試題PAGE1試題深圳亞迪學(xué)校2024-2025學(xué)年第一學(xué)期九年級開學(xué)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題3分，共24分）1.如圖，四個圖標(biāo)分別是劍橋大學(xué)、北京大學(xué)、浙江大學(xué)和復(fù)旦大學(xué)的校徽的重要組成部分，其中是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）A. B.C. D.2.如果，那么下列結(jié)論錯誤的是（）A B. C. D.3.若分式的值為零，則x的值是（）A.1 B. C. D.24.如圖，在矩形中，點B的坐標(biāo)是，則的長是（）A.2 B. C.4 D.5.關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（）A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根C.只有一個實數(shù)根 D.沒有實數(shù)根6.為貫徹落實習(xí)近平總書記關(guān)于黃河流域生態(tài)保護(hù)和高質(zhì)量發(fā)展的重要講話精神，某學(xué)校組織初一、初二兩個年級學(xué)生到黃河岸邊開展植樹造林活動．已知初一植樹棵與初二植樹棵所用的時間相同，兩個年級平均每小時共植樹棵．求初一年級平均每小時植樹多少棵？設(shè)初一年級平均每小時植樹棵，則下面所列方程中正確的是（）A. B. C. D.7.如圖，菱形中，點是BD的中點，，垂足為，交BD于點，，，則的長為（）

A. B. C. D.8.如圖，正方形的邊長為，點P在邊BC上，，連接，，過的中點E作，分別交，，于點M，F(xiàn)，N，則線段的長為（）A. B.2 C. D.二、填空題（每題3分，共15分）9.已知，，則______．10.如果關(guān)于x的一元二次方程的一個解是，那么代數(shù)式的值是________．11.如圖，直線y1=k1x與直線y2=k2x+b交于點A(1，2)．當(dāng)y1<y2時，x的取值范圍是________．12.如圖，?ABCD中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，點E為線段AD上一動點，過點E作EF⊥AC于點F，連接BE，點G為BE中點，連接GF．當(dāng)GF最小時，線段AF的值為_____．13.如圖所示，在等腰直角中，，O是斜邊AB的中點，M為下方一點，且，，，則______．三、解答題（共61分）14.解下列方程：（1）；（2）．15.在如圖所示正方形網(wǎng)格中，A，B，C，D，E都在格點上．（1）判斷四邊形不是平行四邊形，請說明理由．（2）以為一邊作一個菱形，要求另外兩個頂點也在格點上．16.如圖是一張長，寬的長方形紙板，將紙板四個角各剪去一個同樣的邊長為的正方形，然后將四周突出部分折起，可制成一個無蓋的長方體紙盒．（1）無蓋方盒盒底的長為，寬為（用含x的式子表示）．（2）若要制作一個底面積是的無蓋的長方體紙盒，求剪去的正方形邊長．17.如圖，四邊形的對角線與BD相交于點O，，，有下列條件：①，②．（1）請從以上①②中任選1個作為條件，求證：四邊形是矩形；（2）在（1）的條件下，若，，求四邊形的面積．18.為拓寬銷售渠道，助力鄉(xiāng)村振興，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)幫助農(nóng)戶將、兩個品種的柑橘加工包裝成禮盒再出售．已知每件品種柑橘禮盒比品種柑橘禮盒的售價少元．且出售件品種柑橘禮盒和件品種柑橘禮盒的總價共元．（1）求、兩種柑橘禮盒每件售價分別為多少元？（2）已知加工、兩種柑橘禮盒每件的成本分別為50元、元、該鄉(xiāng)鎮(zhèn)計劃在某農(nóng)產(chǎn)品展銷活動中售出、兩種柑橘禮盒共1000盒，且品種柑橘禮盒售出的數(shù)量不超過品種柑橘禮盒數(shù)量的倍．總成本不超過元．要使農(nóng)戶收益最大，該鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)怎樣安排、兩種柑橘禮盒的銷售方案，并求出農(nóng)戶在這次農(nóng)產(chǎn)品展銷活動中的最大收益為多少元？19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，動點P在圖象上運(yùn)動（不與O重合），連接．過點P作，交x軸于點Q，連接．（1）求線段長度的取值范圍；_______．（2）點P運(yùn)動過程中，當(dāng)為等腰三角形時，求點Q的坐標(biāo)．（3）將直線繞著點Q順時針旋轉(zhuǎn)，得到的直線恰好經(jīng)過點A，請直接寫出點Q的坐標(biāo)_______．20.折紙是富有趣味和有意義的一項活動，折紙中隱含著數(shù)學(xué)知識與思想方法，深入探究折紙，可以用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)，用數(shù)學(xué)的思維思考，用數(shù)學(xué)的語言描述，提升同學(xué)們的綜合素養(yǎng)．（1）如圖1，一張等邊三角形紙片，點D是邊上一動點，將沿翻折，點C的對應(yīng)點為E．若，，求線段的長；（2）如圖2，一張正方形紙片，，M是的中點，將四邊形沿翻折得到四邊形，連接，求線段的長；（3）如圖3，一張菱形紙片，，點E是邊上一動點，將沿翻折得到，射線與直線交于點M，若，，請直接寫出線段的長．

