,即租+三=2.故土=

22n22nnn

mx+-)=1，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時(shí)取得最大值.故選B.

n4\nJ

【點(diǎn)撥】①若次=a而+〃沅(，〃為實(shí)數(shù))，則4,B,C共線

o4+〃=l;②要靈活使用性質(zhì)，即要會(huì)變換系數(shù)(配湊)或拆分(組合)向

量，使之與上述形式一致;③0是任一點(diǎn).

變式5.

(1)［2023屆河南名校聯(lián)盟高三上9月聯(lián)考］已知△ABC的邊BC上有一點(diǎn)

D,滿足而=mAB+2mAC,則?n=(C)

A.1B.-C.-D.-

234

［解析］解：直接應(yīng)用性質(zhì)得m+2m=l=m=(或者：因?yàn)?。是BC上任一

點(diǎn)，所以存在唯一實(shí)數(shù);1(04/IE1),使麗=/I三，所以而一而=2近一

XAB，所以而=AAC+(1-A)AB.

因?yàn)槎?mAB+2mAC,所以曰=解得m=L故選C.

(2)點(diǎn)M為△4BC所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且M滿足：病=/而+

|(1-A)^4C,\AC\=3,4=；,若點(diǎn)M的軌跡與直線48,4c圍成封閉區(qū)域

的面積為4，則|BC|=3.

［解析懈:如圖,設(shè)而=：而，AE=1AC,則|陽(yáng)=2.

4

D,

E

B

因?yàn)镸滿足而7=iAAB+1（1-A）AC，所以前=AAD+（1-A）AE,所以

M,D,E三點(diǎn)共線，所以M點(diǎn)軌跡為直線.

因?yàn)辄c(diǎn)M的軌跡與直線48,AC圍成封閉區(qū)域的面積為苧,所以翔0|?

\AE\sinA=^-t即與皿?2sin1=苧,所以|4D|=1,即|48|=3.所以

\AB\=\AC\，所以△ABC為等邊三角形，所以|BC|=3.故填3.

課時(shí)作業(yè)知能提升

【鞏固強(qiáng)化】

1.給出下列命題，其中正確的為（B）

A.兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量一定是共線向量

B.兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小

C.Au=0（4為實(shí)數(shù)），貝I」，必為零

D.%/為實(shí)數(shù)，若4a=,則a與b共線

［解析］解：因?yàn)閮蓚€(gè)向量終點(diǎn)相同，起點(diǎn)若不在一條直線上，則不共線，命題

錯(cuò)誤；由于兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小，因此命題正確；

若4a=0（2為實(shí)數(shù)），則。也可以為0,因此命題錯(cuò)誤；若；1/為0,盡管有

=則a與b也不一定共線，即命題錯(cuò)誤.故選B.

2.己知四邊形4BC0,。為任意一點(diǎn)，若57-麗=麗一方，那么四邊形

ABCD的形狀是（B）

A.正方形B.平行四邊形C.矩形D.菱形

［解析］解：因?yàn)槌跻欢?而一沅，所以瓦5=瓦，所以B4〃C0,且84=

CD.所以四邊形48co是平行四邊形.故選B.

3.0是△4BC的邊上的中點(diǎn)，則向量而=（A）

A.-'BC-^-BAB.-BC--BAC.BC--BAD.BC+-BA

2222

［解析］解:如圖，麗=方+茄=方+［瓦5=—方+］瓦？.故選A.

C

ADB

4.己知向量a,b不共線，c=ka+b(k€R),￡￡=。一辦.如果以/d，那么

(D)

A.k=1且c與d同向B.k=1且c與d反向

C.k=—1且c與d同向D.k=—1且c與d反向

［解析］解：因?yàn)橐?d,所以存在實(shí)數(shù)2,使得c=4d,即Aa+b=2(a-b),

所咪二;,解彳峭二；’此時(shí)―d反向?故選D.

5.設(shè)a,b是非零向量，則“存在實(shí)數(shù)，使得a=4b”是“|a+b|=|a|+

\b\"的（B）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

［解析［解：存在實(shí)數(shù)4,使得Q=，＞,說(shuō)明向量a力共線，則a力向向或反

向；|a+b|=|a|+|b|,則a力同向.故“存在實(shí)數(shù)4,使得a=2b”是

(i\a+b\=|a|+\b\"的必要不充分條件.故選B.

6.向量a力,e-?，如圖所示，則Q-b=(C)

A.2e1一4。2B.-_2e?C.e1—3e?D.3e1—e?

