第10講空間向量

高考預(yù)測一：線線角、線面角、二面角、距離問題

1.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，ADHBC,ZADC=90°，平面PAD_L底面ABCD,

Q為AD的中點，M是棱尸C上的點，PA=PD=2,BC=-AD=\,CD=g.

(I)若點M是棱PC的中點，求證：PA//平面5MQ；

(II)求證：若二面角M-3Q-C為30°,試求鬻的值.

2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC,/4DC=90°,平面底面ABC。,

Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2tBC=-AD=\,CD=g.

2

(1)求證：平面MQ8J＞平面皿＞；

(2)若滿足/W_LPC,求異面直線AP與8M所成角的余弦值；

(3)若二面角M-8Q-C大小為30。，求QM的長.

3.如圖，在四棱錐P-A8CD中，底面48CD為直角梯形，AD//BC,ZADC=90。，平面R1Z)_L底面ABCD,

。為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2tBC=LAD=1,8=75.

2

(1)求證：平面PQ3_L平面皿＞：

(2)若P4〃平面。3例，求烷的值;

4.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC,ZADC=90P，平面皿)_L底面ABCD,

Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2,BC=^AD=\,CD=g.

(1)求證：平面P8CJ_平面PQ8；

(2)當(dāng)尸”的長為何值時，平面與平面PDC所成的角的大小為60。？

5.如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC,NADC=90°,平面Q40_L底面ABCD,

Q為4)的中點，M是棱尸。上的點，PA=PD=2,BC=^AD=1,CD=6.

(1)求證：平面MQ8_L平面皿＞；

(2)若M是棱尸C的中點，求四面體M-PQ8的體積.

6.如圖，平面468,CF//AE,AD//BC,AD±AB,AB=AD=\,AE=BC=2.

(I)求證：8/〃平面ADE；

(II)求直線CE與平面8DE所成角的正弦值；

(IH)若二面角石-尸的正弦值為半，求線段CF的長.

Q

7.如圖，AE_L平面ABC。，CF//AE,AD//BC,ADLAB,AB=AD=\,AE=BC=2,CF=-.

7

(1)求直線CE與平面或應(yīng)所成角的正弦值；

(2)求平面或陀與平面瓦)/夾角的余弦值.

B

8.如圖，在多面體A8CD所中，AE_L平面A8CD,AER?是平行四邊形，且AO//8C,AB1AD,

AD=AE=2,AB=BC=\.

(1)求證：CDtEF；

(2)求二面角A—DE—B的余弦值;

（3）若點尸在棱b上'直線m與平面瓦無所成角的正弦值為?‘求線段CP的長.

9.如圖，在四棱錐P—ABCD中，已知PA_L平面A5CD,且四邊形ABCD為直角梯形，ZABC=NBAD=-，

2

PA=AD=2fAB=BC=\.

（1）求平面以8與平面尸8所成二面角的余弦值；

（2）點Q是線段外上的動點，當(dāng)直線CQ與DP所成的角最小時，求線段僅2的長.

10.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，已知小_1_平面ABC。，且四邊形為直角梯形，ZABC=ZBAD=-,

2

PA=AD=2,AB=BC=\.

（【）若Q為R4上的一點，問是否存在一個位置使CQ//平面Q4。，若存在，求出該Q點位置，若不存

在，請說明理由；

（II）求平面PAB與平面PCQ所成二面角的余弦值.

D

B

11.如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知始平面ABCD,且四邊形ABCD為直角梯形，ZABC=ZBAD=-,

2

PA=AD=2,AB=BC=\.

(1)求平面E43與平面PCQ夾角的正切值;

(2)定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值，利用此定

義求異面直線PB與CQ之間的距離.

12.如圖，在四棱錐P-A8CD中，已知平面480且四邊形A8CD為直角梯形，ZABC=ZBAD=~,

2

PA=.^D=2,AB=BC=1.E是尸。中點.

(1)求直線CE與平面A8C￡＞所成角的大??；

(2)求平面RS與平面PCD所成銳二面角的余弦值；

(3)點Q是線段BP上的動點，當(dāng)直線C。與6所成的角最小時，求線段僅2的長.

