PAGE1第05講解題技巧專題：利用等腰三角形的'三線合一'作輔助線目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)一等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時(shí)，連中線】 1【考點(diǎn)二等腰三角形中底邊無中點(diǎn)時(shí)，作高】 15【考點(diǎn)三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】 29【考點(diǎn)一等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時(shí)，連中線】模型解析：等腰三角形中底邊有中點(diǎn)，連中線直接用“三線合一”，①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原則。連中線用“三線合一”，若AB=AC,BD=CD.則AD⊥BC，∠1=∠2.例題：（23-24八年級(jí)下·全國·單元測(cè)試）如圖，在中，，，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在射線、上，且，連接．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)、分別在邊和上時(shí)，連接，①證明：．②直接寫出，和的關(guān)系是：(2)探究：如圖2，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊、的延長(zhǎng)線上時(shí)，，和的關(guān)系是：(3)應(yīng)用：若，，利用上面探究得到的結(jié)論，求的面積．【答案】(1)①見解析；②(2)(3)或17【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形綜合問題、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題為三角形的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)及三角形的面積等，根據(jù)圖形構(gòu)造全等三角形求解即可。（1）①連接，即可證明；②根據(jù)，看圖即可得出結(jié)論；（2）連接，即同（1）可證明，根據(jù)看圖即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)（1），（2）中的結(jié)論，代入求解即可?！驹斀狻浚?）證明：①如圖，連接在中，，為邊的中點(diǎn)，∴,,∴,∴是等腰直角三角形，∴,∴,∵,∴,∵,∴,在和中，,∴.②∵,∴,根據(jù)圖中所示，,∵為邊的中點(diǎn)，∴.∴.（2）解：如圖，連接在中，，為邊的中點(diǎn)，∴,,∴,∴是等腰直角三角形，∴,∴,∴,即,∵,∴,∵,∴,在和中，,∴.∵,∴,根據(jù)圖中所示，,∵為邊的中點(diǎn)，∴.∴.（3）如（1）中結(jié)論，∵，，∴,,∵,∴.②如（2）中結(jié)論，∵，，∴,,∵,∴【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）如圖，根據(jù)下列已知條件，寫出你能得到的結(jié)論．（1）已知，，則；（2）已知，則；（3）已知，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】三線合一【分析】本題主要考查了三線合一定理：（1）由等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”可求解；（2）由等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”可求解；（3）由等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”可求解．【詳解】解：（1）∵，，，∴，故答案為：；（2）∵，∴，故答案為：；（3）∵，∴，故答案為：．3．（2024八年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，在中，，，為的中點(diǎn)，于點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．【答案】．【知識(shí)點(diǎn)】等邊對(duì)等角、含30度角的直角三角形、三線合一【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三線合一和含的特殊直角三角形的性質(zhì)．連接，利用等邊對(duì)等角得，在中，得，在中，得，即可求出的長(zhǎng)，熟練運(yùn)用三線合一的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，∵，，為的中點(diǎn)，∴，平分，，∴，∵，∴，∴，在中，，，∴，在中，，，∴，∴．4．（24-25八年級(jí)上·四川綿陽·期中）如圖，是等腰直角三角形，，D為斜邊的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為邊上的點(diǎn)，且．若，．求的長(zhǎng)．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、根據(jù)三線合一證明、用勾股定理解三角形【分析】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵；連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，易證，得到，得到，然后利用勾股定理，即可求出．【詳解】解：如圖，連接AD．∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．5．（24-25八年級(jí)上·福建廈門·期中）如圖，在中，，點(diǎn)P為邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)D．(1)求的度數(shù)；(2)求證：．【答案】(1)(2)見解析【知識(shí)點(diǎn)】三線合一、含30度角的直角三角形、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等邊對(duì)等角【分析】本題考查等邊對(duì)等角，三線合一，含30度角的直角三角形的性質(zhì)：（1）根據(jù)等邊對(duì)等角，利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行求解即可；（2）連接，根據(jù)三線合一，以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可?！驹斀狻浚?）解：∵，∴；（2）證明：連接，則，由（1）知，．∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，即．6．