第二節(jié)一、對(duì)坐標(biāo)曲線積分概念與性質(zhì)二、對(duì)坐標(biāo)曲線積分計(jì)算法三、兩類曲線積分之間聯(lián)絡(luò)對(duì)坐標(biāo)曲線積分第1頁一、對(duì)坐標(biāo)曲線積分概念與性質(zhì)1.

引例:

變力沿曲線所作功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受以下變力作用在xOy

平面內(nèi)從點(diǎn)A沿光滑曲線弧L

移動(dòng)到點(diǎn)B,求移“大化小”“常代變”“近似和”“取極限”變力沿直線所作功處理方法:動(dòng)過程中變力所作功W.第2頁1)“大化小”.2)“常代變”把L分成n個(gè)小弧段,有向小弧段近似代替,則有所做功為F

沿則用有向線段上任取一點(diǎn)在第3頁3)“近似和”4)“取極限”(其中

為n

個(gè)小弧段最大長度)第4頁2.定義.設(shè)

L

為xOy

平面內(nèi)從A到B一條有向光滑弧,若對(duì)L任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn),都存在,在有向曲線弧L上對(duì)坐標(biāo)曲線積分,則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分.其中,L

稱為積分弧段或積分曲線.稱為被積函數(shù),在L上定義了一個(gè)向量函數(shù)極限記作第5頁若

為空間曲線弧,記稱為對(duì)x曲線積分;稱為對(duì)y曲線積分.若記,對(duì)坐標(biāo)曲線積分也可寫作類似地,第6頁3.性質(zhì)(1)若L

可分成k條有向光滑曲線弧(2)用L－

表示L反向弧,則則

定積分是第二類曲線積分特例.說明:

對(duì)坐標(biāo)曲線積分必須注意積分弧段方向

!第7頁二、對(duì)坐標(biāo)曲線積分計(jì)算法定理:在有向光滑弧L上有定義且L參數(shù)方程為則曲線積分連續(xù),存在,且有第8頁尤其是,假如L

方程為則對(duì)空間光滑曲線弧

:類似有定理第9頁例1.計(jì)算其中L為沿拋物線解法1

取x

為參數(shù),則解法2取y

為參數(shù),則從點(diǎn)一段.第10頁例2.計(jì)算其中L為(1)半徑為a

圓心在原點(diǎn)上半圓周,方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向;(2)從點(diǎn)A(a,0)沿x軸到點(diǎn)

B(–a,0).解:(1)取L參數(shù)方程為(2)取L方程為則則第11頁例3.計(jì)算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式第12頁例4.設(shè)在力場作用下,質(zhì)點(diǎn)由沿

移動(dòng)到解:(1)(2)

參數(shù)方程為試求力場對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作功.其中

為第13頁例5.求其中從

z

軸正向看為順時(shí)針方向.解:取

參數(shù)方程第14頁三、兩類曲線積分之間聯(lián)絡(luò)設(shè)有向光滑弧L

以弧長為參數(shù)

參數(shù)方程為已知L切向量方向余弦為則兩類曲線積分有以下聯(lián)絡(luò)第15頁類似地,在空間曲線

上兩類曲線積分聯(lián)絡(luò)是第16頁例7.