13.如圖，在四棱錐尸-ABCO中，已知P4_L平面ABCD,且四邊形ABC。為直角梯形，ZABC=ZBAD=9QP,

AB=AD=AP=2,BC=[.

(1)求點A到平面尸CD的距離；

(2)若點Q為線段3尸的中點，求直線CQ與平面ADQ所成角的大小.

14.如圖，在四棱錐P-A8CD中，已知R4_L平面48CD,且四邊形A8CD為直角梯形，ZABC=/BAD=%,

2

以=AD=2,AB=BC=\.

(1)求點。到平面尸8c的距離；

(2)設(shè)Q是線段8尸上的動點，當(dāng)直線CQ與DP所成的角的余弦值為嚶時，求二面角B-CQ-D的余

弦值.

第10講空間向量

高考預(yù)測一：線線角、線面角、二面角、距離問題

1.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，ADHBC,ZADC=90°，平面PAD_L底面ABCD,

Q為AD的中點，M是棱尸C上的點，PA=PD=2,BC=-AD=\,CD=g.

(I)若點M是棱PC的中點，求證：PA//平面5MQ；

(II)求證：若二面角M-3Q-C為30°,試求鬻的值.

【解答】解：(I)證明：連接4C,交BQ于N,連接MN.

???8。//加且3。=3/1。，&|JBCHAQ.

二.四邊形8CQA為平行四邊形，且N為AC中點，

又?.?點M是棱尸C的中點，/.MV//%.

MNu平面MQB,PA仁平面MQB.

.?.Bt"平面MBQ...(4分)

(II)\PA=PD^Q為AO的中點，:.PQ±AD.

?.?平面R4D_L平面ABCD,且平面R40c平面ABCO=AD,

..PQJ?平面ABCD.

:AD//BC,8C=；AD,Q為AD的中點，，四邊形BCOQ為平行四邊形，.?.CO//AQ.

-.?ZADC=90°ZAQB=90°即Q8JLAD....(6分)

如圖,以。為原點建立空間直角坐標(biāo)系.則平面8QC的法向量為3=(0,0,1)；2(0,0,0),P(0,0訴,

8(0,君,0),。(-

則定=(-1,6-揚，QP=(0,0,73).

設(shè)麗=r前,(0領(lǐng))1),

在平面M8Q中，前二(0,G,0),QM=QP+tPC=(-t,^t,43->/3t),…(8分)

:.平面MBQ法向量為m=(x/3-8,0,t)...(10分)

8s3。。=需*府盜+o+/

???二面角M-8Q-C為30°,

33,仝、

???4=52=萬(舍)

2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A5CD為直角梯形，AD//BC,ZADC=90。，平面%￡>_!_底面ABCD,

Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2,BC=-AD=\,8=75.

2

（1）求證：平面MQB_L平面小￡）；

（2）若滿足3M_LPC,求異面直線AP與所成角的余弦值：

（3）若二面角〃一伙2-。大小為30。，求QM的長.

【解答】（1）證明：?.,4）//8C,BC=-AD,Q為4）的中點,

2

四邊形8CQQ為平行四邊形,

..CD//BQ....（1分）

?/ZADC=90°/.ZAQB=90°,B|JQB1AD.

又?.?平面平面488且平面P4DC平面⑷笈T>=4￡>,...（2分）

.?.BQ_L平面％￡>.…（3分）

?.?BQu平面MQ3,

平面M28J_平面A4D.…（4分）

（2）解：\'PA=PDf。為4）的中點，

:.PQ上AD.

?.?平面EDJ■平面/1BCD,且平面R4DC平面ABC￡>=AD,

「?PQJ"平面...（5分）

如圖，以。為原點建立空間直角坐標(biāo)系.則。（0,0,0）,A（1,0,0）,P（0,0,G）,B（0,6,0）,C（-l,百,0）

由夕河=4尸。=4（-1,>/1一>/5）,且噫1兒1,得M（--血）

?.BM_LPC,

W-PC=（-2,>/3A->/3,73-X/3A）-I-1,73,-^）=72-6=0...（6分）

麗=（T,0,揚，麗=（一"*當(dāng)

