微重點(diǎn)07球的切接問(wèn)題（2大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）空間幾何體的外接球、內(nèi)切球是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，也是高考命題的熱點(diǎn)，一般是通過(guò)對(duì)幾何體的割補(bǔ)或?qū)ふ規(guī)缀误w外接球的球心求解外接球問(wèn)題，利用等體積法求內(nèi)切球半徑等，一般出現(xiàn)在壓軸小題位置．知識(shí)導(dǎo)圖考點(diǎn)分類(lèi)講解考點(diǎn)一：空間幾何體的外接球規(guī)律方法求解空間幾何體的外接球問(wèn)題的策略(1)定球心：球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑．(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系)，達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的．(3)求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解．【例1】（2024·遼寧撫順·一模）在三棱錐中，，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【變式1】（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開(kāi)學(xué)考試）已知正四面體的棱長(zhǎng)為，則該四面體的外接球與以點(diǎn)為球心，為半徑的球面的交線(xiàn)的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【變式2】(2023·昆明模擬)故宮太和殿是中國(guó)形制最高的宮殿，其建筑采用了重檐廡殿頂?shù)奈蓓敇邮?，廡殿頂是“四出水”的五脊四坡式，由一條正脊和四條垂脊組成，因此又稱(chēng)五脊殿．由于屋頂有四面斜坡，故又稱(chēng)四阿頂．如圖，某幾何體ABCDEF有五個(gè)面，其形狀與四阿頂相類(lèi)似．已知底面ABCD為矩形，AB＝4，AD＝EF＝2，EF∥底面ABCD，且EA＝ED＝FB＝FC＝BC，則幾何體ABCDEF外接球的表面積為()A．22π B．28πC．32π D．38π【變式3】(2023·全國(guó)乙卷)已知點(diǎn)S，A，B，C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，SA⊥平面ABC，則SA＝________.考點(diǎn)二：空間幾何體的內(nèi)切球規(guī)律方法空間幾何題的內(nèi)切球問(wèn)題，一是找球心，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑，作出截面，在截面中求半徑；二是利用等體積法直接求內(nèi)切球的半徑．【例2】（2024·湖南·二模）一個(gè)正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2，高為，則該四棱錐的內(nèi)切球表面積為.【變式1】(2023·沈陽(yáng)模擬)如圖，圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)球，該球與圓臺(tái)的側(cè)面和底面均相切．已知圓臺(tái)的下底面圓心為O1，半徑為r1，圓臺(tái)的上底面圓心為O2，半徑為r2(r1>r2)，球的球心為O，半徑為R，記圓臺(tái)的表面積為S1，球的表面積為S2，則eq\f(S1,S2)的可能的取值為()A.eq\f(π,2)B.eq\f(3,2)C.eq\f(π,3)D.eq\f(4,3)【變式2】（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）某包裝設(shè)計(jì)部門(mén)為一球形塑料玩具設(shè)計(jì)一種正四面體形狀的外包裝盒（盒子厚度忽略不計(jì)），已知該球形玩具的直徑為2，每盒需放入10個(gè)塑料球，則該種外包裝盒的棱長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．【變式3】（2024·四川宜賓·二模）所有棱長(zhǎng)均為6的三棱錐，其外接球和內(nèi)切球球面上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線(xiàn)段長(zhǎng)度的最大值為.強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知某正六棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，則該正六棱柱的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東梅州·一模）某圓錐的底面直徑和高均是2，則其內(nèi)切球（與圓錐的底面和側(cè)面均相切）的半徑為（

）A． B．C． D．3．（2024·陜西西安·一模）六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)，若相鄰兩個(gè)氟原子之間的距離為m，則該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為（

）A． B． C． D．4．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）將邊長(zhǎng)為2的正三角形沿某條線(xiàn)折疊，使得折疊后的立體圖形有外接球，則當(dāng)此立體圖形體積最大時(shí)，其外接球表面積為（

）A． B． C． D．5．（2024·河北邯鄲·三模）已知在四面體中，，二面角的大小為，且點(diǎn)A，B，C，D都在球的球面上，為棱上一點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)．若，則（

）A． B． C． D．6．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐的底面為矩形，，，側(cè)面為正三角形且垂直于底面，M為四棱錐內(nèi)切球表面上一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線(xiàn)距離的最小值為（

）A． B． C． D．7．（2024·河南開(kāi)封·二模）已知經(jīng)過(guò)圓錐的軸的截面是正三角形，用平行于底面的截面將圓錐分成兩部分，若這兩部分幾何體都存在內(nèi)切球（與各面均相切），則上、下兩部分幾何體的體積之比是（

