試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第四章三角形第18講等腰三角形（思維導(dǎo)圖+2考點+3命題點18種題型（含2種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導(dǎo)航02知識導(dǎo)圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一等腰三角形考點二等邊三角形04題型精研·考向洞悉命題點一等腰三角形的性質(zhì)與判定?題型01分類討論思想在等腰三角形中的應(yīng)用?題型02根據(jù)等邊對等角求解或證明?題型03根據(jù)三線合一求解或證明?題型04在格點圖中畫等腰三角形?題型05根據(jù)等角對等邊求邊長?題型06根據(jù)等角對等邊證明?題型07確定構(gòu)成等腰三角形的點?題型08等腰三角形性質(zhì)與判定綜合命題點二等邊三角形的性質(zhì)與判定?題型01利用等邊三角形的性質(zhì)求解?題型02等邊三角形的判定?題型03等邊三角形性質(zhì)與判定綜合命題點三熱考題型匯總?題型01手拉手模型?題型02與等腰三角形有關(guān)的折疊問題?題型03與等腰三角形有關(guān)的動點問題?題型04與等腰三角形有關(guān)的新定義問題?題型05與等腰三角形有關(guān)的規(guī)律探究問題?題型06與等腰三角形有關(guān)的多結(jié)論問題?題型07探究等腰三角形中存在的線段數(shù)量關(guān)系

01考情透視·目標導(dǎo)航中考考點考查頻率新課標要求等腰三角形★★理解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理；探索并掌握等腰三角形的判定定理.等邊三角形★★探索等邊三角形的性質(zhì)定理及其判定定理.【考情分析】該板塊內(nèi)容重在掌握基本知識的基礎(chǔ)上靈活運用，也是考查重點，年年都會考查，最為經(jīng)典的“手拉手”模型就是以等腰三角形為特征總結(jié)的.而數(shù)學(xué)中考中，等腰三角形單獨出題的可能性還是比較大的，多以選擇填空題型出現(xiàn)，但是因為等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形結(jié)合其他考點出成壓軸題的幾率特別大，所占分值也是比較多，屬于是中考必考的中等偏上難度的考點.02知識導(dǎo)圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一等腰三角形定義：有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.【特殊】頂角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的兩個底角都為45°.【注意】等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）．等腰三角形性質(zhì)：1）等腰三角形是軸對稱圖形，它有1條或3條對稱軸，①當腰和底邊不相等的等腰三角形只有1條對稱軸，②當腰和底邊不相等的等腰三角形只有3條對稱軸.2）等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）.3）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.（簡稱“三線合一”）.【注意】“三線合一”的前提是等腰三角形，且必須是頂角的角平分線，底邊上的高和底邊上的中線.等腰三角形的判定：1）定義法：兩邊相等的三角形是等腰三角形；2）定理法：有兩個角相等的三角形是等腰三角形，即這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.【總結(jié)】證明兩個角相等的方法：1）如果角在同一個三角形中，先考慮“等邊對等角”來證明.2）如果角不在同一個三角形中，可證明兩個三角形全等來解決.【易錯易混】1）底角為頂角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線將原等腰三角形分成兩個等腰三角形．（即頂角36°，底角72°）.2）等腰三角形的判定定理是證明兩條線段相等的重要依據(jù)，是把三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)．3）等腰三角形的邊有腰、底之分,角有頂角、底角之分,若題目中的邊沒有明確是底還是腰,角沒有明是頂角還是底角，需要分類討論.1．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）等腰三角形的兩邊長分別為6和2，則第三邊長為．【答案】6【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，熟練掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵．分兩種情況討論：當6為一腰長時；當2為一腰長時；分別求出第三條邊長，并根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷是否能構(gòu)成三角形，即可得出答案．【詳解】解：當6為一腰長時，則另一腰長為6，底邊長為2，∵6+6>2，∴能構(gòu)成三角形，∴第三邊長為6；當2為一腰長時，則另一腰長為2，底邊長為6，∵2+2<6，∴不能構(gòu)成三角形，舍去；綜上，第三邊長為6，故答案為：6．2．（2024·四川·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，按如下步驟作圖：①以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交BA，BC于點D，E；②分別以點D，E為圓心，大于12DE長為半徑畫弧，兩弧在∠ABC的內(nèi)部相交于點F，作射線BF交AC于點G．則∠ABG的大小為【答案】35【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的尺規(guī)作法，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的尺規(guī)作法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)AB=AC，∠A=40°，由等邊對等角，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，可得∠ABC=∠ACB=70°，由尺規(guī)作圖過程可知BG為∠ABC的角平分線，由此可得∠ABG=∠GBC=1【詳解】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°，根據(jù)尺規(guī)作圖過程，可知BG為∠ABC的角平分線，∴∠ABG=∠GBC=1故∠ABG=35°，故答案為：35°．3．（2024·云南·中考真題）已知AF是等腰△ABC底邊BC上的高，若點F到直線AB的距離為3，則點F到直線AC的距離為（

）A．32 B．2 C．3 D．【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．由等腰三角形“三線合一”得到AF平分∠BAC，再角平分線的性質(zhì)定理即可求解．【詳解】解：如圖，∵AF是等腰△ABC底邊BC上的高，∴AF平分∠BAC，∴點F到直線AB，AC的距離相等，∵點F到直線AB的距離為3，∴點F到直線AC的距離為3．故選：C．4．（2024·浙江·中考真題）如圖，D，E分別是△ABC邊AB，AC的中點，連接BE，DE．若∠AED=∠BEC,DE=2，則BE的長為

【答案】4【分析】本題主要考查三角形中位線定理和等腰三角形的判定，由三角形中位線定理得DE∥BC,BC=2DE=4,得出∠C=∠AED=∠BEC,【詳解】解：∵D，E分別是△ABC邊AB，AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∴∠AED=∠C,∵∠AED=∠BEC,∴∠C=∠BEC,∴BE=BC=4,故答案為：45．（2023·吉林·中考真題）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，線段AB的端點均在格點上．在圖①、圖②、圖③中以AB為邊各畫一個等腰三角形，使其依次為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，且所畫三角形的頂點均在格點上．

【答案】見解析【分析】根據(jù)勾股定理可得AB=5【詳解】解：如圖所示，

如圖①，AC=AB=12+22如圖②，AD=AB=12+22=5如圖③，AE=AB=12+22【點睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，等腰三角形的定義，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．考點二等邊三角形定義：三條邊都相等的三角形叫等邊三角形，它是特殊的等腰三角形.等邊三角形的性質(zhì)：1）等邊三角形是軸對稱圖形，并且有3條對稱軸；2）等邊三角形的三條邊相等；3）三個內(nèi)角都相等，并且每個內(nèi)角都是60°.等邊三角形的判定：1）定義法：三邊相等的三角形是等邊三角形；2）三個角都相等的三角形是等邊三角形.3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.【補充】1）等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì).2）等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心和垂心重合．3）在等腰三角形中，只要有一個角是60°，無論這個角是頂角還是底角，這個三角形就是等邊三角形．4）等邊三角形面積的求解方法：S正三角形=31．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點E在AD上，當△EBC是等邊三角形時，∠AEB為（