深圳亞迪學(xué)校2024-2025學(xué)年第一學(xué)期九年級開學(xué)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題3分，共24分）1.如圖，四個圖標(biāo)分別是劍橋大學(xué)、北京大學(xué)、浙江大學(xué)和復(fù)旦大學(xué)的?；盏闹匾M成部分，其中是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．如果一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后能夠與自身重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【詳解】解：A、看起來像軸對稱圖形但不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，符合題意；C、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；D、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；故選：B．2.如果，那么下列結(jié)論錯誤的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐項判斷即可求解．【詳解】解：A、如果，那么，故本選項正確，不符合題意；B、如果，那么，故本選項正確，不符合題意；C、如果，那么，故本選項正確，不符合題意；D、如果，那么，故本選項錯誤，符合題意；故選：D【點睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．3.若分式的值為零，則x的值是（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】直接利用分式的值為零，則分子為零，分母不為零，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵分式的值為零，∴|x|?1＝0，x＋1≠0，解得：x＝1．故選：A．【點睛】此題主要考查了分式的值為零，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．4.如圖，在矩形中，點B的坐標(biāo)是，則的長是（）A.2 B. C.4 D.【答案】D【解析】【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形、勾股定理、矩形的性質(zhì)，連接，利用勾股定理求得，再根據(jù)矩形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：連接，∵點B的坐標(biāo)是，∴，∵四邊形是矩形，∴，故選：D．5.關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（）A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根C.只有一個實數(shù)根 D.沒有實數(shù)根【答案】A【解析】【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，熟知一元二次方程中，當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程根的判別式解答即可．【詳解】解：△，方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．6.為貫徹落實習(xí)近平總書記關(guān)于黃河流域生態(tài)保護(hù)和高質(zhì)量發(fā)展的重要講話精神，某學(xué)校組織初一、初二兩個年級學(xué)生到黃河岸邊開展植樹造林活動．已知初一植樹棵與初二植樹棵所用的時間相同，兩個年級平均每小時共植樹棵．求初一年級平均每小時植樹多少棵？設(shè)初一年級平均每小時植樹棵，則下面所列方程中正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)初一植樹棵與初二植樹棵所用的時間相同列式求解即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，，故選：D；【點睛】本題考查分式方程解決應(yīng)用問題，解題關(guān)鍵是找到等量關(guān)系式．7.如圖，菱形中，點是BD的中點，，垂足為，交BD于點，，，則的長為（）

A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了解三角形，菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半．先由菱形性質(zhì)可得對角線與交于點O，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得，進(jìn)而由菱形對角線求出邊長，由解三角形即可求出，．【詳解】解：連接，如圖，∵菱形中，與互相垂直平分，又∵點是BD的中點，∴A、O、C三點在同一直線上，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴∴，∴，∴，∴，故選：C．8.如圖，正方形的邊長為，點P在邊BC上，，連接，，過的中點E作，分別交，，于點M，F(xiàn)，N，則線段的長為（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定，垂直平分線的性質(zhì)．過作交于，交與，連接，，通過證明得到是等腰直角三角形即可．