模擬試卷一

注意：答案請(qǐng)寫在考試專用答題紙上，寫在試卷上無效。（本卷考試時(shí)間100分）

一、單項(xiàng)選擇題（每題3分，共24分）

1、已知平面乃：x-2y+z-4=0與直線L:二一—=--的位置關(guān)系是（）

31-1

（A）垂直（B）平行但直線不在平面上

（C）不平行也不垂直（D）直線在平面上

2、lim/3孫_=（）

-g+i-i

（A）不存在（B）3（C）6（D）oo

k2a2

3、函數(shù)z=/（x,y）的兩個(gè)二階泥合偏導(dǎo)數(shù)二J及!-匚在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)是這兩個(gè)二階混合

oxcyoydx

偏導(dǎo)數(shù)在D內(nèi)相等的（）條件.

（A）必要條件（B）充分條件

（C）充分必要條件（D）非充分且非必要條件

4、設(shè)=這里則〃=（）

x2+y2ia

（A）4（B）2（C）1（D）0

5、已知目士絆W必為某函數(shù)的全微分，則〃=（）

（尤+?

(A)-1(B)0(C)2(D)1

6、曲線積分￡仔？x2+y2+z2=10

),其中L:

z=1

(A)f

(B)T(D)T

7、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)E%發(fā)散，則級(jí)數(shù)（%為常數(shù)）（)

/1=1H=1

(A)發(fā)散(B)可能收斂也可能發(fā)散

(C)收斂(D)無界

8、微分方程M，"=y’的通解是()

2

(A)y=C1X+C2(B)y=x+C

1

29

(C)y=C]x+C2(D)y=—x+C

2

二、填空題（每空4分，共20分）

1、設(shè)2=6如刈，則成=o

2、交換積分次序：^dx^e-^dy=。

3、設(shè)L是任意一條光滑的閉曲線，則，2Mdr+=。

L

4、設(shè)哥級(jí)數(shù)的收斂半徑為3,則鬲級(jí)數(shù)￡＞勺（工-1）用的收斂區(qū)域?yàn)閛

n=0n=l

5、若加（%,），）辦+用乂），如=0是全微分方程，則函數(shù)河、N應(yīng)滿足o

三、計(jì)算題（每題8分，共40分）

1、求函數(shù)z=ln（x+y2）的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)。

2、計(jì)算“xydb,其中。是由拋物線/=不即直線y=x-2所圍成的閉區(qū)域。

D

3、計(jì)算，（2x-y+4）dr+（5y+3x-6"，,其中L為三頂點(diǎn)分別為（0,0）、（3,0）、（3,2）的三角形

L

正向邊界。

4、將arctanx展開成x的幕級(jí)數(shù)。

5、求微分方程（工+〉一1）公+3+47），=0的通解。

四：應(yīng)用題（16分）

求由旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2和平面z=a2所圍成的空間區(qū)域。的體積。

模擬試卷二

注意：答案請(qǐng)寫在考試專用答題紙上，寫在試卷上無效。(本卷考試時(shí)間100分)

一、單項(xiàng)選擇題(每小題2分，共20分)

1.點(diǎn)(4,一3,5)到Ox軸的距離d=().

(A))42+(—3f+52(B)J(-3)2+52(C)^/(-3)2+42(D)"+5?

2.下列方程中所示曲面是單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面的是().

(A)x2+y2+z2=\(B)x2+j2=4z

/、x~+y~

(I))-----

9

3.二元函數(shù)z=Jin°：2+arcsin212的定義域是()?

(A)1<X2+^2<4；(B)1<X2+/<4；

(C)—+(D)1v/+y2<4

4./vU0,y)=().

(A)11m\」+「，兒)一/(%,九)(B)11m,，y。)一/(%，y。)

AXTOAr->oAx

(011z空讓小M

m(D)lim一加。㈤

AsOAxAv->0At

5.已知二重積分"辦”)，=1,則圍成區(qū)域D的是().

