三角函數(shù)的運(yùn)算（八大考點(diǎn)）考點(diǎn)01：任意角與弧度制區(qū)域角的求解遵循以下步驟：第一步：在直角坐標(biāo)系中標(biāo)明兩個(gè)邊界（在范圍內(nèi)）第二步：按逆時(shí)針方向標(biāo)出陰影部分區(qū)域第三步：若陰影區(qū)域?yàn)樯渚€即： 若陰影區(qū)域?yàn)橹本€即：區(qū)域角是指終邊在坐標(biāo)系內(nèi)的某個(gè)區(qū)域內(nèi)的角。表示區(qū)域角的3個(gè)步驟：（1）先逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止的邊界；（2）按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的范圍內(nèi)的角和，寫出最簡區(qū)間，其中；（3）起始、終止邊界對應(yīng)角，再加上的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合。由已知角確定其他角所在象限1、已知角終邊所在的象限，確定其他角終邊所在的象限，常依據(jù)角的范圍得到所求角的范圍，在直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可。注意不要漏掉終邊在坐標(biāo)軸上的情況。2、已知角所在象限，要確定所在象限，由兩種方法：（1）用不等式表示出角的范圍，然后對的取值分情況討論：被整除，被除余1，被除余2，……，從而得出結(jié)論；（2）作出各個(gè)象限的從原點(diǎn)出發(fā)的等分射線，它們與坐標(biāo)軸把周角分成個(gè)區(qū)域。從軸的非負(fù)半軸起，按逆時(shí)針方向把這個(gè)區(qū)域以此循環(huán)標(biāo)上1,2,3,4。標(biāo)號為幾的區(qū)域，就是根據(jù)角終邊所在的象限確定角的終邊所在的區(qū)域。如此，角所在的區(qū)域就可以由標(biāo)號區(qū)域所在的象限直觀的看出。3、已知角終邊所在的象限，確定終邊所在的象限，可依據(jù)角的范圍求出的范圍，在直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可。注意不要漏掉的終邊在坐標(biāo)軸上的情況。1．在平面直角坐標(biāo)系中，若角與的終邊關(guān)于軸對稱，則角與之間的關(guān)系滿足（

）.A． B．C． D．2．下列與角終邊相同的角為（

）A． B． C． D．3．已知某圓錐的側(cè)面積為，其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的底面半徑為（

）A． B． C． D．4．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則是（

）A．第一或第三象限角 B．第二或第四象限角C．第一或第二象限角 D．第三或第四象限角5．若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為2的扇形，則該圓錐的高為（

）A． B． C． D．6．《九章算術(shù)》中《方田》一章給出了計(jì)算弧田面積的公式：弧田面積（弦矢+矢）.弧田（如圖）由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為，且，半徑等于的弧田，按照上述給出的面積公式計(jì)算弧田面積是（

）A． B． C． D．7．已知圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為直角，半徑為2的扇形，則此圓錐內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．8．下列命題為真命題的是（

）A．若向量，，滿足，，則B．化成弧度數(shù)為C．若向量，滿足，，，則D．在時(shí)刻，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的銳角為，則9．折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良“善行”、它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1甲）圖乙是一個(gè)圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個(gè)圓弧，所在圓的半徑分別是3和12，且，則該圓臺的（

）A．高為 B．上底面積和下底面積之比為1:4C．表面積為 D．體積為10．如圖，正方體的棱長為1，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在底面內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動，若//平面，則的軌跡長度為B．在底面內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動，若直線與平面所成角為，則的軌跡長度為C．以為球心，為半徑作球，則球面與正方體的表面的交線長為D．以為球心，為半徑作球，則球面與正方體的表面的交線長為考點(diǎn)02：扇形的弧長及面積公式弧長公式：（是圓心角的弧度數(shù)），扇形面積公式：．11．機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形給人以對稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形．若線段AB長為1，則萊洛三角形的周長是（

）A． B． C． D．12．如圖，半徑為1的圓與軸相切于原點(diǎn)，切點(diǎn)處有一個(gè)標(biāo)志，該圓沿軸向右滾動，當(dāng)圓滾動到與出發(fā)位置時(shí)的圓相外切時(shí)(記此時(shí)圓心為)，標(biāo)志位于點(diǎn)處，圓與軸相切于點(diǎn)，則陰影部分的面積是（

）

A．2 B．1 C． D．13．圓被直線所截得劣弧的弧長為（

）A． B． C． D．14．如圖，圓O內(nèi)接一個(gè)圓心角為60°的扇形，在圓O內(nèi)任取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在扇形內(nèi)的概率為（

