第三章協(xié)方差傳播率及權(quán)間接觀測值的精度評定協(xié)方差傳播律協(xié)方差傳播律的應(yīng)用四.權(quán)及定權(quán)的方法五.協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播率六.非等精度觀測精度評定1.

一、間接觀測精度評定問題

在實(shí)際工作中，一些未知量的求得，常常不是依靠直接測定或不可能直接測定，而是要通過由觀測值所組成的函數(shù)計算解出。

如何評定間接觀測值的精度？問題的提出

i=i+i+i-180如何計算直接觀測值按照一定的函數(shù)關(guān)系得到的間接觀測值的精度？2.

一、間接觀測精度評定問題間接觀測值精度評定的問題觀測值函數(shù)的中誤差與觀測值中誤差的關(guān)系由觀測值計算所得函數(shù)值的精確與否，主要取決于作為自變量的觀測值的質(zhì)量好壞。如何計算？

3.

二、協(xié)方差傳播律1、協(xié)方差誤差傳播律：在間接觀測中，待觀測量由一個或多個其它直接觀測值通過一定的函數(shù)關(guān)系間接計算出來，闡述觀測值函數(shù)的中誤差和觀測值中誤差的關(guān)系的公式稱為誤差傳播律。協(xié)方差：用來描述兩個隨機(jī)變量X

、Y之間的相關(guān)程度，定義為：4.

二、協(xié)方差傳播律三角形三個內(nèi)角觀測值經(jīng)閉合差改正后的內(nèi)角三角形閉合差:1、協(xié)方差獨(dú)立&相關(guān)協(xié)方差：用來描述兩個隨機(jī)變量X

、Y之間的相關(guān)程度5.

二、協(xié)方差傳播律協(xié)方差的估值1、協(xié)方差6.

二、協(xié)方差傳播律觀測值線性函數(shù)的方差：設(shè)觀測向量X及其期望和方差為：1、協(xié)方差7.

二、協(xié)方差傳播律相關(guān)系數(shù)表示X、Y間互不相關(guān)，對于正態(tài)分布而言，相互獨(dú)立。表示X、Y間相關(guān)。1、協(xié)方差8.

二、協(xié)方差傳播律表示觀測量相互獨(dú)立。各觀測量互不相關(guān)時，為對角矩陣。當(dāng)對角元素相等時，為等精度觀測。1、協(xié)方差9.

二、協(xié)方差傳播律2、觀測值線性函數(shù)的方差——協(xié)方差函數(shù)Z的方差為：觀測值

,數(shù)學(xué)期望方差陣，其線性函數(shù)如下：向量各分量相互獨(dú)立，則：10.

二、協(xié)方差傳播律線性函數(shù)：2、線性函數(shù)的方差——協(xié)方差如相互獨(dú)立，則：11.設(shè)n=1,即：

，則：

二、協(xié)方差傳播律設(shè)（3）（4）2、線性函數(shù)的方差——協(xié)方差12.

二、協(xié)方差傳播律[例1]量得圓的半徑為R=50.03m,觀測中誤差求圓周長的中誤差和相對誤差？形式2、線性函數(shù)的方差——協(xié)方差13.

二、協(xié)方差傳播律[例2]在1:1000地圖上，量得兩點(diǎn)間的距離d=23.4mm,圖上量距量測中誤差為0.2mm，求兩點(diǎn)實(shí)地距離及其中誤差形式2、線性函數(shù)的方差——協(xié)方差14.

二、協(xié)方差傳播律[例3]水準(zhǔn)測量從A到B到C的高差和相應(yīng)中誤差分別為：求AC兩點(diǎn)的高差及中誤差形式2、線性函數(shù)的方差——協(xié)方差15.

二、協(xié)方差傳播律[例4]用30m的鋼尺往返丈量一段距離，得如果一整尺段丈量的中誤差為：

,問往返測結(jié)果的中誤差、往返均值的中誤差以及相對誤差。2、線性函數(shù)的方差——協(xié)方差16.

二、協(xié)方差傳播律[例5]如圖，觀測角的中誤差協(xié)方差,若無誤差，求角的中誤差。ABC2、線性函數(shù)的方差——協(xié)方差17.