D

(A)|x|=5，|y|=g(B)x軸，y軸及2x+y-2=0

(0x軸，工=2及)=1(D)|x+y|=l,|x-j|=l

6.設(shè)/=jj*2+y2)必由，其中。由+y2=々2所圍成，貝|J/=()

D

(A)idO\aa2rdr=7vaA(B)f2^doVr2-rdr=—TZZ/4

JoJoJoJo2

(C)f2^dOT/r^dr=—TUX,(D)[2/rdOfe，a2-adr="ZTICI4

JoJo3JoJo

X=acost,e

7.若L是上半橢圓1,取順時(shí)針方向，則f必—x力的值為().

y=/?sin/,J"

(A)0(B)—ab(C)7zxiih(D)mb

2

8

8.設(shè)。為非零常數(shù)，則當(dāng)()時(shí)，級(jí)數(shù)收斂.

n=\r

(A)\r\>\a\(B)|r|>|6t|(0|r|<l(D)|r|>1

8

9.limun=0是級(jí)數(shù)X〃“收斂的()條件.

…n-1

(A)充分(B)必要(C)充分且必要(D)既非充分又非必要

10.微分方程/+y=0的通解為.

(A)y=cosx+c(B)y=c1cosx+c2

(C)y=q+c2sinx(D)y=cxcosx+c2sinx

二、填空題(每小題3分，共15分)

1.已知平行四邊形A8CO的兩個(gè)頂點(diǎn)4(2,-3,-5),B(—l,3,2)的及它的對(duì)角線的交點(diǎn)

￡(4,-1,7),則頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為—

2.設(shè)2=3；—/一2工，b=7+2j-k,則=

3.設(shè)z=arctan—,貝U'4=__

xdxdy

4.若正項(xiàng)級(jí)數(shù)￡〃”的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的極限等于P，則當(dāng)______時(shí)，級(jí)數(shù)必收斂.

〃=1

xx2xn

5.基級(jí)數(shù)—I---1■…H-------------1■…的收斂區(qū)間是.

22-42-4…-(In)

三、計(jì)算題(每小題10分，共50分)

1.求函數(shù)f(x,y)=x3+y3-3(x2+y2)的極值點(diǎn)，并求極值.

2y2

2.計(jì)算^xe-dxdyf其中。是以(0,0),(1,1),(0,1)為頂點(diǎn)是三角形區(qū)域.

D

3.計(jì)算f———\-彳ds,其中「為曲線：x=elcost,y=e'sin3z=el(0</<2).

^x~+y~+z

X3x5x2n-l

4.利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分，求下列級(jí)數(shù)的和函數(shù)：X+—+—+--+….

352n-l

5.求微分方程滿足已給初始條件的特解：9=/戶"川皿二。.

四、應(yīng)用題與證明題(第1小題13分，第2小題12分，共25分)

1.求球面/+y2+z2=42(4>0)被平面z=(與Z=］所夾部分的面積。

2.證明曲面型=6(相>0)上任一點(diǎn)處切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成四面體的體積為常數(shù).

模擬試卷三

注意：答案請(qǐng)寫在考試專用答題紙上，寫在試卷上無效。(本卷考試時(shí)間100分)

一、單項(xiàng)選擇題(每小題2分，共20分)

TT-?f

1.若a,〃為共線的單位向量，則它們的數(shù)量積ab=C).

(A)1(B)-1(C)0(D)cos0,h)

2.設(shè)平面方程為&+乙+。=0,且B,C,OwO,則平面().

(A)平行于x軸(B)垂直于x軸(C)平行于y軸〔D)垂直于y軸

(x2+y2)sin—r-!—7，x2+y20

3.設(shè)/(x,y)=，+，則在原點(diǎn)(0,0)處/(x,y)().