）A．30° B．45° C．60° D．120°【答案】C【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由矩形ABCD得到AD∥BC，繼而得到∠AEB=∠EBC，而△EBC是等邊三角形，因此得到∠AEB=∠EBC=60°．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵△EBC是等邊三角形，∴∠EBC=60°，∴∠AEB=60°，故選：C．2．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，直線l∥m，等邊三角形ABC的兩個頂點B，C分別落在直線l，m上，若∠ABE=21°，則∠ACD的度數(shù)是（A．45° B．39° C．29° D．21°【答案】B【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EBC+∠DCB=180°，從而可得∠EBA+∠ABC+∠ACB+∠ACD=180°，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠ACB=60°，即可求解．【詳解】解：∵l∥∴∠EBC+∠DCB=180°，即∠EBA+∠ABC+∠ACB+∠ACD=180°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，又∵∠ABE=21°，∴21°+60°+60°+∠ACD=180°，∴∠ACD=39°，故選：B．3．（2024·四川·中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，OA=1，則AB的長為（

）A．2 B．3 C．1 D．1【答案】C【分析】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，由正六邊形的性質(zhì)得到∠AOB=60°，得到△AOB為等邊三角形，進而得到OA=AB=1，判斷出△AOB為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵ABCDEF是正六邊形，∴∠AOB=360°∵OA=OB，∴△AOB為等邊三角形，∴OA=AB=1，故選：C．4．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，在Rt△ABC中，D是AC的中點，∠BDC=60°，AC=6，則BC的長是（

A．3 B．6 C．3 D．3【答案】A【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半結(jié)合等邊三角形的判定得到△BDC等邊三角形，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC∴BD=1∵∠BDC=60°，∴△BDC等邊三角形，∴BC=CD=1故選：A．5．（2023·福建·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=10，∠B=60°，則AC的長為

【答案】10【分析】由菱形ABCD中，∠B=60°，易證得△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=10，∵∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC=10．故答案為：10．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟記菱形的性質(zhì)并推出等邊三角形是解題的關(guān)鍵．04題型精研·考向洞悉命題點一等腰三角形的性質(zhì)與判定?題型01分類討論思想在等腰三角形中的應(yīng)用等腰三角形的邊有腰、底之分,角有頂角、底角之分,若題目中的邊沒有明確是底還是腰,角沒有明是頂角還是底角，需要分類討論.【易錯點】注意所求結(jié)果需滿足三角形三邊關(guān)系.1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）等腰三角形的兩邊長分別是方程x2A．17或13 B．13或21 C．17 D．13【答案】C【分析】本題考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系及周長，由方程可得x1=3，x2=7，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得等腰三角形的底邊長為【詳解】解：由方程x2?10x+21=0得，x1∵3+3<7，∴等腰三角形的底邊長為3，腰長為7，∴這個三角形的周長為3+7+7=17，故選：C．2．（2022·四川廣安·中考真題）若（a﹣3）2+b?5=0，則以a、b為邊長的等腰三角形的周長為．【答案】11或13/13或11【分析】根據(jù)平方的非負性，算術(shù)平方根的非負性求得a,b的值，進而根據(jù)等腰三角形的定義，分類討論，根據(jù)構(gòu)成三角形的條件取舍即可求解．【詳解】解：∵（a﹣3）2+b?5=0，∴a=3，b=5，當a=3為腰時，周長為：2a+b=6+5=11，當b=5為腰時，三角形的周長為a+2b=3+10=13，故答案為：11或13．【點睛】本題考查了等腰三角形的定義，非負數(shù)的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．3．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）若等腰三角形的周長是10cm，其中一邊長是2A．2cm B．4cm C．6cm【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可以分為2cm【詳解】解：依題意，當2cm則其腰長是(10?2)÷2=4(cm能夠組成三角形；當2cm則其底邊是10?2×2=6(cm∵2+2=4<6∴不能夠組成三角形；故該等腰三角形的底邊長為2cm故選：A．4．（2024·上?！つM預(yù)測）等腰三角形的一個內(nèi)角為91°，隨機選取1個內(nèi)角，度數(shù)為【答案】91°或44.5°【分析】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，判斷出91°的角是頂角是解題的關(guān)鍵．根據(jù)91°角是鈍角判斷出只能是頂角，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等和三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵91°>90°，∴91°的角一定是頂角，∴底角的度數(shù)為1∴隨機選取1個內(nèi)角，度數(shù)為91°或44.5°．故答案為：91°或44.5°．5．（2024·四川達州·模擬預(yù)測）一個等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36°，則此三角形頂角度數(shù)為．【答案】54°或126°【分析】本題考查了等腰三角形的內(nèi)容，要注意分類討論，等腰三角形可能是銳角三角形也可能是鈍角三角形，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和以及三角形的外角的性質(zhì)即可求解．解決等腰三角形的問題時分類討論是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：若三角形為銳角三角形時，如圖，AB=AC，∠ACD=36°，CD為高，即∠ADC=90°，此時∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=180°?90°?36°=54°，若三角形為鈍角三角形時，如圖，AB=AC，∠ACD=36°，CD為高，即∠ADC=90°，

此時∠BAC=∠D+∠ACD=90°+36°=126°，綜上，等腰三角形的頂角的度數(shù)為54°或126°．故答案為：54°或126°．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02根據(jù)等邊對等角求解或證明1．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，DA⊥AC，則∠ADB=（

）A．100° B．115° C．130° D．145°【答案】B【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠C=180°?∠BAC【詳解】解：∵AB=AC，∠BAC=130°，∴∠C=180°?∠BAC∵DA⊥AC，∴∠CAD=90°，∴∠ADB=∠C+∠CAD=115°．故選：B2．（2024·陜西·中考真題）如圖，BC是⊙O的弦，連接OB，OC，∠A是BC所對的圓周角，則∠A與∠OBC的和的度數(shù)是．

【答案】90°/90度【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓周角定理可得∠BOC=2∠A，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，可證明2∠A+∠OBC+∠OCB=180°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知∠OBC=∠OCB，由此即得答案．【詳解】∵∠A是BC所對的圓周角，∠BOC是BC所對的圓心角，∴∠BOC=2∠A，∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∴2∠A+∠OBC+∠OCB=180°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴2∠A+∠OBC+∠OBC=180°，∴2∠A+2∠OBC=180°，∴∠A+∠OBC=90°．故答案為：90°．3．（2024·山西·中考真題）如圖1是一個可調(diào)節(jié)的電腦桌，它的工作原理是利用液體在封閉的管路中傳遞力和能量．圖2是將其正面抽象成的圖形，其中桌面AB與底座CD平行，等長的支架AD,BC交于它們的中點E，液壓桿FG∥BC．若∠BAE=53°，則∠GFD的度數(shù)為（