777

設(shè)異面直線AP與8M所成角為。，則cos6=|cos<麗,8M>H曰?竺|=2保=無至…（9分）

\AP\\BM\8428

異面直線的與8M所成角的余弦值為返…（10分），

28

（3）解：由（2）知平面8QC的法向量為元=（0,0,1）…（11分）

由西=〃—1,石,—百）且既丸1,得M（4,&,0-0）

QM=(-2,V32,75-V32),又詼=(0,6,0),

平面M8Q法向吊：為,力(6,0,2).…（13分）

???二面角M—6Q-C為30°,二cos30°=|山上|二正，

\n\\m\2

.?.4=3..-JCA/|=—...(15分)

44

z

3.如圖，在四棱錐P-ABCQ中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC,ZADC=90。，平面處D_L底面ABCD,

Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2,BC=^AD=l,CD=g.

(1)求證：平面PQ8_L平面抬D：

(2)若平而求上空的值：

MC

(3)若也=3,求二面角M—8Q—C的大小.

MC

【解答】(1)證明：VDQ//BCh.DQ=BC,二四邊形5CR2是平行四邊形，.?.BQ//8,

.CD1AD,..BQLAD,

?/JKffiABCD,平面皿＞C底面ABCD=A￡＞,「.BQ，平面BAD，

?.?BQu平面PQB,平面PQB_L平面PAD.

(2)解：設(shè)ACr|3Q=E,?.?帖//平面。.?.也=絲=絲=1.

11MCECBC

(3)解：連接CQ,作J二點F,作尸G_LBQF點G,連接GM,

?/MFLCQ.PQLCQ,:.PQIIMF,

?.?PQ_LAO,平面值＞_L底面平面BAOC底面A^CZ)=AD,..PQJ■平面ABO「.M/U平

面ABCD,

?.?FG1BQ,BQ1MG,二面角M-BQ-C的平面角為NA/G產(chǎn),

MbCM\石

~PQ~~CP~\T

FGQF3._3_3

BCQC444

tanNMGF=—=—,/./MGF=-

FG36

二面角M-BQ-C的大小為巳.

4.如圖，在四棱錐P-A￡?CD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC,ZADC=90°,平面處D_L底面ABCD,

。為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2,BC=-AD=\,CD=43.

2

(1)求證：平面尸BC_L平面PQB；

(2)當(dāng)尸M的長為何值時，平面QM8與平面PDC所成的角的大小為60。？

【解答】解：⑴證明：?.?40//8。，Q為AD的中點，BC=^AD,

BC=QD,

四邊形8COQ為平行四邊形，則BQ//CD,

-.-ZADC=90°,

..BCA-BQ,

\PA=PD,AQ=QD,

:.PQ1AD,

又平面總4￡>_1_平面4BCD,平面R4DC平面=

「.PQ_L平面ABCD,

:.PQ±BC,

又?.?尸Qp|8Q=Q,

/.8C_L平面PQB，

?.BCu平面P8C,

.?.平面尸3。，平面尸QB；

（2）由（1）可知，PQ1平面ABCD,以Q為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則Q(0,0,0),Z)(—1,0,0),P(0,0,G),B(0,G,0),C(T50),

詼=(0,6,0),覺=(o,G,o),麗=(i,o,75),PC=(-1,73,-73),2?=(o,o,75),

設(shè)平面PDC的法向量為M=(乂)，,z),則[上百=百：°，則可取”(3,0,-G),

DPn=x+V3z=0

①當(dāng)揚與。重合時，平面M28的法向量為0?=(0,0,6),則?I=1=COS60。，滿足題意，此時

\n\\QP\2

PM=5：

②當(dāng)M9C不重合時，設(shè)絲=%,則麗=(一九&,一&得M(—ZJ5ZJ5—6I),

PC

CA7=(-A,V32,V3(1-A)),

?in=-Xa+y]3Ab+yJ3(\-A)c=0<-A

，則可取所=(V3,0,----)，

￡諭=屏=01-久

|航?間

cos60°=1-4二2得目，

1引1間

/.PM=-PC=—.

22

綜上，PM=@或PM=旦.

2

5.如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC,ZAPC=90°,平面力1D_L底面ABCD,

。為">的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2,BC=-AD=\,CD=6.