0,x2+y2=0

(A)不連續(xù)(B)偏導(dǎo)數(shù)不存在(C)連續(xù)但不可微(D)可微

4.二元函數(shù)z=3(x+y)-x3__y3的極值點(diǎn)是().

(A)(1,2)(B)(1,-2)(0(1,-1)(D)(-1,-1)

5.設(shè)。為/+)，2?1,則01:dxdy=().

Dyji-X2-y2

(A)0(B)n(C)21(D)4萬

6.￡必￡*/(x,y)dy=()

(A)￡'dy^f(x9y)dx(B)￡dy^'/(x,y)dx

(0￡/(x,y)dx(D)y)cbc

7.若L是上半橢圓產(chǎn)="的￡，取順時(shí)針方向，則f的值為()

y=bsint,八

(A)0(B)—ab(C)7vcih(D)7cab

2

8.下列級(jí)數(shù)中，收斂的是().

050054

(oZ(-1尸6尸(D)X弓十三尸

n=\4〃=[43

9.若幕級(jí)數(shù)的收斂半徑為凡：0</?(<4co,箱級(jí)數(shù)的收斂半徑為R?：

〃=0rt=0

。<為<y0,則基級(jí)數(shù)￡(4+2?〃的收斂半徑至少為()

71=0

(A)/?!+R2(B)R[?R2(C)max優(yōu),&}(D)irin{凡,R2}

10.方程W=+丁+「是()

(A)齊次方程(B)一階線性方程(C)伯努利方程(D)可分離變量方程

二、填空題(每小題3分，共15分)

—?—

1.平行四邊形二邊為向量。={1,-3,1},b={2-l3},則其面積5=.

2.通過點(diǎn)(3,0,-1)且與平面3工一7y+5z-12=0平行的平面方程為.

x8z

3.設(shè)z=Intan—，則一=_______.

y辦

4.曲線工=2一,)，=上4z=/在對(duì)應(yīng)于，=1的點(diǎn)處切線方程為____________

1+//

5.設(shè)閉區(qū)域。由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)P(x,y)及Q(x,y)在。上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),

則有jPdx+Qdy：

三、計(jì)算題(每小題10分，共50分)

d3z

1.設(shè)z=xln(D),求a二2?

dxdy

2.求其中D是由所確定的閉區(qū)域.

D

3.計(jì)算［(Jr?一),)公一(x+sin?y)dy,其中L是在圓周：y=收上由點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(1,1)

的一段弧.

4.將函數(shù)y=(1+%)ln(l+X)展開成X的幕級(jí)數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間.

5.求下列微分方程的通解：cos2x^-^=tanx

dx

四、應(yīng)用題(第1小題13分，第2小題12分，共25分)

1.在平面xoy上求一點(diǎn)液它到x=0,y=0及x+2y-16=0三直線的距離平方之和為最

小.

22

2.求由曲面Z=f+2y2及Z=(f-2x-y所圍成的立體的體積.、

模擬試卷四

注意：答案請(qǐng)寫在考試專用答題紙上，寫在試卷上無效。(本卷考試時(shí)間100分)

一、單項(xiàng)選擇題(每小題2分，10小題，共20分)

1.向量力=(1,2,—2)在向量5=(6,2,3)上的投影等于()

(A)-(B)-(C)-(D)-

7344

2.曲線14/+99=36繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程是()

z=0

(A)4x2+4y2+9z2=36(B)4x2+9y2+9z2=16

(C)4x2+9y2+4z2=36(D)9x2+9y2+4z2=16

3.已知f(x,y)二匹，則f(l，D的值為()

(A)0(B)1(C)1(D)不存在

2

4.若f(x,y)在(/，為)處可微，則f(x,y)在(%,〉0)處()

(A)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在(B)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)

(0連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不一定存在(D)不一定連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不一定存在

x+yx

5.設(shè)人=edxdy,I2=^edxdy,其中區(qū)域D):-1<X<1,-2<y<2,

D2:0<x<l,0<y<2,則下列四式中正確的是()

