高等反應工程第六章數(shù)學模型求解1.一階或高階常微分方程組初值問題2.一階或高階常微分方程組邊值問題3.包含時間和位置兩個自變量偏微分方程組4.包含徑向或軸向兩個位置自變量偏微分方程組5.包含(r,z,t)三個自變量偏微分方程組第1頁比如，軸向返混滴流床反應器模型,是一個二階邊界值常微分方程組。解法可用有限差分法、正交配置法、有限元正交配置法和有限元法，另外有打靶法、擬線性化法等(1)有限差分法

用差分來代替導數(shù),將方程化為代數(shù)方程組(2)正交配置法

適合用于非線性問題,所需計算量小(3)有限元正交配置法

當解在整個區(qū)間梯度較大時,采取分區(qū)進行配置求解,梯度較大區(qū)間可用較小有限元03-3月-25版權全部,By曹志凱,廈門大學化學工程與生物工程系2第2頁6.1近似解析方法6.1.1試驗函數(shù)法6.1.2加權余量法6.1.3以待定參數(shù)為未知量正交配置法6.1.4以節(jié)點函數(shù)值為未知量正交配置法6.1.5正交配置法求解偏微分方程6.2正交配置法6.2.1一維系統(tǒng)內(nèi)配置法6.2.2一維系統(tǒng)內(nèi)配置法—系數(shù)法6.2.3一維系統(tǒng)內(nèi)配置法—縱座標法6.2.4不對稱正交配置法6.3有限元正交配置法6.3.1Lagrange多項式6.3.2Hermite多項式03-3月-25版權全部,By曹志凱,廈門大學化學工程與生物工程系3第3頁6.1近似解析方法-

6.1.1試驗函數(shù)法思想：用已知、含待定參數(shù)簡單函數(shù)近似代替準確解，用積分形式方程或點近似方程代替微分方程，確定不定參數(shù)。以犧牲一些局部準確性為代價，換取對問題整體規(guī)律性把握，在一定近似范圍內(nèi)處理問題。關鍵點：試驗函數(shù)選擇殘差處理方法第4頁催化劑顆粒有效系數(shù)計算微分方程整理[0,1]區(qū)間積分(無因次化半徑)粒內(nèi)有效因子計算第5頁假設反應速度較快，催化劑中心沒有反應物試驗函數(shù)為同時，設微分方程整理，積分代入試函數(shù)對微分方程殘差直接積分為零確定待定系數(shù)xP第6頁確定出參數(shù)試函數(shù)即為一個已知函數(shù)將上述試函數(shù)代入有效因子得近似有效因子準確解第7頁03-3月-25版權全部,By曹志凱,廈門大學化學工程與生物工程系8試函數(shù)假設反應速度較快，即Thiele模數(shù)較大時準確，而Thiele較小時誤差較大。紅色為有效因子近似計算曲線，藍色為準確值曲線第8頁6.1.2

加權余量法選擇適當權函數(shù)，令殘差滿足加權積分為零條件，取得更準確解其中，R(x)方程殘差，W(x)為權函數(shù)權函數(shù)選擇為關鍵，慣用W(x)=Dirac(x-xi),其中xi為若干個點，N個配置點給個N個方程W(x)=1,上面6.1例子采取方法第9頁W(x)=x^n(n=1,2,…),殘差方程成為矩量平均方程，能夠確定相關參數(shù)，相當于參數(shù)優(yōu)化最小二乘法，殘差方程為，Galerkin方法，其權函數(shù)為試函數(shù)對參數(shù)ai導數(shù)當試函數(shù)選擇下面線性組合時表示殘差R(x)與φi(x)基函數(shù)正交。第10頁Galerkin法特點精度高積分計算量大,尤其是參數(shù)較多時改進用高斯積分公式進行Galerkin法積分運算——正交配置法（Finlayson1972,Villadsen1978)Orthogonalcollocationmethod第11頁6.1.3以待定參數(shù)為未知量正交配置法試函數(shù)試函數(shù)代入微分方程，得殘差或余量方程方程中N個待定參數(shù)a由Galerkin方法得到N個方程用數(shù)值積分公式對上式近似積分權函數(shù)第12頁不一樣精度近似積分公式將給出不一樣系數(shù)wj和zj。而高斯型積分公式最高階代數(shù)精度，M個內(nèi)置節(jié)點坐標取M次Jaccobi正交多項式M個根

定義在區(qū)間[-1,1]上，是下面方程非零解第13頁對定義在區(qū)間[0,1]上問題,作變換z=(1+x)/2正交條件定義在[0,1]區(qū)間中Jaccobi多項式帶權正交試函數(shù)第14頁6.1.4以節(jié)點函數(shù)值為未知量正交配置法試函數(shù)Lagrange插值多項式含有性質第15頁6.1.5正交配置法求解偏微分方程對同時含有時間和空間自變量偏微分方程定解問題，普通是對空間變量進行近似離散，此時節(jié)點函數(shù)值與時間變量相關，將方程化為以空間節(jié)點上函數(shù)值為未知量常微分方程組，再進行下一步求解(線上法，MOL)方程離散方法各種：有限差分法、正交配置法、有限元正交配置法……第16頁某一過程未知函數(shù),滿足微分方程和邊界條件假設有y近似解(稱試函數(shù))式中,表示多項式和待定參數(shù)n個待定參數(shù)選擇能確保在n個點上滿足式6.2.1和6.2.2，在n個配置點上可確保使