）A．127° B．106° C．76° D．74°【答案】D【分析】題目主要考查等腰三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意得出AE=BE,∠BAE=∠ABE=53°，確定∠AEB=74°，再由對頂角及平行線的性質(zhì)即可求解【詳解】解：∵等長的支架AD,BC交于它們的中點E，∠BAE=53°，∴AE=BE,∠BAE=∠ABE=53°，∴∠AEB=180°?∠ABE?∠BAE=74°，∴∠AEB=∠CED=74°，∵FG∥BC，∴∠GFD=∠CED=74°，故選：D4．（2024·重慶渝北·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，若CA=6,CB=8，CD為△ABC的中線，點E在邊AC上(不與端點重合)，BE與CD交于點F，若EC=EF，則DF=．【答案】11【分析】如圖，倍長CD至G，使CD=DG，連接BG，易證BF=BG=AC=6，設(shè)EC=EF=x，在Rt△BCE中，BE2=BC2+CE2，則(x+6)2=x2【詳解】解：如圖，倍長CD至G，使CD=DG，連接BG，∵CD為△ABC的中線，∴BD=AD，而∠ADC=∠BDG，∴△ADC≌△BDG，∴BG=AC，∠ACD=∠G，∴AC∥∵EC=EF，∴∠ACD=∠CFE，而∠CFE=∠BFG，∴∠G=∠BFG，∴BF=BG，∴BF=BG=AC=6，設(shè)CE=EF=x，在Rt△BCE中，B則(x+6)2解得：x=7∵∠BCA=90°，BC=8，AC=6，AD為△ABC的中線，∴AB=62+∵∠ACD=∠G，∴AC∥∴∠CBG=180°?∠ACB=90°，∵AC=BG,BC=BC，∴△ACB≌∴CG=AB=10，設(shè)CF=y，∵AC∥∴△CEF∽△GBF，∴CFFG∴y10?y解得y=14∵CD=1∴DF=CD?CF=故答案為：115【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形的中線，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建全等三角形與相似三角形．?題型03根據(jù)三線合一求解或證明1．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，∠BAC=∠DAE=40°，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，當AD⊥BC時，∠BAE的度數(shù)是．【答案】60°或120°【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分兩種情況分別畫出圖形，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)與角的和差運算可得答案；【詳解】解：如圖，當AD⊥BC時，延長AD交BC于J，∵AB=AC，∠BAC=∠DAE=40°，∴∠BAJ=∠CAJ=20°,∴∠BAE=20°+40°=60°；如圖，當AD⊥BC時，延長DA交BC于J，∵AB=AC，∠BAC=∠DAE=40°，∴∠BAJ=∠CAJ=20°,∴∠BAE=180°?20°?40°=120°，故答案為：60°或120°2．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D為邊BC的中點，點E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，AE=CF，則四邊形AEDF的面積為（

）A．18 B．92 C．9 D．【答案】C【分析】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握相關(guān)的線段與角度的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．連接AD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及AE=CF得出△ADE≌△CDF，將四邊形AEDF的面積轉(zhuǎn)化為三角形ADC的面積再進行求解．【詳解】解：連接AD，如圖：∵∠BAC=90°，AB=AC=6，點D是BC中點，AE=CF∴∠BAD=∠B=∠C=45°,AD=BD=DC∴△ADE≌△CDF，∴S又∵S△ABC∴S故選：C4．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，sinB=45，則BCA．3 B．6 C．8 D．9【答案】B【分析】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理．正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．過點A作AD⊥BC于點D．由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出BD=CD=12BC．根據(jù)sinB=ADAB=【詳解】解：如圖，過點A作AD⊥BC于點D．∵AB=AC=5，∴BD=CD=1在Rt△ABD中，sin∴AD=4∴BD=A∴BC=2BD=6．故選B．4．（2024·福建·中考真題）小明用兩個全等的等腰三角形設(shè)計了一個“蝴蝶”的平面圖案．如圖，其中△OAB與△ODC都是等腰三角形，且它們關(guān)于直線l對稱，點E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點，OE⊥OF．下列推斷錯誤的是（

）A．OB⊥OD B．∠BOC=∠AOBC．OE=OF D．∠BOC+∠AOD=180°【答案】B【分析】本題考查了對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等；A.由對稱的性質(zhì)得∠AOB=∠DOC，由等腰三角形的性質(zhì)得∠BOE=12∠AOBB.∠BOC不一定等于∠AOB，即可判斷；C.由對稱的性質(zhì)得△OAB≌△ODC，由全等三角形的性質(zhì)即可判斷；D.過O作GM⊥OH，可得∠GOD=∠BOH，由對稱性質(zhì)得∠BOH=∠COH同理可證∠AOM=∠BOH，即可判斷；掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.∵OE⊥OF，∴∠BOE+∠BOF=90°，由對稱得∠AOB=∠DOC，∵點E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點，△OAB與△ODC都是等腰三角形，∴∠BOE=12∠AOB∴∠BOF+∠DOF=90°，∴OB⊥OD，結(jié)論正確，故不符合題意；B.∠BOC不一定等于∠AOB，結(jié)論錯誤，故符合題意；C.由對稱得△OAB≌△ODC，∵點E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點，∴OE=OF，結(jié)論正確，故不符合題意；D.過O作GM⊥OH，∴∠GOD+∠DOH=90°，∵∠BOH+∠DOH=90°，∴∠GOD=∠BOH，由對稱得∠BOH=∠COH，∴∠GOD=∠COH，同理可證∠AOM=∠BOH，∴∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOM+∠DOG=180°，結(jié)論正確，故不符合題意；故選：B．5．（2023·遼寧沈陽·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，點E在DA的延長線上，連接BE，過點C作CF∥BE交AD的延長線于點F，連接BF、CE，求證：四邊形

【答案】證明見解析【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得到AD垂直平分BC，進而得到EB=EC，F(xiàn)B=FC，BD=CD，再利用平行線的性質(zhì)，證明△EBD≌△FCDAAS，得到BE=FC，進而得到EB=BF=FC=EC，即可證明四邊形BECF【詳解】證明：∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴AD垂直平分BC，∴EB=EC，F(xiàn)B=FC，BD=CD，∵CF∥∴∠BED=∠CFD，∠EBD=∠FCD，在△EBD和△FCD中，∠BED=∠CFD∠EBD=∠FCD∴△EBD≌△FCDAAS∴BE=FC，∴EB=BF=FC=EC，∴四邊形EBFC是菱形．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，靈活運用相關(guān)知識點解決問題是解題關(guān)鍵．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04在格點圖中畫等腰三角形1．（2021·吉林·中考真題）圖①、圖2均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形的邊長為1，點A，點B均在格點上，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上．（1）在圖①中，以點A，B，C為頂點畫一個等腰三角形；（2）在圖②中，以點A，B，D，E為頂點畫一個面積為3的平行四邊形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的定義畫出圖形即可：如以B為頂點，AC為底邊，即可做出等腰三角形；（2）作底為1，高為3的平行四邊形即可．【詳解】解：（1）如圖①中，此時以B為頂點，AC為底邊，該△ABC即為所求（答案不唯一）．（2）如圖②中，此時底AE=1，高?=3，因此四邊形ABDE即為所求．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵掌握等腰三角形和平行四邊形的基本性質(zhì)．2．（2021·江蘇揚州·中考真題）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中有兩個格點A、B，連接AB，在網(wǎng)格中再找一個格點C，使得△ABC是等腰直角三角形，滿足條件的格點C的個數(shù)是（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰．【詳解】解：如圖：分情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊時，符合條件的C點有0個；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有3個．故共有3個點，故選：B．