(A)/,>4/2(B)/J=4/2(C)/,<4/2(D)4=2/2

6.設(shè)/=0(/+丫2)公辦，其中。由/+y2=/所圍成，貝MX)

D

(A)dG^a1pdp(B)『d?]："adp

?『dO^fTdp(D)[：呵:02?pdp

7.設(shè)L為：x=2,0<y<^則J4ds的值為()

J

(A)4(B)6(C)8(D)12

8.下列級(jí)數(shù)中，收斂的是()

81001001(D)￡(7)”

(A)XT⑻XlrT?X-r

n=l"n=,ynn=l1rr=I

9.察級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為()

W=1V/I

(A)(-1,1)(B)[-1,1](0(-1,1](D)[-1,1)

10.下列方程可分離變量的是()

(A)sin(xy^dx+eydy=0(B)xex+ydx+y2dy=0

(C)(1+x)j)^+y2dy=0(D)(x+y)dx+ex+ydy=0

二、填空題（每小題3分，5小題，共15分）

1.通過曲線+：+；=16,且母線平行于y軸的柱面方程是_________.

x+z-y=0

2.經(jīng)過點(diǎn)（1,0,-1）且平行于向量￡={2,-1,1}的直線方程是.

1-J-+1

3.lim--------=.

4.將二次積分/（x,y）dy改換積分次序應(yīng)為.

5.設(shè)以“、名乙都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且￡>“收斂，則當(dāng)〃=1,2,…，都有時(shí),

n=ln=ln=l

￡乙也一定收斂.

n=l

三、設(shè)函數(shù)Z=①丫求立^

（10分）

dxdy*?=3

四、計(jì)算二重積分“（V+yZ—xMb,其中D是由直線丁=1、y=2x及x=2所

D

圍成的閉區(qū)域.（10分）

五、計(jì)算曲線積分，（2y-%3Mx+（3x+2y2）辦，其中￡是由拋物線y=/和

L

y2=x所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線.（10分）

六、.求幕級(jí)數(shù)的和函數(shù).（10分）

W=1

七、求下列微分方程的通解：（/+2y2）4x-xydy=0.110分）

八、應(yīng)用題（15分）

求旋轉(zhuǎn)拋物面z=V+V被平面z=。（a>0）所截得的有限部分的面積.

模擬試卷五

注意：答案請(qǐng)寫在考試專用答題紙上，寫在試卷上無效。（本卷考試時(shí)間100分）

一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，10小題，共20分）

1.忸+可-可充分必要條件是（）

(A)a^b=0(B)ab=0(0(D)a-^<0

2.兩平面x-4y+z+5=0與2x-2y-z-3=0的夾角是()

（A）-（B）-（0-(D)-

6342

3,若=則lim/（〃，"與）-/（9-與）二（）

AyfOAy

（A）2（B）1（04⑻0

4.若fx（x0，%）和力（/，右）都存在，則/（蒼y）在（%,九）處（)

(A)連續(xù)且可微(B)連續(xù)但不一定可微

(0可微但不一定連續(xù)(D)不一定連續(xù)且不一定可微

5.下列不等式正確的是()

(A)JJ(x3+y3)da>0(B)JJ(x2+y2)da>0

，*>,ax2+y2<l

(C)fj(x+y)da>0(D)JJ(x-y)da>0

x2+y2<lx2+y2^\

6.Xf(x,y)dy=()

(A)￡Xdy^f(x,y)dx(B)CM

(c)'/(x,y)dx

7.設(shè)區(qū)域D由分段光滑曲線L所圍成，L取正向，A為區(qū)域D的面積，則（）

(A)A=-fydx-xdy(B)A=-^xdy-ydx

(C)A=—^xdy+ydx(D)A=1xdy-ydx

2LL

8.設(shè)￡>“是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，前n項(xiàng)和為則數(shù)列瓦｝有界是收斂的（）

rt=lhln=l

（A）充分條件（B）必要條件

（0充分必要條件（D）既非充分條件，也非必要條件

9.以下級(jí)數(shù)中，條件收斂的級(jí)數(shù)是（）

（A）y（-i）A—（B）￡（—1尸鼻

￡2〃+10

M=1yin'