和余差為零.6.2正交配置法第17頁內(nèi)配置：選擇一個滿足邊界條件6.2.2嘗試解,然后依據(jù)V域中n個點確定其待定參數(shù)使邊界配置：選擇一個滿足微分方程6.2.1嘗試解,然后依據(jù)S域中n個點確定其待定參數(shù)使混合配置：兼有以上兩種情況第18頁6.2.1一維系統(tǒng)內(nèi)配置法含有對稱性薄片、長圓柱和球狀幾何體,邊界x=±1處反應速率值，用以下多項式近似地代表用上式擬合實際反應速率,其誤差可表為上式符合擬合點上誤差為零要求第19頁若要求在全區(qū)域內(nèi)平均余差為零,則有因為B不為零,故必須有利用上述n個方程可確定n個最正確配置點,只要RA方次數(shù)小于4n,所要求定積將是正確.令第20頁若從薄片推廣到圓柱體和球體,則x變?yōu)閺较蚋淖價與半徑R比值,且因dV與成正比,式6.2.9推廣為6.2.11其中,a=1,2,3分別代表薄片、圓柱和球體上式也表示了和正交關系，為權函數(shù)，而根為配置點。例：對薄片計算設，由6.2.11設c0=1,則,根為配置點第21頁由式6.2.11所求得多項式符合以下正交關系:式中多項式稱為雅可比多項式,計算公式式6.2.12中第22頁6.2.2一維系統(tǒng)內(nèi)配置法—系數(shù)法用以下多項式作為微分方程6.2.1嘗試解系數(shù)法簡單直接,但不易程序化第23頁例薄片催化劑進行一級反應式,在穩(wěn)態(tài)等溫下組分A濃度分布可用下式表示邊界條件為解:無因式化用方程6.2.15,取n=1,則第24頁將(e)式代入(c),得余差函數(shù)為按內(nèi)配置要求,在配置點上余差函數(shù)為零,將代入解出代入(c)式得近似解為在邊界和配置點()處,它與正確解相等,而在其它點上是有誤差第25頁催化劑有效因子為此計算式與實際Thiele模數(shù)解比較,在時,較一致時,偏差小于0.5%

粒子較大時,誤差較大,可用多點近似第26頁以n=2進行配置求解將(e1)式代入(c),得余差函數(shù)為將配置點代入(f1)求解方程濃度分布有效因子第27頁薄片催化劑內(nèi)無因次濃度分布蘭-分析解紅-n=2配置解綠-n=1配置解在Thiele模數(shù)小時，誤差較小，而伴隨Thiele數(shù)增加，誤差加大，第28頁6.2.3一維系統(tǒng)內(nèi)配置法—縱座標法用以下多項式作為微分方程5C.1嘗試解展開并入邊界條件后歸納為對多項式每一個根均可寫出上式,即矩陣表示第29頁其中式中上標為冪數(shù),下標為根號碼,故矩陣元素式6.2.16對x進行一次微分第30頁式中或矩陣從6.2.18中可解出代入6.2.22中得第31頁類似地可求出式中采取縱座標法將常微分方程模型化為一組代數(shù)方程,輕易在計算機中實現(xiàn)求解第32頁在模型方程含有積分邊界條件時,用普通求積公式近似計算為確定權重因子,把代入用矩陣表示第33頁例薄片催化劑進行一級反應式,在穩(wěn)態(tài)等溫下組分A濃度分布可用下式表示邊界條件為解:當n=1,a=1時,故代入(a)式第34頁邊界條件,在配置點上解催化劑有效因子近似解粒子內(nèi)部濃度分布第35頁圓柱催化劑內(nèi)擴散有效因子近似解與解析解比較紅色-分析解蘭色-n=1配置解當Thiele較小時，分析解與配置法近似解基本相同。當Thiele較大時，分析解與配置法近似解相差較大。配置點上分析解與近似解相同第36頁6.2.4不對稱正交配置法用以下多項式作為微分方程6.2.1嘗試解邊界上對多項式符合以下正交關系若選W(x)=1,P0=1,則第37頁與對稱時類似,各矩陣元素為第38頁方程:邊界條件:嘗試解:有:第39頁不對稱正交配置法求軸，軸向擴散絕熱管式反應器計算例：在軸向分散絕熱管式反應器中進行一級反應時，無量綱物料和能量衡算方程為：邊界條件：03-3月-25版權全部,By曹志凱,廈門大學化學工程與生物工程系40解：取內(nèi)配置點數(shù)為3，非對稱正交配置方法，配置點位置為第40頁模型方程中一階和二階導數(shù)項寫成矩陣形式為：上式代入微分方程和邊界條件得以下代數(shù)方程組03-3月-25版權全部,By曹志凱,廈門大學化學工程與生物工程系41方程解為配置點上數(shù)值：第41頁第42頁6.3有限元正交配置法正交配置法中試函數(shù)是對整個區(qū)域[0,1],但當解在部分區(qū)間有較大梯度時，使用分區(qū)間正交配置或有限元正交配置法，能夠得到更加好效果有限元正交配置試函數(shù)可采取Lagrange或Hermite多項式分段區(qū)間能夠采取等間隔或不等間隔，依據(jù)需要，在梯度較大區(qū)間可用小間隔第43頁6.3.1Lagrang