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實際條件的圖形，數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想．3．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，線段AB、線段EF的端點均在小正方形的頂點上．(1)在圖中畫以EF為斜邊的等腰直角△DEF，點D在小正方形的格點上；(2)在（1）的條件下，在圖中以AB為邊畫Rt△BAC，點C在小正方形的格點上，使∠BAC=90°，且tan∠ACB=23，【答案】(1)圖見解析(2)圖見解析，CD=【分析】本題考查了作圖——應(yīng)用與設(shè)計作圖，等腰直角三角形的特征，解直角三角形的應(yīng)用等知識，掌握相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．（1）利用網(wǎng)格，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)，取格點D，連接DF、DE即可；（2）結(jié)合已知條件，取格點C，連接AC、BC、CD，利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：如圖，△DEF即為所求作；（2）解：如圖，Rt△BAC由勾股定理得：CD=14．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點均在格點上.按要求完成下列畫圖．(1)在圖1中畫出一個以AB為底的等腰△ABD，使SABD=SABC，點(2)在圖2中的邊AC上找一點E，連接BE，使BE⊥AC．(要求：用無刻度直尺，保留必要的畫圖痕跡，不寫畫法)【答案】(1)圖見解析，4+4(2)見解析【分析】本題考查了在格點圖中畫等腰三角形，平行線的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等．（1）以AB為底的等腰△ABD，則點D在AB的垂直平分線上，結(jié)合SABD=SABC，即點C到AB的距離等于點D到AB的距離，即可確定點D的位置；再根據(jù)直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方求出（2）根據(jù)兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，全等三角形的對應(yīng)角相等可推得∠BEA=90°，即可得出BE⊥AC．【詳解】（1）解：如圖：點D即為所求．則AD=BC=2故△ABD的周長為AB+2AD=4+45（2）解：如圖：BE⊥AC．理由：如圖：∵AF=CG=3，AB=AG=4，∠BAF=∠AGC=90°，∴△BAF≌△AGC，∴∠GAC=∠ABF，∵∠GAC+∠BAC=∠ABF+∠BAC=90°，即∠BEA=90°，∴BE⊥AC．QUOTE?題型05根據(jù)等角對等邊求邊長1．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，?ABCD中，BC=2，點E在DA的延長線上，BE=3，若BA平分∠EBC，則DE=．【答案】5【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．由平行四邊形的性質(zhì)可知，AD=BC=2，BC∥AD，進而得出∠BAE=∠EBA，再由等角對等邊的性質(zhì)，得到BE=AE=3，即可求出【詳解】解：在?ABCD中，BC=2，∴AD=BC=2，BC∥∴∠CBA=∠BAE，∵BA平分∠EBC，∴∠CBA=∠EBA，∴∠BAE=∠EBA，∴BE=AE=3，∴DE=AD+AE=2+3=5，故答案為：5．2．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，正五邊形ABCDE的邊長為4，則這個正五邊形的對角線AC的長是．

【答案】25+2【分析】此題考查了正五邊形以及等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．根據(jù)正五邊形以及等腰三角形的性質(zhì)得出AF=AB=4，再證明△BCF∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出CF，最后由線段和差即可求出AC的長．【詳解】解：如圖，連接BD交AC于點F，

∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠ABC=∠BCD=5?2×180°5∴∠BCA=∠BAC=180°?108°∴∠ABF=108°?36°=72°，∵∠AFB=∠CBD+∠BCA=36°+36°=72°，∴∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=4，∵∠BCF=∠ACB，∠BAC=∠CBF，∴△BCF∽△ACB，∴BCAC即4CF+4解得CF=25?2或∴AC=CF+AF=25故答案為：253．（2023·浙江·中考真題）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，∠B=∠ADB．若AB=4，則DC的長是．

【答案】4【分析】由∠B=∠ADB可得AD=AB=4，由DE是AC的垂直平分線可得AD=DC，從而可得DC=AB=4．【詳解】解：∵∠B=∠ADB，∴AD=AB=4，∵DE是AC的垂直平分線，∴AD=DC，∴DC=AB=4．故答案為：4．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等角對等邊等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵．4．（2022·江蘇淮安·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點D是AC邊上的一點，過點D作DF∥AB，交BC于點F，作∠BAC的平分線交DF于點E，連接BE．若△ABE的面積是2，則DEEF的值是【答案】3【分析】先根據(jù)勾股定理得出AB=5，根據(jù)△ABE的面積是2，求出點E到AB的距離為45，根據(jù)Rt△ABC的面積，求出點C到AB的距離為AC?BCAB=125，即可得出點C到DF的距離為85，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，得出CDCA=【詳解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=5∵△ABE的面積是2，∴點E到AB的距離為45在Rt△ABC中，點C到AB的距離為AC?BC∴點C到DF的距離為85∵DF∥AB，∴△CDF∽△CAB，∴CDCA∴CD=2，DF=10∵AE平分∠CAB，∴∠BAE=∠CAE，∵DF∥AB，∴∠AED=∠BAE，∴∠DAE=∠DEA，∴DA=DE=1，∴EF=DF?DE=10∴DEEF故答案為：37【點睛】本題主要考查了三角形高的有關(guān)計算，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是求出點E到AB的距離為45，點C到DF的距離為8?題型06根據(jù)等角對等邊證明1．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧分別交AB,AC于點M和點N，再分別以點M,N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接AP并延長交BC于點D．若△ACD的面積為8，則△ABD的面積是（A．8 B．16 C．12 D．24【答案】B【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，含30°的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識，由作圖知AD平分∠BAD，則可求∠CAD=∠DAB=30°，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)得出CD=12AD，利用等角對等邊得出AD=BD【詳解】解：∵∠C=90°,∠B=30°，∴∠CAB=60°，由作圖知：AD平分∠BAD，∴∠CAD=∠DAB=30°，∴CD=12AD∴AD=BD，∴CD=1∴S△ACD又△ACD的面積為8，∴△ABD的面積是2×8=16，故選B．2．（2024·山東·中考真題）如圖，已知∠MAN，以點A為圓心，以適當長為半徑作弧，分別與AM、AN相交于點B，C；分別以B，C為圓心，以大于12BC的長為半徑作弧，兩弧在∠MAN內(nèi)部相交于點P，作射線AP．分別以A，B為圓心，以大于12AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點D，E，作直線DE分別與AB，AP相交于點F，Q．若AB=4，∠PQE=67.5°，則F到【答案】2【分析】如圖，過F作FH⊥AC于H，證明∠BAP=∠CAP，DE⊥AB，AF=BF=12AB=2【詳解】解：如圖，過F作FH⊥AC于H，由作圖可得：∠BAP=∠CAP，DE⊥AB，AF=BF=1∵∠PQE=67.5°，∴∠AQF=67.5°，∴∠BAP=∠CAP=90°?67.5°=22.5°，∴∠FAH=45°，∴AH=FH=2∴F到AN的距離為2；故答案為：2【點睛】本題考查了作圖?復(fù)雜作圖：基本作圖，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的判定，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)，逐步操作．3．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，把矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在點E處，BE與AD交于點F，若AB=6，BC=8，則cos∠ABF的值是【答案】24【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．折疊問題優(yōu)先考慮利用勾股定理列方程，證BF=DF，再利用Rt△ABF【詳解】解：∵折疊，∴∠DBC=∠DBF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥∴∠ADB=∠DBC，∴∠DBF=∠ADB，∴BF=DF，∴AF=AD?DF=8?BF，在Rt△ABF中，A∴6解得BF=25∴cos故答案為：24254．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，在△ABC中，DE∥BC，(1)求證：∠BDF=∠A；(2)若∠A=45°，DF平分∠BDE，請直接寫出△ABC的形狀．【答案】(1)見解析(2)△ABC是等腰直角三角形．【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定．（1）由平行證明∠AED=∠C，由等量代換得到∠EDF=∠AED，利用平行線的判定“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”證明DF∥AC，即可證明（2）利用平行線的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義求得∠BDE=90°，∠B=90°，據(jù)此即可得到△ABC是等腰直角三角形．【詳解】（1）證明：∵DE∥∴∠AED=∠C，∵∠EDF=∠C，∴∠EDF=∠AED，∴DF∥∴∠BDF=∠A；（2）解：△ABC是等腰直角三角形．∵∠BDF=∠A，∴∠BDF=∠A=45°，∵DF平分∠BDE，∴∠BDE=2∠BDF=90°，∵DE∥∴∠B=180°?∠BDE=90°，∴∠C=180°?∠A?∠B=45°=∠A，∴△ABC是等腰直角三角形．?題型07確定構(gòu)成等腰三角形的點1．（2024·貴州畢節(jié)·一模）點A，B在直線l同側(cè)，若點C是直線l上的點，且△ABC是等腰三角形，則這樣的點C最多有（