）A． B． C． D．8．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知四點(diǎn)均在半徑為（為常數(shù)）的球的球面上運(yùn)動(dòng)，且，若四面體的體積的最大值為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題1．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，若分別是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面B．平面C．點(diǎn)到平面的距離為D．三棱錐外接球的半徑為2．（2024·新疆·一模）如圖，兩個(gè)共底面的正四棱錐組成一個(gè)八面體E-ABCD-F，且該八面體的各棱長(zhǎng)均相等，則（

）A．異面直線(xiàn)AE與BF所成的角為60°B．BD⊥CE.C．此八面體內(nèi)切球與外接球的表面積之比為D．直線(xiàn)AE與平面BDE所成的角為60°3.（2024·江西上饒·一模）空間中存在四個(gè)球，它們半徑分別是2，2，4，4，每個(gè)球都與其他三個(gè)球外切，下面結(jié)論正確的是（

）A．以四個(gè)球球心為頂點(diǎn)的四面體體積為B．以四個(gè)球球心為頂點(diǎn)的四面體體積為C．若另一小球與這四個(gè)球都外切，則該小球半徑為D．若另一小球與這四個(gè)球都內(nèi)切，則該小球半徑為三、填空題1．（2024·貴州·三模）已知一個(gè)圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，其頂點(diǎn)為，底面圓心為，點(diǎn)是線(xiàn)段上的一點(diǎn)，是底面內(nèi)接正三角形，且平面，則；三棱錐的外接球的表面積是.2．（2024·廣東·一模）已知表面積為的球O的內(nèi)接正四棱臺(tái)，，，動(dòng)點(diǎn)P在內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則直線(xiàn)BP與平面所成角的正弦值的最大值為．3．（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）如圖為某三棱錐的三視圖，其正視圖的面積為，則該三棱錐外接球表面積的最小值為．四、解答題1．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）將個(gè)半徑為的球和個(gè)半徑為的球疊為兩層放在桌面上，上層只放個(gè)較小的球，個(gè)球兩兩相切，求上層小球的最高點(diǎn)到桌面的距離.

2．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖：長(zhǎng)為3的線(xiàn)段與邊長(zhǎng)為2的正方形垂直相交于其中心．(1)若二面角的正切值為，試確定在線(xiàn)段的位置；(2)在（1）的前提下，以，，，，，為頂點(diǎn)的幾何體是否存在內(nèi)切球？若存在，試確定其內(nèi)切球心的具體位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（23-24高三上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）如圖，已知圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為正三角形，是底面圓的直徑，點(diǎn)在上，且.

(1)求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值；(2)求能放置在該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積.4．（23-24高三上·上海普陀·期末）對(duì)于一個(gè)三維空間，如果一個(gè)平面與一個(gè)球只有一個(gè)交點(diǎn)，則稱(chēng)這個(gè)平面是這個(gè)球的切平面.已知在空間直角坐標(biāo)系中，球的半徑為，記平面、平面、平面分別為、、.(1)若棱長(zhǎng)為的正方體、棱長(zhǎng)為的正四面體的內(nèi)切球均為球，求的值；(2)若球在處有一切平面為，求與的交線(xiàn)方程，并寫(xiě)出它的一個(gè)法向量；(3)如果在球面上任意一點(diǎn)作切平面，記與、、的交線(xiàn)分別為、、，求到、、距離乘積的最小值.5．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知三棱柱，其中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，，異面直線(xiàn)和所成角記為．

(1)若，求三棱柱外接球的表面積；(2)若，則在過(guò)點(diǎn)且與平行的截面中，當(dāng)截面圖形為等腰梯形時(shí)，求該截面面積．微重點(diǎn)07球的切接問(wèn)題（2大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）空間幾何體的外接球、內(nèi)切球是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，也是高考命題的熱點(diǎn)，一般是通過(guò)對(duì)幾何體的割補(bǔ)或?qū)ふ規(guī)缀误w外接球的球心求解外接球問(wèn)題，利用等體積法求內(nèi)切球半徑等，一般出現(xiàn)在壓軸小題位置．知識(shí)導(dǎo)圖考點(diǎn)分類(lèi)講解考點(diǎn)一：空間幾何體的外接球規(guī)律方法求解空間幾何體的外接球問(wèn)題的策略(1)定球心：球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑．(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系)，達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的．(3)求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解．【例1】（2024·遼寧撫順·一模）在三棱錐中，，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在中由余弦定理求得，由題意證得平面ABC，進(jìn)而確定外接球球心O，由球心與相關(guān)點(diǎn)的位置關(guān)系求球的半徑，最后求表面積即可.【詳解】在中，，即，又，因?yàn)?，所以，同理，又由平面ABC，平面.設(shè)的外接圓半徑為，所以，所以，所以外接球的半徑R滿(mǎn)足，∴三棱錐外接球的表面積為.故選：A.【變式1】（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開(kāi)學(xué)考試）已知正四面體的棱長(zhǎng)為，則該四面體的外接球與以點(diǎn)為球心，為半徑的球面的交線(xiàn)的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出正四面體外接球半徑，利用三角函數(shù)定義求出，則得到，再利用三角函數(shù)定義和圓周長(zhǎng)公式即可得到答案.【詳解】設(shè)該正四面體的外接球的半徑為，為底面的中心，為該正四面體外接球的球心，則，則該正四面體的高，根據(jù)，即，解得，則，，，如圖，在中，，所以；在中，，因?yàn)榻痪€(xiàn)為圓，所以周長(zhǎng)為.故選：C.