（24-25八年級(jí)上·江蘇泰州·期中）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，．(1)求證：；(2)連接，若，求的值．【答案】(1)見解析(2)40【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)三線合一證明、利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)、用勾股定理解三角形、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題主要查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)：（1）連接，根據(jù)題意可得，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，從而得到，再由，可得，可證明，即可求證；（2）在中，利用勾股定理解答，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，∴，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，即，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，在和中，∵，，，∴，∴；（2）解：由（1）得：，∴，∵，∴，在中，．7．（23-24八年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，是等腰直角三角形，，是的中點(diǎn)，，點(diǎn)，在，上．(1)求證：．(2)連接，則、、之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、等邊對(duì)等角、用勾股定理解三角形【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，證得成為解題的關(guān)鍵．（1）如圖：連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而證明，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到；由勾股定理可得，最后根據(jù)等量代換即可解答．【詳解】（1）證明：如圖：連接，∵是等腰直角三角形，，，，是的中點(diǎn)，，，，，，，，，在和中，，，．（2）解：，理由如下：，，，，，．8．（23-24七年級(jí)下·山東·期末）【探究1】如圖①，在中，，AD是中線，若，則的度數(shù)為_______；【探究2】如圖②，在和中，，，AD，分別為和的中線，若，，則的度數(shù)為______；【探究3】如圖③，在和中，，，AD，分別為和的中線，AD與交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為_______．【答案】【探究1】；【探究2】；【探究3】【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、三線合一【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和三線合一性質(zhì)，[探究1]根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，由三角形內(nèi)角和定理求得，利用“三線合一”性質(zhì)即可求得答案；[探究2]由等腰三角形的性質(zhì)和三線合一性質(zhì)得和，結(jié)合角度之間的關(guān)系即可求得答案；[探究3]由等腰三角形的性質(zhì)和三線合一性質(zhì)得和，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得和，再次結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得到即可求得答案．【詳解】解：[探究1]∵，∴，∴，∵是中線，則是的角平分線∴，故答案為：．[探究2]，，、分別為和的中線，，，，；故答案為：．[探究3]∵，，∴和是等腰三角形，∵、分別為和的中線，∴，，，∵，∴，∴，又，，∵，∴．故答案為：．9．（24-25八年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，已知銳角中，、分別是邊、上的高，M、N分別是線段、的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)連接、，猜想與之間的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)和判定、斜邊的中線等于斜邊的一半【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，（1）連接、，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，，從而得到，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等表示出，然后根據(jù)平角等于180°表示出，整理即可得解；【詳解】（1）證明：如圖，連接、，∵、分別是、邊上的高，是的中點(diǎn)，∴，，∴又∵為中點(diǎn)，∴；（2）解：在中，，∵，∴∴；10．（23-24七年級(jí)下·四川成都·階段練習(xí)）在中，，且的頂點(diǎn)E在邊上移動(dòng)，在移動(dòng)過程中，邊，分別與，交于點(diǎn)M，N，(1)當(dāng)且M與A重合時(shí)，求證：(2)當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，連接，求證：【答案】(1)見解析(2)見解析【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、全等三角形綜合問題、根據(jù)三線合一證明【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，利用三角形外角的性質(zhì)與等量代換可得，在根據(jù)全等三角形的判定即可證明；（2）連接，在上截取，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，證得，可得，，利用等量代換可得，證得，可得，即可得證．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，又∵，∴，又∵，∴；（2）證明：連接，在上截取，∵，，E為中點(diǎn)，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，即，∵，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴．【考點(diǎn)二等腰三角形中底邊無中點(diǎn)時(shí)，作高】例題：（2023上·福建廈門·八年級(jí)廈門一中校考期中）如圖，已知，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)在邊上，，若，求的長(zhǎng)．

