培優(yōu)點(diǎn)02隱零點(diǎn)問題（2大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)在很多時(shí)候是無法直接求解出來的，我們稱之為“隱零點(diǎn)”，既能確定其存在，但又無法用顯性的代數(shù)進(jìn)行表達(dá)．這類問題的解題思路是對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)設(shè)而不求，通過整體代換和過渡，再結(jié)合題目條件解決問題．【知識(shí)導(dǎo)圖】【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：不含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問題規(guī)律方法已知不含參函數(shù)f(x)，導(dǎo)函數(shù)方程f′(x)＝0的根存在，卻無法求出，利用零點(diǎn)存在定理，判斷零點(diǎn)存在，設(shè)方程f′(x)＝0的根為x0，則①有關(guān)系式f′(x0)＝0成立，②注意確定x0的合適范圍．【例1】．（2023春·新疆烏魯木齊·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)求證：；(2)若對(duì)恒成立，求的最大值與的最小值.【例2】．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若恒成立，求證：實(shí)數(shù).【變式1】.（2024·河北邢臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．證明：．【變式2】已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，證明：.考點(diǎn)二：含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問題規(guī)律方法已知含參函數(shù)f(x，a)，其中a為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程f′(x，a)＝0的根存在，卻無法求出，設(shè)方程f′(x)＝0的根為x0，則①有關(guān)系式f′(x0)＝0成立，該關(guān)系式給出了x0，a的關(guān)系；②注意確定x0的合適范圍，往往和a的范圍有關(guān)．【例2】．（2022上·河南洛陽·高三新安縣第一高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）（1）證明不等式：（第一問必須用隱零點(diǎn)解決，否則不給分）；（2）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).求a的取值范圍.（第二問必須用分段討論解決，否則不給分）【變式1】（2023秋·北京·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，曲線在的切線為．(1)求a，b的值；(2)求證：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；(3)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．【變式2】．（2023秋·河北張家口·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知，．(1)當(dāng)時(shí)，證明：；(2)若，恒成立，求a的取值范圍．【變式3】.（拔尖強(qiáng)基聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期二月聯(lián)合考試）已知函數(shù)，其中．（1）若，求證：在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；（2）若恒成立，求的值．【變式4】（2024·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）,，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【強(qiáng)化訓(xùn)練】1.已知函數(shù).當(dāng)時(shí)，求證在上存在極值點(diǎn)，且.2.（廣東省2024屆高三上學(xué)期元月期末統(tǒng)一調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷）若函數(shù)在上有定義，且對(duì)于任意不同的，都有，則稱為上的“類函數(shù)”.若為上的“2類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；3.已知函數(shù)，其中．討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．4.（2024·陜西安康·安康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求整數(shù)的最大值．5.（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的極值；（2）用表示中的最大值，記函數(shù)，討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．6．（2023秋·浙江·高三浙江省春暉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若恒成立，求的取值范圍．7．（2023秋·湖南永州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，且.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若關(guān)于的不等式恒成立，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.8．（2023秋·遼寧沈陽·高三沈陽市第一二〇中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，函數(shù)在上恒成立，求整數(shù)a的最大值.9．（2023秋·陜西西安·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的最小值.10．（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二萍鄉(xiāng)市安源中學(xué)校考期末）已知函數(shù).(1)若，求的極值；(2)若對(duì)任意，恒成立，求整數(shù)m的最小值.11．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.12.（浙江省溫州市溫州中學(xué)2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知.（1）若過點(diǎn)作曲線的切線，切線的斜率為2，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).13.已知函數(shù)（1）若1是的極值點(diǎn)，求a的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間：（3）已知有兩個(gè)解，（i）直接寫出a的取值范圍；（無需過程）（ii）λ為正實(shí)數(shù)，若對(duì)于符合題意的任意，當(dāng)時(shí)都有，求λ的取值范圍.14.(2023·咸陽模擬)已知f(x)＝(x－1)2ex－eq\f(a,3)x3＋ax(x>0)(a∈R)．