【變式2】(2023·昆明模擬)故宮太和殿是中國(guó)形制最高的宮殿，其建筑采用了重檐廡殿頂?shù)奈蓓敇邮剑瑥T殿頂是“四出水”的五脊四坡式，由一條正脊和四條垂脊組成，因此又稱(chēng)五脊殿．由于屋頂有四面斜坡，故又稱(chēng)四阿頂．如圖，某幾何體ABCDEF有五個(gè)面，其形狀與四阿頂相類(lèi)似．已知底面ABCD為矩形，AB＝4，AD＝EF＝2，EF∥底面ABCD，且EA＝ED＝FB＝FC＝BC，則幾何體ABCDEF外接球的表面積為()A．22π B．28πC．32π D．38π【答案】A【解析】連接AC，BD，設(shè)AC∩BD＝M，取EF的中點(diǎn)N，連接MN，由題意知，球心O在直線(xiàn)MN上，取BC的中點(diǎn)G，連接FG，則FG⊥BC，且FG＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).連接MG，過(guò)點(diǎn)F作FP⊥MG于點(diǎn)P，則四邊形MPFN是矩形，MN＝FP，則MN＝FP＝eq\r(FG2－PG2)＝eq\r(2)，又因AM＝eq\f(1,2)AC，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝2eq\r(5)，則AM＝eq\r(5)，因?yàn)椤鰽MO和△ONE均為直角三角形，設(shè)外接球半徑為R，OM＝x，當(dāng)球心O在線(xiàn)段MN上時(shí)，則R2＝x2＋(eq\r(5))2，R2＝(eq\r(2)－x)2＋12，解得x＝－eq\f(\r(2),2)(舍)，當(dāng)球心O在線(xiàn)段MN外時(shí)，則R2＝x2＋(eq\r(5))2，R2＝(eq\r(2)＋x)2＋12，解得x＝eq\f(\r(2),2)，故R2＝eq\f(1,2)＋5＝eq\f(11,2)，所以外接球的表面積S＝4πR2＝22π.【變式3】(2023·全國(guó)乙卷)已知點(diǎn)S，A，B，C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，SA⊥平面ABC，則SA＝________.【答案】2【解析】如圖，將三棱錐S－ABC轉(zhuǎn)化為直三棱柱SMN－ABC，設(shè)△ABC的外接圓圓心為O1，半徑為r，則2r＝eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(3,\f(\r(3),2))＝2eq\r(3)，可得r＝eq\r(3)，設(shè)三棱錐S－ABC的外接球球心為O，連接OA，OO1，則OA＝2，OO1＝eq\f(1,2)SA，因?yàn)镺A2＝OOeq\o\al(2,1)＋O1A2，即4＝3＋eq\f(1,4)SA2，解得SA＝2.考點(diǎn)二：空間幾何體的內(nèi)切球規(guī)律方法空間幾何題的內(nèi)切球問(wèn)題，一是找球心，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑，作出截面，在截面中求半徑；二是利用等體積法直接求內(nèi)切球的半徑．【例2】（2024·湖南·二模）一個(gè)正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2，高為，則該四棱錐的內(nèi)切球表面積為.【答案】/【分析】根據(jù)三角形相似求出內(nèi)切球半徑，再利用球的表面積公式求其表面積.【詳解】由題意可知該幾何體為正四棱錐，如圖，為內(nèi)切球的球心，是棱錐的高，分別是的中點(diǎn)，連接是球與側(cè)面的切點(diǎn)，可知在上，，設(shè)內(nèi)切球半徑為，則，由△∽△可知，即，解得，所以?xún)?nèi)切球表面積.故答案為：.【變式1】(2023·沈陽(yáng)模擬)如圖，圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)球，該球與圓臺(tái)的側(cè)面和底面均相切．已知圓臺(tái)的下底面圓心為O1，半徑為r1，圓臺(tái)的上底面圓心為O2，半徑為r2(r1>r2)，球的球心為O，半徑為R，記圓臺(tái)的表面積為S1，球的表面積為S2，則eq\f(S1,S2)的可能的取值為()A.eq\f(π,2)B.eq\f(3,2)C.eq\f(π,3)D.eq\f(4,3)【答案】A【解析】如圖，作出圓臺(tái)的軸截面，作DF⊥BC，垂足為F，由題意知圓O與梯形ABCD相切，則DC＝DE＋CE＝O2D＋O1C＝r2＋r1，又DC＝eq\r(DF2＋FC2)＝eq\r(4R2＋r1－r22)，故eq\r(4R2＋r1－r22)＝r1＋r2，化簡(jiǎn)可得R2＝r1r2，則eq\f(S1,S2)＝eq\f(πr\o\al(2,1)＋r\o\al(2,2)＋πr1＋r2r1＋r2,4πR2)＝eq\f(r\o\al(2,1)＋r\o\al(2,2)＋r1r2,2r1r2)＝eq\f(r\o\al(2,1)＋r\o\al(2,2),2r1r2)＋eq\f(1,2)>eq\f(2r1r2,2r1r2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)(r1>r2，故取不到等號(hào))，由于eq\f(3,2)，eq\f(π,3)，eq\f(4,3)都不大于eq\f(3,2)，故eq\f(S1,S2)的可能的取值為eq\f(π,2).【變式2】（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）某包裝設(shè)計(jì)部門(mén)為一球形塑料玩具設(shè)計(jì)一種正四面體形狀的外包裝盒（盒子厚度忽略不計(jì)），已知該球形玩具的直徑為2，每盒需放入10個(gè)塑料球，則該種外包裝盒的棱長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先確定正四面體的棱長(zhǎng)與高還有內(nèi)切球半徑的關(guān)系，然后根據(jù)當(dāng)a取得最小值時(shí)，從上到下每層中放在邊緣的小球都與正四面體的面都相切，從而計(jì)算出棱長(zhǎng)的最小值.【詳解】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，高為，內(nèi)切球半徑為則，可得，又，可得，