）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，先以A點為圓心，AB為半徑作弧交直線l于點C1、C2，再先以B點為圓心，BA為半徑作弧交直線l于點C3，C4，最后作【詳解】解：如圖，點C1故答案為：A．2．（2022·江蘇南京·一模）如圖，M，N是∠AOB的邊OA上的兩個點(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若邊OB上有且只有1個點P，滿足△PMN是等腰三角形，則a的取值范圍是．【答案】a＞8或a=4【分析】如圖，作線段MN的垂直平分線交OB于點OP，連接PM，PN，則PM=PN，△PMN是等腰三角形，另外當△PMN是等邊三角形時，滿足構(gòu)成等腰三角形的點P恰好只有一個．【詳解】如圖，作線段MN的垂直平分線交OB于點OP，連接PM，PN，則PM=PN，△PMN是等腰三角形，過點M作MH⊥OB于H，當MH＞MN，即MH＞4時，滿足構(gòu)成等腰三角形的點P恰好只有一個，當MH=4時，∵∠AOB=30°，∴OM=2MH=8，∴當a＞8時，滿足構(gòu)成等腰三角形的點P恰好只有一個，另外當△PMN是等邊三角形時，滿足構(gòu)成等腰三角形的點P恰好只有一個，此時a=4，故答案為：a＞8或a=4【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會特殊位置解決問題．3．（2023·四川綿陽·中考真題）如圖，過原點O的直線與反比例函數(shù)y1=kx(k≠0)的圖象交于A(1，2)，B兩點，一次函數(shù)y2

(1)求反比例函數(shù)的解析式；當y1>y(2)在y軸上是否存在點M，使得△COM為等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y1=2x(2)點M的坐標為(0,5)或(0,?5)【分析】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式及等腰三角形，熟知待定系數(shù)法及利用分類討論的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵．（1）將點A坐標代入反比例函數(shù)解析式即可求出k，利用數(shù)形結(jié)合的思想即可求出x的取值范圍．（2）先求出點C坐標，再根據(jù)分類討論的數(shù)學(xué)思想即可解決問題．【詳解】（1）解：由題知，將A點坐標代入反比例函數(shù)解析式得，k=1×2=2，所以反比例函數(shù)的解析式為y1由函數(shù)圖象可知，在直線x=0和x=1之間的部分及直線x=2右側(cè)的部分，反比例函數(shù)y1的圖象在一次函數(shù)y2的圖象的上方，即所以x的取值范圍是：0<x<1或x>2．（2）將x=2代入反比例函數(shù)解析式得y=1，所以點C的坐標為(2，1)．則OC=2?0如圖：