(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a＝0時(shí)，判定函數(shù)g(x)＝f(x)＋lnx－eq\f(1,2)x2零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由．15.(2023·天津模擬)已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax＋1，g(x)＝x(ex－x)．(1)若直線y＝2x與函數(shù)f(x)的圖象相切，求實(shí)數(shù)a的值；(2)當(dāng)a＝－1時(shí)，求證：f(x)≤g(x)＋x2.16.(2023·包頭模擬)已知函數(shù)f(x)＝aex－ln(x＋1)－1.(1)當(dāng)a＝e時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積；(2)證明：當(dāng)a>1時(shí)，f(x)沒有零點(diǎn)．17.(2023·石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)＝x－lnx－2.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若對(duì)任意的x∈(1，＋∞)，都有xlnx＋x>k(x－1)成立，求整數(shù)k的最大值．18．(2023·荊門模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex＋bsinx，x∈(－π，＋∞)．若函數(shù)f(x)在(0，f(0))處的切線的斜率為2.(1)求實(shí)數(shù)b的值；(2)求證：f(x)存在唯一的極小值點(diǎn)x0，且f(x0)>－1.19．(2023·綿陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax－lnx，a∈R.(1)若a＝eq\f(1,e)，求函數(shù)f(x)的最小值及取得最小值時(shí)的x的值；(2)若函數(shù)f(x)≤xex－(a＋1)lnx對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．培優(yōu)點(diǎn)02隱零點(diǎn)問題（2大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)在很多時(shí)候是無法直接求解出來的，我們稱之為“隱零點(diǎn)”，既能確定其存在，但又無法用顯性的代數(shù)進(jìn)行表達(dá)．這類問題的解題思路是對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)設(shè)而不求，通過整體代換和過渡，再結(jié)合題目條件解決問題．【知識(shí)導(dǎo)圖】【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：不含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問題規(guī)律方法已知不含參函數(shù)f(x)，導(dǎo)函數(shù)方程f′(x)＝0的根存在，卻無法求出，利用零點(diǎn)存在定理，判斷零點(diǎn)存在，設(shè)方程f′(x)＝0的根為x0，則①有關(guān)系式f′(x0)＝0成立，②注意確定x0的合適范圍．【例1】．（2023春·新疆烏魯木齊·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)求證：；(2)若對(duì)恒成立，求的最大值與的最小值.【答案】(1)證明見解析；(2)的最大值為，的最小值為1.【詳解】（1）由，求導(dǎo)得，因?yàn)樵趨^(qū)間上，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以.（2）當(dāng)時(shí)，“”等價(jià)于“”，“”等價(jià)于“”，令，，則，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，當(dāng)時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意，，于是在區(qū)間上單調(diào)遞減，則對(duì)任意恒成立，當(dāng)時(shí)，存在唯一的使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，顯然，，則當(dāng)，即時(shí)，對(duì)恒成立，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，所以對(duì)任意恒成立時(shí)，的最大值為，的最小值為1.【例2】．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若恒成立，求證：實(shí)數(shù).【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由，定義域?yàn)?，則.所以在處的切線l的斜率為，又，則l的方程為.（2）恒成立，令，則，令，，則所以在上單調(diào)遞增，又，且，則在上存在零點(diǎn)且，即.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即.，則又，所以，則在上單調(diào)遞增，因此所以.【變式1】.（2024·河北邢臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．證明：．【答案】證明見解析【解析】令函數(shù)，則，所以是增函數(shù)．因?yàn)?，，所以存在，使得，即．所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．．因?yàn)?，所以，所以．故．【變?】已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，證明：.【解析】當(dāng)時(shí)，令，，求導(dǎo)得，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則存在唯一，使得，即，因此存在唯一，使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào)，故式子取不到等號(hào)）所以當(dāng)時(shí)，.考點(diǎn)二：含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問題規(guī)律方法已知含參函數(shù)f(x，a)，其中a為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程f′(x，a)＝0的根存在，卻無法求出，設(shè)方程f′(x)＝0的根為x0，則①有關(guān)系式f′(x0)＝0成立，該關(guān)系式給出了x0，a的關(guān)系；②注意確定x0的合適范圍，往往和a的范圍有關(guān)．【例2】．（2022上·河南洛陽·高三新安縣第一高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）（1）證明不等式：（第一問必須用隱零點(diǎn)解決，否則不給分）；（2）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).求a的取值范圍.（第二問必須用分段討論解決，否則不給分）【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)最小值為正即可推理作答.