二、協(xié)方差傳播律[例6]用三角形閉合差求測角中誤差2、線性函數(shù)的方差——協(xié)方差18.

二、協(xié)方差傳播律[例7]求等精度觀測的三角形三個內(nèi)角按照閉合差分配后角度的協(xié)方差陣。2、線性函數(shù)的方差——協(xié)方差三角形閉合差:19.

二、協(xié)方差傳播律2、線性函數(shù)的方差——協(xié)方差[例7]求等精度觀測的三角形三個內(nèi)角按照閉合差分配后角度的協(xié)方差陣。20.

二、協(xié)方差傳播律2、線性函數(shù)的方差——協(xié)方差閉合差平均分配后角度平差值的中誤差小于原始觀測值[例7]求等精度觀測的三角形三個內(nèi)角按照閉合差分配后角度的協(xié)方差陣。21.

二、協(xié)方差傳播律線性函數(shù)的方差總結(jié)函數(shù)名稱函數(shù)式函數(shù)的中誤差倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)22.

二、協(xié)方差傳播律4、非線性函數(shù)的方差——協(xié)方差設(shè)非線性函數(shù)為：等價于23.

二、協(xié)方差傳播律[例8]已知Z

=4X1X2+X1/2,如果X1，X2的中誤差為m1，m2，求Z的中誤差。和差函數(shù)4、非線性函數(shù)的方差——協(xié)方差24.

二、協(xié)方差傳播律[例9]如圖三角形，測得ABCcba求b邊的長度及相對中誤差4、非線性函數(shù)的方差——協(xié)方差25.

二、協(xié)方差傳播律4、非線性函數(shù)的方差——協(xié)方差[例10]已知X=L1+L2Y=(L1+L2)/2Z=XY，設(shè)L1，L2中誤差均為m，求X,Y,Z的中誤差。26.

二、協(xié)方差傳播律非線性函數(shù)協(xié)方差計算步驟：（1）對函數(shù)式全微分，是非線性函化為線性函數(shù)形式；（2）如果自變量是相關(guān)觀測值，應(yīng)求出各變量之間的協(xié)方差；或用變量代換，經(jīng)合并同類項(xiàng)及移項(xiàng)等方法使其成為獨(dú)立觀測值后按照獨(dú)立觀測量的方法計算（3）對有些函數(shù)可先取對數(shù)在微分（4）數(shù)值帶入計算應(yīng)注意量綱的統(tǒng)一4、非線性函數(shù)的方差——協(xié)方差27.

二、協(xié)方差傳播律偶然誤差和系統(tǒng)誤差的合成28.

二、協(xié)方差傳播律矩陣形式的協(xié)方差傳播、求設(shè)隨機(jī)向量，其自協(xié)方差陣分別是29.、

二、協(xié)方差傳播律矩陣形式的協(xié)方差傳播設(shè)隨機(jī)向量，其自協(xié)方差陣分別是，互協(xié)方差陣是，求：30.

二、協(xié)方差傳播律矩陣形式的協(xié)方差傳播設(shè)隨機(jī)向量，其自協(xié)方差陣分別是，互協(xié)方差陣是

，

，求31.

綜合練習(xí)1（1）【1】設(shè)有觀測向量的協(xié)方差陣試寫出觀測值的中誤差及兩兩之間的協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)。32.

綜合練習(xí)1（1）【2】已知獨(dú)立觀測值

的中誤差設(shè):求:X，Y，Z，t的中誤差33.

綜合練習(xí)1（1）【3】設(shè)有觀測向量的協(xié)方差陣

，求函數(shù)的方差34.

綜合練習(xí)1（1）【3】設(shè)有觀測向量的協(xié)方差陣

，求函數(shù)的方差【2】已知獨(dú)立觀測值

的中誤差設(shè):求:X，Y，Z，t的中誤差【4】三角形測量測得角，邊長，試求三角形面積中誤差。35.

作業(yè)12、已知邊長S

和方位角的觀測精度分別為，試求坐標(biāo)增量的精度5、測量一矩形地塊，得長、寬的觀測值分別為85m、60m,若要求面積的中誤差小于0.5m2

，假定長、寬觀測值的誤差對面積精度產(chǎn)生的影響是等量的，并且是獨(dú)立的觀測，求長、寬測量的精度要求是多少？3、設(shè)有觀測向量的協(xié)方差陣

求函數(shù)F1、F2的方差及F1、F2的協(xié)方差4、設(shè)有觀測向量的協(xié)方差陣求函數(shù)F1、F2的方差及F1、F2的協(xié)方差1、已知獨(dú)立觀測值

的中誤差

，設(shè):求:X，Y，Z，t的中誤差36.