即正四面體的高等于其棱長(zhǎng)的，正四面體的內(nèi)切球的半徑等于其棱長(zhǎng)的．如圖，10個(gè)直徑為2的小球放進(jìn)棱長(zhǎng)為a的正四面體中，構(gòu)成三棱錐的形狀，有3層，從上到下每層的小球個(gè)數(shù)依次為1，3，6．

當(dāng)a取得最小值時(shí)，從上到下每層中放在邊緣的小球都與正四面體的側(cè)面相切，底層的每個(gè)球都與正四面體的底面相切，任意相鄰的兩個(gè)小球都外切，位于底層正三角狀頂點(diǎn)的所有相鄰小球的球心連線(xiàn)為一個(gè)正四面體，底面的中心為，與面的交點(diǎn)為，則該正四面體的棱長(zhǎng)為，可求得其高為，，所以正四面體的高為，進(jìn)而可求得其棱長(zhǎng)a的最小值為．故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于四面體的內(nèi)切球問(wèn)題，我們最好能熟記正四面體的棱長(zhǎng)與高還有內(nèi)切球半徑的關(guān)系，即正四面體的高等于其棱長(zhǎng)的，正四面體的內(nèi)切球的半徑等于其棱長(zhǎng)的，這樣解題的時(shí)候我們可以利用這個(gè)關(guān)系快速得到我們要的量.【變式3】（2024·四川宜賓·二模）所有棱長(zhǎng)均為6的三棱錐，其外接球和內(nèi)切球球面上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線(xiàn)段長(zhǎng)度的最大值為.【答案】【分析】根據(jù)題意，正四面體的外接球和內(nèi)切球的球心重合且在正四面體的內(nèi)部，求出外接球半徑，內(nèi)切球半徑，線(xiàn)段長(zhǎng)度的最大值為得解.【詳解】由正四面體的棱長(zhǎng)為6，則其外接球和內(nèi)切球的球心重合且在正四面體的內(nèi)部，設(shè)球心為，如圖，連接并延長(zhǎng)交底面于，則平面，且為底面的中心，所以，在中，可求得，設(shè)外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，則，解得，，所以線(xiàn)段長(zhǎng)度的最大值為.故答案為：.強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知某正六棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，則該正六棱柱的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正六棱柱的性質(zhì)可求解半徑，由表面積公式即可求解.【詳解】由正六棱柱的性質(zhì)可得為其外接球的球心（如圖）,由于底面為正六邊形，所以為等邊三角形，故,所以,所以為外接球的半徑，故外接球表面積為，故選：D2．（2024·廣東梅州·一模）某圓錐的底面直徑和高均是2，則其內(nèi)切球（與圓錐的底面和側(cè)面均相切）的半徑為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】作出圓錐的軸截面，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，利用三角形面積關(guān)系建立關(guān)于R的方程，解之即可求解.【詳解】圓錐的軸截面如圖所示，設(shè)內(nèi)切球的球心為D，半徑為R，則，所以，又，即，解得，即內(nèi)切球的半徑為.故選：B3．（2024·陜西西安·一模）六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)，若相鄰兩個(gè)氟原子之間的距離為m，則該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理、性質(zhì)定理找出內(nèi)切球的半徑，利用等面積法求出半徑的大小，即可求解.【詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?所以,,由可得平面，且，所以平面，過(guò)作，因?yàn)槠矫?，平面，所?且平面，所以平面，所以為該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球的半徑，在直角三角形中，，由等面積法可得，,解得，所以?xún)?nèi)切球的表面積為，故選:D.4．