2

(1)求證：平面MQB1平面皿＞；

(2)若M是棱PC的中點，求四面體M-PQB的體積.

【解答】(1)證明：?.,AP//3C,8c=4。，Q為AD的中點,

2

.??四邊形8c。。為平行四邊形，.?.CO//5Q.

?.ZADC=90°,...4(28=90。，即Q81A。.

又???平面Q4DJ?平面ABCD,且平面R4DC平面ABCD=AD,

，4Q_L平面FAO.「BQu平面尸Q8,..平面PQ8J_平面R1D；

(2)解：PA=PD=2,。是AD的中點，

..尸。_1平面48。力，

..PQVBC,

■.OCBQ是矩形,

BCLQB,

???PQ[\QB=Q,

.?.BC_L平面PQB,

四面體M-尸QB的體積=gxgxPQx°BxgBC=；.

6.如圖，AF_L平面CFHAE,AD//BC,ADYAB,AB=AD=\,AE=BC=2.

(I)求證：/平面ADE：

(II)求直線CE與平面雙犯所成角的正弦值，

(III)若二面角七-40-尸的正弦值為手，求線段B的長.

B

【解答】解：(I)證明：以A為坐標(biāo)原點，分別以通，AD,而所在直線為X，y,z軸建立空間直角

坐標(biāo)系，

4(0,0,0),8(1,0,0),C(1,2,0),0(0,L0),E(0,0,2),

設(shè)C/=〃，(A>0),則尸(1,2,h),

BF=[0,2,〃)，AD=(0,1,0),筋=(0,0,2),

平面ADE的法向量而=(1，0,0),

4乩砂=0,且斯仁平面ADE,

「.8尸//平面ADE.

(H)解：BD=(-I,1,0),BE=(-1.0,2),CE=(-\,-2,2),

設(shè)萬=(x,y,z)為平面或應(yīng)的法向量，

則,吧—0,令“I得”(2,21),

n?BE=-x+2z=0

設(shè)直線CE與平面BDE所成角為0,

則直線CE與平面或陀所成角的正弦值為:

ICEH/il9

(IH)解：設(shè)平面或陀的法向量戊=(a,b,c),

.m*BD=—a+b=O^

則<_,取a=l,得比=(2,2,1),

tn*BE=-a+2c=0

設(shè)平面3。尸法向量萬=(m,〃，f),

p?BD=-m+n=0曰./口一“，2

則rtll<,取根=1,得戶=(1,1?—),

p*BF=2n+ht=0h

?.?二面角E-8D-尸的正弦值為逑，

3

...3=隼工、］(鳴

所卜I川V33

3V2+/

解得〃=?.

7

二面角E-80—尸的正弦值為坦時線段C尸的長為巨.

37

Q

7.如圖，AE_L平面A8C￡>,CF//AE,ADIIBC,ADA,AB,AB=AD=l,AE=BC=2,CF=-

7

(1)求直線CE與平面用花所成角的正弦值;

(2)求平面或應(yīng)與平面8￡>/夾角的余弦值.

【解答】解：平面ABCD,AD1AB,

.?.以A為坐標(biāo)原點，分別以鉆，AD，AE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

Q

又CTV/AE,AB=AD=\,AE=BC=2,CF=-,

7

Q

.?.8(1,0,0),0(0,1,0),C(l,2,0),E(0,0,2),尸(1,2,,

BD={-\,1,0),BE=(-1,0,2),CE=(-1,2,2),

—?8

fiF=(0,2,-).

(1)設(shè)平面BDE的一個法向量為麗=(x,y,z),

由?取z=l,可得所=(2,2,1),

m-BE=-x+2z=0

設(shè)直線CE與平面BDE所成角為0,

則sin9=|cos<CEym>H［；：）|=1，

即直線CE與平面BDE所成角的正弦值為2；

9

（2）設(shè)平面班班的一個法向量為為=（不乂凸），

一8

n-BF=2y,+—z.=0

則｛7,取馬=-7,得力=（4,4,一7）,

n-BD=一%+兇=0

設(shè)平面比）E與平面BDF的夾角為°,

貝Ucosw=一""8+8-7

\m\-\n\3x93

由圖可知，平面加把與平面成下的夾角為銳角,

故平面BDE與平面皮下夾角的余弦值為L

3

AEJL平面48CZ),AER?是平行四邊形，且4O//8C,AB^AD,

AD=AE=2,AB=BC=\.