）A． B． C． D．15．石雕、木雕、磚雕被稱為建筑三雕．源遠(yuǎn)流長的磚雕，由東周瓦當(dāng)、漢代畫像磚等發(fā)展而來，明清時(shí)代進(jìn)入巔峰，形成北京、天津、山西、徽州、廣東、臨夏以及蘇派磚雕七大主要流派．蘇派磚雕被稱為“南方之秀”，是南方地區(qū)磚雕藝術(shù)的典型代表，被廣泛運(yùn)用到墻壁、門窗、檐廊、欄檻等建筑中．圖（1）是一個(gè)梅花磚雕，其正面是一個(gè)扇環(huán)，如圖（2），磚雕厚度為6cm，，，所對的圓心角為直角，則該梅花磚雕的表面積為（單位：）（

）

A． B． C． D．16．下列說法正確的有（

）A．若角的終邊過點(diǎn)，則角的集合是B．若，則C．若，則D．若扇形的周長為，圓心角為，則此扇形的半徑是17．如圖，設(shè)單位圓與軸的正半軸相交于點(diǎn)，以軸的非負(fù)半軸為始邊作銳角，，，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)，，．若，則下列說法正確的是（

）

A．當(dāng)時(shí)，的面積為B．當(dāng)時(shí)，扇形的面積為C．當(dāng)時(shí)，四邊形的面積為D．四邊形面積的最大值為118．已知正四面體的棱長為，以其中一個(gè)頂點(diǎn)為球心作半徑為3的球，則所得球面與該正四面體表面的交線長之和為．19．下圖是第19屆杭州亞運(yùn)會的會徽“潮涌”，可將其視為一扇環(huán)ABCD．已知，．且該扇環(huán)的面積為，若將該扇環(huán)作為側(cè)面圍成一圓臺，則該圓臺的體積為.20．已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓的直徑的長度為4，母線長為.(1)如圖1所示，若為圓上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，當(dāng)三角形的面積達(dá)到最大時(shí)，求二面角的大?。?2)如圖2所示，若，點(diǎn)在線段上，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，在圓錐的側(cè)面沿著最短路徑爬行一周到達(dá)點(diǎn)，在運(yùn)動過程中，上坡的路程是下坡路程的3倍，求線段的長度.（上坡表示距離頂點(diǎn)越來越近）考點(diǎn)03：同角三角函數(shù)基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（1）平方關(guān)系：（2）商數(shù)關(guān)系：（1）這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對“任意”一個(gè)角（使得函數(shù)有意義的前提下）關(guān)系式都成立；（2）是的簡寫；（3）在應(yīng)用平方關(guān)系時(shí)，常用到平方根，算術(shù)平方根和絕對值的概念，應(yīng)注意“”的選取．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形1、平方關(guān)系式的變形：，，2、商數(shù)關(guān)系式的變形，．誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式一：，，，其中誘導(dǎo)公式二：，，，其中誘導(dǎo)公式三：，，，其中誘導(dǎo)公式四：，．，，其中（1）要化的角的形式為（為常整數(shù)）；（2）記憶方法：“奇變偶不變，符號看象限”；（3）必須對一些特殊角的三角函數(shù)值熟記，做到“見角知值，見值知角”；（4）；．誘導(dǎo)公式的記憶誘導(dǎo)公式一～三可用口訣“函數(shù)名不變，符號看象限”記憶，其中“函數(shù)名不變”是指等式兩邊的三角函數(shù)同名，“符號”是指等號右邊是正號還是負(fù)號，“看象限”是指把看成銳角時(shí)原三角函數(shù)值的符號．誘導(dǎo)公式四可用口訣“函數(shù)名改變，符號看象限”記憶，“函數(shù)名改變”是指正弦變余弦，余弦變正弦，為了記憶方便，我們稱之為函數(shù)名變?yōu)樵瘮?shù)的余名三角函數(shù)．“符號看象限”同上．因?yàn)槿我庖粋€(gè)角都可以表示為的形式，所以這六組誘導(dǎo)公式也可以統(tǒng)一用“口訣”：“奇變偶不變，符號看象限”，意思是說角（為常整數(shù)）的三角函數(shù)值：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變，然后的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)視為銳角時(shí)原函數(shù)值的符號．用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡時(shí)的注意點(diǎn)：（1）化簡后項(xiàng)數(shù)盡可能的少；（2）函數(shù)的種類盡可能的少；（3）分母不含三角函數(shù)的符號；（4）能求值的一定要求值；（5）含有較高次數(shù)的三角函數(shù)式，多用因式分解、約分等．利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟用誘導(dǎo)公式可將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，其一般方向是：①化負(fù)角的三角函數(shù)為正角的三角函數(shù)；②化為內(nèi)的三角函數(shù)；③化為銳角的三角函數(shù)．可概括為：“負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了”（有時(shí)也直接化到銳角求值）．21．已知，則（

）A． B． C． D．22．已知，則（

）A． B． C． D．23．若角滿足，則（

）A． B． C． D．24．已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．725．已知，則角所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限26．若，則（