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）將邊長(zhǎng)為2的正三角形沿某條線(xiàn)折疊，使得折疊后的立體圖形有外接球，則當(dāng)此立體圖形體積最大時(shí)，其外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先分類(lèi)討論得出，滿(mǎn)足題意的直線(xiàn)為，且此時(shí)，進(jìn)一步求出底面四邊形外接圓圓心坐標(biāo)、半徑，從而得到直線(xiàn)的距離，設(shè)出外接球球心到底面的距離，結(jié)合可得，由此可得外接球半徑，進(jìn)而即可求解.【詳解】若將邊長(zhǎng)為2的正三角形沿某條線(xiàn)折疊，且這條線(xiàn)過(guò)三角形的某個(gè)頂點(diǎn)且不垂直于三角形的邊，由題意以為原點(diǎn)，以邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的邊為軸，邊上的高為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系：由題意，不失一般性，設(shè)（也就是設(shè)點(diǎn)在不包含端點(diǎn)的線(xiàn)段上），在中，令得，所以的面積為，而點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，此時(shí)三棱錐體積的最大值為（此時(shí)面面），所以，所以；若將邊長(zhǎng)為2的正三角形沿某條線(xiàn)折疊，且這條線(xiàn)過(guò)三角形的某個(gè)頂點(diǎn)且垂直于三角形的邊，此時(shí)上述情況中的點(diǎn)于原點(diǎn)重合，此時(shí)三棱錐體積的最大值為（此時(shí)面面），其中為點(diǎn)到的距離，即的長(zhǎng)度；將邊長(zhǎng)為2的正三角形沿某條線(xiàn)折疊，且這條線(xiàn)不過(guò)三角形的任何頂點(diǎn)，如圖所示：不失一般性，設(shè)該直線(xiàn)分別與交于點(diǎn)，折疊后的立體圖形有外接球，則四點(diǎn)共圓，從而，又因?yàn)?，所以，所以，由題意，設(shè)，所以，過(guò)點(diǎn)向引垂線(xiàn)，垂足為，則，所以四棱錐體積的最大值為（此時(shí)四邊形與三角形垂直），從而，或，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有，綜上所述，滿(mǎn)足題意的直線(xiàn)為，且此時(shí)，此時(shí)我們首先來(lái)求四邊形外接圓圓心，因?yàn)橹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，斜率為，所以的垂直平分線(xiàn)方程為，而中垂直線(xiàn)方程為，從而解得，所以四邊形外接圓半徑為，而到直線(xiàn)的距離為，又滿(mǎn)足題意的四棱錐的高為，設(shè)滿(mǎn)足題意的四棱錐的外接球球心為，設(shè)球心到平面的距離為，則由可得，，即，解得，從而滿(mǎn)足題意的外接球表面積為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是得出滿(mǎn)足題意的直線(xiàn)為，且此時(shí)，由此即可順利得解.5．（2024·河北邯鄲·三模）已知在四面體中，，二面角的大小為，且點(diǎn)A，B，C，D都在球的球面上，為棱上一點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意和幾何關(guān)系，并在所在平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)的位置和坐標(biāo)，即可求解.【詳解】由題意知與均為等邊三角形，連接，，則，，是二面角的平面角，

所以，又易知，所以是等邊三角形．設(shè)為的外心，為的中點(diǎn)，連接，則點(diǎn)O，P，Q都在平面內(nèi)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖．設(shè)，則，，所以．又，所以，因?yàn)?，易知，則，，從而，．