三、協(xié)方差傳播率的應(yīng)用1、觀測數(shù)據(jù)處理的研究內(nèi)容估值計算：根據(jù)觀測量求某些量在一定統(tǒng)計意義下的估值。衡量估值（觀測數(shù)據(jù)）的精度：觀測數(shù)據(jù)相對于真值或統(tǒng)計估值的中誤差。優(yōu)化估值計算模型37.三、協(xié)方差傳播率的應(yīng)用2、算術(shù)平均值是最可靠的估值在相同的觀測條件下，對一個量進(jìn)行多次觀測，則所有觀測值的算術(shù)均值為該量的最佳估值。證明：

n

趨近無窮大時，算術(shù)平均值即為真值。38.三、協(xié)方差傳播率的應(yīng)用3、算術(shù)平均值的中誤差

式中，1/n為常數(shù)。由于各獨(dú)立觀測值的精度相同，設(shè)其中誤差均為m。算術(shù)平均值的中誤差為：39.三、協(xié)方差傳播率的應(yīng)用結(jié)

論

n

增大，即觀測次數(shù)增大，則均值的精度提高。但觀測次數(shù)增加到一定的次數(shù)后（如10次），精度提高很慢。結(jié)論：n要提高均值的精度，不能簡單的從無限制的增加觀測次數(shù)達(dá)到目的。而是要采用適當(dāng)?shù)挠^測方法、適當(dāng)?shù)膬x器和適當(dāng)?shù)挠^測次數(shù)等幾個方面入手。40.三、協(xié)方差傳播率的應(yīng)用4、水準(zhǔn)測量的精度應(yīng)用協(xié)方差傳播公式可得：

在平坦地區(qū)的水準(zhǔn)測量中,每公里的測站數(shù)大致相等,

因此,

每公里觀測高差的方差相等,

設(shè)其均為

,則S公里觀測高差的方差和中誤差分別為：

設(shè)水準(zhǔn)測量中每一測站觀測高差hi的精度相同,其方差均為

,則具有n

個測站的水準(zhǔn)路線的總高差為：41.[例1]水準(zhǔn)觀測中，若每站觀測高差的中誤差為1cm，今要從已知點(diǎn)推算未知點(diǎn)的高程中誤差不能超過5cm，最多可以設(shè)幾站？三、協(xié)方差傳播率的應(yīng)用4、水準(zhǔn)測量的精度42.[例2]水準(zhǔn)測量中若要求每公里觀測高差中誤差不超過10mm，水準(zhǔn)路線全長高差中誤差不超過60mm,則該水準(zhǔn)路線長度不應(yīng)超過多少公里三、協(xié)方差傳播率的應(yīng)用4、水準(zhǔn)測量的精度43.[例3]有一角度觀測4測回的中誤差0.42",若要求中誤差為0.28"，需增加觀測多少測回？三、協(xié)方差傳播率的應(yīng)用4、水準(zhǔn)測量的精度44.[例4]已知某臺經(jīng)緯儀一測回的測角中誤差為±6",如果要使各測回的平均值的中誤差不超過±1.5",

則至少應(yīng)測多少測回？

三、協(xié)方差傳播率的應(yīng)用45.[例5]在１km的水準(zhǔn)測量中，高差觀測值的中誤差為２mm.Ａ點(diǎn)為己知水準(zhǔn)點(diǎn)，其中誤差為３mm，為了從Ａ點(diǎn)起敷設(shè)水準(zhǔn)路線以測定Ｂ點(diǎn)高程,

使Ｂ點(diǎn)高程中誤差為１cm,

該水準(zhǔn)路線有多長？三、協(xié)方差傳播率的應(yīng)用4、水準(zhǔn)測量的精度46.三、協(xié)方差傳播率的應(yīng)用5、等精度觀測數(shù)據(jù)的精度計算第一公式：第二公式：（白塞爾公式）觀測值真值已知其中