當OC=OM時，OM=5所以點M坐標為((0,5)或當CM=CO時，點C在OM的垂直平分線上，又因為點C坐標為(2，1)，所以點M坐標為(0，2)．當MO=MC時，點M在OC的垂直平分線上，過點C作CN⊥y軸于點N，令MO=m，則MC=m，MN=m?1，在Rt△CMNC即22解得m=5所以點M的坐標為(0,5綜上所述：點M的坐標為(0,5)或(0,?5)或4．（2020·四川廣元·中考真題）如圖所示，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=mx的圖象交于（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）在x軸上存在一點C，使△AOC為等腰三角形，求此時點C的坐標；（3）根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍．【答案】（1）y=12x，y=13x+3；（2）6，0【分析】（1）因為反比例函數(shù)過A、B兩點，所以可求其解析式和n的值，從而知B點坐標，進而求一次函數(shù)解析式；（2）分三種情況：OA=OC，AO=AC，CA=CO，分別求解即可；（3）根據(jù)圖像得出一次函數(shù)圖像在反比例函數(shù)圖像上方時x的取值范圍即可.【詳解】解：（1）把A（3，4）代入y=m∴m＝12，∴反比例函數(shù)是y=12把B（n，-1）代入y=12把A（3，4）、B（-12，?1）分別代入y＝kx＋b中：得3k+b=4解得k=1∴一次函數(shù)的解析式為y=1（2）∵A（3，4），△AOC為等腰三角形，OA=32分三種情況：①當OA=OC時，OC=5，此時點C的坐標為5，0，②當AO=AC時，∵A（3，4），點C和點O關(guān)于過A點且垂直于x軸的直線對稱，此時點C的坐標為6，③當CA=CO時，點C在線段OA的垂直平分線上，過A作AD⊥x軸，垂足為D，由題意可得：OD=3，AD=4，AO=5，設(shè)OC=x，則AC=x，在△ACD中，42解得：x=256此時點C的坐標為256綜上：點C的坐標為：6，0，5，0，（3）由圖得：當一次函數(shù)圖像在反比例函數(shù)圖像上方時，-12<x<0或x>3，即使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍是：-12<x<0或x>3.【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想.?題型08等腰三角形性質(zhì)與判定綜合1．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5．正方形DEFG的邊長為5，它的頂點D，E，G分別在△ABC的邊上，則BG的長為【答案】3【分析】過點G作GH⊥AC，易得△AHG為等腰直角三角形，設(shè)AH=HG=x，得到CH=AC?AH=5?x，證明△GHD≌△DCE，得到CD=GH，進而得到CD=x，DH=5?2x，在Rt△DHG中，利用勾股定理求出x的值，根據(jù)平行線分線段成比例，求出BG【詳解】解：過點G作GH⊥AC，則：∠AHG=∠GHD=90°，∴∠DGH+∠HDG=90°，∵∠ACB=90°，AC=BC=5，∴AB=52∴∠AGH=45°=∠A，∴AH=HG，設(shè)AH=HG=x，則：CH=AC?AH=5?x，∵正方形DEFG，∴DG=DE,∠GDE=90°，∴∠HDG+∠CDE=90°，∴∠HGD=∠CDE，∵∠C=∠GHD=90°，∴△GHD≌△DCE，∴CD=GH=x，∴DH=CH?CD=5?2x，在Rt△GHD中，由勾股定理，得：G∴52=5?2x∴AH=2,CH=3，∵∠C=∠AHD=90°，∴HG∥BC，∴AGBG∴BG=3故答案為：32【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造特殊圖形和全等三角形．2．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，B、E、C、F是直線l上的四點，AC、DE相交于點G，AB=DF，AC=DE，BC=EF．(1)求證：△GEC是等腰三角形；(2)連接AD，則AD與l的位置關(guān)系是________．【答案】(1)見解析(2)AD∥l【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行線的判定：（1）證明△ABC≌△DFE，得到∠ACB=∠DEF，即可得證；（2）根據(jù)線段的和差關(guān)系，易得AG=DG，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得到∠CAD=∠ACB，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：在△ABC和△DFE中AB=DFAC=DE∴△ABC≌△DFE，∴∠ACB=∠DEF，∴EG=CG，∴△GEC是等腰三角形；（2）∵AC=DE，EG=CG，∴AC?CG=DE?EG，∴AG=DG，∴∠GAD=∠GDA=1∵∠ACE=∠DEF=1∵∠AGD=∠EGC，∴∠CAD=∠ACB，∴AD∥l．3．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）感悟如圖1，在△ABE中，點C，D在邊BE上，AB=AE，BC=DE．求證：∠BAC=∠EAD．應(yīng)用（1）如圖2，用直尺和圓規(guī)在直線BC上取點D，點E（點D在點E的左側(cè)），使得∠EAD=∠BAC，且DE=BC（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）如圖3，用直尺和圓規(guī)在直線AC上取一點D，在直線BC上取一點E，使得∠CDE=∠BAC，且DE=AB（不寫作法，保留作圖痕跡）．【答案】見解析【分析】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)、尺規(guī)作圖：證明△ABC≌△AED，即可求得∠BAC=∠EAD；應(yīng)用（1）：以點A為圓心，以AB長度為半徑作弧，交直線BC于一點，該點即為點E，以點A為圓心，以AC長度為半徑作弧，交直線BC于一點，該點即為點D，連接AD，AE；應(yīng)用（2）：以點C為圓心，以AC長為半徑作弧，交AC的延長線于一點，該點即為點D，以點C為圓心，以BC長為半徑作弧，交直線BC于一點，該點即為點E，連接DE．【詳解】感悟：∵AB=AE，∴∠B=∠E．在△ABC和△AED中AB=AE∴△ABC≌△AED．∴∠BAC=∠EAD．應(yīng)用：（1）：以點A為圓心，以AB長度為半徑作弧，交直線BC于一點，該點即為點E，以點A為圓心，以AC長度為半徑作弧，交直線BC于一點，該點即為點D，連接AD，AE，圖形如圖所示．（2）：以點C為圓心，以AC長為半徑作弧，交AC的延長線于一點，該點即為點D，以點C為圓心，以BC長為半徑作弧，交直線BC于一點，該點即為點E，連接DE，圖形如圖所示．根據(jù)作圖可得：CD=AC，CE=BC，又∠ACB=∠DCE，∴△ACB≌△DCE，∴∠CDE=∠BAC，DE=AB.4．（2024·江蘇南通·中考真題）綜合與實踐：九年級某學(xué)習(xí)小組圍繞“三角形的角平分線”開展主題學(xué)習(xí)活動．【特例探究】（1）如圖①，②，③是三個等腰三角形（相關(guān)條件見圖中標注），列表分析兩腰之和與兩腰之積．等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表圖序角平分線AD的長∠BAD的度數(shù)腰長兩腰之和兩腰之積圖①160°244圖②145°222圖③130°__________________請補全表格中數(shù)據(jù)，并完成以下猜想．已知△ABC的角平分線AD=1，AB=AC，∠BAD=α，用含α的等式寫出兩腰之和AB+AC與兩腰之積AB?AC之間的數(shù)量關(guān)系：______．【變式思考】（2）已知△ABC的角平分線AD=1，∠BAC=60°，用等式寫出兩邊之和AB+AC與兩邊之積AB?AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【拓展運用】（3）如圖④，△ABC中，AB=AC=1，點D在邊AC上，BD=BC=AD．以點C為圓心，CD長為半徑作弧與線段BD相交于點E，過點E作任意直線與邊AB，BC分別交于M，N兩點．請補全圖形，并分析1BM【答案】（1）見解析；AB+ACAB?AC=2cosα，（2）【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值分別計算，再填表即可；再由AB=AC=AD（2）如圖，延長AB至E使AE=AC，連接CE，過B作BH⊥CE于H，延長AD交CE于F，證明△ACE為等邊三角形，AF⊥CE，∠EAF=∠CAF=30°，設(shè)AC=AE=CE=2x，EH=a，利用相似三角形的性質(zhì)求解a=23x（3）根據(jù)題目要求畫圖，設(shè)∠A=α，運用等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求得α=36°，過點E作EF⊥AB于F，EH⊥BC于H，過點N作NG⊥AB于G，利用S△BMN【詳解】解：（1）∵∠BAD=∠CAD=30°，AD是△ABC的角平分線，AD=1，∴AD⊥BC，∴AB=AC=AD∴AB+AC=433圖序角平分線AD的長∠BAD的度數(shù)腰長兩腰之和兩腰之積圖①160°244圖②145°222圖③130°244如圖，由（1）可得：AD⊥BC，∴AB=AC=AD∴AB+AC=2cosα∴AB+ACAB?AC（2）猜想：AB+AC=3如圖，延長AB至E使AE=AC，連接CE，過B作BH⊥CE于H，延長AD交CE于F，∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴△ACE為等邊三角形，AF⊥CE，∠EAF=∠CAF=30°，設(shè)AC=AE=CE=2x，EH=a，∴CF=EF=x，AF=3x，而∴DF=3∵BH⊥CE，AF⊥CE，∴BH∥∴∠EBH=∠EAF=30°，△CDF∽△CBH，∴BE=2a，EH=3∵△CDF∽△CBH，∴DFBH=CF解得：a=2∴AB+AC=4x?2a=4x?2AB?AC=2x2x?2a∴AB+AC=3（3）補全圖形如圖所示：設(shè)∠A=α，∵BD=AD，∴∠ABD=∠A=α，∴∠BDC=∠ABD+∠A=2α，∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC=2α，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=2α，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴α+2α+2α=180°，解得：α=36°，∴∠A=∠ABD=∠CBD=36°，如圖，過點E作EF⊥AB于F，EH⊥BC于H，過點N作NG⊥AB于G，∵S△BMN∴12∵∠ABD=∠CBD，EF⊥AB，EH⊥BC，∴EF=EH，在Rt△BNG中，NG=BN?∴BM?BN?sin∴sin72°∵EHBE∴EH=BE?sin∴1BM由△ABC是確定的，由作圖可得BE為定長，而sin36°和sin∴sin72°即1BM【點睛】本題屬于實際探究題，考查了類比方法的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的靈活應(yīng)用，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．命題點二等邊三角形的性質(zhì)與判定?題型01利用等邊三角形的性質(zhì)求解1．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖所示的曲邊三角形也稱作“萊洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等邊三角形ABC；分別以點A，B，C為圓心，以AB的長為半徑作BC，AC，AB．三段弧所圍成的圖形就是一個曲邊三角形．若該“萊洛三角形”的周長為3π，則它的面積是【答案】9【分析】本題考查了弧長的計算，扇形面積的計算，三角函數(shù)的應(yīng)用，曲邊三角形是由三段弧組成，如果周長為3π，則其中的一段弧長就是π，所以根據(jù)弧長公式可得AB=AC=BC=3，即正三角形的邊長為3【詳解】解：∵曲邊三角形的周長為3π，△ABC∴AB=∴60∴AB=BC=AC=3,∴S∴S∴曲邊三角形的面積為：9故答案為：9π+932．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，四邊形ABCD為正方形，△ADE為等邊三角形，EF⊥AB于點F，若AD=4，則EF=．【答案】2【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，根據(jù)正方形和等邊三角形的性質(zhì)，得到△AFE為含30度角的直角三角形，AE=AD=4，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，△ADE為等邊三角形，EF⊥AB，AD=4，∴∠FAD=90°,∠EAD=60°,∠AFE=90°,AD=AE=4，∴∠FAE=30°，∴EF=1故答案為：2．3．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，在直角坐標系中，等邊三角形ABC的頂點A的坐標為0,4，點B,C均在x軸上．將△ABC繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到△AB'C'，則點【答案】(4,4?【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角函數(shù)的計算，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．作C'F⊥AO，求出OF，【詳解】解：作C'F⊥AO，交y軸于點由題可得：OA=4，∵△ABC是等邊三角形，AO⊥BC，∴AO是∠BAC的角平分線，∴∠OAC=30°，∴OC=1在Rt△AOC中，A即16+(解得AC=8∴ACOF=AO?AF=4?ACFC∴C故答案為：(4,4?44．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，等邊△ABC鋼架的立柱CD⊥AB于點D，AB長12m．現(xiàn)將鋼架立柱縮短成DE，∠BED=60°．則新鋼架減少用鋼（