故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是結(jié)合幾何關(guān)系，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題.6．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐的底面為矩形，，，側(cè)面為正三角形且垂直于底面，M為四棱錐內(nèi)切球表面上一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線(xiàn)距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別為和的中點(diǎn)，平面截四棱錐的內(nèi)切球O所得的截面為大圓，求出圓的半徑，利用圓心到直線(xiàn)距離求點(diǎn)M到直線(xiàn)距離的最小值.【詳解】如圖，設(shè)四棱錐的內(nèi)切球的半徑為r，取的中點(diǎn)為H，的中點(diǎn)為N，連接，，，

球O為四棱錐的內(nèi)切球，底面為矩形，側(cè)面為正三角形且垂直于底面，則平面截四棱錐的內(nèi)切球O所得的截面為大圓，此圓為的內(nèi)切圓，半徑為r，與，分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，平面平面，交線(xiàn)為，平面，為正三角形，有，平面，平面，，，，則有，，，則中，，解得.所以，四棱錐內(nèi)切球半徑為1，連接.平面，平面，，又，平面，，平面，平面，可得，所以?xún)?nèi)切球表面上一點(diǎn)M到直線(xiàn)的距離的最小值即為線(xiàn)段的長(zhǎng)減去球的半徑，又.所以四棱錐內(nèi)切球表面上的一點(diǎn)M到直線(xiàn)的距離的最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：四棱錐的內(nèi)切球，與四棱錐的五個(gè)面都相切，由對(duì)稱(chēng)性平面截四棱錐的內(nèi)切球O所得的截面為大圓，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)切圓，利用面積法求出半徑，即內(nèi)切球的半徑，由球心到直線(xiàn)的距離，求點(diǎn)M到直線(xiàn)的距離的最小值.7．（2024·河南開(kāi)封·二模）已知經(jīng)過(guò)圓錐的軸的截面是正三角形，用平行于底面的截面將圓錐分成兩部分，若這兩部分幾何體都存在內(nèi)切球（與各面均相切），則上、下兩部分幾何體的體積之比是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出圓錐的軸的截面，根據(jù)題意推出上、下兩部分幾何體的兩部分的內(nèi)切球的半徑之比為，從而可得上部分圓錐的體積與圓錐的體積之比為，從而可得解．【詳解】如圖，作出圓錐的軸截面，設(shè)上、下兩部分幾何體的兩部分的內(nèi)切球的球心分別為，，半徑分別為，，即，，根據(jù)題意可知為正三角形，易知，圓錐的底面半徑，，又，，，上部分圓錐的底面半徑為，高為，又圓錐的底面半徑為，高為，上部分圓錐的體積與圓錐的體積之比為，上、下兩部分幾何體的體積之比是．故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是找到上、下底面的半徑的關(guān)系，從而得到兩圓錐的體積之比.8．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知四點(diǎn)均在半徑為（為常數(shù)）的球的球面上運(yùn)動(dòng)，且，若四面體的體積的最大值為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，取BC中點(diǎn)為N，結(jié)合題意可得四面體的體積最大時(shí)，平面ABC，且球心在DN上，后可得四面體的體積表達(dá)式為，其中R為球體半徑，結(jié)合均值不等式可得R，即可得答案.【詳解】因取BC中點(diǎn)為N，則，又，平面，，則平面，面，則平面平面，要使四面體的體積最大，則有平面，且球心O在DN上.設(shè)球體半徑為R，則，則，又注意到，，則.注意到.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).又四面體的體積的最大值為，則.則球的表面積為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此類(lèi)問(wèn)題需結(jié)合題目條件，設(shè)置合理的變量，得到相關(guān)的代數(shù)表達(dá)式，后由不等式取等條件得到等量關(guān)系，從而解決問(wèn)題.二、多選題1．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，若分別是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面B．平面C．點(diǎn)到平面的距離為D．三棱錐外接球的半徑為【答案】ABD【分析】利用線(xiàn)面垂直的判定即可判斷A；利用線(xiàn)面平行的判定即可判斷B，利用等體積法即可求出點(diǎn)到平面距離，找到球心位于的中點(diǎn)，則得到外接球半徑，即判斷D.【詳解】對(duì)A，因?yàn)槠矫嫫矫?，所?在中，因?yàn)?，所以，則.又平面平面，所以平面，故A正確.對(duì)B，取為的中點(diǎn)，連接.易知，所以四邊形為平行四邊形，則.又平面平面，所以平面，故B正確.對(duì)C，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則是以為頂點(diǎn)，為底面的三棱錐的高.因?yàn)槠矫?，所以是三棱錐的高.又為直角三角形，所以，所以.又是直角三角形，所以.又，所以，所以是直角三角形，則.由，得，則，即點(diǎn)到平面的距離為，故C錯(cuò)誤.對(duì)D，因?yàn)楹途鶠橹苯侨切危詾槿忮F外接球的球心，即半徑為，故D正確.故選：ABD.2．（2024·新疆·一模）如圖，兩個(gè)共底面的正四棱錐組成一個(gè)八面體E-ABCD-F，且該八面體的各棱長(zhǎng)均相等，則（

