概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1精選ppt一、事件的相互獨(dú)立性二、幾個(gè)重要定理三、例題講解四、小結(jié)第六節(jié)獨(dú)立性2精選ppt一、事件的相互獨(dú)立性那么有1.引例3精選ppt2.定義設(shè)A，B為兩事件，如果具有等式

P〔AB〕=P〔A〕P〔B〕

那么稱A,B為相互獨(dú)立的事件,又稱A,B相互獨(dú)立。

事件A與事件B相互獨(dú)立,是指事件A的發(fā)生與事件B發(fā)生的概率無關(guān).說明

4精選ppt兩事件相互獨(dú)立兩事件互斥例如由此可見兩事件相互獨(dú)立，但兩事件不互斥.(1)兩事件相互獨(dú)立與兩事件互斥的關(guān)系.注意：5精選ppt由此可見兩事件互斥但不獨(dú)立.結(jié)論：假設(shè)P(A)>0，P(B)>0，那么A，B相互獨(dú)立，與A，B互不相容不能同時(shí)成立。因?yàn)榧僭O(shè)它們同時(shí)成立，那么P(AB)=P()=P(A)P(B)=0，與P(A)>0，P(B)>0矛盾。6精選ppt定理設(shè)A，B是兩事件，且P(A)>0(P(B)>0)，那么A，B相互獨(dú)立的充要條件是P(B|A)=P(B)(P(A|B)=P(A))。(2)在實(shí)際應(yīng)用中,對(duì)于事件的獨(dú)立性,我們常常不是根據(jù)定義來判斷,而是根據(jù)一事件的發(fā)生是否影響另一事件的發(fā)生來判斷.7精選ppt舉例甲、乙兩射手在同樣條件下進(jìn)行射擊,他們擊中目標(biāo)的概率分別是0.9和0.8.如果兩個(gè)射手同時(shí)發(fā)射,問擊中目標(biāo)的概率是多少？解：設(shè)A={甲擊中目標(biāo)},B={乙擊中目標(biāo)},

又C=A∪B,且A,B相互獨(dú)立,故

P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.9+0.8-0.9×0.8=0.98.8精選ppt3.三事件兩兩相互獨(dú)立的概念一般的，當(dāng)事件A，B，C兩兩獨(dú)立時(shí)，等式P〔ABC〕=P(A)P(B)P(C)不一定成立，例如：例1:假設(shè)我們擲兩次骰子,并定義事件A,B,C如下A=“第一次擲得偶數(shù)〞，B=“第二次擲得奇數(shù)〞，

C=“兩次都擲得奇數(shù)或偶數(shù)〞。證明A,B,C兩兩獨(dú)立,但不滿足等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)9精選ppt證明:容易算出

P(A)=1/2,P(B)=1/2,P(C)=1/2,

P(AB)=1/4,P(AC)=1/4,P(BC)=1/4,P(ABC)=0.

從而具有等式

P(AB)=P(A)P(B);P(AC)=P(A)P(C);

P(BC)=P(B)P(C)所以A,B,C兩兩獨(dú)立.容易看出P(ABC)=0≠P(A)P(B)P(C)10精選ppt注意三個(gè)事件相互獨(dú)立三個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立4.三事件相互獨(dú)立的概念11精選pptn個(gè)事件相互獨(dú)立n個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立推廣注意，在上式中包含的等式總數(shù)為12精選ppt證明二、幾個(gè)重要定理13精選ppt證明14精選ppt又因?yàn)锳、B相互獨(dú)立,所以有15精選ppt

〔1〕假設(shè)A1,A2,…,An相互獨(dú)立,那么其中任意m個(gè)事件

Ai1,Ai2,…,Aim相互獨(dú)立〔2≤m≤n〕。〔2〕假設(shè)A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么把其中任意m個(gè)事

件換成各自的對(duì)立事件后構(gòu)成的n個(gè)事件也相互

獨(dú)立〔1≤m≤n〕。注：假設(shè)事件是獨(dú)立的，那么許多概率的計(jì)算可以大為簡化，例如假設(shè)A1，…，An相互獨(dú)立，那么A1，A2，…，An同時(shí)發(fā)生的概率為P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)。