【答案】2【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)．作交于，由等腰三角形的性質(zhì)可得，由含角的直角三角形的性質(zhì)得出，計(jì)算出即可得到答案．熟練掌握等腰三角形的三線合一以及直角三角形中所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，作交于，

，，，，在中，，，，，，，，．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·吉林·階段練習(xí)）有一個(gè)等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為，腰長(zhǎng)為12m，則底邊上的高是m．【答案】6【知識(shí)點(diǎn)】三線合一、含30度角的直角三角形、等邊對(duì)等角【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等．作于點(diǎn)D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)D，在中，，∴，又∵，∴，故答案為：6．2．（22-23九年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在中，，D為上一點(diǎn)，連接，且，則為．【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、三線合一【分析】本題考查勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．作于．設(shè)，則有：，由此構(gòu)建方程求出即可解決問題．【詳解】解：如圖，作于．，，，設(shè)，則有：，，解得：，，故答案為：．3．（24-25八年級(jí)上·重慶長(zhǎng)壽·階段練習(xí)）如圖，已知，，與的面積和為10，則的平方．【答案】76【知識(shí)點(diǎn)】三線合一、用勾股定理解三角形、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查了三角形的面積，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．作，，證明，推出，設(shè)，，利用完全平方公式求出，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作于點(diǎn)K．，，，，．，．，，又，，，設(shè)，．與的面積和為10，即，，在中，，即，，，．故答案為：76．4．（23-24九年級(jí)下·四川遂寧·階段練習(xí)）如圖，等腰三角形中，，，點(diǎn)P是底邊上一動(dòng)點(diǎn)，、分別與、兩邊垂直，垂足分別為D、E，則的值為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、三線合一【分析】本題考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，然后過A點(diǎn)作于F，連接，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)和勾股定理可得的長(zhǎng)，由圖形得代入數(shù)值，解答出即可．【詳解】如圖所示，過A點(diǎn)作于F，連接，∵在中，，，∴，∴在中，，∴，即∴故答案為：．5．（23-24八年級(jí)上·浙江寧波·期末）（1）如圖1所示，在中，，，，求證．（2）如圖2所示，在中，，，延長(zhǎng)至使，求．【答案】（1）見解析；（2）【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形綜合問題、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)和判定、根據(jù)三線合一證明【分析】（1）作交于，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，過點(diǎn)作，由題意得和，利用等角對(duì)等邊可得，利用三線合一的性質(zhì)得，結(jié)合含30°角的直角三角形性質(zhì)得，可證明，即可證得結(jié)論；（2）在上取，連接，作平分，交于，交于，根據(jù)題意得，利用等腰三角形兩腰上的高相等得，結(jié)合含角的直角三角形性質(zhì)得，由題意得，即可求得，即可求得答案．【詳解】解：（1）作交于，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，過點(diǎn)作，如圖，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，．（2）在上取，連接，作平分，交于，交于，如圖，平分，，，，，，即是等腰三角形，作，則（等腰三角形兩腰上的高相等），，，，∴，∵，∴，，∵，∴，【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、三線合一的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)和含角的直角三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線并找到對(duì)應(yīng)邊角之間的關(guān)系．6．（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·期中）如圖，點(diǎn)，在的邊上，，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如果，求的值．【答案】(1)見解析(2)4【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、根據(jù)三線合一證明【分析】（1）過作于點(diǎn)，根據(jù)三線合一可得：，，即可證明；（2）過作于點(diǎn)，易證，可得，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖過作于點(diǎn)，∵，，∴，∵，∴，∴；（2）解：過作于點(diǎn)，在和中，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．7．（24-25八年級(jí)上·遼寧大連·期中）如圖，在等邊中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，且．(1)求證：；(2)若等邊的邊長(zhǎng)為6，求的長(zhǎng)；(3)求證：；(4)如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，其它條件不變，（3）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)見解析(2)(3)見解析(4)（3）中的結(jié)論仍然成立，證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形綜合問題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、三線合一、含30度角的直角三角形【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，結(jié)合三角形的外角，即可得出結(jié)論；（2）過作于，利用等邊三角形的性質(zhì)，含度角的直角三角形的性質(zhì)，以及三線合一，進(jìn)行求解即可；（3）過作交于點(diǎn)，易得是等邊三角形，得到，證明，得到，等量代換即可得出結(jié)論；（4）過作交的延長(zhǎng)線于，證明是等邊三角形，得到，證明，得到，等量代換即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：是等邊三角形，，，，，，；（2）如圖，過作于，，．等邊的邊長(zhǎng)為6，，，，，，．．；（3）證明：如圖2，過作交于點(diǎn)．，又，是等邊三角形．，，，又，，．由（1）得，，又．．．，；（4）（3）中的結(jié)論仍然成立．證明如下：如圖，過作交的延長(zhǎng)線于，則，，是等邊三角形．，．，，，∴，，∴，．又，，，．．．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三線合一，含30度角的直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形和等邊三角形，是解題的關(guān)鍵．8．在中，，過點(diǎn)C作射線，使（點(diǎn)與點(diǎn)B在直線的異側(cè)）點(diǎn)D是射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)E在線段上，且．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，與的位置關(guān)系是，若，則的長(zhǎng)為；（用含a的式子表示）(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，連接．①用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)互相垂直；(2)①，證明見解析；②，證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、根據(jù)三線合一證明【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得與的位置關(guān)系是互相垂直，過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得到，利用證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)即可得出；（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，①過點(diǎn)A作于點(diǎn)M、于點(diǎn)N，利用證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)即可得到；②在上截取，連接，利用證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)得到，，根據(jù)角的和差得到，再利用證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)及線段和差即可得到．【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，，∵，∴，∴，