（0￡（-1嚴(yán)（"（D）￡（—1尸:

〃=12n=l\ln

10.下列方程為線性微分方程的是（）

(A)yz=(sinx)y+ex(B)yl=xsiny+ex

(C))/=sinx+e，(D)肛'=cosy+1

二、填空題（每小題3分，5小題，共15分）

1.曲線卜2+z2-2y-2=°在工”平面上的投影方程是________.

y-z+\=0

2.經(jīng)過點(diǎn)（2,0,-1）且垂直于直線—=^=—的平面方程

1-14

是.

sin(x2y2)

3.liin

.10-2^-

)T2

4.設(shè)區(qū)域。是由X軸及半圓周一+/=1（,20）所圍成的閉區(qū)域，將二重積分

+y2）db化為極坐標(biāo)形式的二次積分應(yīng)為.

D

5.設(shè)￡冊(cè)、名乙都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且〃發(fā)散，則當(dāng)〃=1,2,…，都有時(shí),

Jisln=lnsl

￡乙也一定發(fā)散.

〃=1

三、設(shè)函數(shù)z=J,求互Z.（10分）

dxdyx=2

四、計(jì)算二重積分其中D是圓環(huán)形閉區(qū)域{*,y）|14/+y2w4}.

D

（10分）

五、計(jì)算，（一一獷）公+（y2一2孫）辦，其中L是三個(gè)頂點(diǎn)分別為（0,0）、（2,0）

L

和（2,2）的三角形區(qū)域的正向邊界.（10分）

六、求暴級(jí)數(shù)￡莖的和函數(shù).（10分）

￡2〃

七、求下列微分方程的通解：（xcos）-ysin））dx+xsin）dy=O.（10分）

XXX

八、應(yīng)用題（15分）

計(jì)算半球面z=y]a2-x2-y2被圍在柱面f+丁=以內(nèi)的部分曲面的面積.

參考答案（模擬試卷一）

一：?jiǎn)雾?xiàng)選擇題（每小題3分，共24分）

1、D；2、B；3、B；4、A；5、C；6、C；7、B；8、C.