［解析］解：如圖，連接向量a,b的終點(diǎn)并指向a的終點(diǎn)，于是得a-b,觀察圖

形得Q-b=et-3e2.

故選C.

7.［2023屆湖北“宜荊荊恩”高三起點(diǎn)考試］在△4BC中，。是BC邊上的點(diǎn),

且前二2族，設(shè)而=+y就，則％-y=-g.

［解析］解：由題意知。是BC邊上的點(diǎn)，且麗=2DC,

12

--

則而=屈+前=通+河33

所以％—y=1—|=—1.故填--.

8.如圖，在已知AOAB中，點(diǎn)。在線段08上，且00=208,延長(zhǎng)84到C,

使B4=AC.設(shè)或=a,OB=b.

B

(1)用a,b表示向量。？，反；

［答案］解：因?yàn)?為BC的中點(diǎn)，所以瓦5=1西+方)，可得灰=2罰一

OB=2a—bt

而方=OC-OD=OC--OB=2a--b.

33

(2)若向量沅與M+/c沆共線，求k的值.

［答案］由(1)得，0A+kDC=(2k+l)a-|/cb,

因?yàn)殂炫c面+誦？共線，設(shè)沅=4(耐+k反)，

即2a-b=k(2k+l)a-^Xkb,

(2=A(2/c+1),

根據(jù)平面向量基本定理，得1,

(-1=一51

解得J.

4

一里辮用】一

9.已知△ABC和點(diǎn)M滿足加+MF+MC=0.若存在實(shí)數(shù)m使得前=

m(而+正)成立，則zn=(C)

A.1B.-C.-D.i

234

［解析I解：由拓？+而+就=0可得加+加+而+拓5+近=0,故

3MA=-AB-AC,所以前=：（南+而），故m=g.故選C.

10.直角三角形ABC中，斜邊BC長(zhǎng)為2,0是平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P滿足而=

OA+^（AB+AC），貝川麗|=（A）

A.1B.2C.-D.3

2

OP=OA+^（AB+AC}^>OP=OA+AD^>OP-OA=A^^AP=ADf因

此|而|=|而|=1.故選A.

11.在△ABC中，D,E為BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足荷+荏=》而+

yAC,則工+工（D）

xy

A.有最小值4B.有最大值4C.有最大值2D.有最小值2

［解析］解：設(shè)尸為DE的中點(diǎn)，如圖所示.

則而+荏=2而，所以2萬(wàn)=%而+丫而，即而=：屈+：彳？.

又因?yàn)锽,C,F三點(diǎn)共線，且F在線段上，

所以匯>0,y>0,且:4-^=1,

所以工+工=仁+工）仔+'+f+*1+2區(qū)?f=2,當(dāng)且僅當(dāng)

xy\xy）\22/22x2y2J2x2y

X=y=1時(shí)，等號(hào)成立.故選D.

12.已知4,B,C是不在同一直線上的三點(diǎn)，0是平面4BC內(nèi)一定點(diǎn)，P是平

面A8C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若而一瓦？=A(方+：近)/6(0,+8),則點(diǎn)P的軌跡必

過(guò)△48C的(C)

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

［解析］解：設(shè)BC的中點(diǎn)為D,則而一瓦5=；［(瓦+微記)=2(而+而)，所

以Q=a而，40是△力的中線，點(diǎn)P的軌跡必過(guò)的重心.故選C.

13.【多選題】已知的面積為3,在△4BC所在的平面內(nèi)有兩點(diǎn)P,Q,

滿足05+2同=0,QA=2QBf記△4PQ的面積為S,則下列說(shuō)法正確的是

(BD)

A.PB//CQB.~RP=^BA+^BC

C.R4PC>0D.S=4

［解析］解:由瓦？+2無(wú)=0,QA=2QB,可知點(diǎn)P為4c的三等分點(diǎn)，點(diǎn)Q為

4B延長(zhǎng)線的點(diǎn)，且B為力Q的中點(diǎn)，如圖所示.

對(duì)于A,點(diǎn)P為4c的三等分點(diǎn)，點(diǎn)B為力Q的中點(diǎn)，所以P8與CQ不平行，故

前

22前12

對(duì)+-=+---+-

B,3333

正確.

對(duì)于C,,港.萬(wàn)=|港||玩|COSTT=同I?|玩|V0故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D,設(shè)△ABC的高為無(wú)，則△APQ的高為gh.S—Bc=3伏引九=3,即

\AB\h=6,則4APQ的面邠up。=1\AQ\x|h=1x2\AB\x|h=1x6=

4,故D正確.故選BD.