性質(zhì)16精選ppt例2:假設(shè)A1，A2，…，An相互獨(dú)立，且P〔Ai〕=Pi，i=1,2,…,n,求A1,…,An這n個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率。解:所求的概率17精選ppt例1設(shè)每一名機(jī)槍射擊手擊落飛機(jī)的概率都是0.2,若10名機(jī)槍射擊手同時(shí)向一架飛機(jī)射擊,問擊落飛機(jī)的概率是多少?射擊問題解事件B為“擊落飛機(jī)〞,三、例題講解18精選ppt19精選ppt例2甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊,三人擊中的概率分別為0.4,0.5,0.7,飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.2,被兩人擊中而被擊落的概率為0.6,假設(shè)三人都擊中飛機(jī)必定被擊落,求飛機(jī)被擊落的概率.解A,B,C

分別表示甲、乙、丙擊中飛機(jī),20精選ppt21精選ppt因而,由全概率公式得飛機(jī)被擊落的概率為22精選ppt例3設(shè)某型號(hào)的高射炮,每門炮發(fā)射一發(fā)炮彈擊中飛機(jī)的概率為0.6.現(xiàn)假設(shè)干門炮同時(shí)發(fā)射一發(fā)炮彈,問欲以99%的把握擊中來犯的一架敵機(jī),至少需配置幾門高射炮？解：設(shè)n是以99%的概率擊中敵機(jī)需配置的高射炮門數(shù),

記Ai

={第i門炮擊中敵機(jī)}(i=1,2,…,n),A={敵機(jī)被擊中}.注意到A=A

1∪A

2∪…∪An

,

A1,A2,…,An

相互獨(dú)立,于是要求n,使得

P(A)=P(A1∪A2∪…∪An

)≥99%.23精選ppt例4設(shè)某型號(hào)的高射炮,每門炮發(fā)射一發(fā)炮彈擊中飛機(jī)的概率為0.6.現(xiàn)假設(shè)干門炮同時(shí)發(fā)射一發(fā)炮彈,問欲以99%的把握擊中來犯的一架敵機(jī),至少需配置幾門高射炮？24精選ppt注意：這是關(guān)于系統(tǒng)可靠性的問題,其特點(diǎn)是確定元器件的個(gè)數(shù),常用公式：25精選ppt例4：電路系統(tǒng)的可靠性。如圖，兩個(gè)系統(tǒng)各有2n個(gè)元件，其中系統(tǒng)Ⅰ先串聯(lián)后并聯(lián)，系統(tǒng)Ⅱ先并聯(lián)后串聯(lián)。求兩個(gè)系統(tǒng)的可靠性大小并加以比較。A1B1A2B2BnAn系統(tǒng)Ⅰ

A1B1A2B2AnBn系統(tǒng)Ⅱ

解：Ⅰ.設(shè)Ai表示第i個(gè)元件正常工作。

P(A)：Ⅰ中第一條支路的可靠性，

P(B)：Ⅰ中第二條支路的可靠性。

所以A∪B表示Ⅰ正常工作〔并聯(lián)〕26精選ppt同理

P(B)=rn

所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=rn+rn-r2n=RⅠⅡ

第一對(duì)元件可靠性

P(A1∪B1)=P(A1)+P(B1)-P(A1)P(B1)=2r-r2，第二對(duì)元件的可靠性

P(A2∪B2)=P(A2)+P(B2)-P(A2)P(B2)=2r-r2,

……

27精選ppt第n對(duì)元件的可靠性

P(An∪Bn)=P(An)+P(Bn)-P(An)P(Bn)=2r-r2于是RⅡ=[r(2-r)]n=rn(2-r)nⅢ比較大小.比較2-rn與(2-r)n的大小。

顯然:2-rn<(2-r)n.28精選ppt例5要驗(yàn)收一批〔100件〕樂器，驗(yàn)收方案如下：自該樂器中隨機(jī)地取3件測(cè)試〔設(shè)3件樂器的測(cè)試是相互獨(dú)立的〕，如果3件中至少有一件在測(cè)試中被認(rèn)為音色不純，那么這批樂器就被拒絕接收，設(shè)一件音色不純的樂器經(jīng)測(cè)試查出為音色不純的概率為0.95；而一件音色純的樂器經(jīng)測(cè)試被誤認(rèn)為不純的概率為0.01，如果這100件樂器中恰有4件是音樂不純的，試問這批樂器被接收的概率是多少？29精選ppt解:設(shè)以Hi〔i=0,1,2,3〕表示事件“隨機(jī)地取出3件樂器，其中恰有i件音色不純〞，H0,H1,H2,H3是的一個(gè)劃分，以A表示事件“這批樂器被接收〞。一件音色純的樂器，經(jīng)測(cè)試被認(rèn)為音色純的概率為0.99，而一件音色不純的樂器，經(jīng)測(cè)試被誤認(rèn)為音色純的概率為0.05，并且3件樂器的測(cè)試是相互獨(dú)立的，于是有30精選ppt31精選ppt伯恩斯坦反例例6