二、填空題（每空4分，共20分）

smy

1>ecosxy[ydx+xdy）；2、Ve~dyVdx\3、0；4^（一2,4）；5、=^L

JoJ。dydx

三、計(jì)算題（每題8分，共40分）

1、解：z；=-^-；z；=2）.；...2分

x+yx+y

Z〃=———.z”=2（x—y~）.””=-2）>......6分

2>

"（x+/）（?/廠Z孫%—

2、解：畫出積分區(qū)域4分

jjxyda=J：2xydx4分

D

T：M+2）2一丹y=5^

,3分

3、解：如圖，因?yàn)镻（%,y）=2r-y+4,Q（x,y）=5y+3x-6...1分

dP,dQrdQdP

——=-l,—=3,則nt上----=4A

dydxdxdy

由格林公式得：1（2x-y+4）dr+（5y+3x-6）dy

Fdx

4、解：arctanx=2分

'°I+X2

=J；-產(chǎn)心=（T）”辦……3分

n=0n=0

82向

=Z（-1），，y—7xw[-1,1]……3分

M2/1+1

5、解：原方程即為（必:+工￡儀）+（1-1）拄+"的=0.......2分

即d{xy）+d^x-\f+dey=0……2分

dxy+—（x-1）2+ey=0........2分

原方程的通解為母+g（x-l）2+ey=C……2分

四、應(yīng)用題（16分）一

解一：用二重積分計(jì)算,所求體積可視為圓柱體：/+>2ovzv〃2的體積與以

曲面Z=/+y2為頂、以?！睘榈椎那斨w體積之差，其體積為……8分

V=加2.一JJ（彳2+,2"力

%……8分

=-Tdo[r3dr=-aA

JoJo2

解二：用三重積分計(jì)算。利用柱面坐標(biāo)，有……4分

n???12分

答案（模擬試卷二）

一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共20分）

題號(hào)12345678910

答案BCADBBCDBD

二、填空題（每小題3分，共15分）

1.(9,-5,12)2.5i+j-VIk3.—^；——4.p<15.(-oo,+oo)

(x+y)

三、計(jì)算題(每小題10分，共50分)

1.求函數(shù)/(x,y)=x3+y3-3(x2+y2)的極值點(diǎn)，并求極值.

22

解：,:fx(x,y)=3x-6x,fy(x,y)=3y-6y

.fxy)=o=o,x2=2

令<，'

fyUy)=03=。，為=2

???駐點(diǎn)為:(0,0),(0,2),(2,0),(2,2).........................................4分

又,：fxx=-6,fxy=0,fyy=6y-6.........................................6分

(1)對(duì)于駐點(diǎn)(0,0)有A=-6,8=0,C=-6,A=AC-B2=36>0且AvO

.??F(0,0)=0為極大值......................7分

(2)對(duì)于駐點(diǎn)(0,2)有A=-6,8=0,C=6,A=AC-B2=-36<0

???/(0,2)不是極值......................8分

(3)對(duì)于駐點(diǎn)(2,0)有A=6,B=0,C=-6,\=AC-B2=-36<0

???f(2,0)不是極值......................9分

(4)對(duì)于駐點(diǎn)(2,2)有A=6,3=0,C=6,A=AC-3?=36>0且A>0

???/(2,2)=-8為極小值......................10分

2.計(jì)算[^e^dxdy,其中。是以(0,0),(1,1),(0,1)為頂點(diǎn)是三角形區(qū)域.

D

解：jjx2e-dxdy=￡[￡x2e-v：dx\dy.........................................5分

]

二為二]......................10分

61e)

3.計(jì)算——---其中「為曲線：x=e'cosr,y=e'sinr,z=e'(0</<2).

Px+y+z

解：原式二p--------Z------J-------7------「J?cos>)'+("sin/)'+?)'力.....3分

J。(/cos。？+(/sin/)2+(^)2v

4.利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分，求下列級(jí)數(shù)的和函數(shù):

解：V1+x24-x4+---+X2M+???=--------,|x|<l.....................................3分

\—X

??.4+《+…+

6分

35

1,1+x/.八

=—In-----(-1<x<1)10分

21—x

5.求微分方程滿足已給初始條件的特解:

-：dy=elxe-y

dx

：.eydy=e2xdx....................3分

兩邊積分得：ey=-e2x+C....................7分

2

又丁yl.v=o=°

C=-....................9分

2

2x

.?.特解為：e>=L(e+\)....................10分

四、應(yīng)用題與證明題(第1小題13分，第2小題12分，共25分)

1.求球面/+y2+z2=a2（。>0）被平面z=（與Z=，所夾部分的面積。

解：*/z=y/a2—x1—y2fi￡）={（x,y）|~^2+y2<—d2}.........2分

???所求的面積為：S=jjJl+（z：）2+（z；）2dxdy................4分

D

利/,1#dy................8分

D?cr-x--y-

=4J/12dpde................9分

D—p-

4府..............................13分

2.證明曲面肛z=m(m>0)上任一點(diǎn)處切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成四面體的體積為常數(shù).