(1)求證：CD±EF；

(2)求二面角A—DE—B的余弦值;

(3)若點尸在棱C尸上，直線尸8與平面80E所成角的正弦值為弓，求線段b的長.

【解答】解：因為A/?I￥r^lARCD,所以其EIAD.AF\AB.又因為AAIAD.

所以AD、AB.AE兩兩垂直,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

A(0,0,0),8(0,1,0),D[2,0,0),E(0,0,2),C(1,1,0),F(1,1,2),

(1)證明：因為前=(1,-1,0),EF=(1,1,0),所以歷?麗

所以CD_L￡F；

(2)因為平面ADE的法向量為加=(0，1,0),平面瓦底的一個法向量為(g,1),

取平面或陀的法向量M=(l,2,1),又因為二面角A-OE-B為銳角,

所以二面角A—OE—8的余弦值為手J=二產(chǎn)二9；

I汾I?間1V63

(3)設(shè)PC=r,則尸(1,1,t),PB=(-\,0,T),由(2)知平面BDE的法向量萬=(1,2,1),

所以直線尸8與平面B0E所成角的正弦值為1Pg.川=「=中，解之得I，

\PB\-\n\氏下.瓜3

9.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，已知BAJ_平面ABCO,且四邊形ABC。為直角梯形，ZABC=ZBAD=-,

2

PA=AD=2fAB=BC=l.

(1)求平面E4B與平面PCD所成二面角的余弦值；

(2)點Q是線段族上的動點，當(dāng)直線CQ與6所成的角最小時，求線段&的長.

【解答】解：以4為坐標(biāo)原點，以AB、AD.AP所在直線分別為1、y、z軸建系A(chǔ)-孫z如圖,

由題可知8(1,0,0),C(l,1,0),0(0,2,0),尸(0,0,2).

[1)?.?ADJL平面.?.而=(0，2,0),是平面Q4B的一個法向量，

vPC=(1,1,-2),PD=(0,2,-2),

設(shè)平面PCD的法向量為沅=(x,y,z),

m-PC=0fx+y-2z=0

_.，得za《'

mPD=O[2y-2z=0

取y=l,得比=(1,1,1),

ADm

cos<AD，m>=

\AD\\m\3

???平面的與平面PCD所成兩面角的余弦值為爭

12)vB?=(-l,0,2),設(shè)苑=4麗=(一;I,0,22)(0領(lǐng)Jl1),

又在=(0,-1,0),則詼=而+麗=(一4,-1,22),

CQDP1+22

又加=(0,-2,2),從而cos<西

iceIIDP\~42+A2

設(shè)l+24=r,ze[l,3],

2『_29

則cos?〈詼，DP＞=

5--101+9-?J5220”正

t99

當(dāng)且僅當(dāng)，=*,即義=|時，|cos＜詼，麗＞|的最大值為嚶,

因為y=cos］在(0,9上是減函數(shù)，此時直線CQ9OP所成角取得最小值.

10.如圖，在四棱錐尸-即。中，已知曰_L平面ABCD,且四邊形ABC/)為直角梯形，ZABC=ZBAD=-

2t

PA=AD=2,AB=BC=\.

(I)若Q為E4上的一點，問是否存在一個位置使CQ//平面次)，若存在，求出該Q點位置，若不存

在，請說明理由;

(II)求平面以8與平面PCD所成二面角的余弦值.

【解答】解：(I)以｛而，而，/｝為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-型,

則各點的坐標(biāo)為3(1,0,0),C(l,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),

設(shè)。(a,0,2-2a),顯然平面的一個法向量為萬=(1,0,1),

?.?CQ//平面A4D,.?.詼=3-1,-1,2-2a),M.CQ//n,

/.不存在一個位置使C。//平面PAD；

(II)由(I)知，AO_L平面.?.而=(0,2,0)是平面B鉆的一個法向量,

vPC=(1,I,-2),PD=(0,2,-2),

設(shè)平面PCD的法向量為玩=(x,y,z),

則收￡=°,即令…，解得z=]「=],

w.PD=0(2y-2z=0

/w=(1,1,1)?