—觀測值改正數(shù)，觀測值真值未知算術(shù)平均值已知47.三、協(xié)方差傳播率的應(yīng)用公式證明：兩式相減，有：設(shè)：，則=048.三、協(xié)方差傳播率的應(yīng)用6、等精度觀測數(shù)據(jù)均值中誤差49.三、協(xié)方差傳播率的應(yīng)用[例6]三角形測角中誤差計算：已知三角形閉合差w50.三、協(xié)方差傳播率的應(yīng)用[例7]設(shè)用經(jīng)緯儀測量某個角6測回，觀測值列于表中。試求觀測值的中誤差及算術(shù)平均值中誤差。算術(shù)平均值L中誤差是：51.三、協(xié)方差傳播率的應(yīng)用7、三角高程測量的精度0152.三、協(xié)方差傳播率的應(yīng)用8、若干獨(dú)立誤差的聯(lián)合影響

在測量中常常遇到這種情況：一個觀測結(jié)果同時受到許多獨(dú)立誤差的聯(lián)合影響。例如照準(zhǔn)誤差、讀數(shù)誤差、目標(biāo)誤差和儀器誤差對測角的影響。在這種情況下觀測結(jié)果的真誤差是各個獨(dú)立誤差的代數(shù)和

53.三、協(xié)方差傳播率的應(yīng)用9、交會點(diǎn)的精度

xyOS0SL2L154.三、協(xié)方差傳播率的應(yīng)用10、GIS線元素的精度

SS1xyO55.綜合練習(xí)1、已知每一測站的高差是4個同精度水準(zhǔn)儀觀測結(jié)果的中數(shù)，此中數(shù)的中誤差是

。求：（1）16個測站高差和的中誤差，（2）若每一個測站只用一臺水準(zhǔn)儀進(jìn)行測量，求16個測站高差和的中誤差

56.綜合練習(xí)2、二、三等三角測量的測角中誤差分別是：試求二、三等三角測量的閉合差的限差。57.綜合練習(xí)3、三角形測量測得角，邊長，試求三角形面積中誤差。58.

四、權(quán)及定權(quán)的方法1、不等精度觀測問題ABCP不能簡單的取三個高差的平均值事先不知道方差（絕對值），但每個高差的貢獻(xiàn)（相對值）可以知道59.

四、權(quán)及定權(quán)的方法2、權(quán)估值計算：根據(jù)觀測量求某些量在一定統(tǒng)計意義下的估值。衡量估值（觀測數(shù)據(jù)）的精度：觀測數(shù)據(jù)相對于真值或統(tǒng)計估值的中誤差。準(zhǔn)則優(yōu)化準(zhǔn)則：根據(jù)直接觀測值對間接觀測值的貢獻(xiàn)計算估值，而貢獻(xiàn)值可認(rèn)為是一個最優(yōu)準(zhǔn)則，使數(shù)據(jù)計算采取的一種策略或模型權(quán)：60.

四、權(quán)及定權(quán)的方法2、權(quán)——定義設(shè)觀測值的方差，如選定任一常數(shù)，則定義：，稱為觀測值的權(quán)。權(quán)與方差成反比：61.

四、權(quán)及定權(quán)的方法方差越小其權(quán)越大，或者說精度越高其權(quán)越大。因此，權(quán)可以作為比較觀測值之間的精度高低的一種指標(biāo)。

權(quán)定義中的方差

，可以是同一個量的不同次觀測的精度，也可以是不同量的觀測值的精度。即，用權(quán)來比較各觀測值之間的精度高低，不限于是對同一個量的觀測值，同樣也適用于對不同量的觀測值。

62.

四、權(quán)及定權(quán)的方法只要事先給定一定的條件，就可以定權(quán)。方差（中誤差）越小，權(quán)越大，精度越高。權(quán)可以反映各觀測值在估值中所占比重大小（高精度的觀測對估值的貢獻(xiàn)大）2、權(quán)——性質(zhì)權(quán)的大小隨

變化，但權(quán)比不變選定了

，即對應(yīng)一組權(quán)權(quán)是衡量精度的相對指標(biāo)，為了使權(quán)起到比較精度的作用，一個問題只選一個

63.