【詳解】∵正方形的邊長為，∴，，，，，如圖，過作交于，交與，連接，，則四邊形是矩形，垂直平分，，，∴，，，四邊形是矩形，，，在與中，，，，∵，∴，即，∴是等腰直角三角形，，故選：B．二、填空題（每題3分，共15分）9.已知，，則______．【答案】6【解析】【分析】本題考查了提公因式法分解因式，提取公因式后整理成已知條件的形式是解題的關(guān)鍵，然后整體代值計算．只要把所求代數(shù)式因式分解成已知的形式，然后把已知代入即可．【詳解】解：，，．故答案為：6．10.如果關(guān)于x的一元二次方程的一個解是，那么代數(shù)式的值是________．【答案】【解析】【分析】本題考查一元二次方程的解．根據(jù)關(guān)于的一元二次方程的一個解是，可以得到的值，然后將所求式子變形，再將的值整體代入，即可解答本題．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程的一個解是，，，．故答案為：．11.如圖，直線y1=k1x與直線y2=k2x+b交于點A(1，2)．當(dāng)y1<y2時，x的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】據(jù)函數(shù)圖象，寫出直線y1=k1x在直線y2=k2x+b2的下方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．【詳解】解：如圖，已知直線y1=k1x與直線y2=k2x+b2相交于點A（1，2），則當(dāng)y1＜y2時，x的取值范圍為x＜1．故答案是：x＜1．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y=kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．12.如圖，?ABCD中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，點E為線段AD上一動點，過點E作EF⊥AC于點F，連接BE，點G為BE中點，連接GF．當(dāng)GF最小時，線段AF的值為_____．【答案】【解析】【分析】如圖，延長到點H，使，連接，可求，進(jìn)一步證是等邊三角形，，為定角，由中位線定理，；當(dāng)時，最小，此時，，勾股定理求得，中，．【詳解】如圖，延長到點H，使，連接，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，當(dāng)時，最小，此時，，，解得，中，，，故答案為：．【點睛】本題考查中位線的性質(zhì)，垂線段最短，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)，等腰直角三角形，勾股定理，添加輔助線構(gòu)造中位線，尋求線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．13.如圖所示，在等腰直角中，，O是斜邊AB的中點，M為下方一點，且，，，則______．【答案】【解析】【分析】本題考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識并正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．過點作，截取，連接，，并延長交于點，交于點，連結(jié)，先證明，得出，，然后在證是等腰直角三角形，求出的長，再根據(jù)勾股定理求出的長．【詳解】解：如圖，過點作，截取，連接，，并延長交于點，交于點，連結(jié)，則，在等腰直角中，是斜邊的中點，，，，∴，，，，，是等腰直角三角形，，，，是等腰直角三角形，，故答案為：．三、解答題（共61分）14.解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1）（2），【解析】分析】（1）利用因式分解法可得；（2）利用直接開方法求解可得．【小問1詳解】解：，，或，解得：；【小問2詳解】解：或解得：，．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．15.在如圖所示正方形網(wǎng)格中，A，B，C，D，E都在格點上．（1）判斷四邊形是不是平行四邊形，請說明理由．（2）以為一邊作一個菱形，要求另外兩個頂點也在格點上．【答案】（1）四邊形是平行四邊形．理由見解析（2）圖見解析【解析】【分析】（1）利用勾股定理求得，，再根據(jù)平行四邊形的判定即可得證；（2）根據(jù)菱形的判定作圖即可．【小問1詳解】解：四邊形是平行四邊形．理由如下：∵，，∴四邊形是平行四邊形；【小問2詳解】解：如圖，菱形或菱形，畫出任一種即可．【點睛】本題考查網(wǎng)格作圖、平行四邊形的判定、勾股定理、菱形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定和菱形的判定是解題的關(guān)鍵．16.如圖是一張長，寬的長方形紙板，將紙板四個角各剪去一個同樣的邊長為的正方形，然后將四周突出部分折起，可制成一個無蓋的長方體紙盒．（1）無蓋方盒盒底的長為，寬為（用含x的式子表示）．（2）若要制作一個底面積是的無蓋的長方體紙盒，求剪去的正方形邊長．【答案】（1），（2）【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，正確理解題意是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖形即可求解；（2）求解方程即可．