（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分類討論函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)情況作答.【詳解】（1）令函數(shù)，，求導(dǎo)得：，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，，則存在，使得，即，有，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以.（2）函數(shù)定義域R，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，由得，，由得，，即函數(shù)在上遞減，在上遞增，，而，即存在，使得，則函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，取且，則，即存在，使得，則函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)2，當(dāng)時(shí)，若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即有在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，因此函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，在上最多一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)最多一個(gè)零點(diǎn)，若，恒有，即函數(shù)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)最多一個(gè)零點(diǎn)，若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即有在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，在上最多一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)最多一個(gè)零點(diǎn)，綜上得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)最多一個(gè)零點(diǎn)，所以a的取值范圍是.【變式1】（2023秋·北京·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，曲線在的切線為．(1)求a，b的值；(2)求證：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；(3)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．【答案】(1).(2)證明見解析(3)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，證明見解析.【詳解】（1），則有，解得，，則.（2）由（1）知，，設(shè)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則，所以在上恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（3）因?yàn)椋?，令，得，設(shè)，由（2）知在上單調(diào)遞增，且，，故存在唯一零點(diǎn)使得，即存在唯一零點(diǎn)滿足，即得，則，且當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，，則，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.【變式2】．（2023秋·河北張家口·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知，．(1)當(dāng)時(shí)，證明：；(2)若，恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，而，∴，即．（2）法一：若，恒成立，即，即，構(gòu)造函數(shù)，易知在遞增，則不等式為，∴，設(shè)，，則在遞增，遞減，，∴．法二：，恒成立，即．令，，有唯一實(shí)數(shù)根，設(shè)為，即，，則在遞減，在遞增，∴，即，設(shè)，顯然在單調(diào)遞減，而，∴，則，，，∴，．【變式3】.（拔尖強(qiáng)基聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期二月聯(lián)合考試）已知函數(shù)，其中．（1）若，求證：在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；（2）若恒成立，求的值．【答案】（1）證明過程見詳解；（2）【解析】（1）時(shí)，，①時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以，使得，即在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；②時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞減，即，所以，所以在上沒有零點(diǎn)；③時(shí)，，所以，即在上單調(diào)遞減，又，，所以在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；綜上所述，在內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，.（2）令，由于恒成立，且，同時(shí)在上連續(xù)，所以是的一個(gè)極大值點(diǎn).因?yàn)?，所以即，下面證明時(shí)，在上恒成立，由（1）知，時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以，又，故恒成立.【變式4】（2024·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）,，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】由，可得，由，因?yàn)?，可得，令，則在上遞減，當(dāng)時(shí)，可得，則，所以，則，又因?yàn)?，使得，即且?dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，所以在遞增，在遞減，所以，由，可得，由，可得，即，由，可得，所以，因?yàn)椋O(shè)，則，可知在上遞增，且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【強(qiáng)化訓(xùn)練】1.已知函數(shù).當(dāng)時(shí)，求證在上存在極值點(diǎn)，且.【答案】證明見解析【解析】，則，令，，由可知，時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，在處取得最小值，而，又記，，故在上單調(diào)遞減，故，于是，即；，令，，記，則，則在單增，，故在上遞增，，取，則；記，，于是時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，故在處取得最大值，故，取得等號(hào)，于是.于是，由和零點(diǎn)存在定理可知，，使得，且，，，，所以是極小值點(diǎn)；由可得，，令，代入，整理，，于是時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，故在處取得最大值，故，取，故，原命題得證.2.