A．24?123m B．24?83m C．【答案】D【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用．利用三角函數(shù)的定義分別求得DE=23，BE=43=AE，CD=6【詳解】解：∵等邊△ABC，CD⊥AB于點D，AB長12m∴AD=BD=1∵∠BED=60°，∴tan60°=∴DE=23∴BE=D∵∠CBD=60°，∴CD=BD·tan∠CBD=3∴新鋼架減少用鋼=AC+BC+CD?AE?BE?DE=24+63故選：D．?題型02等邊三角形的判定1．（2022·浙江嘉興·中考真題）小曹同學(xué)復(fù)習(xí)時將幾種三角形的關(guān)系整理如圖，請幫他在橫線上填上一個適當?shù)臈l件．【答案】∠A=60°（答案不唯一）【分析】利用等邊三角形的判定定理即可求解．【詳解】解：添加∠A=60°，理由如下：∵△ABC為等腰三角形，∴∠B=∠C=180°?∠A∴△ABC為等邊三角形，故答案為：∠A=60°（答案不唯一）．【點睛】本題考查了等邊三角形的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的判斷定理．2．（2022·青海西寧·中考真題）如圖，∠MON=60°，以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OM于點A，交ON于點B；分別以點A，B為圓心，大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧在∠MON的內(nèi)部相交于點P，畫射線OP；連接AB，AP，BP，過點P作PE⊥OM于點E，PF⊥ON于點F．則以下結(jié)論錯誤的是（

A．△AOB是等邊三角形 B．PE=PFC．△PAE≌△PBF D．四邊形OAPB是菱形【答案】D【分析】利用等邊三角形的判定定理可判定選項A；根據(jù)角平分線的性質(zhì)可判定選項B；利用HL可證明△PAE≌△PBF；利用菱形的判定定理可判定選項D．【詳解】解：∵∠MON=60°，OA=OB，∴△AOB是等邊三角形，故選項A成立，不符合題意；由作圖知：射線OP是∠MON的平分線，且PE⊥OM，PF⊥ON，∴PE=PF，故選項B成立，不符合題意；由作圖知：AP=BP，又PE=PF，∴△PAE≌△PBF(HL)，故選項C成立，不符合題意；∵OA與AP不一定相等，∴四邊形OAPB不一定是菱形，故選項D不成立，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了全等三角形的判定、菱形的判定．3．（2020·山西·中考真題）中國美食講究色香味美，優(yōu)雅的擺盤造型也會讓美食錦上添花．圖①中的擺盤，其形狀是扇形的一部分，圖②是其幾何示意圖（陰影部分為擺盤），通過測量得到AC=BD=12cm，C，D兩點之間的距離為4cm，圓心角為60°，則圖中擺盤的面積是（

）A．80πcm2 B．40πcm2 C．【答案】B【分析】先證明△COD是等邊三角形，求解OC,OD，利用擺盤的面積等于兩個扇形面積的差可得答案．【詳解】解：如圖，連接CD，OC=OD,∠COD=60°,∴△COD是等邊三角形，∵CD=4,∴OC=OD=4,∵AC=BD=12,∴OA=OB=16,所以則圖中擺盤的面積S扇形AOB故選B．【點睛】本題考查的是扇形面積的計算，等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．4．（2020·四川雅安·中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，∠ABC=60°，對角線BD平分∠ADC．（1）求證：△ABC是等邊三角形；（2）過點B作BE//CD交DA的延長線于點E，若AD=2，DC=3，求【答案】（1）見解析；（2）253【分析】（1）根據(jù)三個內(nèi)角相等的三角形是等邊三角形即可判斷；（2）過點A作AE⊥CD，垂足為點E，過點B作BF⊥AC，垂足為點F．根據(jù)S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD，分別求出△ABC，△ACD的面積，即可求得四邊形ABCD的面積，然后通過證得△EAB≌△DCB（AAS），即可求得△BDE的面積=四邊形ABCD的面積=253【詳解】解：（1）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O．∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=60°，∴∠ADC=120°，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB=60°，∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BAC=∠CDB=60°，∴∠ABC=∠BCA=∠BAC，∴△ABC是等邊三角形；（2）過點A作AM⊥CD，垂足為點M，過點B作BN⊥AC，垂足為點N．∴∠AMD=90°∵∠ADC=120°，∴∠ADM=60°，∴∠DAM=30°，∴DM=12AD=1，AM=A∵CD=3，∴CM=CD+DE=1+3=4，∴S△ACD=12CD-AM=12×3×3=在Rt△AMC中，∠AMD=90°，∴AC=AM∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=19，∴BN=32∴S△ABC=12×19×572=∴四邊形ABCD的面積=1934+33∵BE∥CD，∴∠E+∠ADC=180°，∵∠ADC=120°，∴∠E=60°，∴∠E=BDC，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠EAB=∠BCD，在△EAB和△DCB中，∠E=∠BDC∠EAB=∠DCB∴△EAB≌△DCB（AAS），∴△BDE的面積=四邊形ABCD的面積=253【點睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．QUOTE?題型03等邊三角形性質(zhì)與判定綜合1．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，交BC邊于點E，連接AE，AB=1，∠D=60°，則BE的長l=（結(jié)果保留π）．【答案】13π【分析】本題考查弧長的計算，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是判定ΔABE是等邊三角形，得到∠BAE=60°由平行四邊形的性質(zhì)推出∠B=∠D=60°，判定△ABE是等邊三角形，得到∠BAE=60°，由弧長公式即可求出BE?【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B=∠D=60°，由題意得：AB=AE，∴△ABE是等邊三角形，∴∠BAE=60°，∵AB=1，∴l(xiāng)=60π×1故答案為：132．（2024·海南·中考真題）如圖，AD是半圓O的直徑，點B、C在半圓上，且AB=BC=CD，點P在CD上，若∠PCB=130°，則A．105° B．100° C．90° D．70°【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)．連接OB，OC，證明△AOB和△BOC都是等邊三角形，求得∠BPC=30°，利用三角形內(nèi)角和定理求得∠PBC=20°，據(jù)此求解即可．【詳解】解：連接OB，OC，∵AD是半圓O的直徑，AB=∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，∴△AOB和△BOC都是等邊三角形，∴∠OBC=∠OBA=60°，∵BC=∴∠BPC=1∵∠PCB=130°，∴∠PBC=180°?130°?30°=20°，∴∠PBO=60°?20°=40°，∴∠PBA=40°+60°=100°，故選：B．3．（2024·湖北·中考真題）如圖，由三個全等的三角形(△ABE，△BCF，△CAD)與中間的小等邊三角形DEF拼成一個大等邊三角形ABC．連接BD并延長交AC于點G，若AE=ED=2，則：（1）∠FDB的度數(shù)是；（2）DG的長是．【答案】30°4【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用三角形相似及AE=DE可得BF=DF，再利用三角形的外角性質(zhì)結(jié)合可求得∠DBF=30°；（2）作CH⊥BG交BG的延長線于點H，利用直角三角形的性質(zhì)求得CH=1，F(xiàn)H=3，證明△ADG∽△CHG【詳解】解：∵△ABE≌△BCF≌△CAD(已知)，∴AD=BE=CF，AE=BF=DC，∵AE=ED=2，∴AD=BE=4，∵△DEF為等邊三角形，∴EF=DF=DE=2，∠EFD=∠EDF=60°，∴BF=DF=DC=2，∴∠FDB=∠FBD=12∠EFD=30°如圖，過點C作CH⊥BG的延長線于點H，∵∠CDH=30°，∴CH=CD×sinDH=CD×cos∵∠ADG=∠CHG，∠AGD=∠CGH，∴△ADG∽△CHG，∴DGHG∴DG=4故答案為：30°，434．（2023·北京·中考真題）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．

