遼寧省新高考研究聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期初質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題本試卷滿分150分考試時(shí)間120分鐘第Ⅰ卷選擇題（共58分）一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的傾斜角為（）A. B. C. D.不存在2.已知，，點(diǎn)分所成的比為，則與的值分別為（）A. B.C. D.3.已知向量，，且與的夾角為，則等于（）A. B. C. D.4.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，5.設(shè)函數(shù)，且，則（）A. B. C. D.6.等差數(shù)列中，前項(xiàng)和為，公差，且，若，則（）A. B. C.不確定 D.7.由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計(jì)南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品.若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線（，）下支的部分，且此雙曲線兩條漸近線方向向下的夾角為，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.8.已知，直線：與：的交點(diǎn)在圓：上，則的最大值是（）A. B. C. D.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列排列組合數(shù)中，正確的是（）A. B.C. D.10.已知圓，則（）A.圓可能過原點(diǎn) B.圓心在直線上C.圓與直線相切 D.圓被直線所截得的弦長(zhǎng)為11.如圖，為等腰直角三角形，斜邊上的中線為線段中點(diǎn)，將沿折成大小為的二面角，連接，形成四面體，若是該四面體表面或內(nèi)部一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.若點(diǎn)為中點(diǎn)，則過的平面將三棱錐分成兩部分的體積比為B.若直線與平面沒有交點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡與平面的交線長(zhǎng)度為C.若點(diǎn)在平面上，且滿足，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D.若點(diǎn)在平面上，且滿足，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.若對(duì)任意正數(shù)x，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.13.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間像球一樣來回自由滾動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸（如圖）．勒洛四面體是以一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)分別為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的公共部分圍成的幾何體．若構(gòu)成勒洛四面體ABCD的正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，在該“空心”勒洛四面體ABCD內(nèi)放入一個(gè)球，則該球的球半徑最大值是_______．14.秦九韶是我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家，在他的著作數(shù)書九章》中有已知三邊求三角形面積的方法:“以小斜冪并大斜冪減中斜冪余半之，自乘于上以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之為實(shí)一為從隅，開平方得積”如果把以上這段文字寫成公式就是，共中a、b、c是△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊．若，且，2，成等差數(shù)列，則面積S的最大值為____四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值．16.設(shè)，是不共線的非零向量，且，．（1）證明：可以作為一個(gè)基底；（2）若向量，試用基底表示．17.對(duì)于函數(shù)，記，，，…，，其中.（1）若函數(shù)是一次函數(shù)，且，求的最小值；（2）若，且，求；（3）設(shè)函數(shù)（），記，，若，證明：.18.在多面體中，已知，，且，．（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．19.已知為橢圓上一點(diǎn)，對(duì)于上任意兩點(diǎn)，，我們定義關(guān)于的生成點(diǎn)的形成過程：過作平行于的直線交于異于的一個(gè)點(diǎn)（若與重合，則為在處的切線；若與處切線平行，則交點(diǎn)為），記為，且對(duì)，記，稱為關(guān)于的生成點(diǎn)列.（1）已知，，直接寫出和的坐標(biāo)；（2）若，且均在第一象限，證明：；（3）已知為上異于的一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，若關(guān)于的生成點(diǎn)列中至少有一點(diǎn)是，求出所有滿足題意的點(diǎn)的坐標(biāo).參考答案1-8【答案】C【答案】D【答案】C【答案】B【答案】C【答案】B【答案】D【答案】A9.【答案】BCD10.【答案】AD11.【答案】BC12.【答案】13.【答案】14.【答案】15.【小問1詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，因?yàn)槭侵崩庵?，所以平面，因此平面的一個(gè)法向量為，所以，即，又平面，所以平面；【小問2詳解】因?yàn)椋?，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以.16.【小問1詳解】假設(shè)，共線，所以存實(shí)數(shù)，使得，即，整理得，則，共線，這與，是不共線的非零向量矛盾，所以假設(shè)不成立，即與不共線，所以可以作為一個(gè)基底；【小問2詳解】設(shè)，因?yàn)?，是不共線的非零向量，所以，解得，所以．17.【小問1詳解】設(shè)，，，又因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為0．【小問2詳解】因?yàn)?，易知，所以，又．【小?詳解】因?yàn)?，即無解，所以若，則，即，所以，即，所以時(shí)，無解，同理若，即，所以時(shí)，無解，綜上．18.【小問1詳解】如圖，分別取，的中點(diǎn)、，連接、、，則且，因?yàn)榍遥郧覄t四邊形為平行四邊形，所以且，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，、平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面．【小?詳解】取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接，，，如圖所示，因?yàn)?，所以，在等腰梯形中，易得，又因?yàn)?，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，過作于點(diǎn)，由平面平面，平面，則平面，連接，則就是直線與平面所成的角，因?yàn)槠矫?，所以，由，，得，，是中點(diǎn)，，在等腰梯形中，，所以在等腰中，腰上的高，又因?yàn)?，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為．19.【小問1詳解】設(shè)，由，，得直線斜率，則過點(diǎn)且與平行的直線為，即，由對(duì)稱性可知，直線與橢圓交點(diǎn)為，即；由，則，由題意橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，過點(diǎn)作此切線的平行線交橢圓于點(diǎn)（異于點(diǎn)）；故，設(shè)，則過點(diǎn)，故設(shè)過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為，設(shè)橢圓在此點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立橢圓方程，由所求交點(diǎn)不同于點(diǎn)，則得，故.故，.【小問2詳解】設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)，由橢圓，則可設(shè)，其中參數(shù)，下面記對(duì)應(yīng)的參數(shù).由，可知，由題意均在第一象限，則，，.由此，若在橢圓上，可設(shè)，即，若，若，則，由和差化積公式可得，化簡(jiǎn)得，則，，所以，特別地，若，，則由，則.設(shè)，其中.設(shè)，根據(jù)上述結(jié)論由，可得，即，則，若，則，.若，則，結(jié)合圖形可知.有，所以若，則仍然成立.故同理可得，，則.【小問3詳解】對(duì)于生成的點(diǎn)列，下面用數(shù)學(xué)歸納