（廣東省2024屆高三上學(xué)期元月期末統(tǒng)一調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷）若函數(shù)在上有定義，且對(duì)于任意不同的，都有，則稱為上的“類函數(shù)”.若為上的“2類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；【答案】【解析】因?yàn)?，由題意知，對(duì)于任意不同的，都有，可轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意，都有，由可轉(zhuǎn)化為，令，只需，令，在單調(diào)遞減，所以，，故在單調(diào)遞減，，由可轉(zhuǎn)化為，令，只需，令，在單調(diào)遞減，且，，所以使，即，即，當(dāng)時(shí)，，，故在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，故在單調(diào)遞減，，故.3.已知函數(shù)，其中．討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【答案】有且僅有一個(gè)極值點(diǎn).【解析】由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?，，設(shè)，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，與同號(hào)，①當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，且，，，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；所以函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，由（1）知，函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)椋?，，又，所以函?shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，且，，，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；所以函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；綜上所述，函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)．4.（2024·陜西安康·安康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求整數(shù)的最大值．【答案】2【解析】由題意，知對(duì)任意恒成立，可知對(duì)任意恒成立．設(shè)函數(shù)，只需．對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得．設(shè)函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．又，所以存在，使，即，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以．又，所以，所以整數(shù)的最大值為2．5.（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的極值；（2）用表示中的最大值，記函數(shù)，討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】答案見解析【解析】由，知．（?。┊?dāng)時(shí)，，∴，故在上無零點(diǎn)．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，．故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，是的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，不是的零點(diǎn)．（ⅲ）當(dāng)時(shí)，．故在的零點(diǎn)就是在的零點(diǎn)，．①當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，在是減函數(shù)，結(jié)合，可知，在有一個(gè)零點(diǎn)，故在上有1個(gè)零點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，在是增函數(shù)，結(jié)合可知，在無零點(diǎn)，故在上無零點(diǎn)．③當(dāng)時(shí)，，使得時(shí)，在是增函數(shù)；時(shí)，在是減函數(shù)；由知，．當(dāng)，即時(shí)，在上無零點(diǎn)，故在上無零點(diǎn)．當(dāng)，即時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)，故在上有1個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，無零點(diǎn)6．（2023秋·浙江·高三浙江省春暉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由于，由題知有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根．令，則，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且時(shí)，，時(shí)，，，故的圖象如圖所示，

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)且．則或，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為．故有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）由于若設(shè)，則上式即為由（1）可得，兩式相除得，即，由得所以，令，則在恒成立，由于，令，則，，顯然在遞增，又有，所以存在使得，且易得在遞減，遞增，又有，所以存在使得，且易得在遞減，遞增，又，則時(shí)，時(shí)，，所以易得在上遞減，在上遞增，則，所以的取值范圍為．7．（2023秋·湖南永州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，且.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若關(guān)于的不等式恒成立，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題，當(dāng)時(shí)，，，，，所以切線方程為，化簡(jiǎn)得，即曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2），即，即在上恒成立，令，則.對(duì)于，，故其必有兩個(gè)零點(diǎn)，且兩個(gè)零點(diǎn)的積為，則兩個(gè)零點(diǎn)一正一負(fù)，設(shè)其正零點(diǎn)為，則，即，且在上時(shí)則，此時(shí)單調(diào)遞減，在上，，此時(shí)單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，取最小值，故，即.令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故，顯然函數(shù)在上是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為8．（2023秋·遼寧沈陽·高三沈陽市第一二〇中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，函數(shù)在上恒成立，求整數(shù)a的最大值.