解：曲面型=〃z上任一點(diǎn)尸(%,先)處的法向量為：n=(yozotxozo,xoy())...3分

，2(%,打)處的切平面方程為：yozo(x-xo)+xozo(y-yo)+xoyo(z-zo)=O

z

即:上+上+丁=1且有XoNMo=m9分

3x03yo3z0

99

???所圍立體的體積為：V=-xoyozQ=-fn................12分

22

答案（模擬試卷三）

一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共20分）

題號(hào)12345678910

答案DCDDCCcBDA

二、填空題（每小題3分，共15分）

1.3J102.3x—ly+5z—4=03.---z-csc—

yy

5?帽-畀力

三、計(jì)算題（每小題10分，共50分）

d3z

1.設(shè)z=xln（肛），求2.

dxdy

解：*/—=Inxy+1,3分

dx

.d2z_1

6分

dxdyy

**dxdy2

2.求JJe'+Zcr,其中D是由所確定的閉區(qū)域.

解：JJex+yda=JJex+ydxdy+jjex+ydxdy....................1分

D百D2

Oe,dy"+［兀*”小心....................7分

=J：-e-1MK+￡（e-/I）dx....................9分

10分

3.計(jì)算，(工2一),)①:-(x+sin?y)力，其中L是在圓周：y=上由點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(1,1)

的一段弧.

X=COS/+1,,丁\冗

解：設(shè)L的參數(shù)方程為：，，從直J上2分

y=sinr2

￡(x2-y)dx一(x+sin2y)dy

22

=p1(1+cosr)-sin/]?(-sint)-[(1+cos/)+sin(sin/)]?cosr}//6分

=P(sin/+sin2/+sinrcos2r+cos2/_cos/+cos/sin2(sinr)]J/

2

-Zlsin2

+10分

64

4.將函數(shù)y=(l+x)ln(l+X)展開成X的幕級(jí)數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間.

/X3

解：?.?y=ln(l+x)+l=l+x-L+—+…+(-1)"^—+-1<X<1.......4分

23〃+1

/.y=(l+x)ln(l+x)

爐+2

=x+-———+—+???+(-l)w

2612(〃+1)(〃+2)

WIV1

=x+Y——xn+,,(-1<X<1)................10分

5+1)

5.求下列微分方程的通解：cos2x^-y=tanx

dx

解：Vy'-sec2x-y=tanx-sec2x

P(x)=-sec2x,Q(x)=tanx-sec2x....................2分

-fP(x)dvr[P(x)dx

..y=eJ[jQ(x)eidx+C]....................3分

22

[secxdxf2-Jsccxdx

=eJ[Itanxsec-xeax+C\

=^tanx[jtanxsec2xlant6tr+C]....................6分

=^,.a-nx[rJtanxe-<anxJtanx+C]

r-tan.r

=-eunv[jtanxJe+C]....................8分

=-e,ant[tanx?e-,anr-Je^dtanx+C]

=y=ce^-tanx-1.....................................10分

四、應(yīng)用題(第1小題13分，第2小題12分,共25分)

1.在平面xoy上求一點(diǎn),使它到x=0,y=0及x+2y-16=0三直線的距離平方之和為最

小.

解：設(shè)所求的點(diǎn)為P(x,y),則依據(jù)題意有：

S=d?=/+y2+*+2；16)2,(x￡R,y￡R).....................................5分

2

S[=2x+—(x+2y-16)=0

????5.....................................9分

4

5；=2y+-(x+2y-16)=0

5

???駐點(diǎn)為g,華)......................11分

由此題的實(shí)際意義可知，唯一的駐點(diǎn)一定是極小值點(diǎn)，也一定是最小值點(diǎn)。

???所求的點(diǎn)為P(*日)......................13分

22

2.求由曲面z=/+2y2及z=6-2x-y所圍成的立體的體積.

+22

解：???[z=xfo=>Z)={u,y)|x+/<2).....................................2分

z=6-2x-y"

???V=j|[(6-2x2-/)-(x2+2y2)]dxdy.....................................6分

D

=jj(6-3x2-3y之)dxdy

D

^(2-x1-y2)d