【拓廣探索】

14.我國(guó)人民早在幾千年前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理了，勾股定理最早的證明

是東漢數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，被后人稱為“趙爽弦

圖”.“趙爽弦圖”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的圖騰，還被用作

第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽.如圖，大正方形4BC0是由4個(gè)全等的直角三角

形和中間的小正方形組成的，若方=。,而=力，E為8F的中點(diǎn)，則族=

(A)

4224

C.-a+-bD.-a+-b

3333

［解析I解：設(shè)BE=mMAE=BF=2BE=2m,在Rt△ABE中，可得4B=

y/Sm.

如圖，過(guò)點(diǎn)E作￡7/_L48于點(diǎn)H,

AH=J（2〃i）2_（等.J=等〃i.

所以,HE=|AO.

所以荏=麗+屜=（荏+：而=（a+|b.

另解：AE=AB+~BE=AB=AB+^（AD-^AE）=AB+^AD-

-AE,移項(xiàng)整理得荏=±荏+三而=&a+?b.故選A.

45555

5.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

課程標(biāo)準(zhǔn)?有的放矢

1.理解平面向量基本定理及其意義.

2.借助平面直角坐標(biāo)系，掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示.

3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算.

4.能用坐標(biāo)表示平面向量共線的條件.

必備知識(shí)溫故知新

【教材梳理】

1?平面向量基本定理

如果ei?2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一

向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù);11，%，使Q=入。1+%e?.我們把｛0,0｝叫做

表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.

2.平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

(1)平面向量的正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)立1睡直的向量，叫做

把向量作正交分解.

(2)線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

名稱文字?jǐn)⑹龇?hào)表示

加法兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量若a=,b=(x2,y2)，則a+

相應(yīng)坐標(biāo)的和b=G]+孫+y?)

減法兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量若Q=(%i，%)，b=(x2,y2)，則a-

相應(yīng)坐標(biāo)的差b=d-一y?)

兩點(diǎn)構(gòu)成的一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向若AQi，yi)，8(應(yīng)/2)，則荏=

向量坐標(biāo)線段的終點(diǎn)的也標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)

Cx2-xA.y2-Vi)

數(shù)乘實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)若a=(x,y),ZGR,則入a=

塞原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)Qx,Ay)

(3)平面向量共線的坐標(biāo)表示：設(shè)a=,b=(x2ly2)，其中b*0,

向量Q力共線的充要條件是匕為一不當(dāng)=0-

【常用結(jié)論】

3?平面向量基本定理的推論

(1)設(shè)0=+%02/=入3。1+羽e2al，入2，義3，及WR)，且,。2不共

線，若a=b，則心=23且％=兒.

(2)若a與b不共線，且4a+=0，則2=〃=0.

(3)教材例1推論:

①已知平面上點(diǎn)。是直線I外一點(diǎn)，4,B是直線I上給定的兩點(diǎn)，則平面

內(nèi)任意一點(diǎn)P在直線，上的充要條件是：存在實(shí)數(shù)￡,使得加=（1-。65+

t麗.特別地，當(dāng)亡=三時(shí)，點(diǎn)P是線段48的中點(diǎn).

②對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)0,P,4,8三點(diǎn)共線=存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)4,

〃，使得次=AOA+iiOB，且;I+〃=1.

4.重要坐標(biāo)公式

己知△4BC的頂點(diǎn)4（%1，兒）,8（%2，丫2）。（%3，丫3），則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為

牛刀小試

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“J”，錯(cuò)誤的畫“X”.

（1）平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底.（X）

（2）若a,b不共線，且入"+4速=，則心=的，41=%?（J）

（3）平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可

被這組基底唯一表示.（V）

（4）若a=（/,%），b=（%2，為），則0〃辦的充要條件是"=-.（X）

xzyz

（5）向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo).（X）

2.設(shè)名，。2是平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量，則以下各組向量中不能作為基底的是

（C）

A.et+2e2與與+2etB.e2與-e2

C.ex—2e2與4?—2etD.—e2與+e2

［解析1解：因?yàn)樾蓿┦瞧矫鎯?nèi)不共線的兩個(gè)向量，

對(duì)于A,因?yàn)?1+20與62+2%不共線，故可以作為基底；

對(duì)于B,因?yàn)?2與02不共線，故可以作為基底；

—

對(duì)于C,因?yàn)?1—2e2=~（4c2—2。1）,故—2e2與4e2-2e1共線，不可

以作為基底；

對(duì)于D,因?yàn)镃l-?與%+。2不共線，故可以作為基底.故選c.