）A． B． C． D．27．已知，則．28．已知，則.29．已知，且，則．30．已知，且．(1)求，的值；(2)求的值．考點(diǎn)04：齊次式化簡求值①減少不同名的三角函數(shù)，或化切為弦，或化弦為切，如涉及、的齊次分式問題，常采用分子分母同除以（），這樣可以將被求式化為關(guān)于的式子，從而完成被求式的求值；②在求形如的值，注意將分母的1化為代入，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式后再求值．31．若，則的值為（

）A． B． C． D．32．已知，則（

）A． B． C． D．33．已知，若，則（

）A． B． C． D．34．若，則.35．已知，則.36．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊在直線上．(1)求的值；(2)若，，，求的值．37．已知，，求下列各式的值．(1)；(2)．38．已知.求：(1)的值；(2)求的值.39．已知，(1)若，求的值；(2)若，且，求的值．40．已知，．(1)求和的值；(2)若向量，，證明：．考點(diǎn)05：和、差、倍角的化簡與求值兩角和的余弦函數(shù)兩角和的余弦公式：（1）公式中的都是任意角；（2）和差角的余弦公式不能按分配律展開，即；（3）公式使用時(shí)不僅要會正用，還要能夠逆用，在很多時(shí)候，逆用更能簡捷地處理問題．（4）記憶：公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)積，連接符號與等號左邊角的連接符號相反．兩角和與差的正弦函數(shù)兩角和正弦函數(shù)在公式中用代替，就得到：兩角差的正弦函數(shù)（1）公式中的都是任意角；（2）與和差角的余弦公式一樣，公式對分配律不成立，即；（3）和差公式是誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式是和差公式的特例．如當(dāng)或中有一個(gè)角是的整數(shù)倍時(shí)，通常使用誘導(dǎo)公式較為方便；（4）使用公式時(shí)，不僅要會正用，還要能夠逆用公式，如化簡時(shí)，不要將和展開，而應(yīng)采用整體思想，進(jìn)行如下變形：這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的整體原則．（5）記憶時(shí)要與兩角和與差的余弦公式區(qū)別開來，兩角和與差的余弦公式的等號右端的兩部分為同名三角函數(shù)積，連接符號與等號左邊角的連接符號相反；兩角和與差的正弦公式的等號右端的兩部分為異名三角函數(shù)積，連接符號與等號左邊角的連接符號相同．兩角和與差的正切函數(shù)（1）公式成立的條件是：，或，其中；（2）公式的變形：（3）兩角和與差的正切公式不僅可以正用，也可以逆用、變形用，逆用和變形用都是化簡三角恒等式的重要手段，如就可以解決諸如的求值問題．所以在處理問題時(shí)要注意觀察式子的特點(diǎn)，巧妙運(yùn)用公式或其變形，使變換過程簡單明了．（4）公式對分配律不成立，即．二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角公式的逆用及變形1、公式的逆用；．．．2、公式的變形；降冪公式：升冪公式：41．已知，若，則（

）A． B． C． D．42．已知，則（

）A． B． C． D．43．已知，，，，，則（

）A． B． C． D．44．已知，則（

）A． B． C． D．45．若，則（

）A． B． C． D．46．的值可能為（

）A． B． C．1 D．347．若，的化簡結(jié)果為.48．已知，則.49．已知銳角滿足，則．50．設(shè)復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，且，若，則．考點(diǎn)06：

輔助角公式的妙用形如：第一步：第二步：等號左側(cè)若是加號，則等號右側(cè)也為加號，等號左側(cè)若是減號，等號右側(cè)也為減號.第三步：的求算，只需在第一象限標(biāo)明點(diǎn)尋找夾角即可達(dá)到秒殺的境界.注意：若果，則需提負(fù)號，繼續(xù)遵循以上步驟51．已知函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．若是偶函數(shù)，則，D．在區(qū)間上的值域?yàn)?2．已知函數(shù)，，若P，Q分別為函數(shù)和的圖象上的兩個(gè)最高點(diǎn)，則|PQ|的最小值為（

）A． B． C． D．53．已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程在區(qū)間上有且只有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則正數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．54．已知函數(shù)，若且，則的最小值為（

）A．11 B．5 C．9 D．755．函數(shù)在上的最大值是．56．已知，，則的值域?yàn)?57．已知函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到的圖象，則．58．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值，以及相應(yīng)的值.59．已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)，且．(1)求實(shí)數(shù)，并寫出的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，求．60．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的對稱中心及不等式的解集；(2)已知，求的值.考點(diǎn)07：給值求值模型針對已知條件求值問題，則遵循以下步驟（萬能）第一步：將目標(biāo)角和已知角全拿出來第二步：通過加減乘消去或第三步：用已知角代替目標(biāo)角第四步：利用誘導(dǎo)公式或三角恒等變換處理61．已知，，且，，則（

）A．或 B．或 C． D．62．已知，則（