———非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法分析目錄TOC\o"1-2"\h\u28555一、引言 123667二、微分方程的基本概念 11811三、一階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法 228026四、高階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法 717740五、結(jié)論 14引言常微分方程是大學數(shù)學的一門基礎(chǔ)課程，在其他領(lǐng)域也有著廣泛的應用．常微分方程可以分為一階方程和高階方程，非線性方程和線性方程，非齊次方程和齊次方程，其中非齊次線性方程是一類非常重要的微分方程．求解非齊次線性微分方程，常數(shù)變易法是典型的一種常用方法．本文從常微分方程的基本概念出發(fā)，分別介紹了一階非齊次線性微分方程和高階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法，并結(jié)合相關(guān)典型例題進行詳細闡述．微分方程的基本概念定義2.1由自變量、未知函數(shù)及函數(shù)的導數(shù)構(gòu)成的等式稱為微分方程．只有一個自變量的微分方程稱為常微分方程，含有兩個及兩個以上自變量的微分方程稱為偏微分方程．階線性微分方程的形式為，其中、是上的連續(xù)函數(shù)，當時，式稱為齊次方程，當時，式稱為非齊次方程．定義2.2在微分方程中，微分的最高階數(shù)叫做微分方程的階．定義2.3如果將代入方程后，方程恒成立，則稱為方程的解．如果解中含有個獨立的常數(shù)，即方程的解的形式為，則該解就稱為方程的通解．定理2.1（疊加原理）如果是階齊次線性微分方程，的個解，則他們的線性組合也是的解，這里是任意常數(shù)．定理2.2若已知是階線性微分方程的一個特解．是對應齊次方程的通解，則是方程的通解．一階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法定義3.1形如，的方程，稱為一階非齊次線性微分方程（上述等式中、為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)）．一階非齊次方程一般為．首先，求微分方程相對應的齊次方程，的通解，在中，將常數(shù)用未知函數(shù)進行替換，即變形為，將代入原方程中，可得待定函數(shù)．(上式中c常數(shù))再把上式代入式中，即求得一階非齊次線性微分方程，的通解為任意常數(shù)．注1實際上，常數(shù)變易法就是將那些不能用分離變量法求解的一階非齊次線性微分方程轉(zhuǎn)化成為兩個可用分離變量法求解的一階微分方程，使得問題得以簡化，方便我們解決問題．例3.1求解方程．解對應齊次微分方程為，對其進行積分，可得其通解：(上式中為積分常數(shù))，將常數(shù)換成待定函數(shù)，得，并將其代入原方程中．可得，對其積分，得(上式中為常數(shù))，則通解為．例3.2求解微分方程．解由題意可得，對應的齊次方程為，對其積分，得，令，代入方程得．即得．例3.3求微分方程的解．解首先將該方程化為非齊次線性方程的形式，變換成為，可得其中，，可直接利用公式得=．例3.4求微分方程的解．解首先將該微分方程化為非齊次線性方程的形式，變換成為，可以得到，，可直接利用公式，得，其中為任意常數(shù)．例3.5求微分方程(為常數(shù)）的解．解首先將該微分方程化為非齊次線性方程的形式，變換成為，可以得到，，可直接利用公式得，其中為任意常數(shù)．例3.6求微分方程的解．解首先將該微分方程化為非齊次線性方程的形式，變換成為，可以得到，，可直接利用公式得，其中為任意常數(shù)．例3.7求微分方程的解．解首先將該微分方程化為非齊次線性方程的形式，變換成為，其中，，可直接利用公式得，其中為任意常數(shù)．例3.8求微分方程的解．解首先將該微分方程化為非齊次線性方程的形式，變換成為，其中，，可直接利用公式得 ，其中為任意常數(shù)．例3.9求微分方程的解．解首先將該微分方程化為非齊次線性方程的形式，變換成為，其中，，可直接利用公式得，其中為任意常數(shù)．例3.10求微分方程的解．解首先將該微分方程化為非齊次線性方程的形式，變換成為，其中，，可直接利用公式得，其中為任意常數(shù)．注2除去上面題目類型，當我們在微分方程研究中可能會遇到的情況，這時我們可以轉(zhuǎn)化為來進行求解．高階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法定義4.1形如，且的微分方程稱為高階非齊次線性微分方程，其中及在上都是連續(xù)函數(shù)，并且對任意，．上式稱為高階非齊次線性微分方程的標準形式．高階非齊次線性微分方程的一般形式：，在中及在上都是連續(xù)函數(shù)，并且對任意，．方程對應的齊次方程為，設方程的一個基本解組為，那么方程的通解可表達為．在中，將任意常數(shù)用關(guān)于的未知函數(shù)進行替換則變?yōu)椋瑸榱耸沟檬綕M足方程，就需要求出相對應的待定函數(shù)，現(xiàn)在采用如下方法來求．同時對兩邊求導可得，在上式中令，由上可得關(guān)于的微分方程變?yōu)椋?，對式兩邊進行求導可得 ，在上式中令．則的表達式可變?yōu)?，重復上述過程，我們得到第個方程，以及的表達式．最后對式兩邊關(guān)于求導可得現(xiàn)在把，，，這個式子代入方程，并且注意到，是方程的解，于是可得．由上，我們得到含有個未知數(shù)的個微分方程，，，將其構(gòu)成一個線性方程組由于是微分方程的一個基本解組，所以方程組的系數(shù)行列式．由高等代數(shù)有關(guān)知識，我們可以得知方程組有唯一解，并且此解可以表示為：，，其中，是把中的第列換成后所得到的行列式．對式積分可求得，其中是任意常數(shù)．把所求代入可得，則式即為微分方程的通解，并且式被稱為方程的常數(shù)變易法公式．注1已知齊次線性微分方程的基本解組的條件下，非齊次線性微分方程的任一解都可由積分法得到．那么求解線性微分方程的關(guān)鍵，就是求出相對應的齊次線性微分方程的基本解組．例4.1已知微分方程對應的齊次線性微分方程的一個基本解組為，，求該方程的解．解由題知，，是原方程基本解組，所以，注意到，所以，，進一步有，，故，，由公式可得原方程的通解為，其中是任意常數(shù)．例4.2已知的基本解組為，，求的解．解令，代入方程，得，，解得，，，，故通解為，其中是任意常數(shù)．例4.3求解方程，．解對應齊次方程為，得到基本解組為．令，代入原方程及，于是，，故通解為，其中是任意常數(shù)．例4.4已知基本解組為，，求解．解設是方程的一個特解，，，將其代入非齊次微分方程得，，．即特解為．且非齊次線性微分方程的通解為，其中是任意常數(shù)．例4.5已知對應的基本解組為，，求的解．解由題意，解方程組，得，積分得．則求得通解為，其中是任意常數(shù)．例4.6已知對應的基本解組為，．求方程的解．解令，解方程組得，．積分得，．故通解為，其中是任意常數(shù)．例4.7已知對應的基本解組為，，求方程的解．解令，聯(lián)合求解有解，．積分得，，其通解為，其中為任意常數(shù)．例4.8求方程的解．解上述方程對應齊次方程的通解為．令，則，滿足方程組用克萊姆法則可得，，進而，，故通解為，其中是任意常數(shù)．注2對于線性方程，我們用常數(shù)變易法總能將通解表達出來，這是具有一般性的方法．但在用常數(shù)變易法求特解的過程