(1)求證DB平分∠ADC，并求∠BAD的大?。?2)過點C作CF∥AD交AB的延長線于點F．若AC=AD，【答案】(1)見解析，∠BAD=90°(2)4【分析】（1）根據(jù)已知得出AB=BC，則∠ADB=∠CDB，即可證明DB平分∠ADC，進而根據(jù)BD平分∠ABC，得出AD=CD，推出BAD=（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合已知條件得出，∠F=90°，△ADC是等邊三角形，進而得出∠CDB=12∠ADC=30°，由BD是直徑，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得BC=12BD，在【詳解】（1）解：∵∠BAC=∠ADB∴AB=∴∠ADB=∠CDB，即DB平分∠ADC．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴AD=∴AB+AD=∴BD是直徑，∴∠BAD=90°；（2）解：∵∠BAD=90°，CF∥∴∠F+∠BAD=180°，則∠F=90°．∵AD=∴AD=DC．∵AC=AD，∴AC=AD=CD，∴△ADC是等邊三角形，則∠ADC=60°．∵BD平分∠ADC，∴∠CDB=1∵BD是直徑，∴∠BCD=90°，則BC=1∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ADC+∠ABC=180°，則∠ABC=120°，∴∠FBC=60°，∴∠FCB=90°?60°=30°，∴FB=1∵BF=2，∴BC=4，∴BD=2BC=8．∵BD是直徑，∴此圓半徑的長為12【點睛】本題考查了弧與圓周角的關(guān)系，等弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，圓內(nèi)接四邊形對角互補，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．命題點三熱考題型匯總?題型01手拉手模型常見模型種類：等腰三角形

手拉手模型等邊三角形

手拉手模型等腰直角三角形

手拉手模型正方形手拉手模型【小結(jié)】1）頭頂頭，左手拉左手，右手拉右手，那么，頭左左≌頭右右.2）左手拉左手等于右手拉右手，即BD=CE或GD=BE.1．（2020·四川廣元·中考真題）如圖所示，△ABC,△ECD均為等邊三角形，邊長分別為5cm,3cm，B、C、D三點在同一條直線上，則下列結(jié)論正確的．（填序號）①AD=BE

②BE=7cm③△CFG為等邊三角形

④CM=137cm【答案】①②③⑤【分析】①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，則∠ACE＝60°，利用“SAS”可判斷△ACD≌△BCE，則AD＝BE；②過E作EN⊥CD,根據(jù)等邊三角形求出ED、CN的長，即可求出BE的長；③由等邊三角形的判定得出△CMN是等邊三角形；④證明△DMC∽△DBA，求出CM長；⑤證明M、F、C、G四點共圓，由圓周角定理得出∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，得出∠BMC＝∠DMC，所以CM平分∠BMD.【詳解】解：連接MC，F(xiàn)G，過點E作EN⊥BD，垂足為N，①∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，∴∠ACE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE＝120°，在△ACD和△BCE中，CA=CB∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；①正確；②∵△CDE都是等邊三角形，且邊長為3cm.∴CN=32cm，EN=3∵BC=5cm.∴BE=5+③∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，在△ACG和△BCF中，∠ACG=∠BCF∴△ACG≌△BCF（ASA），∴CG＝CF而∠GCF＝60°，∴△CFG是等邊三角形，③正確；⑤∵∠EMD＝∠MBD＋∠MDB＝∠MAC＋∠MDB＝60°＝∠FCG，∴M、F、C、G四點共圓，∴∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，∴∠BMC＝∠DMC，∴CM平分∠BMD，⑤正確；④∵∠DMC=∠ABD，∠MDC=∠BDA∴△DMC∽△DBA∴CM∴CM∴CM=157故答案為：①②③⑤.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．2．（2024·遼寧大連·一模）【模型定義】它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．他們得知這種模型稱為“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰長看作是小手，大等腰三角形的腰長看作大手，兩個等腰三角形有公共頂點，類似大手拉著小手．【模型探究】（1）如圖1，若△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一條直線上，連接BE，則∠AEB的度數(shù)為；線段BE與AD之間的數(shù)量關(guān)系是．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，求證：AD+CD=BD；（3）如圖3，P為等邊△ABC內(nèi)一點，且PA：PB：PC=3：4：5，以BP為邊構(gòu)造等邊△BPM，這樣就有兩個等邊三角形共頂點【拓展提高】（4）如圖4，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=m°，點E為△ABC外一點，點D為BC中點，∠EBC=∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度數(shù)．（用含有m的式子表示）（5）如圖5，兩個等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE，兩線交于點P，請證明BD和CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．【答案】（1）60°，BE=AD；（2）見解析；（3）150°；（4）∠EAF=12m°；（5）BD=CE【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）由△ACB和△DCE均為等邊三角形，可證△ACD≌△BCESAS，可得∠ADC=∠BEC，AD=BE，由點A、D、E在同一條直線上，可求∠AEB=60°（2）延長DC到E，使得DB=DE，由∠BDC=60°，可證△DEC為等邊三角形，可得EC=EC，由AB=BC，∠ABC=60°，可證△ABC為等邊三角形，可證△ADC≌△BEC（SAS）（3）由PA：PB：PC=3：4：5，由△ABC與△BPM都是等邊三角形，可證△ABP≌△CBM（（4）將AE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)m°得到AG，連接CG、EG、EF、FG，延長ED到M，使得DM=DE，連接FM、CM．先證△EDB≌△MDC（SAS），再證△GCF≌△MCF（SAS（5）由兩個等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，可證△DAB≌△EAC（SAS），可得∠DBA=∠ECA【詳解】解：（1）如圖1，∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．∴∠ACD=∠BCE．在△A