從而|cos<AD,fh>|=-----1=@

2xyji+1+13

顯然平面EAB與平面PCD所成的二面角為銳角，

/.平面以B與平面PC。所成二面角的余弦值為且.

3

11.如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知RA_L平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，ZABC=/BAD=-,

2

PA=AD=2,AB=BC=l.

(1)求平面與平面PCD夾角的正切值;

(2)定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值，利用此定

義求異面直線依與8之間的距離.

【解答】解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則8(1,0,0),C(l,1,0),0(0,2,0),尸(0,0,2),

(1)?.?R4_L平面ABC。，且AOu平面ABC￡＞,

s.PALAD,

又AB_L4),PA^\AB=A,QAu平面BIB,A8u平面RS,

.?.AD_L平面BAB,

平面月的一個法向量為而=(0,2,0).

設(shè)平面PCD的一個法向量為而=(x,y,z),PC=(lJ,-2),PD=(0,2,-2),

^.PC=x-2z=0則可取iJ#,

則+y

m-PD=2y-2z=0

..8＜說而＞=衛(wèi)辿=@,

I沅IIAD|3

平面R4B與平面PCD夾角的正切值為歷；

（2）麗=（-1,0,2）,設(shè)詼=/而=（一40,2/0,

XCD=(-l,l,0XCB=(0,-l,0),則詼=而+苑=(一4一1,24),

則點Q到直線8的距離為

d=yjcQ-(Ieg|cos<C2,CD>)2'"+J軸

耕+久+3=*+3+/9

d..3,即異面直線照與c。之間的距離為2.

33

12.如圖，在四棱錐尸-ABC。中，已知R4_L平面ABC。，且四邊形ABCD為直角梯形，ZXBC=ZBAD=-,

2

PA=.AD=2,AB=BC=\.E是尸。中點.

（1）求直線CE與平面ABC。所成角的大??；

（2）求平面/V3與平面PCD所成銳二面角的余弦值；

（3）點Q是線段族上的動點，當(dāng)直線C0與6所成的角最小時，求線段出的長.

【解答】解：（1）過上作￡FJ_A￡＞交AD于F,連結(jié)CF,

則NEC尸即為直線CE與平面A5CD所成角.

因為E是PD中點.PA=AD=2,所以防=1,CF=1,所以NEb=工，

4

所以直線CE與平面45co所成角的大小為-.

4

(2)以A為坐標(biāo)原點，分別以AB，A。，AP所在直線為x軸、y軸和z軸,

貝0,0),C(1.1,0).￡)(0,2,0),P(0,0,2),

因為AD_L平面R4B,所以而是平面P4B的一個法向量，AD=(0,2,0),

因為元=(1,1,一2),麗=(0,2,-2),

設(shè)平面PCD的法向量反=(x,y,z),則不前=0,及?所=0,

令y=l,解得z=l,x=1?

所以元=(1/,1)是平面PCD的一個法向量，

設(shè)平面R鋁與平面PCD所成銳二面角為0，則cos。=絲.=B.

\AD\\n\3

所以平面與平面08所成的銳二面角的余弦值為更

3

(3)設(shè)直線CQ與O尸所成的角為a,BP=(-1,0,2),

設(shè)麗=2麗=(一40,2㈤,(0掰I1),又5二((),-1,0),

則。。二圍+80=(—4一1,2/1),

1+2A

又方尸=(0,-2,2),所以cosa=

\CQ\\DP\V1022+2

2/7Q

設(shè)1+24=八/G[1,3],則cos2a=--------=-；----—?—.

5?-10/+9Q/15,20*10

t99

當(dāng)且僅當(dāng)，=2,即4=2口寸，的最大值為坐，

因為y=cosx在(0,方上單調(diào)遞減，

此時直線CQ與。戶所成的角取得最小值，

因為5P=石，所以8Q=|z?P=苧.

13.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，己知Q4_L平面ABC/),且四邊形ABCO為直角梯形，ZABC=ZMD=90°,

AB=AD=