四、權(quán)及定權(quán)的方法2、權(quán)——單位權(quán)中誤差相當(dāng)于權(quán)為1的觀測值的中誤差，稱為單位權(quán)中誤差，對應(yīng)的觀測值稱為單位權(quán)觀測值。64.

四、權(quán)及定權(quán)的方法例1：已知三個角度的觀測值中誤差為±3"，±4"，±5"，試求各角的權(quán)。例2：已知A角的中誤差為±2"，權(quán)為4，B角的權(quán)為16,試求單位權(quán)中誤差和B角的中誤差。65.

四、權(quán)及定權(quán)的方法3、常用的定權(quán)方法（1）算術(shù)中數(shù)的權(quán)

算術(shù)中數(shù)的權(quán)是等精度觀測值的權(quán)的n倍

設(shè)對某個物理量等精度地觀測了n

次得，若每一次觀測的精度是，權(quán)為p

，則：66.

四、權(quán)及定權(quán)的方法（2）水準(zhǔn)測量的權(quán)或BA123路線長度定權(quán)測站數(shù)定權(quán)3、常用的定權(quán)方法67.

四、權(quán)及定權(quán)的方法（3）邊角定權(quán)AB12

AB(XB,YB)B1SB1S123、常用的定權(quán)方法68.

四、權(quán)及定權(quán)的方法測距精度計算方法：測距儀標(biāo)稱參數(shù)69.

四、權(quán)及定權(quán)的方法例3：例4：70.

四、權(quán)及定權(quán)的方法4、加權(quán)均值的精度及權(quán)加權(quán)均值的方差等于各觀測值權(quán)之和的倒數(shù)加權(quán)均值的權(quán)等于各觀測值權(quán)之和71.

四、權(quán)及定權(quán)的方法例5：已知某量同精度觀測6次的平均值的權(quán)為4，欲使該量平均值的權(quán)為8，需觀測幾次？72.

五、協(xié)因數(shù)及協(xié)因數(shù)傳播率實(shí)際的觀測問題一般事先不知道方差（絕對值），但每個高差的貢獻(xiàn)（相對值）可以知道知道每個觀測值用什么水平的儀器觀測的知道每個觀測值是在什么條件下觀測的先定權(quán)，再計算方差，反過來再調(diào)整權(quán)權(quán)是一種比較觀測值之間精度高低的指標(biāo)，當(dāng)然，也可以用權(quán)來比較各個觀測值函數(shù)之間的精度。因此，同方差傳播定律一樣，也存在根據(jù)觀測值的權(quán)來求觀測值函數(shù)權(quán)的問題。

73.

五、協(xié)因數(shù)及協(xié)因數(shù)傳播率1、協(xié)因數(shù)及協(xié)因數(shù)陣

觀測值方差與單位權(quán)方差之比稱為協(xié)因數(shù)，也是衡量精度的相對指標(biāo)。74.五、協(xié)因數(shù)及協(xié)因數(shù)傳播率比較觀測值精度的一種指標(biāo)1、協(xié)因數(shù)及協(xié)因數(shù)陣75.五、協(xié)因數(shù)及協(xié)因數(shù)傳播率推導(dǎo)一：協(xié)方差陣1、協(xié)因數(shù)及協(xié)因數(shù)陣76.五、協(xié)因數(shù)及協(xié)因數(shù)傳播率協(xié)方差陣協(xié)方差陣1、協(xié)因數(shù)及協(xié)因數(shù)陣77.五、協(xié)因數(shù)及協(xié)因數(shù)傳播率觀測向量協(xié)因素陣的對角線元素是相應(yīng)的權(quán)倒數(shù)

1、協(xié)因數(shù)及協(xié)因數(shù)陣78.五、協(xié)因數(shù)及協(xié)因數(shù)傳播率定義權(quán)陣【特別注意】觀測值向量的權(quán)陣不是由觀測值的權(quán)和相關(guān)權(quán)組成的矩陣，