）A．異面直線(xiàn)AE與BF所成的角為60°B．BD⊥CE.C．此八面體內(nèi)切球與外接球的表面積之比為D．直線(xiàn)AE與平面BDE所成的角為60°【答案】ABC【分析】根據(jù)異面直線(xiàn)的夾角、線(xiàn)面垂直的判定、外接和內(nèi)切球，線(xiàn)面角等知識(shí)點(diǎn)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】將正八面體E-ABCD-F置于一個(gè)正方體中，該正八面體的頂點(diǎn)為正方體六個(gè)面的中心，如圖所示，

設(shè)交于點(diǎn)O,易知O為正方體的中心，由正方體性質(zhì)易知，為的中位線(xiàn)，則，同理，又，則，則直線(xiàn)與所成角即與所成角，因?yàn)闉檎切危?，A正確，由正方體性質(zhì)易知BD⊥平面，平面，故BD⊥CE，B正確；設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，因?yàn)?，所以為此八面體外接球的球心，即此八面體一定存在外接球，且外接球半徑為，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，八面體的體積為，又八面體的表面積為，所以，解得，此八面體內(nèi)切球與外接球的表面積之比為，故C項(xiàng)正確．由正方體性質(zhì)易知AC⊥平面,故為直線(xiàn)AE與平面BDE所成的角，又，故，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.

3.（2024·江西上饒·一模）空間中存在四個(gè)球，它們半徑分別是2，2，4，4，每個(gè)球都與其他三個(gè)球外切，下面結(jié)論正確的是（

）A．以四個(gè)球球心為頂點(diǎn)的四面體體積為B．以四個(gè)球球心為頂點(diǎn)的四面體體積為C．若另一小球與這四個(gè)球都外切，則該小球半徑為D．若另一小球與這四個(gè)球都內(nèi)切，則該小球半徑為【答案】ACD【分析】設(shè)半徑為2的兩球球心為A，B；半徑為4的兩球球心為C,D，根據(jù)內(nèi)切關(guān)系可得三棱錐的各棱長(zhǎng)，根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系確定線(xiàn)面關(guān)系從而可求以四個(gè)球球心為頂點(diǎn)的四面體體積及與這四個(gè)球都外切或內(nèi)切的球的半徑，逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.【詳解】設(shè)半徑為2的兩球球心為A，B；半徑為4的兩球球心為C,D，易知，，,取中點(diǎn)，連接，

因?yàn)?，點(diǎn)為中點(diǎn)，所以，，則，故，則，因?yàn)槠矫?，所以平面，則，故A正確，B不正確；若另一小球與這四個(gè)球都外切，設(shè)小球中心為，半徑為，則點(diǎn)在四面體內(nèi)，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，

則，，又，，所以，則球心在上，所以，同理，代入解得或（舍），故C正確；若另一小球與這四個(gè)球都內(nèi)切，設(shè)小球中心為，半徑為，則，，且點(diǎn)在上，所以，同理，代入得或（舍），故D正確.故選：ACD.三、填空題1．（2024·貴州·三模）已知一個(gè)圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，其頂點(diǎn)為，底面圓心為，點(diǎn)是線(xiàn)段上的一點(diǎn)，是底面內(nèi)接正三角形，且平面，則；三棱錐的外接球的表面積是.【答案】【分析】（1）根據(jù)正弦定理求出的長(zhǎng)；（2）確定三棱錐的外接球，即為以為棱的正方體的外接球，再求其半徑，最后應(yīng)用球的表面積公式即可求出.【詳解】解：由題意，圓錐的底面半徑為1，母線(xiàn)長(zhǎng)為2，是底面內(nèi)接正三角形，結(jié)合題設(shè)有，所以，由平面，平面，則，，為正三角形，則，顯然為中心，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性，易知，即，且，三棱錐的外接球，即為以為相鄰棱的正方體的外接球，故外接球半徑為，所以三棱錐的外接球的表面積是.故答案為：；2．（2024·廣東·一模）已知表面積為的球O的內(nèi)接正四棱臺(tái)，，，動(dòng)點(diǎn)P在內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則直線(xiàn)BP與平面所成角的正弦值的最大值為．【答案】/【分析】先根據(jù)條件得到，進(jìn)而得到，，利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)作出面，故為直線(xiàn)BP與平面所成角，再利用，得知當(dāng)與重合時(shí)，最小，再利用對(duì)頂角相等，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，分別是上下底面的中心，設(shè)球心為，半徑為，易知，由題知，得到，又，，得到，所以與重合，由，得到，所以，又，所以，因?yàn)槊?，面，所以，又，，面，所以面，連接并延長(zhǎng)，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，又面，所以，又，面，所以面，連接，則為直線(xiàn)BP與平面所成的角，，在中，易知，，所以，所以當(dāng)最小時(shí)，直線(xiàn)BP與平面所成角的正弦值的最大值，又動(dòng)點(diǎn)P在內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)與重合時(shí)，最小，此時(shí)為直線(xiàn)BP與平面所成的角，所以直線(xiàn)BP與平面所成角的正弦值的最大值為，