∴，即與的位置關(guān)系是互相垂直，若，過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，如圖：

則，∵，∴，在與中，∴，∴，即的長(zhǎng)為，故答案為：互相垂直；；（2）解：①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系是：，證明如下：過點(diǎn)A作于點(diǎn)M、于點(diǎn)N，如圖：

則，∴，∵，即，∴，∵，，∴，在與中，，∴，∴，∴；②用等式表示線段，，之間的量關(guān)系是：，證明如下：在上截取，連接，如圖：

∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，由①知：，即，∴，∴，∴，在和中，，∴，

∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、垂直定義等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】模型解析：：如圖，△ABC中,AD平分∠BAC,AD⊥BC,由“ASA”易得△ABD?△ACD,從而得AB=AC,BD=CD.即一邊上的高與這邊所對(duì)的角平分線重合，易得這個(gè)三角形是等腰三角形.例題：（24-25八年級(jí)上·廣東肇慶·期中）（1）【問題情境】利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點(diǎn)為上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證：．（2）【問題探究】如圖2，在（1）的條件下，過點(diǎn)作，垂足為交于點(diǎn)．若，試探究和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（3）【拓展延伸】如圖3，中，，點(diǎn)在線段上，且于交于，試探究和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）見解析；（2），見解析；（3）；見解析【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形綜合問題、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，（1）根據(jù)“”證明即可得出結(jié)論；（2）先證，再證得出，進(jìn)而即可得解；（3）如圖：過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，與相交于，證出和，然后進(jìn)行線段的等量代換即可得解；解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．【詳解】（1）在和中，，；（2），理由如下：由（1）得，，，即，，，，在和中，，，，；（3）．理由如下：如圖：過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，與相交于，，，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，在和中，，，即，．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期末）利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖，平分．點(diǎn)為上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，可證得，則，．【問題提出】（1）如圖，在中，平分，于點(diǎn)，若，，通過上述構(gòu)造全等的辦法，求的度數(shù)；【問題探究】（2）如圖，在中，，，平分，，垂足在的延長(zhǎng)線上，試探究和的數(shù)量關(guān)系；【問題解決】（3）如圖是一塊肥沃的土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進(jìn)行水稻試驗(yàn)，他進(jìn)行了如下操作：作的平分線；再過點(diǎn)作交于點(diǎn)已知米，米，面積為平方米，求劃出的的面積．【答案】（）；（），理由見解析；（）．【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、三角形的外角的定義及性質(zhì)、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等邊對(duì)等角【分析】（）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由已知可知，再由等腰三角形的在得，然后由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；（）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，證，得，再由已知可知，即可得出結(jié)論；（）延長(zhǎng)交于，由已知可知，，則再由三角形面積關(guān)系得，即可得出結(jié)論．【詳解】（）如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由已知可知，∴，∵，∴；（），證明如下：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，由