【答案】(1)答案見解析(2)4【詳解】（1）根據(jù)題意可得，若，在上恒成立，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；若，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)函數(shù)在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞減；若，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)函數(shù)在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞減；綜上可知，時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）由可得，解得；所以，則，易知時(shí)，，若函數(shù)在上恒成立，等價(jià)成在上恒成立；令，則；令，則在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，易知，由于，所以，而，且，所以；因此在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，滿足，且；所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以的最小值為，顯然，因此，又是整數(shù)，所以的最大值為4.9．（2023秋·陜西西安·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題當(dāng)時(shí)，，，，，所以切線方程為，化簡(jiǎn)得，即曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）由可得，令，，則，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，又，，則存在，使得，即，取對(duì)數(shù)得，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞增，則，又對(duì)任意恒成立，，所以，即的最小值為-3.10．（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二萍鄉(xiāng)市安源中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù).(1)若，求的極值；(2)若對(duì)任意，恒成立，求整數(shù)m的最小值.【答案】(1)極大值為，無極小值(2)1【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí).，則在上單調(diào)遞減.所以在時(shí)取得極大值且極大值為，無極小值；（2）因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則.設(shè)，顯然在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，所以，使得，即，?dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)?，所以，故整?shù)m的最小值為1.11．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)【詳解】（1）時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，等價(jià)于，設(shè)，則，設(shè)，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)，當(dāng)，所以，使得，即，所以，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，所以，設(shè)，則，而恒成立，所以為增函數(shù)，由，所以.因?yàn)榫鶠闇p函數(shù)，所以在上為減函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為12.（浙江省溫州市溫州中學(xué)2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知.（1）若過點(diǎn)作曲線的切線，切線的斜率為2，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】（1）1（2）答案見解析【解析】（1）由題意可得：，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率為，即，可得切線方程為，將，代入可得，整理得，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，則在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，可知關(guān)于的方程的根為1，即，所以.（2）因?yàn)?，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且，則，且在內(nèi)單調(diào)遞減，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，且，（i）若，即時(shí)，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以在內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；（ⅱ）若，即時(shí)，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以在內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；（ⅲ）若，即時(shí)，則在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，且，可知，可知在內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，且，①當(dāng)，即時(shí)，則在內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)，即時(shí)，則在內(nèi)沒有零點(diǎn)；綜上所述：若時(shí)，在內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；若時(shí)，在內(nèi)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).13.已知函數(shù)（1）若1是的極值點(diǎn)，求a的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間：（3）已知有兩個(gè)解，（i）直接寫出a的取值范圍；（無需過程）（ii）λ為正實(shí)數(shù)，若對(duì)于符合題意的任意，當(dāng)時(shí)都有，求λ的取值范圍.【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）（i）；（ii）.【解析】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?是的極值點(diǎn)，所以，故，故.此時(shí)，則時(shí)，時(shí)，所以上遞增，上遞減，則1是的極值點(diǎn)，滿足題設(shè).綜上，.