3.(教材練習(xí)改編)已知點(diǎn)/(一1,1),B(L2),C(-2,-l),D(3,4),則2荏+

CD=(A)

A.(9,7)B.(7,6)C.(1,5)D.(0,3)

［解析I解：依題意得四=(2,1),CD=(5,5),所以2存+CD=2(2,1)+

(5,5)=(9,7).故選A.

4.(教材題改編)已知向量a=(1,-2),b=(-l,m),若a”b,則m的值為

(C)

A.1B.-1C.2D.-2

［解析I解：由向量a=(L-2),b=(-l,zn),a//b,可得Ixm-(-2)x

(-1)=0，解得m=2.故選C.

核心考點(diǎn)

考點(diǎn)一平包向量典當(dāng)標(biāo)運(yùn)籌

例1設(shè)0(0,0),4(0,3),8(6,0),BP=-2AP,則西=(B)

A.V5B.2>/2C.2V5D.717

［解析懈：設(shè)P(%y)，則加=(%-6,y),而=(%y-3),因?yàn)辂?一2而，

所以(%-6,y)=-23y-3),

所叫;二.片解得仁;:即P(2.2)‘

則加=(2,2),\OP\=V22+22=2V2.故選B.

【點(diǎn)撥】平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧：①向量的坐標(biāo)運(yùn)算常建立在向量的線性運(yùn)

算的基礎(chǔ)之上，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)考慮坐標(biāo)運(yùn)算；②解題過(guò)

程中，常利用“向量相等，則其坐標(biāo)相同”這一原則，通過(guò)列方程(組)進(jìn)行

求解.

變式1.設(shè)點(diǎn)4(-1,2),B(2,3),C(3,-1),且而=2AB-3BCf則點(diǎn)0的坐

標(biāo)為(2.16).

［解析［解：由題意，可得而=(3,1),近=(1,-4),

所以2荏-3近=(3,14).

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(x,y),則而=(%4-l,y-2),

可得臚二4解得仁：6,

所以點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,16).故填(2,16).

考點(diǎn)二平面向量基本定理及其應(yīng)用

例2

(1)［2023屆河北衡水部分學(xué)校高三9月聯(lián)考］在△ABC中，。為BC的中

點(diǎn)，E為4c上一點(diǎn)，且荏=3前，若屁=A與+〃前，則入+2〃=(A)

A.0B.1C.-D.-1

2

［解析］解：因?yàn)?。為BC的中點(diǎn)，所以而=乂而+而).

又因?yàn)檐?3前，所以荏=，近，屁=而一而=：而一:(而+而)=

--AB+-AC，

24

則4=一,所以4+2〃=0.故選A.

(2)已知而與前的夾角為90°,|荏|=2,|波|=1,AM=AA§+

〃前Q,〃WR),且宿?前=0,則'的值為;.

［解析］解：根據(jù)題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則4(0,0),8(0,2),C(l,0),所以荏=(0,2)，AC=(1,0)，BC=(1,一2).設(shè)

M(>,y),則前一(x,y),所以獺?瓦一(陽(yáng)y)?(l,-2)一乂一2、一0,即

x=2yf又^?=XAB+pAC,即(%,y)=4(0,2)+“(1,0)=(/z,2A),所以％=

〃，y=2A,所以=1故填

【點(diǎn)撥】應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意平面向量基本定理中的基底必須是兩個(gè)

不共線的向量.選定基底后，通過(guò)向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條

件，把相關(guān)向量用這一組基底表示出來(lái).

變式2.

(1)［2023屆浙江嘉興高三上9月測(cè)試］在平行四邊形力BCD中，點(diǎn)E,尸分

別在邊BC,CD上，且屁=2EC,CF=3FD,記而=a,AD=bf則

EF=(A)

A.--a+-￡)B.-a+-bC.-a--bD.--a+-b

43434343

［解析I解：如圖，因?yàn)槠ǘ?前，CF=3FD,所以前=工廢,存=日方.因

34

為在平行四邊形4BC0中，AB=afAD=b,

所以前=正+而=三近+三麗=工而一。荏=一之。+工/>.故選A.

343443

(2)如圖，已知平面內(nèi)有三個(gè)向量07,OB,OC,其中雨與麗的夾角為

120°,OA與坑的夾角為30。，且|瓦?|=\OB\=1,\OC\=2V3,若方=

XOA+liOB^iieR),則a+〃的值為色

［解析I解：(方法一)以2瓦？和〃而為鄰邊作平行四邊形。&G41,如圖，則

OC=西+西.