故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于點(diǎn)位置的確定，通過(guò)利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)作出面，從而得出為直線(xiàn)BP與平面所成角，再利用，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求的最小值，即可確定點(diǎn)位置，從而解決問(wèn)題.3．（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）如圖為某三棱錐的三視圖，其正視圖的面積為，則該三棱錐外接球表面積的最小值為．【答案】【分析】由三視圖還原幾何體，利用正弦定理可用表示出三棱錐的高和的外接圓半徑，結(jié)合基本不等式可求得，代入球的表面積公式即可.【詳解】由三視圖可還原幾何體如下圖所示，其中平面，平面，設(shè)，，則，；設(shè)的外接圓半徑為，三棱錐的外接球半徑為，在中，由正弦定理得：，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），該三棱錐外接球表面積的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中的多面體外接球相關(guān)問(wèn)題的求解，解題關(guān)鍵是能夠通過(guò)三視圖準(zhǔn)確還原幾何體，借助直棱柱模型確定幾何體外接球半徑.四、解答題1．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）將個(gè)半徑為的球和個(gè)半徑為的球疊為兩層放在桌面上，上層只放個(gè)較小的球，個(gè)球兩兩相切，求上層小球的最高點(diǎn)到桌面的距離.

【答案】【分析】設(shè)下層三個(gè)半徑為1的球的球心構(gòu)成邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，上面小球的球心和這個(gè)等邊三角形構(gòu)成側(cè)棱長(zhǎng)為的正三棱錐，上層小球的最高點(diǎn)到桌面的距離為小球半徑、大球半徑與正三棱錐的高相加之和．【詳解】將球心連接起來(lái)構(gòu)成側(cè)棱為，底面邊長(zhǎng)為的正三棱錐,設(shè)底面三角形的中心為，則故正三棱錐的高，顯然平面到桌面的距離為，所以上層小球的最高點(diǎn)到桌面的距離為.2．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖：長(zhǎng)為3的線(xiàn)段與邊長(zhǎng)為2的正方形垂直相交于其中心．(1)若二面角的正切值為，試確定在線(xiàn)段的位置；(2)在（1）的前提下，以，，，，，為頂點(diǎn)的幾何體是否存在內(nèi)切球？若存在，試確定其內(nèi)切球心的具體位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)存在，在線(xiàn)段上的靠近點(diǎn)的三分點(diǎn)位置(2)存在，內(nèi)切球心在點(diǎn)距離為的位置上．【分析】（1）取線(xiàn)段的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接，，．證明出為二面角的平面角.設(shè)，，，利用直角三角形建立關(guān)于的方程，解出；（2）幾何體存在內(nèi)切球，設(shè)球心為，設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為點(diǎn)，內(nèi)切球的半徑為，利用幾何性質(zhì)計(jì)算出在點(diǎn)距離為的位置上．【詳解】（1）取線(xiàn)段的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接，，．由于四邊形是正方形，為其中心，所以，又面,面，所以.而，面,面,所以面.因?yàn)槊?，所?同理可以證出，為二面角的平面角，．設(shè)，，，則．且在中，，同理在中，由，得：故在線(xiàn)段上的靠近點(diǎn)的三分點(diǎn)位置.（2）幾何體存在內(nèi)切球，令球心為.若設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為點(diǎn)，內(nèi)切球的半徑為，由對(duì)稱(chēng)性可知：平面四邊形的內(nèi)切圓的圓心為，半徑即為，故，而，．所以，得．由三角形相似有：所以．故其內(nèi)切球心在點(diǎn)距離為的位置上．3．（23-24高三上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）如圖，已知圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為正三角形，是底面圓的直徑，點(diǎn)在上，且.

(1)求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值；(2)求能放置在該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積.【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得異面直線(xiàn)與所成角的余弦值.（2）通過(guò)求等邊三角形內(nèi)切圓的半徑來(lái)求得最大球的半徑，進(jìn)而求得