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令得；令得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（3）（i）由得，即有兩個(gè)解，令，則，且在上兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，則在上沒有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即的極大值為，為使在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，當(dāng)時(shí)，易知，因?yàn)?，故，又在上單調(diào)遞增，所以在有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，則，再令，則，故在上單調(diào)遞增，所以，即，故在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，即，即，即，故，所以，故，又在上單調(diào)遞減，所以在有唯一零點(diǎn)；綜上：當(dāng)時(shí)，在上兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)解時(shí)，，即；（ii）由（i）得，，，故，又，所以，即，即，故，令，則，故，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上為增函數(shù)，故即在上恒成立.當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，故存在，使得，使得，故在為減函數(shù)，故，矛盾，舍；綜上：，即.14.(2023·咸陽模擬)已知f(x)＝(x－1)2ex－eq\f(a,3)x3＋ax(x>0)(a∈R)．(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a＝0時(shí)，判定函數(shù)g(x)＝f(x)＋lnx－eq\f(1,2)x2零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由．【解析】解(1)由題知，f′(x)＝(x2－1)ex－a(x2－1)＝(x－1)(x＋1)(ex－a)．若a≤1，當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)>0，∴f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增；若1<a<e，即0<lna<1，當(dāng)0<x<lna或x>1時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)lna<x<1時(shí)，f′(x)<0；∴f(x)在區(qū)間(0，lna)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(lna,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增；若a＝e，f′(x)≥0，∴f(x)在定義域上是增函數(shù)；若a>e，即lna>1，當(dāng)0<x<1或x>lna時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)1<x<lna時(shí)，f′(x)<0；∴f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，lna)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(lna，＋∞)上單調(diào)遞增．(2)當(dāng)a＝0時(shí)，g(x)＝lnx－eq\f(1,2)x2＋(x－1)2ex，定義域?yàn)?0，＋∞)，∴g′(x)＝eq\f(1,x)－x＋(x2－1)ex＝(x＋1)(x－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(1,x)))，設(shè)h(x)＝ex－eq\f(1,x)(x>0)，∴h′(x)＝ex＋eq\f(1,x2)>0，∴h(x)在定義域上是增函數(shù)，∵h(yuǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\r(e)－2<0，h(1)＝e－1>0，∴存在唯一x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，使h(x0)＝0，即－eq\f(1,x0)＝0，＝eq\f(1,x0)，－x0＝lnx0，當(dāng)0<x<x0時(shí)，h(x)<0，即g′(x)>0；當(dāng)x0<x<1時(shí)，h(x)>0，即g′(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，h(x)>0，即g′(x)>0，∴g(x)在區(qū)間(0，x0)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(x0,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x＝x0時(shí)，g(x)取極大值g(x0)＝lnx0－eq\f(1,2)xeq\o\al(2,0)＋(x0－1)2＝－eq\f(1,2)xeq\o\al(2,0)＋eq\f(1,x0)－2，設(shè)F(x)＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,x)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<x<1))，易知F(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上單調(diào)遞減．∴g(x0)<geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(1,8)<0，∴g(x)在(0,1)內(nèi)無零點(diǎn)，∵g(1)＝－eq\f(1,2)<0，g(2)＝e2－2＋ln2>0，∴g(x)在(1，＋∞)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．15.(2023·天津模擬)已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax＋1，g(x)＝x(ex－x)．(1)若直線y＝2x與函數(shù)f(x)的圖象相切，求實(shí)數(shù)a的值；(2)當(dāng)a＝－1時(shí)，求證：f(x)≤g(x)＋x2.【解析】(1)解設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，f(x0))，由f′(x)＝eq\f(1,x)－a，得f′(x0)＝eq\f(1,x0)－a，所以切線方程為y－(lnx0－ax0＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x0)－a))(x－x0)，即y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x0)－a))x＋lnx0.因?yàn)橹本€y＝2x與函數(shù)f(x)的圖象相切，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x0)－a＝2，,lnx0＝0，))解得a＝－1.