一個(gè)均勻的正四面體，其第一面染成紅色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同時(shí)染上紅、白、黑三種顏色.現(xiàn)以A，B，C分別記投一次四面體出現(xiàn)紅、白、黑顏色朝下的事件，問A，B，C是否相互獨(dú)立?解由于在四面體中紅、白、黑分別出現(xiàn)兩面，

因此又由題意知32精選ppt故有因此A，B，C不相互獨(dú)立.那么三事件A,B,C兩兩獨(dú)立.由于33精選ppt例7同時(shí)拋擲一對(duì)骰子,共拋兩次,求兩次所得點(diǎn)數(shù)分別為7與11的概率.解事件A為兩次所得點(diǎn)數(shù)分別為7與11.那么有34精選ppt解“甲甲〞,“乙甲甲〞,“甲乙甲〞;35精選ppt“甲乙甲甲〞,“乙甲甲甲〞,“甲甲乙甲〞;36精選ppt37精選ppt四、小結(jié)38精選ppt第六節(jié)貝努利概型考慮一個(gè)簡單的試驗(yàn)，它只出現(xiàn)〔或只考慮〕兩種結(jié)果，如某產(chǎn)品抽樣檢查得合格或不合格，射擊命中或不命中，試驗(yàn)成功或失敗，發(fā)報(bào)機(jī)發(fā)出信號(hào)0或1。擲一次骰子點(diǎn)數(shù)“6〞是否出現(xiàn)。一般地，試驗(yàn)E只有兩種結(jié)果A和A,而P(A)=p〔0<p<1〕,那么稱E為貝努利試驗(yàn)或貝努利概型。39精選ppt設(shè)E為貝努利試驗(yàn)，將E獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次，〔這里的“重復(fù)〞是指試驗(yàn)E在相同條件下進(jìn)行〕而且每次試驗(yàn)中結(jié)果A出現(xiàn)的概率保持不變。我們把這n次獨(dú)立重復(fù)貝努利試驗(yàn)總起來看成一個(gè)試驗(yàn)，稱這種試驗(yàn)叫n重貝努利試驗(yàn)?？傊?，n重貝努利試驗(yàn)有下面四個(gè)約定：〔1〕每次試驗(yàn)的結(jié)果只能是兩個(gè)可能的結(jié)果A和A之一,〔2〕A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率p保持不變,〔3〕各次試驗(yàn)相互獨(dú)立,〔4〕共進(jìn)行了n次.40精選ppt定理

對(duì)于n重貝努利試驗(yàn)，事件A在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)k次的概率為證明：由n重貝努利試驗(yàn)，事件A在某指定的k次試

驗(yàn)中出現(xiàn)，而在其余n-k次試中不出現(xiàn)的概率為

pk(1-p)n-k=pkqn-k

由于恰好是展開式(p+q)n中的第k項(xiàng)，

所以常稱為二項(xiàng)概率公式。

而在n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生k次共有Cnk種不同情況，對(duì)應(yīng)的事件為互不相容的，由概率的可加性41精選ppt例1:對(duì)某種藥物的療效進(jìn)行研究，假定這藥對(duì)某種疾病的治愈率0.8，現(xiàn)有10個(gè)人患此病的病人同時(shí)服用此藥，求其中至少有6個(gè)病人治愈的概率。解:假定“病人服用此藥后治愈〞為事件A，按題意

P(A)=0.8，

10人同時(shí)服用此藥可視為10重貝努利試驗(yàn)，因

而由公式所求的概率為

42精選ppt例2:某廠生產(chǎn)的過程中出現(xiàn)次品的概率為0.003，求在該廠生產(chǎn)