【小問1詳解】由圖示可知：無蓋方盒盒底的長為，寬為故答案為：，【小問2詳解】由題意得：，整理得：，解得：（不符合題意，舍去）∴剪去的正方形邊長為17.如圖，四邊形的對角線與BD相交于點O，，，有下列條件：①，②．（1）請從以上①②中任選1個作為條件，求證：四邊形矩形；（2）在（1）的條件下，若，，求四邊形的面積．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查矩形的判定，勾股定理，掌握矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)條件利用兩組對邊平行或一組對邊平行且相等證明是平行四邊形，然后根據(jù)矩形的定義得到結(jié)論即可；（2）利用勾股定理得到長，然后利用矩形的面積公式計算即可．【小問1詳解】選擇①，證明：∵，，∴是平行四邊形，又∵，∴四邊形是矩形；選擇②，證明：∵，，∴是平行四邊形，又∵，∴四邊形是矩形；【小問2詳解】解：∵，∴，∴矩形的面積為．18.為拓寬銷售渠道，助力鄉(xiāng)村振興，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)幫助農(nóng)戶將、兩個品種的柑橘加工包裝成禮盒再出售．已知每件品種柑橘禮盒比品種柑橘禮盒的售價少元．且出售件品種柑橘禮盒和件品種柑橘禮盒的總價共元．（1）求、兩種柑橘禮盒每件售價分別為多少元？（2）已知加工、兩種柑橘禮盒每件的成本分別為50元、元、該鄉(xiāng)鎮(zhèn)計劃在某農(nóng)產(chǎn)品展銷活動中售出、兩種柑橘禮盒共1000盒，且品種柑橘禮盒售出的數(shù)量不超過品種柑橘禮盒數(shù)量的倍．總成本不超過元．要使農(nóng)戶收益最大，該鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)怎樣安排、兩種柑橘禮盒的銷售方案，并求出農(nóng)戶在這次農(nóng)產(chǎn)品展銷活動中的最大收益為多少元？【答案】（1）、兩種柑橘禮盒每件的售價分別為元（2）要使農(nóng)戶收益最大，銷售方案為售出種柑橘禮盒盒，售出種柑橘禮盒盒，最大收益為元【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用；（1）設(shè)、兩種柑橘禮盒每件的售價分別為a元，b元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，即可求解；（2）設(shè)售出種柑橘禮盒盒，則售出種柑橘禮盒盒，根據(jù)題意列出不等式組，得出，設(shè)收益為元，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【小問1詳解】解：設(shè)、兩種柑橘禮盒每件的售價分別為元，b元，根據(jù)題意得，解得：答：、兩種柑橘禮盒每件的售價分別為元；【小問2詳解】解：設(shè)售出種柑橘禮盒盒，則售出種柑橘禮盒盒，根據(jù)題意得，解得：設(shè)收益為元，根據(jù)題意得，∵∴隨的增大而減小，∴當(dāng)時，取得最大值，最大值為（元）∴售出種柑橘禮盒（盒）答：要使農(nóng)戶收益最大，銷售方案為售出種柑橘禮盒盒，售出種柑橘禮盒盒，最大收益為元．19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，動點P在的圖象上運(yùn)動（不與O重合），連接．過點P作，交x軸于點Q，連接．（1）求線段長度的取值范圍；_______．（2）點P運(yùn)動的過程中，當(dāng)為等腰三角形時，求點Q的坐標(biāo)．（3）將直線繞著點Q順時針旋轉(zhuǎn)，得到的直線恰好經(jīng)過點A，請直接寫出點Q的坐標(biāo)_______．【答案】（1），（2）點的坐標(biāo)為，或，或，或．（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)垂線段最短求出最小值，作，由知：，，由三角函數(shù)得出的值即為的最小值；分點在第三象限、點在第一象限的線段上、點在第一象限的線段的延長線上三種情況，用四點共圓求解；（2）分、、三種情況，分別求解即可；（3）將直線繞著點Q順時針旋轉(zhuǎn)，得到的直線恰好經(jīng)過點A，且，則旋轉(zhuǎn)后的直線為直線，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)過程中點到直線和的距離相等求解即可．【小問1詳解】如圖1，作，則，作于，點在的圖象上，∴設(shè)，則，，∴，，∴，，∴，，；①當(dāng)點在第三象限時，如圖2，由，可得、、、四點共圓，，②當(dāng)點在第一象限的線段上時，如圖3由可得、、、四點共圓，又此時，，③當(dāng)點在第一象限的線段的延長線上時，由可得，、、、四點共圓，，綜上所述，；故答案為：；【小問2詳解】設(shè)，，∴，，，∵，∴，∴，整理得，，，，①時，則，∴整理得：解得，，，②當(dāng)時，則，∴整理得：解得：或當(dāng)時，點與重合，舍去，，③當(dāng)時，∴整理得：解得：點的坐標(biāo)為，或，或，或．【小問3詳解】將直線繞著點Q順時針旋轉(zhuǎn)，得到的直線恰好經(jīng)過點A，且，∴旋轉(zhuǎn)后的直線為直線，此時到直線和的距離相等，直線交軸于，作于，于，則，∴，∴，，設(shè)，則，∵，∴，解得∵，∴，∵∴，解得，∴∴，故答案為：．【點睛】本題為一次函數(shù)綜合題，涉及到四點共圓，等腰三角形性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理等知識點．20.折紙是富有趣味和有意