(2)證明當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝lnx＋x＋1，令F(x)＝g(x)－f(x)＋x2＝xex－lnx－x－1(x>0)，則F′(x)＝(x＋1)ex－eq\f(1,x)－1＝eq\f(x＋1,x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xex－1))，令G(x)＝xex－1(x>0)，則G′(x)＝(x＋1)ex>0，所以函數(shù)G(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又G(0)＝－1<0，G(1)＝e－1>0，所以函數(shù)G(x)存在唯一的零點(diǎn)x0∈(0,1)，且當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，G(x)<0，F(xiàn)′(x)<0；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，G(x)>0，F(xiàn)′(x)>0.所以函數(shù)F(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，故F(x)min＝F(x0)＝x0－lnx0－x0－1，由G(x0)＝0得x0－1＝0，兩邊取對(duì)數(shù)得lnx0＋x0＝0，故F(x0)＝0，所以g(x)－f(x)＋x2≥0，即f(x)≤g(x)＋x2.16.(2023·包頭模擬)已知函數(shù)f(x)＝aex－ln(x＋1)－1.(1)當(dāng)a＝e時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積；(2)證明：當(dāng)a>1時(shí)，f(x)沒有零點(diǎn)．【解析】(1)解當(dāng)a＝e時(shí)，f(x)＝ex＋1－ln(x＋1)－1，f(0)＝e－1.f′(x)＝ex＋1－eq\f(1,x＋1)，f′(0)＝e－1，故曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y－(e－1)＝(e－1)x，即y＝(e－1)x＋e－1.因?yàn)樵撉芯€在x，y軸上的截距分別為－1和e－1，所以該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積S＝eq\f(1,2)×|－1|×(e－1)＝eq\f(e－1,2).(2)證明當(dāng)a>1時(shí)，因?yàn)閒(x)＝aex－ln(x＋1)－1，所以f′(x)＝aex－eq\f(1,x＋1)＝eq\f(aexx＋1－1,x＋1)(x>－1)，令g(x)＝aex(x＋1)－1(x>－1)，則g′(x)＝aex(x＋2)，因?yàn)閍>1，x>－1，所以g′(x)>0，所以g(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，又g(－1)＝－1<0，g(0)＝a－1>0，故g(x)在(－1,0)上有唯一的零點(diǎn)β，即g(β)＝0，因此有aeβ(β＋1)＝1.當(dāng)x∈(－1，β)時(shí)，g(x)<0，即f′(x)<0；當(dāng)x∈(β，＋∞)時(shí)，g(x)>0，即f′(x)>0.所以f(x)在(－1，β)上單調(diào)遞減，在(β，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(β)為最小值．由aeβ(β＋1)＝1，得－ln(β＋1)＝lna＋β，所以當(dāng)－1<β<0時(shí)，f(β)＝aeβ－ln(β＋1)－1＝eq\f(1,β＋1)＋β－1＋lna＝lna＋eq\f(β2,β＋1)，因?yàn)閍>1，所以lna>0，又因?yàn)椋?<β<0，所以eq\f(β2,β＋1)>0，所以f(β)>0.所以f(x)≥f(β)>0.因此當(dāng)a>1時(shí)，f(x)沒有零點(diǎn)．17.(2023·石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)＝x－lnx－2.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若對(duì)任意的x∈(1，＋∞)，都有xlnx＋x>k(x－1)成立，求整數(shù)k的最大值．【解析】解(1)函數(shù)f(x)＝x－lnx－2的定義域是(0，＋∞)，f′(x)＝1－eq\f(1,x)，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間是(1，＋∞)．(2)?x∈(1，＋∞)，xlnx＋x>k(x－1)?k<eq\f(xlnx＋x,x－1)，令g(x)＝eq\f(xlnx＋x,x－1)，x>1，求導(dǎo)得g′(x)＝eq\f(2＋lnxx－1－xlnx＋x,x－12)＝eq\f(x－lnx－2,x－12)，由(1)知，f(x)＝x－lnx－2在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，f(3)＝1－ln3<0，f(4)＝2(1－ln2)>0，因此存在唯一x0∈(3,4)，使得f(x0)＝0，即x0－lnx0－2＝0?lnx0＝x0－2，當(dāng)x∈(1，x0)時(shí)，f(x)<0，即g′(x)<0，當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，f(x)>0，即g′(x)>0，因此函數(shù)g(x)在(1，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，于是g(x)min＝g(x0)＝eq\f(x0lnx0＋x0,x0－1)＝eq\f(x0x0－2＋x0,x0－1)＝x0，則k<x0∈(3,4)，所以整數(shù)k的最大值是3.18．(2023·荊門模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex＋bsinx，x∈(－π，＋∞)．若函數(shù)f(x)在(0，f(0))處的切線的斜率為2.(1)求實(shí)數(shù)b的值；(2)求證：f(x)存在唯一的極小值點(diǎn)x0，且f(x0)>－1.【解析】(1)解∵f(x)＝ex＋bsinx，∴f′(x)＝ex＋bcosx，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，f(x)在(0，f(0))處的切線的斜率k＝f′(0)＝e0＋bcos0＝1＋b，由已知k＝1＋b＝2，解得b＝1.(2)證明由(1)得f(x)＝ex＋sinx，x∈(－π，＋∞)，∴f′(x)＝ex＋cosx，令g(x)＝ex＋cosx，x∈(－π，＋∞)，則g′(x)＝ex－sinx，當(dāng)x∈(－π，0]時(shí)，ex>0，sinx≤0，g′(x)＝ex－sinx>0，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，ex>1，sinx≤1，g′(x)＝ex－sinx>0，∴當(dāng)x∈(－π，＋∞)時(shí)，g′(x)>0，g(x)在區(qū)間(－π，＋∞)上單調(diào)遞增，又∵g(－π)＝e－π＋cos(－π)＝eq\f(1,eπ)－1<0，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝>0，∴存在唯一x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))，使g(x0)＝＋cosx0＝0，又∵g(x)在區(qū)間(－π，＋∞)上單調(diào)遞增，∴x＝x0是g(x)在(－π，＋∞)上的唯一零點(diǎn)，∴f′(x)＝ex＋cosx在區(qū)間(－π，＋∞)上單調(diào)遞增，且f′(x0)＝＋cosx0＝0，當(dāng)x∈(－π，x0)時(shí)，f′(x)<0，f(x)在區(qū)間(－π，x0)上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，f′(x