RtZkOaC中，\0C\=2V3,

所以|西|=2,\B^C\=4,所以|西|=|瓦@=4,所以而=40A+

20B,即；l+〃=6.

(方法二)以。為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則4(1,0),

C(2V3cos30°,2V3sin30°),B(cosl20°,sinl20°).即4(L0),

C(3,何B(一消).

由況=AOA+fiOB=4(1,0)+〃(一'曰)=。一)當(dāng)〃)，即("孤當(dāng)〃)=

(3,75),

a-=3,(M—2,

得仁所以即2+〃=6.故填6.

果=AU=4,

考點(diǎn)三共線向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用

例3

(1)設(shè)平面向量a=(2,1),b=(x,—2),若Q〃b,則|3a+b|=(A)

A.V5B.V6C.V17D.V26

［解析］解：由題意，2x(-2)-x=0,得％=-4,所以3a+b=3(2,1)+

(一4,—2)=(2,1),所以|3a+b|=V22+l2=V5.故選A.

(2)已知梯形48co,其中,4B〃CD,且。C=2AB,三個(gè)頂點(diǎn)4(1,2),

8(2,1),C(4,2),則點(diǎn)。的坐標(biāo)為盤⑷.

［解析I解：因?yàn)樵谔菪?BCD中，DC=2AB,AB//CD,所以反=2AB.設(shè)點(diǎn)

D的坐標(biāo)為(％y),

則反=(4,2)一(3)=(4-x,2-y),

四=(2,1)-(1,2)=(1,-1),

所以(4—%,2—y)=2(1,—1),即(4—%,2—y)=(2,—2),

所以C二;二-2,解得=i故點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,4).故填(2,4)?

【點(diǎn)撥】?jī)善矫嫦蛄抗簿€的充要條件有兩種形式：①若a=(/,%)，b=

(》2，、2)，則?！╞(b工0)的充要條件是％i、2-=0；②a〃b(Q00)，當(dāng)

且僅當(dāng)唯一一個(gè)實(shí)數(shù)4,使b=4a.向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平

行，也可以由平行求參數(shù).當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比

例來(lái)求解.

變式3.

(1)已知向量a=(2,tan。)，b=(1,-1),且,WJtanQ_=(B)

A.2B.-3C.3D.-i

3

［解析］解：由題意可得tan。=-2,

則tan(：-9)==一3?故選B.

4

(2)［2023屆廣西高三上開(kāi)學(xué)考試］已知向量屈=(7,6),BC=(-3,m),

AD=(—1,2m),若4,C,。三點(diǎn)共線，則m=-1.

［解析］解：4?=AB+FC=(4,77?+6),

因?yàn)?,C,D三點(diǎn)共線，所以前〃前,則2mX4=-(m+6)，解得m=

—|.故填.

思想方法?以數(shù)輔形在平面向量中的應(yīng)用

典例如圖，已知P為邊長(zhǎng)為2的正方形ABCO所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則無(wú)?

［解析］解：建立如圖所示坐標(biāo)系,

設(shè)P(x,y)，則4(0,0)出(2,0),C(2,2),D(0,2),所以玩=(2-y2-y),而+

PD=(2-X,-y)+(—七2—y)=(2—2x,2—2y),故A??(PB+PD)=

(2-x)(2-2x)+(2-y)(2-2y)=2(x-1)2-i+2(y-1)2-i=

2(“一丁+2(丫一丁一1,所以當(dāng)*=y時(shí)，近.(而+麗)最小，且最小

值為-1.故選A.

【點(diǎn)撥】向量是溝通幾何和代數(shù)的橋梁，有垂直背景的試題中，直觀不易處理

時(shí)，?？衫孟蛄康恼环纸饨忸}，體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合思想中的“以數(shù)輔形”.如

條件中的圖形是矩形（正方形）、等腰（等邊）三角形、等腰或直角梯形等，

因?yàn)榇藭r(shí)建系確定坐標(biāo)更為容易.與圓相關(guān)的問(wèn)題則常建好系后利用圓的參數(shù)方

程求解.但是要注意靈活應(yīng)用，不可把簡(jiǎn)單問(wèn)題復(fù)雜化.

變式［2020年北京卷］已知正方形4BC0的邊長(zhǎng)為2,若點(diǎn)P滿足族=

X而+尼），則麗?麗=二1；若點(diǎn)P在正方形及其內(nèi)部自由移動(dòng)，則而?麗

的最小值為二2.

［解析］解：如圖，分別以48/O為光軸，y軸建立直角坐標(biāo)系，

y

D---------\C

A