1、協(xié)因數(shù)及協(xié)因數(shù)陣79.五、協(xié)因數(shù)及協(xié)因數(shù)傳播率推導(dǎo)二：1、協(xié)因數(shù)及協(xié)因數(shù)陣80.五、協(xié)因數(shù)及協(xié)因數(shù)傳播率推導(dǎo)三：1、協(xié)因數(shù)及協(xié)因數(shù)陣81.五、協(xié)因數(shù)及協(xié)因數(shù)傳播率例1：已知權(quán)陣，利用協(xié)因數(shù)陣求權(quán)82.五、協(xié)因數(shù)及協(xié)因數(shù)傳播率例2：已知協(xié)因數(shù)陣求權(quán)和權(quán)陣83.五、協(xié)因數(shù)及協(xié)因數(shù)傳播率2、協(xié)因數(shù)傳播率設(shè)有觀測值的線性函數(shù)為：

Z=FX

協(xié)因數(shù)傳播率84.五、協(xié)因數(shù)及協(xié)因數(shù)傳播率設(shè)有觀測值的線性函數(shù)為：

Z=FX

權(quán)倒數(shù)傳播定律2、協(xié)因數(shù)傳播率85.五、協(xié)因數(shù)及協(xié)因數(shù)傳播率例3：2、協(xié)因數(shù)傳播率86.五、協(xié)因數(shù)及協(xié)因數(shù)傳播率2、協(xié)因數(shù)傳播率87.五、協(xié)因數(shù)及協(xié)因數(shù)傳播率例5：直接按照權(quán)倒數(shù)傳播率？2、協(xié)因數(shù)傳播率88.五、協(xié)因數(shù)及協(xié)因數(shù)傳播率例6：例7：2、協(xié)因數(shù)傳播率89.五、協(xié)因數(shù)及協(xié)因數(shù)傳播率例6：2、協(xié)因數(shù)傳播率90.綜合練習(xí)291.綜合練習(xí)292.

六、非等精度觀測數(shù)據(jù)的精度估計等精度觀測數(shù)據(jù)的精度非等精度觀測數(shù)據(jù)，如何求？通過加權(quán)化為等精度觀測1、非等精度觀測值中誤差計算93.六、非等精度觀測數(shù)據(jù)的精度估計94.六、非等精度觀測數(shù)據(jù)的精度估計非等精度觀測數(shù)據(jù)中誤差為：非等精度觀測數(shù)據(jù)單位權(quán)中誤差計算公式95.六、非等精度觀測數(shù)據(jù)的精度估計用改正數(shù)計算的非等精度觀測數(shù)據(jù)的精度估計：96.六、非等精度觀測數(shù)據(jù)的精度估計

觀測數(shù)據(jù)的真誤差一般是不知道的，測量時常對一系列觀測量進(jìn)行成對觀測（雙觀測），形成雙觀測量，可以用雙觀測量求單位權(quán)中誤差水準(zhǔn)測量往返測像點(diǎn)坐標(biāo)重復(fù)測量GPS重復(fù)測量邊長往返對測用雙觀測量之差求取單位權(quán)中誤差——〉觀測精度計算2、用雙觀測量之差求單位權(quán)中誤差97.六、非等精度觀測數(shù)據(jù)的精度估計2、用雙觀測量之差求單位權(quán)中誤差98.六、非等精度觀測數(shù)據(jù)的精度估計1）雙觀測量單位權(quán)中誤差99.六、非等精度觀測數(shù)據(jù)的精度估計2）雙觀測量列（每一組）單次觀測值中誤差100.六、非等精度觀測數(shù)據(jù)的精度估計3）雙觀測量列（每一組）平均值中誤差101.六、非等精度觀測數(shù)據(jù)的精度估計3、舉例例1：102.六、非等精度觀測數(shù)據(jù)的精度估計例2：3、舉例103.七、系統(tǒng)誤差和偶然誤差的傳播1、觀測值的系統(tǒng)誤差與綜合誤差的方差綜合誤差準(zhǔn)確度104.七、系統(tǒng)誤差和偶然誤差的傳播2、觀測值的系統(tǒng)誤差的傳播

在實(shí)際測量工作中，由于某些觀測值存在有殘余系統(tǒng)誤差的影響，使得其函數(shù)也產(chǎn)生系統(tǒng)誤差，稱之為系統(tǒng)誤差的傳播。僅含有系統(tǒng)誤差的觀測值函數(shù)的誤差傳播定律

105.七、系統(tǒng)誤差和偶然誤差的傳播3、系統(tǒng)誤差與偶然誤差的綜合傳播